反比例函数复习讲义

1．已知反比例函数k y x

=（k 是常数，k≠0），在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是_________（只需写一个）．

2.已知反比例函数k y x

=（k 为常数，k 0≠）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k 的值为 ． 3. 如果点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3）都在反比例函数(0)k y x x =

的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]

A ． y 1＜y 3＜y 2

B ． y 2＜y 1＜y 3

C ．y 1＜y 2＜y 3

D ． y 3＜y 2＜y 1 4. 如图，已知一次函数y=kx ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y=

8x

在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k= ．

5. 已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=

k x 图象上的两点，且x 1﹣x 2=﹣2，x 1?x 2=3，y 1﹣y 2=43

-，当﹣3＜x ＜﹣1时，求y 的取值范围．

6. 如图，反比例函数y=（k 为常数，且k ≠0）经过点A （1，3）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在x 轴正半轴上有一点B ，若△AOB 的面积为6，求直线AB 的解析式．

（一）反比例函数的概念

1．k y x

=（k ≠0）可以写成1y kx -=（k ≠0）的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件； 2．k y x

=（k ≠0）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数k y x

=的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． （二）反比例函数的图象及性质 在用描点法画反比例函数k y x =

的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）． 1．函数解析式：k y x

=（k ≠0） 2．自变量的取值范围：x ≠0.

3．图象:

（1）图象的形状：双曲线．

|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，当k ＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；

当k ＞0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．

（3）对称性：

1.图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（-a ，-b ）在双曲线的另一支上．

2.图象关于直线y=±x 对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（b ，a ）和（-b ，-a ）在双曲线的另一支上．

4．k 的几何意义

如图1，设点P （a ，b ）是双曲线k y x

=

上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是|k|（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是12|k|）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为2|k|．

【例1】图象和性质

若反比例函数k y (k 0)x =≠的图像经过P(2,3)-，则该函数的图像不经过．．．的点是（ ） [来源学科网]

A.)2,3(-

B. )6,1(-

C.)6,1(-

D.)6,1(--

【变式训练】1、已知反比例函数k y x =

的图像经过A （-2，3），则当x 3=-时，y 的值是 .

2. 已知点A （﹣2，4）在反比例函数y=（k ≠0）的图象上，则k 的值为 ．

【例2】函数的增减性

已知两点111P (x y )，、222P (x y )，在函数5y x

=的图象上，当12x x 0>> 时，下列结论正确的是（ ） A. 120y y << B. 210y y << C. 12y y 0<< D. 21y y 0<<

【变式训练】已知反比例函数10y x

=，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是 （ ） （A ）0＜y ＜5 （B ）1＜y ＜2 （C ）5＜y ＜10 （D ）y ＞10 2.若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数1y x =

图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．

[来源学科网]

3. 已知反比例函数的图象2y x

=-上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若y 1＞y 2，则x 1﹣x 2的值是（ ）

A ． 正数

B ． 负数

C ． 非正数

D ． 不能确定

【例3】面积计算

如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y=

3x

（x ＞0）上的一个动点，PB ⊥y 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（ ） A ． 逐渐增大 B ． 不变 C ． 逐渐减小 D ． 先增大后减小

【变式训练】在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 10x =-的图象与函数()6y x 0x

=>的图象相交于点A ，B ．设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形的面积为 ，周长为 .

2.（2014·丽水）如图，点E ，F 在函数k y (x 0)x

=>的图象上，直线EF 分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，且BE ：BF=1：m. 过点E 作EP ⊥y 轴于P ，已知△OEP 的面积为1，则k 值是 ，△OEF 的面积是 （用含m 的式子表示）

3. （2014·重庆A ）如图，反比例函数6y x

=-在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为-1，-3.直线

AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（）

A. 8

B. 10

C. 12

D.24 【例4】综合应用

如图，直线

1

1

2

y x

=-与x轴交于点B，双曲线(0)

k

y x

x

=>交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线

k

y

x

=交于

点C，且A B=AC，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6

【变式训练】如图，若双曲线

k

y

x

=与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，

则实数k的值为 .

练习

1、如图，一次函数y 1=k 1x+b 的图象和反比例函数y 2=

的图象交于A （1，2），B （﹣2，﹣1）两点，若y 1＜y 2，则

x 的取值范围是（ ）

A ． x ＜1

B ． x ＜﹣2

C ．﹣2＜x ＜0或x ＞1

D ． x ＜﹣2或0＜x ＜1

2. 已知反比例函数y=k x

的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）[来源学科网ZXXK] A ． （﹣6，1） B ． （1，6）

C ． （2，﹣3）

D ． （3，﹣2） 3. 如图，一次函数y=kx ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数3y x

=

（x ＞0）的图象交于点B ，BC 垂直x 轴于点C ．若△ABC 的面积为1，则k 的值是 ．

4. 下列关于反比例函数y=21x

的三个结论： ①它的图象经过点（7，3）；

②它的图象在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；

③它的图象在二、四象限内．

其中正确的是

[来源:学科网]

5.若点()11P m -，

和点()22P n -，都在反比例函数()0k y k x

=>的图象上，则m ______n （填“>”、“<” 或“=”号）

6. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（-3

2

，0），且与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象相交于点A（-2，

1）和点B．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？