-2017年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版(可编辑修改word版)
学科教师辅导教案
学员姓名 年 级 高三 辅导科目
数 学
授课老师
课时数 2h
第
次课
授课日期及时段
2017 年
月
日
：
—
：
历年高考试题集锦——坐标系和参数方程
1.（2015 年广东文）在平面直角坐标系 x O y 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲 ??x = t 2
线C 1 的极坐标方程为
(cos + sin
) = -2 ，曲线C 2 的参数方程为?
（ t 为参数），则C 1 与C 2 交
?? y = 2 2t
点的直角坐标为
(2, -4)
．
2.（2015 年新课标 2 文）在直角坐标系 xOy 中,曲线C : ?x = t cos ,
（t 为参数,且t ≠ 0 ）,其中0 ≤
< ,
1 ? y = t sin , ?
在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2 :
= 2 sin , C 3 : = 2 3 cos .
（I ）求C 2 与C 3 交点的直角坐标；
（II ）若C 1 与 C 2 相交于点 A , C 1 与C 3 相交于点 B ,求 AB 最大值.
试题分析：（I ）把C 2 与C 3 的方程化为直角坐标方程分别为 x + y - 2 y = 0 , x + y - 2 3x = 0 ,联立解
2 2 2 2
3 ? 3 + t ? + t - 3 ?
1 ?
2 ?
3 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?
t 2 + 12 2 2 2 I ） 年全国 5、（2016 2 1
? 1 ?
x = 3 + 1
t
?
角坐标版权法 xOy 吕，直线l 的参数方程为?
? y = ?
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为= 2 3 sin .
(I)写出 C 的直角坐标方程；
2 (t 为参数），以原点为极点，
3 t
2
(II) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求点 P 的坐标.
试题解析：(I)由= 2 3 sin ，得2 = 2 3sin ，从而有 x 2 + y 2 = 2 3y 所以 x 2
+ (
y -
3
)
2
= 3
? (II)设 P 3 + 1 t , ? t ?，又C (0, 3) ，则 PC = = ， ? 2 2 ? 故当t = 0 时， PC 取得最小值，此时 P 点的坐标为(3, 0) .
在直角坐标系 xOy 中，直线C 1 : x = -2 ，圆C 2 : (
x -1)2 + ( y - 2)2
= 1，以坐标原点
为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ） 求C 1, C 2 的极坐标方程.
（II ） 若直线C 3 的极坐标方程为=
(
∈ R ) ，设C 2 , C 3 的交点为 M , N ，求?C 2MN 4
的面积.
解：（I ）因为 x = cos , y = sin ，所以C 1 的极坐标方程为
cos = -2 ，
C 的极坐标方程为2
- 2cos - 4sin + 4 = 0 .
……5 分 2 2
（II ）将= 代入 - 2cos - 4sin + 4 = 0 ，得 - 3 2+ 4 = 0 ，解得
4
= 2 2, = .故 - = ， 即 MN = 由于C 的半径为 1，所以?C MN 的面积为 . 1 2 1 2
2 2 2
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为
（t 为参数，a ＞0）.在以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：ρ=4cos θ.
（I ） 说明 C 1 是哪种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；
（II ） 直线 C 3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tan α0=2，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a .
解：⑴ ?x = a cos t ? y = 1 + a sin t
（ t 均为参数）∴ x 2 + ( y - 1)2
= a 2
①
∴ C 为以(
0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y + 1 - a 2 = 0 1） 新课标 4、（2015
年陕西文）在直
3.（2015 π
10 25 - ? 10 ?
2
? ? ?
2 15 2 2
3 ? ? ?
