2016年新课标全国卷试题汇编:圆锥曲线
1.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数5T )直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆
中心到l 的距离为其短轴长的1
4
,则该椭圆的离心率为
(A )
13(B )12(C )23(D )34
答案:B
试题分析:如图,由题意得在椭圆中,1OF c,OB b,OD 2b 42
===
?=在Rt OFB ?中,|OF ||OB||BF ||OD |?=?,且222
a b c =+,代入解得
22a 4c =,所以椭圆得离心率得:1
e 2
=
,故选B. 2.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数5T )已知方程22
2
213-x y m n m n
-=+表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )
(A)(–1,3) (B)(–1,3) (C)(0,3) (D)(0,3)
答案:A
解:由题意知:双曲线的焦点在x 轴上,所以2
2
34m n m n ++-=,解得:2
1m =,因为
方程22
1
13x y n n -=+-表示双曲线,所以1030n n +>??->?,解得13n n >-??
,所以n 的取值范围是
()1,3-,故选A .
3.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数10T )以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB
|=|
DE|=则C 的焦点到准线的距离为( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
答案:B
试题分析:如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =
即A 点纵坐标为,则A 点横坐标为
4p ,即4O C p
=,由勾股定理知2222
D F O F D O r +==,
2222AC OC AO r +==,即22224
()(2()2p p
+=+,解得4p =,即C 的焦点到
准线的距离为4,故选B. 考点:抛物线的性质.
4.(2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数5T )设F 为抛物线2:4C y x =的焦点,曲线(0)
k
y k x =>与C 交于点P ,PF x ⊥轴,则k =
A .
12B .1 C .3
2
D .2 答案:D
5.(2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数11T )已知1F ,2F 是双曲线E :22
221x y a b -=的左,右
焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,sin
211
3MF F ∠=
,则E 的离心率为
(A
(B )3
2
(C
(D )2 答案:A
离心率1221F F e MF MF =-
,由正弦定理得122112sin 31
sin sin 13
F F M e MF MF F F ====---.故选A . 6.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数12T )已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) (A )
13(B )12(C )23(D )34
答案:A
由题意得,(,0)A a -,(,0)B a ,根据对称性,不妨2
(,)b P c a
-,设:l x my a =-,
∴(,
)a c M c m --,(0,)a E m ,∴直线BM :()()
a c
y x a m a c -=--+,又∵直线BM 经过OE 中点,∴
()1
()23
a c a a c e a c m m a -=?==+,故选A.
7.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数11T )已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :
的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为
(A )
(B )
(C )
(D )
2222
1(0)x y a b a b +=>>PF x ⊥PF 13122334
答案:A
考点:椭圆方程与几何性质.
8.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数20T )(12分)在直角坐标系xOy 中,直线1:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ,交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ,M 关于P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H
(Ⅰ)求
||
||
OH ON ; (Ⅱ)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.
解:(Ⅰ)由已知得,.又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,,
因此.所以为的中点,即. (Ⅱ)直线与除以外没有其它公共点.理由如下:
直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点
.
),0(t M ),2(2t p t P N M P ),(2
t p t N ON x t p y =px y 22=022
2=-x t px 01=x p t x 222=)2,2(2t p t H N OH 2|
||
|=ON OH MH C H MH x t p t y 2=
-)(2t y p
t
x -=px y 22=04422=+-t ty y t y y 221==MH C H MH C
9.(2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数20T ) (本小题满分12分)
设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
(Ⅰ)证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.
解:(Ⅰ)因为,,故,
所以,故.又圆的标准方程为
,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
(). (Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由
得
则
,
.所以. 过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以
.故四边形的面积 . ||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13
42
2=+y x 0≠y l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N ?????=+-=134
)1(2
2y x x k y 0
1248)34(2
222=-+-+k x k x k 3
482
2
21+=+k k x x 341242221+-=k k x x 3
4)1(12||1||2
2212
++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1--
=x k y A m 1
2
2+k 13
44)1
2
(42||222
22
++=+-=k k k PQ MPNQ 3
41
112||||212++==
k PQ MN S
可得当与轴不垂直时,四边形
面积的取值范围为
.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
10.(2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数21T )(本小题满分12分)已知A 是椭圆
22
:143
x y E +=的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,
点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当||||AM AN =时,求AMN △的面积; (Ⅱ)当2||||AM AN =
2k <.
