辽宁省五校协作体2019届高三上学期期中考试数学文试题
辽宁省五校协作体2019届高三上学期期中考试数学理试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1、已知一元二次不等式0)(≤x f 的解集为}3,2
1{≥≤x x x 或,则0)(>x e f 的解集为 （ ） A 、}3ln ,2ln {>- D 、 }3ln 2ln {<<-x x 2、 =-0 0017cos 30cos 17sin 47sin （ ） A 、2 3- B 、 2 1- C 、 2 1 D 、 23 3、设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==, 则角C = （ ） A 、 23π B 、3π C 、34π D 、56 π 4、已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,3(),1,0(B A -是其图象上的两点，那么1)1(<+x f 的解集的补集是 （ ） A 、）（2,1- B 、）（4,1 C 、 )4[]1,-∞+?∞，（ D 、)2[]1,-∞+?-∞，（ 5、棱长均为3三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 的 最小值为 （ ） A 、6 B 、 3 6 C 、63 D 、1 6、如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线x x f sin )(= ,∈x ),0(π及直线x=a ,∈a ) ,0(π 与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分 的概率为41 ，则a 的值是（ ） A 、127π B 、32π C 、43π D 、6 5π 7、已知 c a d b =bc ad - ，则84 106+1612 1814 +… +20162012 2018 2014 = （ ） A 、2010- B 、2012- C 、2014- D 、2016- 8、已知y x z +=2，x ，y 满足?? ? ??≥≤+≥m x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ） A 、 4 1 B 、 5 1 C 、 6 1 D 、 7 1 9、已知点C B A 、、三点不共线，且有2 331-?= ?=?，则有 （ ） A < B < < D << 10、规定][x 表示不超过x 的最大整数，? ??+∞∈--∞∈-=-),0[],[) 0,(,22)(x x x x x f x ，若方程1)(+=ax x f 有且仅有四 个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A 、)2 1 ,1[-- B 、)3 1,21[-- C 、)4 1,31[-- D 、)5 1,41[-- 11、设函数)cos (sin )(x x e x f x -= )20120(π≤≤x ，则函数)(x f 的各极小值之和为 （ ） A 、πππ2201221)1(e e e --- B 、πππe e e ---1)1(10062 C 、πππ2100621)1(e e e --- D 、π ππ2201021)1(e e e --- 12、可导函数)(x f 的导函数为)(x g ，且满足：① 01 1 )(>--x x g ；②x x f x f 22)()2(-=--，记1)2(-=f a ， 1)(+-=ππf b ，2)1(+-=f c 则c b a ,,的大小顺序为 （ ） A 、c b a >> B 、b c a >> C 、a c b >> D 、c a b >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13、某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为_________． 14、数列{}n a 中， 22=a ， 1,+n n a a 是方程01 )12(2=++-n b x n x 的两个根，则数列}{n b 的前n 项和n S = _________ ． 15、点),(b a 为第一象限内的点，且在圆8)1()1(22=+++y x 上，ab 的最大值为________． 16、已知三棱锥A ﹣BOC ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 _________ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 18、四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形， 又PA ＝PD ，∠APD ＝60°，E 、G 分别是BC 、PE 的中点． (1)求证：AD ⊥PE ； (2)求二面角E －AD －G 的正切值． 19、在数列}{n a 中， 11=a ，n n n n a n a 2 1 )11(1++ +=+． （1）设n a b n n = ，求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ． 20、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3 cos cos 5 a B b A c -=． （1）求tan cot A B 的值； （2）求tan()A B -的最大值． 21、定义在R 上的函数3)(23+++=cx bx ax x f 同时满足以下条件： ①)(x f 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； ②)(x f '是偶函数； ③)(x f 在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数y ＝)(x f 的解析式； (2)设g (x )＝x m x - ln ，若存在实数x ∈[1，e ]，使)(x g <)(x f '，求实数m 的取值范围。 22、已知函数x x x x f 2)1ln(2)1(ln )(2-+++=． （1）证明函数)(x f 在区间)1,0(上单调递减； （2）若不等式22)11(e n a n ≤++对任意的*N n ∈都成立，（其中e 是自然对数的底数），求实数a 的最大值． 2019——2019学年度上学期省五校协作体高三期中考试 数学试题（理科答案） 一．选择题： 1.D ； 2.C ； 3.B ； 4.D ； 5.A ； 6.B ； 7.D ； 8.A ； 9.B ；10.B ；11.D ；12.C ． 13． 14．1+n n ； 15． 1； 16．