1教师版

专题四：立体几何

第一讲空间几何体

【最新考纲透析】

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4．会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

5．了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积的计算公式。

【主干知识回顾】

1. 空间几何体的三视图

三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点。任意一个物体的长、宽、高一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离。

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

+r

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

【核心要点突破】

要点考向1：空间几何体的三视图

考情聚焦：1．三视图是新课标教材的新增内容，是高考中新的增加点及亮点。

2．常与表面积、体积计算综合出现，多以选择题或解答题的形式呈现，属较容易的题。

考向链接：1．解答此类问题，首先由三视图想象出原几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量。

2．掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向。

例1：在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1所示，则相应的侧视图可以为( D )

图1图 2

变式训练：(1)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图.其中真命题的个数是( A )

正视图

俯视图

正视图

C D

A．3 B．2 C．1 D．0

（2）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( D )

A.1

2

＋

2

2

B．1＋

2

2

C．1＋ 2 D．2＋ 2

要点考向2：几何体的表面积与体积

考情聚焦：1．几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容，应引起重视。

2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也以解答题的形式考查，属较容易题。

考向链接：1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。求三棱锥的体积，等积转化法是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上。

2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解。

例2：

( A )

A．8－

2π

38－

π

3C．8－2π D.

2π

3

变式训练：一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体

的表面积和体积分别为48 和88 。

要点考向3：球与空间几何体的接、切问题

考情聚焦：1．有关球的知识的考查也是高考中常出现的问题，特别是球与多面体、旋转体等

组合的接、切问题。

2．多以客观题的形式呈现，属中档题目。

例3：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球

3，底面周长为3，那么这个球的体积为.(

4

3

π)

思路分析：确定球与正六棱柱的关系→求球的半径→求得体积。

注：（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，

把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。

（2）若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA=a，PB=b；PC=c，

则2222

4R a b c

=++，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体（或其他图形），从而显示出球

的数量特征，这种方法是一种常用的好方法。

变式训练：已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，

则棱锥S－ABC的体积为( C )

A．3 3 B．2 3 C. 3 D．1

【跟踪模拟训练】

一、选择题（每小题6分，共36分）

1.下列命题正确的是个数是（ B ）

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.

②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是六棱锥.

④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.

⑤用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

A.1

B.2

C.3

D.4

2.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积

是（ B ）

侧视图

A.

3523

cm 3

B.

3203

cm 3

C.

2243

cm 3

D.

1603

cm

3

3．一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示,则该几何体的侧面积为（ C ）cm 2.

A.60

B.70

C.80

D.90

4.

表面积为 C ）

A

．

3

B

．

3

C

D ．

627

5．如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( D ) ．(不考虑接触点）

π+

4π+ C. 32π+ D. 18+3π+ 二、填空题（每小题6分，共18分）

6

(1) (2) (3) (4)

(1)图(1)的正视图与图(2)的___________相同

.（俯视图）

(2)图(3)的___________图与图(4)的___________图不同.（正视图，正视图） 7.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为 .（）

8.如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH 的面积相等； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；

④当E ∈AA 1时，AE +BF 是定值。 其中正确的说法是 .（

三、解答题

9.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）. 【解析】作CD ⊥AB 于D ，则BC=R ，AC=

R ，则CD=

2

2

2

3313

4()42

2

2

s R R R R

R

πππππ

++=++=+=

侧视图

5

5

8 3

2

2

2

3 4 6 3 6 6

10.在如图所示的几何体中，平面PAC ⊥平面ABC ，PM ∥BC ，PA=PC ，AC=1，BC=2PM=2，54

。

（1）求证：PA ⊥BC ；

（2）画出该几何体的正视图，并求其表面积； （3）求出多面体A-BMPC 的体积V.

【解析】（1）∵AC=1，BC=2，AC 2+BC 2=AB 2

，∴AC ⊥BC.又∵平面PAC ⊥平面

ABC ， 平面PAC 平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面PAC 。又∵PA ?平面PAC ，∴PA ⊥BC 。

（2）该几何体的正视图如图所示：

∵PA=PC ，取AC 的中点D ，连接PD ，则PD ⊥AC.又平面PAC ⊥平面ABC ，∴PD ⊥平面ABC. 几何体侧视图的面积=

12

AC BD=

12

?1?PD=

4

,∴PD=

32

.易知?PAC 是边长为1的正三角形，

∴正视图的面积是上、下底边长分别为1和2，PD 为高的直角梯形的面积，S=

12332

2

4

+?

=

.

（3）取PC 的中点N ，连接AN ，由?PAC 是边长为1的正三角形，可知AN ⊥PC ，由（1）知

BC ⊥平面PAC ，∴AN ⊥BC. ∴AN ⊥平面PCBM. ∴AN 是四棱锥A-PCBM 的高，且AN=

32

。

由BC ⊥平面PAC ，可知BC ⊥PC.由PM ∥BC ，可知四边形ACBM 是上、下底边长分别为1和2， PC 为高的直角梯形.其面积S '=

32

，∴V=13

S ' 34

.

11.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1；

(3)若D 是棱CC 1的中点，在棱AB 上取中点E ，判断DE 是否平行于平面AB 1C 1，并证明你的结论.

【解析】（1）几何体的直观图如图.

BB 1C 1C 是矩形，BB 1=CC 1 3，AA 1C 1C 的正方形，且垂直于底面BB 1C 1C. 所以，其体积V=

1313322

??

=

(2)∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC. ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴BC ⊥CC 1.

∵AC ∩CC 1=C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴BC ⊥A 1C. ∵B 1C 1∥BC, ∴B 1C 1⊥A 1C. ∵四边形ACC 1A 1为正方形, ∴A 1C ⊥AC 1. ∵B 1C 1∩AC 1=C 1. ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. （3）当E 为棱AB 的中点时,DE ∥平面AB 1C 1. 证明：如图，取BB 1的中点F ，连结EF,FD ，DE, D ，E ，F 分别为CC 1，AB ，BB 1的中点, ∴EF ∥AB 1.

∵AB 1平面AB 1C 1，EF

平面AB 1C 1， ∴EF ∥平面AB 1C

1

∵FD ∥B 1C 1，∴FD ∥面AB 1C 1，又EF ∩FD=F, ∴面DEF ∥面AB 1C 1. 而DE 面DEF, ∴DE ∥面AB 1C 1.

P

M

A C