小波有限原理论

小波有限元理论及其在结构工程中的应用韩建刚
【摘要】： 小波理论是近些年形成和发展迅速的一种数学工具。它在科学技术界引起了越来越多的关注和重视，在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、CT成像、机械故障诊断与监控、分形、数值计算等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。基于小波变换的小波分析技术是正在发展的新的数学分支。虽有学者将小波应用于结构工程中的微分方程求解当中，但是由于Daubechies小波的尺度函数和小波函数均没有明确的表达式，在计算关联系数时则存在一定的困难，利用数值法计算关联系数有不稳定等一些缺点，还限制着其应用的广度。本论文目的就是在对小波理论进行比较系统的研究之后，寻求利用小波求解微分方程的新的方法，发现并选择合理的小波函数与传统的有限元法相结合，创造性地提出用于结构工程的小波有限元法。同时，为了分析由于结构的物理、几何参数和约束条件等不确定性而引发的工程结构性能的不确定性，提出了随机小波有限元法，从而使小波在结构工程中的应用更加全面。 本论文首先推导了Daubechies尺度函数导数或高阶导数的正确计算结果，给出了它的连续性的判定方式。由于Daubechies小波本身导数的连续性随着支集的增加而增大，解高阶微分方程时，就必须增加支集的长度，这会使计算复杂化。在保证导数的连续性和不增加支集长度的前提下，采用Daubechies尺度函数与B—样条尺度函数的卷积对原方法进行了改进。构造出M—尺度关系，并且证明通常所采用的小波求解微分方程的两尺度关系为其特例，最后利用三尺度样条小波，提出了采用小波伽辽金方法求解问题的方法。 经常采用的小波Galerkin方法对微分方程边界条件的处理，均是将边界条件作为附加方程补充到整体方程中，从而求解超越方程组得到原方程的解，这导致了求解过程出现的方程组个数与未知量个数不一致。鉴于以上的原因，本文构造了满足 西安建筑科技大学博士学位论文 区间上边界条件的HermiteB一样条尺度函数基，提出Galerkin法求解格式，并应用 于弹性地基上有限长梁和板问题，给出了数值结果。给出了B一样条小波函数及其基 本性质，并提出了B一样条小波与Galerkin方法相结合的求解列式。 首次提出了一种基于二类、三类变量广义变分原理的全域多变量小波有限元方 法。首先构造了便于边界条件处理的插值小波基，应用乘积型二元插值小波基来构 造梁、板、壳的广义变量场函数，通过二类、三类变量广义变

分原理建立了多变量 小波有限元模型。在计算各种变量时，不需要利用其物理关系，也不必求导，可直 接计算其结果，因而各种变量均有足够的精度。但是这种全域的小波有限元方法仅 在具有规则形状的区域内求解时才能显示出它的优越性;同时，通过它对结构中的 梁、板、壳的求解过程可以看出，都是要通过各自的广义变分原理刁.能求得其解， 通用性较差。 为此，本文利用小波函数构造通常有限元法中的位移函数，得到了利用小波函 数表示的形函数，并用小波形函数首次创造性地推导出了分域的小波有限元列式。 这种分域的小波有限元方法在当前的文献中还未见到。此方法与全域的小波有限元 方法共同构成了小波有限元法的两种求解思路，可相互弥补各自方法中的不足之处。 将小波有限元法与Monte Carlo法相结合，首次提出了Monte Carlo随机小波有 限元法，它兼顾了小波有限元和Monte Carfo模拟的优点，使之可以解决较为复杂的 随机分析问题和检验其它的随机分析方法。并用它求解了具有不确定性的几何尺寸、 材料常数及荷载条件的薄板问题。以确定性变量的变分原理为基础，根据随机变量 的特性，利用摄动二次技术，结合小波形函数，提出了随机变量的变分原理及随机 小波有限元法。此方法可以有效地将材料、几何形状、外力和位移等边界条件的随 机变化特性直接引入到有限元公式中。 最后，本文提出了系统地分析了基岩震动作用下的场地土、基础和结构共同作 用的随机反应的方法。首先假定土层的剪切模量随深度线性变化，引入结构微分算 子，利用连续线性系统的随机振动理论，研究了非均匀场地土层地震的动力反应问 题。然后，利用场地土的随机反应的统计值得到考虑场地土、基础和结构共同作用 系统的随机动力反应。
【关键词】：小波分析 小波Galerkin法 小波有限元法 共同作用 随机小波有限元法 随机反应
【学位授予单位】：西安建筑科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2003
【分类号】：TU311.4
【目录】： 第一章 绪论13-26 1.1 小波变换数值方法研究现状13-17 1.2 有限元法的研究现状17-21 1.3 随机有限元法及其研究现状21-24 1.4 本论文的主要工作24-26 第二章 小波变换基本理论26-53 2.1 傅立叶变换到小波分析26-31 2.1.1 傅立叶变换26-27 2.1.2 短时傅立叶变换27-28 2.1.3 小波分析28-30 2.1.4 小波分析与傅立叶变换的比较30-31 2.2 常用小波函数介绍31-36 2.2.1 Haar小波31 2.2.2 Littlewood-Paley小波31-32 2.2.3 Meyer小波32 2.2.4 Morlet小波32 2.2.5 Marr小波32 2.2.6 Daubechies(dbN)小波32-33 2.2.7 Spline wavelet(样条小波)33-34 2.2.8 插值小波34-36 2.3 连续小

