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2016年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线 老师专用

2016年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线

1.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数5T )直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆

中心到l 的距离为其短轴长的1

4

,则该椭圆的离心率为

(A )

13(B )12(C )23(D )34

答案:B

试题分析:如图,由题意得在椭圆中,1OF c,OB b,OD 2b 42

===

?=在Rt OFB ?中,|OF ||OB||BF ||OD |?=?,且222

a b c =+,代入解得

22a 4c =,所以椭圆得离心率得:1

e 2

=

,故选B. 2.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数5T )已知方程22

2

213-x y m n m n

-=+表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )

(A)(–1,3) (B)(–1,3) (C)(0,3) (D)(0,3)

答案:A

解:由题意知:双曲线的焦点在x 轴上,所以2

2

34m n m n ++-=,解得:2

1m =,因为

方程22

1

13x y n n -=+-表示双曲线,所以1030n n +>??->?,解得13n n >-??

,所以n 的取值范围是

()1,3-,故选A .

3.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数10T )以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB

|=|

DE|=则C 的焦点到准线的距离为( )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

答案:B

试题分析:如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =

即A 点纵坐标为,则A 点横坐标为

4p ,即4O C p

=,由勾股定理知2222

D F O F D O r +==,

2222AC OC AO r +==,即22224

()(2()2p p

+=+,解得4p =,即C 的焦点到

准线的距离为4,故选B. 考点:抛物线的性质.

4.(2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数5T )设F 为抛物线2:4C y x =的焦点,曲线(0)

k

y k x =>与C 交于点P ,PF x ⊥轴,则k =

A .

12B .1 C .3

2

D .2 答案:D

5.(2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数11T )已知1F ,2F 是双曲线E :22

221x y a b -=的左,右

焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,sin

211

3MF F ∠=

,则E 的离心率为

(A

(B )3

2

(C

(D )2 答案:A

离心率1221F F e MF MF =-

,由正弦定理得122112sin 31

sin sin 13

F F M e MF MF F F ====---.故选A . 6.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数12T )已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) (A )

13(B )12(C )23(D )34

答案:A

由题意得,(,0)A a -,(,0)B a ,根据对称性,不妨2

(,)b P c a

-,设:l x my a =-,

∴(,

)a c M c m --,(0,)a E m ,∴直线BM :()()

a c

y x a m a c -=--+,又∵直线BM 经过OE 中点,∴

()1

()23

a c a a c e a c m m a -=?==+,故选A.

7.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数11T )已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :

的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为

(A )

(B )

(C )

(D )

2222

1(0)x y a b a b +=>>PF x ⊥PF 13122334

答案:A

考点:椭圆方程与几何性质.

8.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数20T )(12分)在直角坐标系xOy 中,直线1:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ,交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ,M 关于P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H

(Ⅰ)求

||

||

OH ON ; (Ⅱ)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.

解:(Ⅰ)由已知得,.又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,,

因此.所以为的中点,即. (Ⅱ)直线与除以外没有其它公共点.理由如下:

直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点

.

),0(t M ),2(2t p t P N M P ),(2

t p t N ON x t p y =px y 22=022

2=-x t px 01=x p t x 222=)2,2(2t p t H N OH 2|

||

|=ON OH MH C H MH x t p t y 2=

-)(2t y p

t

x -=px y 22=04422=+-t ty y t y y 221==MH C H MH C

9.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数20T ) (本小题满分12分)

设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .

(Ⅰ)证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(Ⅱ)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

解:(Ⅰ)因为,,故,

所以,故.又圆的标准方程为

,从而,所以.

由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:

(). (Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.

.所以. 过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以

.故四边形的面积 . ||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13

42

2=+y x 0≠y l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N ?????=+-=134

)1(2

2y x x k y 0

1248)34(2

222=-+-+k x k x k 3

482

2

21+=+k k x x 341242221+-=k k x x 3

4)1(12||1||2

2212

++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1--

=x k y A m 1

2

2+k 13

44)1

2

(42||222

22

++=+-=k k k PQ MPNQ 3

41

112||||212++==

k PQ MN S

可得当与轴不垂直时,四边形

面积的取值范围为

.

