高等数学学期期末考试题[含答案全]

05级高数(2-3>下学期期末试卷 (A 卷>

专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”

一,填空题 (每题4分,共32分>

1. 213______4

x y kx y z k π

+-=-==若平面与平面成

角,则 1/4

2. 曲线20cos ,sin cos ,1t

u t

x e udu y t t z e ==+=+?

在t = 0处的切线方程为________________

3. 方程z

e xyz

=确定隐函数z = f (x,y >则z x

??为____________

4. (

),dy f x y dx ?1

0交换的积分次序为_________________________

5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π-

6. 收敛

7. 设幂级数0n

n n a x ∞=∑的收敛半径是2,则幂级数210

n n n a x ∞

+=∑的收敛半径是

8. ()211x y ''+=微分方程的通解是

()2121

arctan ln 12

y x x c x c =-+++_______________________

二．计算题 (每题7分,共63分>

1．讨论函数 f ( x, y > = 221

,x y

+ 220x y +≠, f ( 0 , 0 > = 0

在点< 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330

2．求函数2

222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为

坐标原点。

3．2

1

2.1n n n n n

∞

=??

?+??

∑判别级数的敛散性 P ．544

012

112x y z ---==z

z yz x e xy ?=?-21

1

sin ____________

1

n n n ∞

=++∑级数的敛散性为

4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz

f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211.

5．

,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.

答：长宽为2M ，高为3M 。

6. (2

242ln I x y x dy ??=++?????计算

()()22

22,01

0,x y c A a B b a b

+=曲线是从点沿椭圆的第一象限部分到点的弧段. 解：

5

220

,882ln ln 3Bo

oA D

b

b Bo oA I xdxdy b dy xdx y Rdy b R

a

=

--=-=+????

??将积分路径家直线段与构成正向的闭曲线,由格林公式得,

7．()222221

ln x y x y dxdy εε→≤+≤+??0

计算极限lim

()221

2

2

ln ln d r rdr udu π

ε

ε

εεθ→→=???00

解:原式=lim lim ()21ln |u u u εεππ→=-=-0

lim

8．试求幂函数

∑∞-+--1

1

21

)12(2)

1(n nx n n 的收敛域及和函数。

9．求微分方程)1(822x

e y y y +=+'-''的通解。

特征方程0122

=+-r r 的根为：

121==r r

对应的齐次方程的通解为 x C e x C C y )(21+=

设特解为x x

e y B A Be A y 2*2*

888,8+===+=代入方程确定

故所求通解为

x x e e x C C y 22188)(+++=

三．<本题5分） 已知曲线积分

[]?+-L

y x x x

y

x x d )(d )(sin ??与路径无关，其中?()x 可导，

且?π()=1，求?()x 。

解：由积分与路径无关，故

()c x x c dx e x x e x

x

x x x x x y

P

x Q x dx

x dx +-=???? ??+??=Φ=

ΦΦ'Φ-=

Φ'??=???-

cos 1sin sin 1)(sin )(为：一阶线性微分方程通解－即

代初始条件：?π()=1 得

)1cos (1

)(1-+-=

Φ-=ππx x x c 特解为：

2． 设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ，在OAB ?的闭区域D 上，求出点M ，使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。

解：设所求点为M(x,y,> 距离的平方和：

)10,10()1()1(222222x y x y x y x y x d -≤≤≤≤-+++-++=

在区域内部求驻点： ??? ??==-=??==-=??31,313102631026驻点：解出解出y y y d x x x d 在该点的函数值d(1/3,1/3>=4/3，

在边界x=0, 0≤y ≤1上

1)1(22

2+-+=y y d 驻点(0,1/3>,与端点函数值比较，得该边界上最大值点<0,1）d(0,1>=3。 在边界y=0, 0≤x ≤1上1)1(22

2+-+=x x d 驻点(1/3，0>,与端点函数值比较，得该边界上最大值点<1,0），最大值d(1,0>=3。在边界y=1-x ,0≤x ≤1上2

22)1()1(23-+-+=x x x d 驻点(1/2,1/2> 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0>、(0,1>。比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0>、B(0,1>，最大值为3。

中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 期末考试试卷 <2006年6月）

姓名： 专业： 学号： 成绩：

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予 学士学位。”

一.<每小题7分，共28分）

1. 设函数)(2),(2y x f x y y x z += ，其中 f 二阶可微，求 y x z

x z ?????2,

。 2. 设函数k z x y j y x i z y x F )(3222-++= ，求 )(,F v i d grad F v i d 。 3. 设函数)0(,)

(sin )(2>=

?y dx x

y x y g y y

，求)(y g ' 。

4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分??=D

dy dx y x f I ),( 化为

累次积分，其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。 二.<10分）计算曲线积分0()sin ()cos (>---=

