北京西城区学习探究诊断数学八上第十四章_整式的乘法与因式分解

第十四章 整式的乘法与因式分解

测试1 整式的乘法

学习要求

会进行整式的乘法计算．

课堂学习检测

一、填空题

1．（1）单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则

________． （2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． （3）多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________． 2．直接写出结果：

（1）5y ·（－4xy 2

）＝________；（2）（－x 2

y ）3

·（－3xy 2

z ）＝________； （3）（－2a 2b ）（ab 2－a 2b ＋a 2）＝________；

（4）=-

?-+-)2

1()864(2

2x x x ________； （5）（3a ＋b ）（a －2b ）＝________；（6）（x ＋5）（x －1）＝________． 二、选择题

3．下列算式中正确的是（ ）

A ．3a 3·2a 2＝6a 6

B ．2x 3·4x 5＝8x 8

C ．3x ·3x 4＝9x 4

D ．5y 7·5y 3＝10y 10

4．（－10）·（－0.3×102）·（0.4×105

）等于（ ） A ．1.2×108 B ．－0.12×107 C ．1.2×107 D ．－0.12×108 5．下面计算正确的是（ ）

A ．（2a ＋b ）（2a －b ）＝2a 2－b 2

B ．（－a －b ）（a ＋b ）＝a 2－b 2

C ．（a －3b ）（3a －b ）＝3a 2－10ab ＋3b 2

D ．（a －b ）（a 2－ab ＋b 2）＝a 3－b

3

6．已知a ＋b ＝m ，ab ＝－4，化简（a －2）（b －2）的结果是（ ） A ．6 B ．2m －8 C ．2m D ．－2m 三、计算题

7．)21).(43).(32(222z xy z yz x -- 8．[4（a －b ）m －1]·[－3（a －b ）2m

]

9．2（a 2b 2－ab ＋1）＋3ab （1－ab ） 10．2a 2－a （2a －5b ）－b （5a －b ）

11．－（－x ）2·（－2x 2y ）3＋2x 2（x 6y 3

－1） 12．)2

14)(221(-+x x

13．（0.1m －0.2n ）（0.3m ＋0.4n ） 14．（x 2＋xy ＋y 2

）（x －y ）

四、解答题

15．先化简，再求值．

（1）),4

3

25

3(4)12(562---+-+--n m m n m m m 其中m ＝－1，n ＝2；

（2）（3a ＋1）（2a －3）－（4a －5）（a －4），其中a ＝－2.

16．小明同学在长a cm ，宽

cm 4

3

a 的纸上作画，他在纸的四周各留了2cm 的空白，求小明同学作的画所占的面积．

综合、运用、诊断

一、填空题

17．直接写出结果：

（1）=???)103

1

()103(322______；

（2）－2[（－x ）2y ]2·（－3x m y n ）＝______；

（3）（－x 2y m

）2

·（xy ）3

＝______；（4）（－a 3

－a 3

－a 3

）2

＝______；

（5）（x ＋a ）（x ＋b ）＝______；（6）=+-)3

1

)(21(n m ______；

（7）（－2y ）3（4x 2y －2xy 2）＝______； （8）（4xy 2－2x 2y ）·（3xy ）2＝______． 二、选择题

18．下列各题中，计算正确的是（ ）

A ．（－m 3

）2

（－n 2

）3

＝m 6n

6

B ．[（－m 3）2（－n 2）3]3＝－m 18n 18

C ．（－m 2n ）2（－mn 2）3＝－m 9n 8

D ．（－m 2n ）3（－mn 2）3＝－m 9n 9

19．若（8×106

）（5×102

）（2×10）＝M ×10a

，则M 、a 的值为（ ）

A ．M ＝8，a ＝8

B ．M ＝8，a ＝10

C ．M ＝2，a ＝9

D ．M ＝5，a ＝10

20．设M ＝（x －3）（x －7），N ＝（x －2）（x －8），则M 与N 的关系为（ ）

A ．M ＜N

B ．M ＞N

C ．M ＝N

D ．不能确定

21．如果x 2与－2y 2的和为m ，1＋y 2与－2x 2

的差为n ，那么2m －4n 化简后的结果为（ ） A ．－6x 2

－8y 2

－4 B ．10x 2

－8y 2

－4

C ．－6x 2－8y 2＋4

D ．10x 2－8y 2＋4 22．如图，用代数式表示阴影部分面积为（ ）

A ．ac ＋bc

B ．ac ＋（b －c ）

C ．ac ＋（b －c ）c

D ．a ＋b ＋2c （a －c ）＋（b －c ）

三、计算题

23．－（－2x 3y 2）2·（1.5x 2y 3）2 24．)250(24

1)2)(5(544

2

3

x .x x x x -?-?