当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.

综上,四边形面积的取值范围为.

10.(2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数21T )(本小题满分12分)已知A 是椭圆

22

:143

x y E +=的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,

点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当||||AM AN =时,求AMN △的面积; (Ⅱ)当2||||AM AN =

2k <.

解:(Ⅰ)椭圆22

143

x y +=的左顶点为(2,0)A -.因为||||AM AN =且AM AN ⊥,所以△AMN

为等腰直角三角形,所以MN x ⊥轴.

设MN 交轴与点D ,所以△ADM 为等腰直角三角形,所以得(2,)M a a -.因为点M 在椭

圆E 上,所以22

3(2)412a a -+=,整理得27120a a -=,解得12

7a =或0a =(舍去).所以△AMN

的面积21144

2249

S a a a =

?==. (Ⅱ)设直线AM 方程(2)y k x =+.联立椭圆直线方程,消去

y

整理得

2222(34)1616120k x k x k +++-=.设点00(,)M x y ,则

于是2

02

16234k x k -+=-

+,所以

22

022

166823434k k x k k -=-=

++,所

2

2121

21

|34

k A

k =,因为0k >,

所以

2

||3AN k

=+.因为2||||AM AN =

,所以2=,即32

46380k k k -+-=.

设32()4638f x x x x =-+-,则22

()121233(21)0f x x x x '=-+=-≥,所以函数()f x 在

l x MPNQ

)

38,12[l x 1=x 3||=MN 8||=PQ MPNQ MPNQ )38,12[

区间(0,)

+∞

内单调递增,因为260

f=<,(2)60

f=>,所以函数()

f x

的零点k∈,即

k

的取值范围是.

11.(2016全国高考新课标Ⅱ卷·理数20T)(本小题满分12分)

已知椭圆E:

22

1

3

x y

t

+=的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为(0)

k k>的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(I)当4

t=,AM AN

=时,求△AMN的面积;

(II)当2AM AN

=时,求k的取值范围.

解:(1)当4

t=时,椭圆E的方程为

22

1

43

x y

+=,A点坐标为()

20

-,,

则直线AM的方程为()2

y k x

=+.联立

()

22

1

43

2

x y

y k x

?

+=

?

?

?=+

?

并整理得,()2222

341616120

k x k x k

+++-=解得2

x=-或

2

2

86

34

k

x

k

-

=-

+

2

22

8612

2

3434

k

AM

k k

-

+=

++

因为AM AN

,所以2

1212

13

341

AN

k

k

k

==

??+

+?-

?

??

因为AM AN

=,0

k>,

2

1212

4

343

k k

k

=

++,整理得()()

2

1440

k k k

--+=,2

440

k k

-+=无实根,所以1

k=.

所以AMN

的面积为

2

2

1112144

223449

AM

?

==

?

+?

(2)直线AM

的方程为(y k x =+,

联立(22

13x y t y k x ?+=???=?

并整理得,(

)

222223230tk x x t k t +++-=

解得x =

x =

所以AM ==

所以

3AN k k

=+

因为2AM AN =

所以

23k k

+,整理得,23632

k k t k -=-. 因为椭圆E 的焦点在x 轴,所以3t >,即236332k k k ->-,整理得()()23

1202

k k k +-<-

2k <.

12.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数20T )(本小题满分12分)

已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.

(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;

(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 解:(Ⅰ)由题设)0,2

1

(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b A a B b P a Q b R +---.

记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则

222111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

. 所以FQ AR ∥. ......5分

(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ,

则2,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=

--=-=

??. 由题设可得

2

21211b

a x a

b -=

--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .

当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12

-=x y . ....12分 13.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数20T )(本小题满分12分)

已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两

点,交的准线于两点.

(I )若在线段上,是的中点,证明;

(II )若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).

C 2

2y x =F x 12,l l C A B ,C P Q ,F AB R PQ AR FQ PQF ?ABF ?AB 21y x =-

考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系;3、轨迹求法.

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