解:(Ⅰ)椭圆22
143
x y +=的左顶点为(2,0)A -.因为||||AM AN =且AM AN ⊥,所以△AMN
为等腰直角三角形,所以MN x ⊥轴.
设MN 交轴与点D ,所以△ADM 为等腰直角三角形,所以得(2,)M a a -.因为点M 在椭
圆E 上,所以22
3(2)412a a -+=,整理得27120a a -=,解得12
7a =或0a =(舍去).所以△AMN
的面积21144
2249
S a a a =
?==. (Ⅱ)设直线AM 方程(2)y k x =+.联立椭圆直线方程,消去
y
整理得
2222(34)1616120k x k x k +++-=.设点00(,)M x y ,则
于是2
02
16234k x k -+=-
+,所以
22
022
166823434k k x k k -=-=
++,所
以
2
2121
21
|34
k A
k =,因为0k >,
所以
2
||3AN k
=+.因为2||||AM AN =
,所以2=,即32
46380k k k -+-=.
设32()4638f x x x x =-+-,则22
()121233(21)0f x x x x '=-+=-≥,所以函数()f x 在
l x MPNQ
)
38,12[l x 1=x 3||=MN 8||=PQ MPNQ MPNQ )38,12[
区间(0,)
+∞
内单调递增,因为260
f=<,(2)60
f=>,所以函数()
f x
的零点k∈,即
k
的取值范围是.
11.(2016全国高考新课标Ⅱ卷·理数20T)(本小题满分12分)
已知椭圆E:
22
1
3
x y
t
+=的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为(0)
k k>的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当4
t=,AM AN
=时,求△AMN的面积;
(II)当2AM AN
=时,求k的取值范围.
解:(1)当4
t=时,椭圆E的方程为
22
1
43
x y
+=,A点坐标为()
20
-,,
则直线AM的方程为()2
y k x
=+.联立
()
22
1
43
2
x y
y k x
?
+=
?
?
?=+
?
并整理得,()2222
341616120
k x k x k
+++-=解得2
x=-或
2
2
86
34
k
x
k
-
=-
+
,
则
2
22
8612
2
3434
k
AM
k k
-
+=
++
因为AM AN
⊥
,所以2
1212
13
341
AN
k
k
k
==
??+
+?-
?
??
因为AM AN
=,0
k>,
2
1212
4
343
k k
k
=
++,整理得()()
2
1440
k k k
--+=,2
440
k k
-+=无实根,所以1
k=.
所以AMN
△
的面积为
2
2
1112144
223449
AM
?
==
?
+?
.
(2)直线AM
的方程为(y k x =+,
联立(22
13x y t y k x ?+=???=?
并整理得,(
)
222223230tk x x t k t +++-=
解得x =
x =
所以AM ==
所以
3AN k k
=+
因为2AM AN =
所以
23k k
+,整理得,23632
k k t k -=-. 因为椭圆E 的焦点在x 轴,所以3t >,即236332k k k ->-,整理得()()23
1202
k k k +-<-
2k <.
12.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数20T )(本小题满分12分)
已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.
(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;
(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 解:(Ⅰ)由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且
22111(,),(,),(,),(,),(,)222222
a b a b A a B b P a Q b R +---.
记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则
222111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥. ......5分
(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ,
则2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=
--=-=
??. 由题设可得
2
21211b
a x a
b -=
--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .
当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12
-=x y . ....12分 13.(2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数20T )(本小题满分12分)
已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两
点,交的准线于两点.
(I )若在线段上,是的中点,证明;
(II )若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
C 2
2y x =F x 12,l l C A B ,C P Q ,F AB R PQ AR FQ PQF ?ABF ?AB 21y x =-
考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系;3、轨迹求法.