--

25．4a －3[a －3（4－2a ）＋8] 26．)3()]2

1

(2)3([322b a b b a b ab -?---

四、解答题

27．在（x 2＋ax ＋b ）（2x 2－3x －1）的积中，x 3项的系数是－5，x 2项的系数是－6，求a 、

b 的值．

拓展、探究、思考

28．通过对代数式进行适当变形求出代数式的值． （1）若2x ＋y ＝0，求4x 3

＋2xy （x ＋y ）＋y 3

的值；

（2）若m 2＋m －1＝0，求m 3＋2m 2＋2008的值．

29．若x ＝2m ＋1，y ＝3＋4m ，请用含x 的代数式表示y ．

测试2 乘法公式

学习要求

会用平方差公式、完全平方公式进行计算，巩固乘法公式的使用．

课堂学习检测

一、填空题 1．计算题：

（y ＋x ）（x －y ）＝______；（x ＋y ）（－y ＋x ）＝______； （－x －y ）（－x ＋y ）＝______；（－y ＋x ）（－x －y ）＝______； 2．直接写出结果：

（1）（2x ＋5y ）（2x －5y ）＝________； （2）（x －ab ）（x ＋ab ）＝______；

（3）（12＋b 2）（b 2－12）＝________； （4）（a m －b n ）（b n ＋a m

）＝______； （5）（3m ＋2n ）2＝________； （6）=-2)32(b

a ______；

（7）（ ）２＝m 2＋8m ＋16； （8）2)3

2

5.1(b a -＝______；

3．在括号中填上适当的整式：

（1）（m －n ）（ ）＝n 2－m 2； （2）（－1－3x ）（ ）＝1－9x 2． 4．多项式x 2－8x ＋k 是一个完全平方式，则k ＝______． 5．-+=+

222

)1(1x x x x ______＝2

)1(x

x -＋______． 二、选择题

6．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有（ ）

①（－2ab ＋5x ）（5x ＋2ab ） ②（ax －y ）（－ax －y ）

③（－ab －c ）（ab －c ） ④（m ＋n ）（－m －n ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．下列计算正确的是（ ） A ．（5－m ）（5＋m ）＝m 2－25 B ．（1－3m ）（1＋3m ）＝1－3m 2 C ．（－4－3n ）（－4＋3n ）＝－9n 2＋16 D ．（2ab －n ）（2ab ＋n ）＝2a 2b 2－n 2

8．下列等式能够成立的是（ ）

A ．（a －b ）2＝（－a －b ）2

B ．（x －y ）2＝x 2－y 2

C ．（m －n ）2＝（n －m ）2

D ．（x －y ）（x ＋y ）＝（－x －y ）（x －y ） 9．若9x 2＋4y 2＝（3x ＋2y ）2＋M ，则 M 为（ ） A ．6xy B ．－6xy C ．12xy

D ．－12xy

10．如图2－1所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ） A ．a 2－b 2＝a （a －b ）＋b （a －b ） B ．（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 C ．（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 D ．a 2－b 2＝a （a ＋b ）－b （a ＋b ）

图2－1

三、计算题

11．（x n －2）（x n

＋2） 12．（3x ＋0.5）（0.5－3x ）

13．)3

243)(4332(m

n n m +-+ 14．

3

23.

232x

y y x +-

15．（3mn －5ab ）2

16．（－4x 3－7y 2）2 17．（5a 2－b 4）2

四、解答题

18．用适当的方法计算． （1）1.02 ×0.98

（2）13

11

1321?

（3）2)21

40(

（4）20052－4010×2006＋20062

19．若a ＋b ＝17，ab ＝60，求（a －b ）2和a 2＋b 2的值．

综合、运用、诊断

一、填空题

20．（a ＋2b ＋3c ）（a －2b －3c ）＝（______）2－（______）2； （－5a －2b 2）（______）＝4b 4－25a 2． 21．x 2＋______＋25＝（x ＋______）2；