∵ x 2 + y 2 = 2 ，y = sin ∴ 2 - 2sin + 1 - a 2 = 0
即为C 的极坐标方程
1
⑵ C ：= 4
cos 两边同乘得 2
= 4cos 2 = x 2 + y 2 ，cos = x ∴ x 2 + y 2 = 4x
即( x - 2)2
+ y 2 = 4 ② C ：化为普通方程为 y = 2x 由题意： C 和C 的公共方程所在直线即为C
3
1
2
3
①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ∴1 - a 2 = 0 ∴ a = 1
年全国 II ）在直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为(x + 6)2 + y 2 = 25 ．
（Ⅰ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
?x = t cos
（Ⅱ）直线l 的参数方程是? y = t sin （
t 为参数）, l 与C 交于 A , B 两点， | AB |= ，求l 的斜率．
解 ： ⑴整 理 圆 的 方 程 得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，
由 ? 2 = x 2 + y 2
?
cos = x ?sin = y
可 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
2
+ 12cos + 11 = 0 ．⑵记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，
由垂径定理及点到直线
距离公式知： -6k
= 1 + k 2
36k 2
， 即
1 + k
2 90
，整理得 k 2 = 4 5 ，则 k = ± ． 3 3
年全国 III ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ??x = 3 cos
为参数) ，以坐标原点为
1 ? ( ?? y = sin
极点，以 x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin(+ π
) = 2 .
2 4
（I ） 写出C 1 的普通方程和C 2 的直角坐标方程；
（II ） 设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求|PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标.
6、（2016
7、（2016
=
2 3 3 3 2 3
3 3 | 2 3 - 3 3 - 2 3 | 3 + 9
方程为? ? ? ? ? ?
?
x = 1 + 1 t
?
2 ?
? y = 3 t
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为? 2 （t 为参数），椭圆 C 的参数
?x = cos , ?
y = 2sin （为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长.
?
x = 1+ 1 t
解： 椭圆 C 的普通方程为 x 2 + y 4 = 1， 将直线 l 的参数方程 ? ? y = ?
2 3 t
2 ， 代入 x 2 + y 4 = 1， 得
(1+ 1
t )2 + 3
t )2 2 = 1 ，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16
.所以 AB =| t - t |= 16 .
2 4 1
2 7
?x = t + 1
1 2 7
?x = 2 tan 2
面直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为? y = 2t （ t 为参数），曲线 C 的参数方
程为?
y = 2 t an
（为参数），试求直线l 与曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 【答案】直线l ： 2x - y - 2 = 0 ；曲线 C ： y 2 = 2x ；它们公共点的坐标为(2,2) ， ( 1
,-1)
2
10．（2012 福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知 ? 2 3 π ? ??x = 2 + 2cos , 直线 l 上两点 M ，N 的极坐标分别为(2,0)，
3 , 2 ? ，圆 C 的参数方程为? y = - + 2sin (θ 为参数)． ? ? ?? ①设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；
②判断直线 l 与圆 C 的位置关系．
【简解】①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，
)；又 P 为线段 MN 的中点，从而点 P
3
的平面直角坐标为(1， 3 )；故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y = x ． 3
②因为直线 l 上两点 M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0， )，所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3
3x + 3y - 2 = 0 ； 又 圆 C 的 圆 心 坐 标 为 (2， - )， 半 径 r ＝ 2， 圆 心 到 直 线 l 的 距 离
d = = 3 < r ；故直线 l 与圆 C 相交
2 11．（2014 福建理）已知直线l 的参数方程为?x = a - 2t ，（ t 为参数），圆C 的参数方程为 ?
y = -4t
?x = 4 cos ，（为
?
y = 4 s in
参数）.
3
江苏理）在平9．（2013
江苏)
8、(2016 2 2 (
-2a 5
5 5
5
5
2 5 5 22 5 2 5
13.(2013 ( 2, )
理) ?
y = 2 - 2t
?
d ? 2 （I ） 求直线l 和圆C 的普通方程；
（II ） 若直线l 与圆C 有公共点，求实数 a 的取值范围.
【简解】（I ）直线l 的普通方程为2x - y - 2a = 0 .圆 C 的普通方程为 x 2 + y 2 = 16 .
（II ） 因为直线l 与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线l 的距离 d =
≤ 4 ,解得-2 ≤ a ≤ 2
1 理)已知曲线C ： x + y 4 9 = 1，直线l ： ?x =
2 + t （ t 为参数）. ?