?

m dy m y e dx my y e I L

x x 为常

数），其中有向曲线L 是圆周

)0(222>=+a ax y x 从点)0,2(a A 经

),(a a M 至)0,0(O 的部分。

三.<10分）利用高斯公式计算曲面积分??+++=

S

dxdy zx dzdx yz dydz x xy I 2222)(，其中S 是由球面 ,222x z z y --=

平面0=y 所围区域表面的外侧。

四. <每小题7分，共14分）

1. 求微分方程： dx

dy

xy y dx dy x

=+ 的通积分。 2. 求微分方程：x e y y y 23465-=+'-'' 的通解。

五. 讨论下列广义积分的敛散性：<每小题5分，共10分） 1.

x d x

x ?1

5

sin ， 2. ?

∞++?1

32

1x

x dx 。

六. <9分） 求幂级数

∑

∞

=---2

21)

1(2)1(n n

n x n n 的收敛半径、收敛域以及和函数。

七. <7分）求函数x x f ln )(= 在2=x 处的泰勒展开式，并求出收敛域。

八. <7分）证明级数∑

∞

=≤<1

)10(,)sin (n p

p n

nx 在闭区间],[δπδ-上一致收敛，

但对任意固定的],[δπδ-∈x ，该级数并不绝对收敛，其中 2

0π

δ<< 。

九. <5分）设级数

∑∞

=1

n n

a 收敛于S ，且

0lim =∞

→n n a n ，证明级数

∑∞

=+-1

1)(n n n a a n 也收敛于S 。

高等数学<一）重修重考试卷

<2005学年度第二学期）东校区

姓名： 专业： 学号： 成绩：

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”

一，<每小题7分，共28分）

1，设函数 )(2),(2

xy f y

x y x z +=，其中函数f 二阶可微，求

y

x z

x z ?????2,

。 2， 若隐函数)(x y y =由方程 y x e y x += 确定，求y '。 1

3，设函数 0,)cos()(3

>=

?y dx x xy y g y y

，求 )(y g '。

4， 计算积分：dx x x

dy I y

??

-=2

1

2

1

sin 。 2

二，<10分）求曲线积分 ?+++=

dy e x dx e y I x x )()1(，其中 是椭圆

19

42

2=+y x 的上半周由点)0,2(A 到点)0,2(-B 。 三，<10分）计算曲面积分 dxdy z dzdx y y dydz x I S

+++=??+)(2，其中 +S 为

曲面22y x z +=，10≤≤z ，取下侧。 3 四，<每小题7分，共14分）

1，求解微分方程初值问题：???==+'1)1(y e y y x x

。

2，求微分方程：x e y y y 2134+=+'-'' 的通解。

五，讨论如下广义积分的敛散性：<每小题5分，共10分）

<1）

?

+∞

+-1

3

2

1

x x dx

， (2> dx x

x ?

1

3

4sin

.

4 六, <每小题8分，共16分）

(1>求幂级数 n

n n

n x n )3(3

)1(1--∑+∞

=的收敛半径，收敛区间和收敛域。 <2）求函数 x

x f +=

11

)( 在点 1=x 处的幂级数展开式。 5

七，<7分）讨论无穷积分 ?+∞

+03

25sin dx x x

x 的敛散性，若积分收敛，研究其是绝对收敛还是条件收敛？

八，<5分）设序列 }{.n a n 收敛，级数 ∑+∞

=--11)(n n n a a n 也收敛，求证：级数

∑+∞

=1

n n

a

收敛。

6

05级高数(一>下学期期中考试试卷

1. 设()1,,u x y z r =, 0r =≠, 求222222u u u x y z

???++???.

2. 若隐函数()y y x =有方程x y xy e +=确定, 求y '.

3. 求曲面23z

e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 4. 计算 2

21

sin 1

y

x

I dy dx x =

-?

?

. 5. 计算 ||D

I y dxdy =??， 其中 22

22:1x y D a b +≤

6. 计算 ()()33x

x L

I ye

y dx e x dy =-++?, 其L 是单位圆周221x y +=的正向.

7. 计算 ()2S

I xdydz y y dzdx zdxdy +

=

+++??

，其中S +为曲面

22

z x y =+, 01z ≤≤的下側.

8. 若 ()()222

2

2x y t G t x

y dxdy +≤=

+??,求()G t '.

9. 设(),f x y 在有界闭区域D 上连续,(),i i x y D ∈, ()1,2i =, 试证

在D 中至少存在一点(),ξη, 使()()()

11223,4,,7

f x y f x y f ξη+=

.

申明：

所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

申明：

所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。