x 2－10x ＋______＝（______－5）2； x 2－x ＋______＝（x －______）2；

4x 2＋______＋9＝（______＋3）2．

22．若x 2＋2ax ＋16是一个完全平方式，是a ＝______． 二、选择题

23．下列各式中，能使用平方差公式的是（ ）

A ．（x 2

－y 2

）（y 2

＋x 2

）

B ．（0.5m 2－0.2n 3）（－0.5m 2＋0.2n 3）

C ．（－2x －3y ）（2x ＋3y ）

D ．（4x －3y ）（－3y ＋4x ）

24．下列等式不能恒成立的是（ ）

A ．（3x －y ）2＝9x 2－6xy ＋y 2

B ．（a ＋b －c ）2

＝（c －a －b ）2

C ．（0.5m －n ）2＝0.25m 2－mn ＋n 2

D ．（x －y ）（x ＋y ）（x 2－y 2）＝x 4－y 4

25．若,51

=+a a 则221a a +的结果是（ ） A ．23 B ．8 C ．－8 D ．－23

26．（a ＋3）（a 2

＋9）（a －3）的计算结果是（ ）

A ．a 4＋81

B ．－a 4－81

C ．a 4－81

D ．81－a 4

三、计算题

27．（x ＋1）（x 2＋1）（x －1）（x 4

＋1） 28．（2a ＋3b ）（4a ＋5b ）（2a －3b ）（4a －5b ）

29．（y －3）2－2（y ＋2）（y －2）

30．（x －2y ）2

＋2（x ＋2y ）（x －2y ）＋（x ＋2y ）2

四、计算题

31．当a ＝1，b ＝－2时，求)2

1

2]()21()21[(2222b a b a b a --++的值．

拓展、探究、思考

32．巧算：).2008

11()4

11)(3

11)(2

11(2

2

2

2

-

-

-

-

33．计算：（a ＋b ＋c ）2．

34．若a 4＋b 4＋a 2b 2＝5，ab ＝2，求a 2＋b 2的值．

35．若x 2－2x ＋10＋y 2＋6y ＝0，求（2x ＋y ）2的值．

36．若△ABC 三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ．试问△ABC 的三边有何关系？

测试3 整式的除法

学习要求

1．会进行单项式除以单项式的计算． 2．会进行多项式除以单项式的计算．

课堂学习检测

一、判断题

1．x 3n ÷x n ＝x 3 （ ） 2．x xy y x 2

1

21)(2-=÷

- （ ）

3．26÷42×162

＝512 （ ） 4．（3ab 2

）3÷3ab 3

＝9a 3b 3

（ ）

二、填空题

5．直接写出结果：

（1）（28b 3－14b 2＋21b ）÷7b ＝______；

（2）（6x 4y 3－8x 3y 2＋9x 2

y ）÷（－2xy ）＝______； （3）=-÷-+-)3

2

()32752(

32224y y x y x xy y ______． 6．已知A 是关于x 的四次多项式，且A ÷x ＝B ，那么B 是关于x 的______次多项式． 三、选择题

7．25a 3b 2÷5（ab ）2的结果是（ ）

A ．a

B ．5a

C ．5a 2b

D ．5a 2

8．已知7x 5y 3与一个多项式之积是28x 7y 3＋98x 6y 5－21x 5y 5，则这个多项式是（ ） A ．4x 2－3y 2

B ．4x 2y －3xy 2

C ．4x 2

－3y 2

＋14xy 2

D ．4x 2

－3y 2

＋7xy 3

四、计算题

9．34223

83ab b a ÷

10．224

25.0)2

1(y x y x ÷-

11．)2

1

()52(232434x y a y x a -÷- 12．26)(3

10

)(5y x y x -÷

- 13．354

33660)905

643(ax .ax .x a x a ÷-+-

14．[2m （7n 3m 3）2＋28m 7n 3－21m 5n 3]÷（－7m 5n 3

）

五、解答题

15．先化简，再求值：[5a 4·a 2－（3a 6）2÷（a 2）3]÷（－2a 2）2，其中a ＝－5．

16．已知长方形的长是a ＋5，面积是（a ＋3）（a ＋5），求它的周长．

17．月球质量约5.351×1022千克，地球质量约5.977×1024千克，问地球质量约是月球质量

的多少倍？（结果保留整数）．

综合、运用、诊断

一、填空题

18．直接写出结果：

（1）[（－a 2）3－a 2（－a 2）]÷（－a 2）＝______．

（2）=-÷-+---++)3()31581(1115n n n n x x x x ______． 19．若m （a －b ）3＝（a 2－b 2）3，那么整式m ＝______． 二、选择题

20．）（yz x z y x 3

2

242

14-÷

-的结果是（ ） A ．8xyz

B ．－8xyz

C ．2xyz

D ．8xy 2z 2

21．下列计算中错误的是（ ）

A ．4a 5b 3c 2÷（－2a 2bc ）2＝ab

B ．（－24a 2b 3）÷（－3a 2b ）·2a ＝16ab 2

C ．214)21(4222

-=÷-

?y x y y x D ．36

5

8

4

10

22

1)()(a a a a a a =÷

÷÷÷

22．当4

3

=

a 时，代数式（28a 3－28a 2＋7a ）÷7a 的值是（ ） A ．

4

25

B ．41

C ．4

9-

D ．－4

三、计算题

23．7m 2·（4m 3p 4）÷7m 5

p 24．（－2a 2

）3

[－（－a ）4]2÷a 8

25．)4

3(]19)38[(23554y x xy z y x -?÷- 26．x m ＋n （3x n y n ）÷（－2x n y n ）

27．])(2

1

[)(12

2+++÷+n n y x y x 28．m

m

m m )42(372-??