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o 的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值.
?x = 2
c os 【简解】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为： ?
y = 3sin （为参数）， 直线l 的普通方程为： 2x + y - 6 = 0
（Ⅱ）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 d =
4 cos + 3sin - 6 ，
则| PA |=
= sin 300
5sin (+) - 6
，其中为锐角．且tan = 4
.
3
当sin (+
) = -1 时，
| PA |取得最大值，最大值为 ；
5
当sin (+
) = 1时，
| PA |取得最小值，最小值为 . 5
?x = 2 cos t 2 已知动点 P 、Q 都在曲线 C ： ? y = 2 s in t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t ＝α 与 t ＝
2α(0<α<2π)，M 为 PQ 的中点．
(1) 求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原
点．
【简解】 (1)依题意有 P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此 M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为Error!(α 为参数，0<α<2π)．
(2) M 点到坐标原点的距离 d ＝ x 2＋y 2＝ 2＋2cos α(0<α<2π)．当 α＝π，d ＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
14、已知点 A 的极坐标为
，直线l 的极坐标方程为cos(-
= a ，且点 A 在直线l 上． 4
4
（1） 求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
新标
12. (2014 新标 ) 2
2 3 3 ? ?
4
4 2
?
?x = 1+ cos （2） 圆 c 的参数方程为
为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．
?
y = sin ，（
【答案】（Ⅰ） a = ，直线l ： x + y - 2 = 0 ；（Ⅱ）相交
在直角坐标 xOy 中，圆C 1 : x 2 + y 2 = 4 ，圆C : (x - 2)2 + y 2 = 4 。
(Ⅰ)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1, C 2 的极坐标方程，并求出圆C 1, C 2
的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求出C 1与C 2 的公共弦的参数方程。
【答案】(1)C 1:ρ=2，C 2:ρ=4cos θ,交点极坐标（(-1)n 2,n π-
?x = t
3 ），n ∈Z(2) ? y = y
(-
≤y ≤ )
?x = 4 + 5 cos t , 已知曲线C 1 的参数方程为? y = 5 + 5sin t
（
t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为= 2 sin
。
（Ⅰ）把C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1 与C 2 交点的极坐标（ ≥ 0, 0 ≤< 2）。
【答案】(1)ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0；(2)
( 2，
π)，(
2，π
)
17．（2013 辽宁）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 C 1，直线 C 2 的 极坐标方程分别为 ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π
)
＝2 2. (1) 求 C 1 与 C 2 交点的极坐标；
(2) 设 P 为 C 1 的圆心，Q 为 C 1 与 C 2 交点连线的中点．已知直线 PQ 的参数方程为Error!(t ∈R 为参数)，
求 a ，b 的值．
【简解】(1)圆 C 1 的直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4，直线 C 2 的直角坐标方程为 x ＋y －4＝0.
解E rr o r !得E rr o r !E rr o r !所以 C 1 与 C 2 交点的一个极坐标为(4，π)，(2 2，π
)
，
2 4
(2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线 PQ 的直角坐标方程为 x －y ＋2＝0， b ab
由参数方程可得 y ＝ x － ＋1，所以Error!解得 a ＝－1，b ＝2.
2 2
18．（2014 辽宁）将圆 x 2 + y 2 = 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.
（1） 写出 C 的参数方程；
（2） 设直线l : 2x + y - 2 = 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
1) 新标 16．(2013 辽宁） 15．（2012 2
?
2 y
?
2
2
2
2
?
y = sin t ,
求过线段 P 1P 2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
?x = x 1 2 2 【简解】（Ⅰ）设(x 1 , y 1 ) 为圆上的点，在已知变换下位 C 上点（x ，y ），依题意，得? y = 2 y 由 x 1 + y 1 = 1 得
2
y 2 2
y 2 ? 1 ?x ＝cos t x + ( ) 2 = 1 ，即曲线 C 的方程为 x + 4 = 1.，故 C 得参数方程为 ? y ＝2 s in t （t 为参数）.