3 363ππ-或. 17、解：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- ()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+……………4分 ()2 1sin 26x =-+……………6分 由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为 () 2 m a x 11610z =--+= 最小值为 () 2 m i n 1166z =-+= 故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6……………10分 18、解法一：(1)如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OE ，∵PA ＝PD ，∴OP ⊥AD ， 又E 是BC 的中点，∴OE ∥AB ，∴OE ⊥AD . 又OP ∩OE ＝0，∴AD ⊥平面OPE . ∵PE ?平面OPE ，∴AD ⊥PE . ……………6分 (2)取OE 的中点F ，连结FG ，OG ，则由(1)易知AD ⊥OG ， 又OE ⊥AD ，∴∠GOE 就是二面角E －AD －G 的平面角， ∵PA ＝PD ，∠APD ＝60°， ∴△APD 为等边三角形，且边长为2， ∴OP ＝32×2＝3，FG ＝12OP ＝32，OF ＝1 2CD ＝1， ∴OG ＝ 72，∴cos ∠GOE ＝277 .……………6分 解法二：(1)同解法一． (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (0,2,0)， ∴E ? ???0，1， 32，DA →＝(2,0,0)，DG → ＝? ???1，1，32.……………8 分 设平面ADG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由????? n ·DA →＝0n ·DG →＝0得，????? 2x ＝0x ＋y ＋32z ＝0， ∴n ＝? ?? ? 0，－ 32，1，……………10分 又平面EAD 的一个法向量为OP → ＝(0,0，3)， 又因为cos 〈n ，OP → 〉＝n ·OP →|n |·|OP →|＝372 ·3 ＝277，……………12分 19、解：解：（1）由已知得b 1=a 1=1，且 = + ， 即b n+1=b n +，从而b 2=b 1+，……1分 b 3=b 2+， b n =b n ﹣1+（n ≥2）．……3分 于是b n =b 1+++…+ =2﹣ （n≥2）． 又b 1=1， 故所求的通项公式为b n =2﹣．……………6分 （2）由（1）知a n =2n ﹣ ， 故S n =（2+4+…+2n ）﹣（1+++ +…+）， 设T n =1+ + + +…+ ，① T n =+ ++…++，②……………8分 ①﹣②得， T n =1++ + +…+ ﹣ =﹣=2﹣﹣，……………10分 ∴T n =4﹣． ∴S n =n （n +1）+﹣4．……………12分 20、解：Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3 cos cos 5 a B b A c -= 可得3333 s i n c o s s i n c o s s i n s i n ()s i n c o s c 5555 A B B A C A B A B A B -==+=+…3分 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；……6分 （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B => 2 tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤3 4 ………9分 当且仅当1 4tan cot ,tan ,tan 22 B B B A ===时，等号成立，………………11分 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为3 4.………………12分 21、 解: (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0①……………………………………………1分 由f ′(x )是偶函数得：b ＝0②……………………………………………2分 又f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，f ′(0)＝c ＝－1③…………3分 由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝1 3x 3－x ＋3. ……………4分 (2)由已知得：存在实数x ∈[1，e ]，使ln x －m x 即存在x ∈[1，e ]，使m >x ln x －x 3＋x …………………………6分 设M (x )＝x ln x －x 3＋x x ∈[1，e ]，则M ′(x )＝ln x －3x 2＋2……………7分 设H (x )＝ln x －3x 2 ＋2，则H ′(x )＝1 x －6x ＝1－6x 2x ……………8分 ∵x ∈[1，e ]，∴H ′(x )<0，即H (x )在[1，e ]上递减 于是，H (x )≤H (1)，即H (x )≤－1<0，即M ′(x )<0 ……………10分 ∴M (x )在[1，e ]上递减，∴M (x )≥M (e )＝2e －e 3……………12分 于是有m >2e －e 3为所求． 22、解：（I）……………1分 设g（x）=ln（1+x）﹣x，x∈[0，1） 函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0， ∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立， ∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．……………4分 （II）不等式等价于不等式 由知，，……………5分 设，……………6分 ……………7分 设h（x）=（1+x）ln2（1+x）﹣x2（x∈[0，1]）……………8分 h'（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）﹣2x， 由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0 ∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减， h（x）＜h（0）=0 ∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减． ∴ 故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=……………11分 即，∴a的最大值为……………12分