29．[（m ＋n ）（m －n ）－（m －n ）2

＋2n （m －n ）]÷4n

30．872

3

22

3

2

42

9]3

1.)3(2)3[(y x y y x x x y x ÷-?-

四、解答题 31．求1,6

1

=-

=y x 时，（3x 2y －7xy 2）÷6xy －（15x 2－10x ）÷10x －（9y 2＋3y ）÷（－3y ）的值．

32．若,7

22882

23b b a b a n m =÷求m 、n 的值．

拓展、探究、思考

33．已知x 2－5x ＋1＝0，求221

x

x +的值．

34．已知x 3＝m ，x 5＝n ，试用m 、n 的代数式表示x 14．

35．已知除式x －y ，商式x ＋y ，余式为1，求被除式．

测试4 提公因式法

学习要求

能够用提公因式法把多项式进行因式分解． 一、填空题

1．因式分解是把一个______化为______的形式．

2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3

－a 2

b ＝______． 二、选择题

4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）

A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)1

1(22222x

x x x +=+

C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4

D ．x 4－1＝（x 2

＋1）（x ＋1）（x －1） 5．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．－3xy B ．－3x 2y C ．－3x 2y 2 D ．－3x 3y 3 6．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（ ） A ．a n （1－a 3＋a 2） B ．a n （－a 2n ＋a 2） C ．a n （1－a 2n ＋a 2） D ．a n （－a 3＋a n ） 三、计算题

7．x 4－x 3

y

8．12ab ＋6b

9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ）

11．3（x －3）2－6（3－x ）

12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2

13．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ）

15．－2x 2n －4x

n

16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）

2n ＋1

四、解答题

17．应用简便方法计算：

（1）2012－201 （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8

（3）说明3200

－4×3

199

＋10×3

198

能被7整除．

综合、运用、诊断

一、填空题

18．把下列各式因式分解：

（1）－16a 2b －8ab ＝______；

（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝______． 19．在空白处填出适当的式子：

（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）；

（2）

=+c b ab 329

4

278（ ）（2a ＋3bc ）． 二、选择题

20．下列各式中，分解因式正确的是（ ）

A ．－3x 2y 2＋6xy 2＝－3xy 2（x ＋2y ）

B ．（m －n ）3－2x （n －m ）3＝（m －n ）（1－2x ）

C ．2（a －b ）2－（b －a ）＝（a －b ）（2a －2b ）

D ．am 3－bm 2－m ＝m （am 2

－bm －1）

21．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ）

A ．m ＝1，n ＝2

B ．m ＝－1，n ＝2

C ．m ＝1，n ＝－2

D ．m ＝－1，n ＝－2 22．（－2）10＋（－2）11等于（ ）

A ．－210

B ．－211

C ．210

D ．－2 三、解答题

23．已知x ，y 满足???=-=+,

13,

62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．

24．已知x ＋y ＝2，,21

-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值

拓展、探究、思考

25．因式分解：

（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ； （2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．

测试5 公式法（1）

学习要求

能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解．

课堂学习检测

一、填空题

1．在括号内写出适当的式子： （1）0.25m 4＝（ ）2；（2）

=n y 29

4（ ）2；（3）121a 2b 6＝（ ）2

． 2．因式分解：（1）x 2

－y 2

＝（ ）（ ）； （2）m 2

－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）;（4）2b 2－2＝______（ ）（ ）． 二、选择题

3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）

A ．y 2－49x 2

B ．

449

1

x - C ．－m 4－n 2

D ．9)(4

1

2-+q p

4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c 5．下列因式分解错误的是（ ） A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B ．x 3－x ＝x （x 2－1）