? 2 x + =
?x = 1 ?x = 0 (Ⅱ)由? 4 1 解得： ?
y = 0 ，或? y = 2 . ??
2x + y - 2 = 0
? ? 1 1
不妨设 P 1 (1, 0), P 2 (0, 2) ,则线段 P 1P 2 的中点坐标为( 2 ,1) ,所求直线的斜率为 k = 2
，于是所求直线方程为
y -1 = 1 (x - 1 ) ，化极坐标方程，得2cos - 4sin = -3 ，即= 2 2
?x = 2cos 3
4 sin - 2 cos .
已知曲线C 1 的参数方程是?y = 3sin (为参数) ，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴 ?
为极轴建立坐标系，曲线C 2 的坐标系方程是= 2 ，正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，
且 A , B , C , D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, )
3
（1）求点 A , B , C , D 的直角坐标；（2）设 P 为C 1 上任意一点，求 PA + PB + PC + PD 的取值范围。
【简解】（1）点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-
?x 0 = 2cos
3,1),(-1, - 3),( 3, -1)
（2）设 P (x 0 , y 0 ) ；则? y
= 3sin (为参数) ? 0
t = PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 = 4x 2 + 4 y 2 + 40 = 56 + 20sin 2
∈[56,76]
20.(2014 新标 2 理) 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的
极坐标方程为= 2 cos ， ∈ ?0,? .
（Ⅰ）求 C 的参数方程；
?? 2 ??
（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 定 D 的坐标.
3x + 2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确
【简解】（I ）C 的普通方程为(x -1)
2
+ y 2
= 1(0 ≤ y ≤ 1) .参数方程为?x = 1+ cos t , ?
（t 为参数， 0 ≤ t ≤ x ）
（Ⅱ）设 D (1+ cos t , sin t ) .由（I ）知 C 是以 G （1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。
新标理)
19. (2012
3
17 17 17
17 17
2 cos , s in ) ，即( , ) 。
由Error!解得Error!或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， － ， 25 25
于是△OAB 的面积 S ＝ |OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α· sin α－3 ＝2 sin 2α－3 － 2
≤2＋ 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t = .
故 D 的直角坐标为
3
(1+ 3 3 3 2 2
21．(2017·全国Ⅰ文)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ 为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．
(1) 若 a ＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a .
x 2
1. 解 (1)曲线 C 的普通方程为9 ＋y 2＝1.当 a ＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x ＋4y －3＝0.
(
21 24
)
(2) 直线 l 的普通方程为 x ＋4y －a －4＝0，故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的距离为
|3cos θ＋4sin θ－a －4| a ＋9 a ＋9 d ＝ .当 a ≥－4 时，d 的最大值为 .由题设得 ＝ 17，所以 a ＝8；
－a ＋1 －a ＋1
当 a <－4 时，d 的最大值为 .由题设得 ＝ 17，所以 a ＝－16.综上，a ＝8 或 a ＝－16.
22．(2017·全国Ⅱ文，22 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
(1) M 为曲线 C 1 的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程； ( π) (2)
设点 A 的极坐标为 2，3
，点 B 在曲线 C 2
上，求△OAB 面积的最大值．
4
2.
解
(1) 设点 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点 M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝
. cos θ
由|OM |·|OP |＝16 得 C 2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此 C 2 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，
1
| (
π)| | ( π) 3|
π
当 α＝－时，S 取得最大值 2＋ 12
3. 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
23．(2017·全国Ⅲ文，22)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线 l 2 的参数方程为Error!(m 为参数)．设 l 1 与 l 2 的交点为 P ，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C .
(1) 写出 C 的普通方程；
(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－ 2＝0，M 为 l 3 与 C 的交点，
求 M 的极径．
1
3．解 (1)消去参数 t ，得 l 1 的普通方程 l 1：y ＝k (x －2)；消去参数 m ，得 l 2 的普通方程 l 2：y ＝k (x ＋2)．
设 P (x ，y )，由题设得Error!消去 k 得 x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以 C 的普通方程为 x 2－y 2＝4(y ≠0)．
.
3.