波变换36-38 2.3.1 一维连续小波变换36-37 2.3.2 高维连续小波变换37-38 2.4 离散小波变换38-40 2.4.1 离散小波变换38-39 2.4.2 二进制小波变换39-40 2.5 多分辨分析40-43 2.6 小波包分析43-47 2.6.1 小波包的定义43-45 2.6.2 小波包的性质45 2.6.3 小波包的空间分解45-46 2.6.4 小波包算法46-47 2.7 小波分析的数值计算47-53 2.7.1 Daubechies小波的函数值47-48 2.7.2 Daubechies小波的导数值48-49 2.7.3 关联系数49-51 2.7.4 函数的表示51-53 第三章 小波Galerkin法及其在结构中的应用53-77 3.1 Daubechies小波Galerkin法及其应用53-56 3.1.1 Daubechies小波的基本概念53-55 3.1.2 算例分析55-56 3.2 Daubechies小波Galerkin法的改进及应用56-62 3.2.1 Daubechies小波的连续性57 3.2.2 Daubechies尺度函数的改进57-58 3.2.3 数值算例58-62 3.3 M-尺度函数及其应用62-66 3.3.1 基本概念62-64 3.3.2 数值算例64-66 3.4 满足边界条件的小波Galerkin法及其应用66-70 3.4.1 基本概念67 3.4.2 满足边界条件的尺度函数67-68 3.4.3 算例分析68-70 3.5 B-样条小波Galerkin方法及其应用70-76 3.5.1 B-样条小波及其基本性质70-73 3.5.2 有限长梁的求解73-76 3.6 结论76-77 第四章 广义变分法与小波函数77-91 4.1 弹性力学的基本方程77-78 4.2 最小势能原理78-79 4.3 最小余能原理79-81 4.4 二类变量广义变分原理81-84 4.5 三类变量广义变分原理84-85 4.6 小波插值函数及其积分85-88 4.7 边界条件的处理88-90 4.7.1 简支端89 4.7.2 固定端89-90 4.8 结论90-91 第五章 小波有限元法(全域法)及其应用91-110 5.1 小波有限元对厚梁的求解91-95 5.1.1 厚梁的基本方程91-92 5.1.2 厚梁的最小总势能原理92-94 5.1.3 厚梁的小波有限元法94-95 5.2 小波有限元法求解薄板弯曲95-98 5.2.1 薄板的二类变量广义变分原理95-97 5.2.2 多变量小波有限元法方程97-98 5.3 小波有限元法求解中厚板弯曲98-101 5.3.1 中厚板的二类变量广义变分原理98-99 5.3.2 多变量小波有限元法方程99-101 5.4 多变量小波有限元求解弹性地基中厚板101-104 5.5 多变量小波有限元对扁壳的求解104-109 5.5.1 扁壳的三类变量广义势能原理105-107 5.5.2 双曲扁壳的多变量小波有限元法解107-109 5.6 结论109-110 第六章 小波有限元法(分域法)及其应用110-139 6.1 形函数和位移模式110-112 6.1.1 形函数定义110-111 6.1.2 位移模式的选择111-112 6.2 一维小波有限单元法112-117 6.3 二维小波有限单元法117-125 6.3.1 3结点三角形单元117-118 6.3.2 4结点矩形单元118-122 6.3.3 8结点矩形单元122-125 6.4 薄板小波单元125-129 6.4.1 3结点三角形单元125-126 6.4.2 4结点矩形单元126-128 6.4.3 刚度矩阵128-129 6.5 三维小波有限单元法129-133 6.5.1 3结点四面体单元129-131 6.5.2 8结点六面体单元131-133 6.6 收敛性讨论133-135 6.6.1 分片试验134-135 6.6.2 曲率磨平135 6.7 弹性基础上的

板135-136 6.7.1 文克尔基础上的板135 6.7.2 弹性半空间上的板135-136 6.8 数值算例136-138 6.9 结论138-139 第七章 小波随机有限元法及其应用139-155 7.1 Monte Carlo随机小波有限元法及其应用140-144 7.1.1 Monte Carlo方法140-143 7.1.2 Monte Carlo随机小波有限元法143-144 7.2 随机变量的变分原理及小波有限元法144-149 7.2.1 随机变量的变分原理144-146 7.2.2 小波随机有限元法146-149 7.3 数值算例149-154 7.4 结论154-155 第八章 场地土-基础-结构共同作用的随机动力反应155-167 8.1 地基土的随机地震反应155-163 8.1.1 土层剪切模量的表达式155-156 8.1.2 非均匀土层的地震反应156-159 8.1.3 非均匀土层地震随机反应的统计值159-161 8.1.4 数值算例161-163 8.2 场地土-基础-结构共同作用的随机地震反应分析163-167 8.2.1 地基土的随机地震反应分析163-164 8.2.2 多自由度结构-基础的随机反应分析164-167 第九章 总结与展望167-170 9.1 本论文完成的主要工作和得到的有关结论167-168 9.2 后续工作展望168-170 致谢170-171 参考文献171-184