C ．a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）

D ．

)l .03

2

)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 三、把下列各式因式分解

6．x 2－25 7．4a 2－9b 2

8．（a ＋b ）2－64

9．m 4－81n 4

10．12a 6

－3a 2b

2

11．（2a －3b ）2－（b ＋a ）

2

四、解答题

12．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092；（2）3.14×512－3.14×492

．

13．已知x ＋2y ＝3，x 2－4y 2＝－15，（1）求x －2y 的值；（2）求x 和y 的值．

综合、运用、诊断

一、填空题

14．因式分解下列各式：

（1）m m +-

3

16

1＝______； （2）x 4－16＝______；

（3）11-+-m m a a ＝______； （4）x （x 2

－1）－x 2

＋1＝______．

二、选择题

15．把（3m ＋2n ）2

－（3m －2n ）2

分解因式，结果是（ ）

A ．0

B ．16n 2

C ．36m 2

D ．24mn

16．下列因式分解正确的是（ ）

A ．－a 2

＋9b 2

＝（2a ＋3b ）（2a －3b ） B ．a 5－81ab 4＝a （a 2＋9b 2）（a 2－9b 2） C ．

)21)(21(2

1

2212a a a -+=- D ．x 2－4y 2－3x －6y ＝（x －2y ）（x ＋2y －3）

三、把下列各式因式分解 17．a 3－ab 2

18．m 2（x －y ）＋n 2（y －x ）

19．2－2m 4

20．3（x ＋y ）2－27

21．a 2（b －1）＋b 2－b 3

22．（3m 2－n 2）2－（m 2－3n 2）2

四、解答题 23．已知,44

25,7522==y x 求（x ＋y ）2－（x －y ）2

的值．

拓展、探究、思考

24．分别根据所给条件求出自然数x 和y 的值：

（1）x 、y 满足x 2

＋xy ＝35；（2）x 、y 满足x 2

－y 2

＝45．

测试6 公式法（2）

学习要求

能运用完全平方公式把多项式进行因式分解．

课堂学习检测

一、填空题

1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：

（1）x 2

＋6x ＋（ ）＝（ ）2

；（2）x 2

－（ ）＋4y 2

＝（ ）2

； （3）a 2

－5a ＋（ ）＝（ ）2

；（4）4m 2

－12mn ＋（ ）＝（ ）2

2．若4x 2－mxy ＋25y 2＝（2x ＋5y ）2，则m ＝______． 二、选择题

3．将a 2＋24a ＋144因式分解，结果为（ ）

A ．（a ＋18）（a ＋8）

B ．（a ＋12）（a －12）

C ．（a ＋12）2

D ．（a －12）2 4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）

①9a 2

－1； ②x 2

＋4x ＋4； ③m 2

－4mn ＋n 2

； ④－a 2

－b 2

＋2ab ； ⑤;9

1

3222n mn m +-

⑥（x －y ）2－6z （x ＋y ）＋9z 2． A ．2个 B ．3个 C ．4个

D ．5个

5．下列因式分解正确的是（ ）

A ．4（m －n ）2－4（m －n ）＋1＝（2m －2n ＋1）2

B ．18x －9x 2－9＝－9（x ＋1）2

C ．4（m －n ）2－4（n －m ）＋1＝（2m －2n ＋1）2

D ．－a 2－2ab －b 2＝（－a －b ）2 三、把下列各式因式分解 6．a 2－16a ＋64 7．－x 2－4y 2＋4xy

8．（a －b ）2－2（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）2 9．4x 3＋4x 2＋x

10．计算：（1）2972

（2）10.32

四、解答题

11．若a 2＋2a ＋1＋b 2－6b ＋9＝0，求a 2－b 2的值．

综合、运用、诊断

一、填空题

12．把下列各式因式分解：

（1）49x 2

－14xy ＋y 2

＝______；

（2）25（p ＋q ）2＋10（p ＋q ）＋1＝______； （3）a n ＋1

＋a n －1

－2a n

＝______；

（4）（a ＋1）（a ＋5）＋4＝______． 二、选择题

13．如果x 2

＋kxy ＋9y 2

是一个完全平方公式，那么k 是（ ）

A ．6

B ．－6

C ．±6

D ．18

14．如果a 2－ab －4m 是一个完全平方公式，那么m 是（ ）

A ．

2161b

B ．2161b -

C ．281

b D ．28

1b - 15．如果x 2＋2ax ＋b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是（ ）

A ．b ＝a

B ．a ＝2b

C ．b ＝2a

D ．b ＝a 2

三、把下列各式因式分解 16．x （x ＋4）＋4 17．2mx 2－4mxy ＋2my 2

18．x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3

19．

234

1

x x x -+

四、解答题

20．若,31

=+x x 求221x

x +的值．

21．若a 4＋b 4＋a 2b 2＝5，ab ＝2，求a 2＋b 2的值．

拓展、探究、思考

22．（m 2

＋n 2

）2

－4m 2n 2

23．x 2＋2x ＋1－y 2

24．（a ＋1）2（2a －3）－2（a ＋1）（3－2a ）＋2a －3

25．x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1

26．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：

（1）a3＋8 （2）27a3－1

测试7 十字相乘法

学习要求

能运用公式x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）把多项式进行因式分解．

课堂学习检测

一、填空题

1．将下列各式因式分解：

（1）x2－5x＋6＝______；（2）x2－5x－6＝______；

（3）x2＋5x＋6＝______；（4）x2＋5x－6＝______；

（5）x2－2x－8＝______；（6）x2＋14xy－32y2＝______．

二、选择题

2．将a2＋10a＋16因式分解，结果是（）

A．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）

C．（a＋2）（a＋8）D．（a－2）（a－8）

3．因式分解的结果是（x－3）（x－4）的多项式是（）

A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12

C．x2＋7x＋12D．x2＋7x－12

4．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（）

A．ab B．a＋b

C．－ab D．－a－b

5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则k的值为（）

A．－9B．15

C．－15 D．9

三、把下列各式因式分解

6．m2－12m＋20 7．x2＋xy－6y2

8．10－3a－a2 9．x2－10xy＋9y2

10．（x－1）（x＋4）－36 11．ma2－18ma－40m

12．x3－5x2y－24xy2

四、解答题

13．已知x＋y＝0，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋13y2的值．

综合、探究、检测

一、填空题

14．若m2－13m＋36＝（m＋a）（m＋b），贝a－b＝______．

15．因式分解x（x－20）＋64＝______．

二、选择题

16．多项式x2－3xy＋ay2可分解为（x－5y）（x－by），则a、b的值为（）A．a＝10，b＝－2 B．a＝－10，b＝－2

C．a＝10，b＝2D．a＝－10，b＝2

17．若x2＋（a＋b）x＋ab＝x2－x－30，且b＜a，则b的值为（）

A．5B．－6C．－5D．6

18．将（x＋y）2－5（x＋y）－6因式分解的结果是（）

A．（x＋y＋2）（x＋y－3）B．（x＋y－2）（x＋y＋3）

C．（x＋y－6）（x＋y＋1）D．（x＋y＋6）（x＋y－1）

三、把下列各式因式分解

19．（x2－2）2－（x2－2）－220．（x2＋4x）2－x2－4x－20

拓展、探究、思考

21．因式分解：4a2－4ab＋b2－6a＋3b－4．

22．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．

新版人教版八年级数学上册全册教案

八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形

教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A

八年级数学因式分解与分式

八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b - -+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +-

人教版初中八年级数学上因式分解教案

14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫

做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．

人教版八年级上册数学知识点汇总

人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定

人教版八年级数学因式分解方法技巧.doc

学习资料收集于网络，仅供参考 因式分解方法技巧 专题一 分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 ［例题］把下列各式因式分解： 1 2 x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 5 2. a -a 2 2 3. 3(x -4x) -48 ［点拨］看出其中所含的公式是关键练习 3 1、3x -12x 2 2 2 2、2a(x 1) -2ax 2 3、3a 6a 5、一4a3+ 16a2b—26ab2 4 4 6、m -16 n

学习资料收集于网络，仅供参考 专题二 二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法2平方差公 式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中 a,b 所代表的整式，将 一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 ［例题］分解因式：3(x+y)2-27 ［点拨］先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习 2 1 2 2 4)9a — b . 5) 25 — 16x ; 4 专题三 三项式的分解因式：如果一个能分解因式, 公 式法。先观察三项式中是否含有公因式, 或者a 2-2ab+b 2的形式 完全平方公式运用时注意点： A. 多项式为三项多项式式； B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数(或代数式)的平方; C. 第三项为B 中这两个数(或代数式)的积的 2倍，或积的2倍的相反数。 1)x 5— x 3 2)m 4 -16 n 4 2 3)25 — 16x 6) 9a 2— - b 2. 4 「般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方 然后再看三项式是否是完全平方式， 即a 2+2ab+b 2

八年级数学《因式分解》教案

因式分解 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2222 2 2 )b a (b ab 2a ) b a (b ab 2a -=+-+=++ )b a )(b a (b a 2 2 -+=- 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22 -+- 222 2 y 4xy 4x )4(y 16x 25)3(++- 解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32 -=- )y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2 2 2 2 -+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+??+=++

例2. 把下列多项式分解因式： 233 223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++ 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++ 2 22) y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+??+= )y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=- ) y 2x )(y 2x (x 3] )y 2(x [x 322-+=-= 例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 9 4 )2()x y (b 2)y x (a 4)1(23 2---- 222y )x y (x 4)4(xy 8y 16x )3(--++ 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3 ，所以这两项中都有2(x-y)2 ，可先提取公因式。 （2）题观察“1”，1=12 ，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2 ，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2 ）符合完全平方公式，可用公式分解。 解：3 2 3 2 )y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=--- ) by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (22 2-+-=-+-= )1m 3 2 )(1m 32(1)m 32(1m 94) 2(222-+=-=- 2 2 2 2 2 )y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++ 2 2 2 2 2 2 )y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=-- 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式。 例4. 将下列多项式进行因式分解：

八年级下册数学《因式分解》笔记

《因式分解》单元复习 一、一把地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh,那么我们把g 叫做f 的一个因式，此时，h 也是g 的一个因式。 二、一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称把这个多项式因式分解。 练一练：下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）.222)(2b a b ab a +=++2)2)(3(42+-+=-+m m m m （2）.1)2(41842--=--x x x x （3）. )1(22--=--bx ax x x bx ax 三、因式分解的注意事项：有公因式的先提公因式； 括号内要合并同类项； 括号内首项系数要为正；括号内不能再分解。 四、因式分解的方法 1.提公因式法:形如ma mb mc m a b c ++=++() 练一练：把下列多项式因式分解： （1）-2ab 2+4a 2b-10b （2） )2(3)2(---x x x （3）)2(3)2(x x x --- （4）22))(())((a b c a b a c a ----+ 2、 公式法:平方差公式: a b a b a b 22-=+-()()； 完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±() 练一练：①把16-(x+y)2 因式分解 ②计算：222012201240262013+?-

3、十字相乘法 ： x p q x pq x p x q 2+++=++()()() 练一练：把2914x x ++分解因式 4、分组分解法 （①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。 练一练： ①bn bm an am +++： ②2222c b ab a -+-

人教版八年级数学上因式分解讲座

人教版八年级数学上因式分解讲座 一、学习目标 1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力． 2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解． 3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题． 二、基础知识 基本技能 1．因式分解 (1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． (2)因式分解的注意事项 ①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确． ②分解因式的对象必须是多项式，如把5a 2bc 分解成5a ·abc 就不是分解因 式，因为5a 2bc 不是多项式；再如把1x 2－1分解为? ????1x ＋1? ?? ??1x －1也不是分解因式，因为1x 2－1不是整式． ③分解因式的结果必须是积的形式，如x 2＋x －1＝x (x ＋1)－1就不是分解因式，因为结果x (x ＋1)－1不是积的形式． ④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x 2－x ＝x 2? ????1－1x 就不是分解因式，因为x 2? ????1－1x 不是整式的乘积形式． ⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是 1.如4x 2－6x ＝x (4x －6)．结果中的因式4x －6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x 2－6x ＝2x (2x －3)． 【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是 ( )． A ．x 2y ＋x ＝x 2??? ?y ＋1x B ．x 2－4－3x ＝(x ＋2)(x －2)－3x C ．ab 2－2ab ＝ab (b －2) D ．(x －3)(x ＋3)＝x 2－9 解析：选项A 右边的其中一个因式不是整式，不符合；选项B 的结果不是整式的乘积，只分解了一部分；选项D 是整式乘法；选项C 符合因式分解的意义，故选C ． 解题技巧：分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：

人教版八年级上册数学教案

第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．

八年级下册数学 因式分解

八年级下册数学因式分解 因式分解 考点一：因式分解的概念 例1 （2013?株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n ∴ 5 55 n m n += ? ? = ? ，∴ 1 6 n m = ? ? = ? ， 故答案为6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 对应训练 1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1） 考点二：因式分解 例2 （2013?无锡）分解因式：2x2-4x= ． 思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可． 解：2x2-4x=2x（x-2）． 故答案为：2x（x-2）． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 例3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（） A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2 C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3） 思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案． 解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误； B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确； C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误； D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．

八年级数学上册《因式分解》教案

八年级数学上册《因式分解》教案 1、理解运用平方差公式分解因式的方法。 2、掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。 3、进一步培养学生综合、分析数学问题的能力。 运用平方差公式分解因式。 高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。 我们数学组的观课议课主题: 1、关注学生的合作交流 2、如何使学困生能积极参与课堂交流。 在精心备课过程中，我设计了这样的自学提示: 1、整式乘法中的平方差公式是___，如何用语言描述?把上述公式反过来就得到_____，如何用语言描述?

2、下列多项式能用平方差公式分解因式吗?若能，请写出分解过程，若不能，说出为什么? ①-x2+y2 ②-x2-y2 ③4-9x2 ④ (x+y)2-(x-y)2 ⑤ a4-b4 3、试总结运用平方差公式因式分解的条件是什么? 4、仿照例4的分析及旁白你能把x3y-xy因式分解吗? 5、试总结因式分解的步骤是什么? 师巡回指导，生自主探究后交流合作。 生交流热情很高，但把全部问题分析完已用了30分钟。 生展示自学成果。 生1: -x2+y2能用平方差公式分解，可分解为(y+x)(y-x) 生2: -x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)

师:这两种方法都可以，但第二种方法提出负号后，一定要注意括号里的各项要变号。 生3:4-9x2 也能用平方差公式分解，可分解为(2+9x)(2-9x) 生4:不对，应分解为(2+3x)(2-3x)，要运用平方差公式必须化为两个数或整式的平方差的形式。 生5: a4-b4可分解为(a2+b2)(a2-b2) 生6:不对，a2-b2 还能继续分解为a+b)(a-b) 师:大家争论的很好，运用平方差公式分解因式，必须化为两个数或两个整式的平方的差的形式，另因式分解必须分解到不能再分解为止。…… 反思:这节课我备课比较认真，自学提示的设计也动了一番脑筋，为让学生顺利得出运用平方差公式因式分解的条件，我设计了问题2，为让学生能更容易总结因式分解的步骤，我又设计了问题4，自认为，本节课一定会上的非常成功，学生的交流、合作，自学展示一定会很精彩，结果却出乎我的意料，本节课没有按计划完成教学任务，学生

初二数学因式分解讲解

十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其

八年级数学因式分解过关练习题有答案.doc

2019-2020 年八年级数学因式分解过关练习题有答案 1．将下列各式分解因式 （ 1） 3p 2 ﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3 （ 1） x y ﹣ xy 3．分解因式 （ 1） a 2 （ x ﹣ y ） +16 （y ﹣ x ） 2 （ 2） 2x +8x+8 3 2 2 （ 2） 3a ﹣ 6a b+3ab ． 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 4．分解因式： （1） 2x 2 ﹣x 2 （ 3） 6xy 2 ﹣ 9x 2 3 （ 4） 4+12（ x ﹣ y ）+9 （ x ﹣y ） 2 （2） 16x ﹣ 1 y ﹣ y 5．因式分解： 2 ﹣ 8a （ 2）4x 3 2 2 （1） 2am +4x y+xy 6．将下列各式分解因式： （1） 3x ﹣ 12x 3 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 2 2 3 2 2 7．因式分解： （ 1） x y ﹣ 2xy +y （2）（ x+2y ） ﹣ y 8．对下列代数式分解因式：

（1） n 2 （ m﹣ 2）﹣ n（ 2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 2 2 9．分解因式： a ﹣ 4a+4﹣ b 2 2 10．分解因式： a ﹣ b ﹣ 2a+1 11．把下列各式分解因式： 4 2 4 2 2 （1） x ﹣ 7x +1 （ 2） x +x +2ax+1 ﹣ a 2 2 2 4 （1﹣ y）2 4 3 2 （3）（ 1+y）﹣ 2x （ 1﹣ y ） +x （4） x +2x +3x +2x+1 12．把下列各式分解因式： 3 ﹣ 31x+15；2 2 2 2 2 2 4 4 4 ； 5 （1） 4x （ 2）2a b +2a c +2b c ﹣ a ﹣ b ﹣ c （3） x +x+1 ； 3 2 4 3 2 （4） x +5x +3x ﹣ 9；（ 5）2a ﹣ a ﹣ 6a ﹣a+2．

八年级数学上册《因式分解》练习题

因式分解巩固与提高 一、本节课的知识要点： 1、平方差公式分解因式的公式：a 2-b 2= ； 平方差结构特点： （1）多项式的项数有 项； （2）多项式的两项的符号 ； (3) 多项式的两项能写成 的形式。 2、完全平方公式法分解因式的公式：（1）a 2+2ab+b 2= ; (2) a 2-2ab+b 2= . 完全平方式的特点： (1)、必须是 项式； (2)、有两个 的“项”； (3)、有这两平方“项”底数积的 或 。 二、本节课的课堂练习： （一）选择题： 1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（ ） A ．－x 2－4y 2 B ．9 x 2+4y 2 C ．－x 2+4y 2 D ．x 2+（－2y ）2 2、化简33)(x x -?的结果是（ ） A 、6x - B 、6x C 、5x D 、5x - 3、下列运算正确的是（ ） A 、a b a b a 2)(222++=+ B 、222)(b a b a -=- C 、6)2)(3(2+=++x x x D 、22))((n m n m n m +-=+-+ 4、2 3616x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．48 B ．24 C ．－48 D ．±48 5、已知a 、b 是△ABC 的的两边，且a 2＋b 2=2ab ，则△ABC 的形状是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、锐角三角形 D 、不确定 6、下列四个多项式是完全平方式的是（ ） A 、22y xy x ++ B 、222y xy x -- C 、22424n mn m ++ D 、224 1b ab a ++ 7、把（a+b ）2 +4(a+b)+4分解因式得（ ） A 、（a+b+1）2 B 、（a+b-1）2 C 、（a+b+2）2 D 、（a+b-2）2

人教版八年级上册数学知识点归纳

新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图） 因式分解： 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：

（2）提负号； （3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号； （10）拆项或补项. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.

4．分式的基本性质与应用： （1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.

八年级下数学因式分解练习题

第四章 因式分解单元练习题 一、选择题 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ) A.bx ax b a x -=-)( B.222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C.)1)(1(12-+=-x x x D.c b a x c bx ax ++=++)( 2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A.22)(b a -+ B.mn m 2052- C.22y x -- D.92+-x 3.如果2592 ++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A.15 B.±5 C. 30 D.±30 4.下列各式从左到右的变形错误的是( ) A.22)()(y x x y -=- B.)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 5.下列因式分解不正确．．． 的是（ ） A.)4)(4(162+-=-m m m B.)4(42+=+m m m m C.22)4(168-=+-m m m D.22)3(93+=++m m m 6.下列因式分解正确的是（ ） A.)1(222--=--y x x x xy x B.)32(322---=-+-x xy y y xy xy C.2)()()(y x y x y y x x -=--- D.1)2(122+-=+-x x x x 7.因式分解9)1(2--x 的结果是（ ） A.)1)(8(++x x B.)4)(2(-+x x C.)4)(2(+-x x D.)8)(10(+-x x 8.把代数式m mx mx 962+-因式分解，下列结果中正确的是（ ） A.2)3(+x m B.)3)(3(-+x x m C.2)4(-x m D.2)3(-x m 9.若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为( ) A.-5 B.5 C.-2 D.2 10.下列多项式：①x x -216；②)1(4)1(2---x x ；③224)1(4)1(x x x x ++-+ ； ④x x 4142+--，因式分解后，结果中含有相同因式的是（ ）

初二数学因式分解100题

提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选 100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)2 24914b ab a ++- (D) 13 292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） (A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ） (A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 9.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －a B a 2 –a －2=a(a －1)－2 C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b) D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ） A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x) B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2) C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y) D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A ． x 2－y B ． x 2＋2x C ． x 2＋y 2 D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ） A ． (a －b)2(2a －2b ＋1) B ． 2(a －b)(a －b －1) C ． (b －a)2(2a －2b －1) D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ） A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2 B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2 C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2 D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ） A ．(100－1)2 B ．(100＋1)(100－1) C ．(99＋1)(99－1) D ． (99＋1)2 17 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）