高考数学 选择题 专题02 参数方程 文-人教版高三全册数学试题

专题02 参数方程

知识通关

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()

()x f t y g t =⎧⎨

=⎩

，并

且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，

把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()

()x f t y g t =⎧⎨=⎩

就是曲线的参数方程．在参

数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等. （2）普通方程化为参数方程

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.

3．常见曲线的参数方程

普通方程 参数方程

过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线

y －y 0＝tan α(x －

x 0)

00cos sin x x t y y t α

α=+⎧⎨

=+⎩

(t 为参

数)

圆心在原点，半径为r 的圆

x 2＋y 2＝r 2

cos sin x r y r θ

θ

=⎧⎨

=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆

22

221x y a b

+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕ

ϕ=⎧⎨

=⎩

(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．

（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩(θ为参数).

（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a t

y y b t =+⎧⎨=+⎩

(t 为参数).

基础通关

1．了解参数方程，了解参数的意义.

2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一 参数方程与普通方程的互化

（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．

（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为

(θ为参数)．

（1）求直线l 和圆C 的普通方程；

（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|

45

a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二 参数方程及其应用

（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．

（2）对于形如00x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2

≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．

【例2】已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨

=-⎩

(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．

【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)．

直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.

（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝

5

5

|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d

sin 30°＝25

5|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为

225

5

. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为

25

5

. 故|PA |的最大值与最小值分别为

2255，25

5

. 能力通关

1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离

问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为

00cos sin x x t y y t α

α=+⎧⎨

=+⎩

(t 为参数)，注意以下两个结论的应用： (1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.

2．圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.

3．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用

ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．

利用参数的几何意义解决问题

【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y α

α

=+⎧⎨

=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos()16

ρθ+=. （I ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；

（II ）若(0,1)P -，且直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求22

2||+||(||||)

PM PN PM PN ⋅的值.

【解析】（I ）依题意，曲线C ：()()22

111x y -+-=，即2

2

2210x y x y +--+=，

故曲线C 的极坐标方程为2

2cos 2sin 10ρρθρθ--+=；

因为直线l 的极坐标方程为π

2cos()16

ρθ+=

cos sin 10θρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程

10y --=.

坐标系与参数方程的综合问题

【例2】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y α

α

=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()324

ρθπ

-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．

（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(cos 3sin )αα， 因为曲线2C 是直线，

所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值， 易得点P 到直线60x y +-=的距离为3sin 2sin()3|62

d απ

=

=+-，

当且仅当2()3

k k απ

=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ 取得最小值，最小值为22，此时点P 的直角坐标为13(,)22

．

【例3】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y

⎧=⎪

⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；

（2）已知,A B 是曲线2C 上两点，且π

6

AOB ∠=

，求3OA OB -的取值范围. 【解析】（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：()2

2214

x y -+=， 由2x x y y ⎧

=⎪⎨⎪='⎩

'得2x x y y =⎧⎨

=''⎩，代入上式可知：曲线2C 的方程为()2211x y -+=，即22

2x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.

高考通关

1．在平面直角坐标系xOy 中，直线21

:1

x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立

极坐标系，曲线C ：4cos ρθ=.

（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）试判断直线l 与曲线C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.

【解析】（1）由21

1x t y t =+⎧⎨=-⎩

消去t 得230x y --=，

所以直线l 的普通方程为230x y --=.

由4cos ρθ=两边同乘以ρ得2

4cos ρρθ=，

因为2

2

2

x y ρ+=，cos x ρθ=，

所以224x y x +=，配方得22(2)4x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为22

(2)4x y -+=. （2）法一：由（1）知，曲线:C 2

2

(2)4x y -+=的圆心为)0,2(，半径为2，

由圆心到直线的距离公式得)0,2(到直线230x y --=的距离2

5d ==<， 所以直线l 与曲线C 相交，设交点为A 、B ， 所以=||AB 5

952)55(

2222=-.

所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为

5

95

2. 法二：由（1）知，:l 230x y --=，:C 22

(2)4x y -+=，

联立方程，得⎩⎨⎧=+-=--4

)2(0

322

2y x y x ，消去y 得092252=+-x x ， 因为0304954222>=⨯⨯-， 所以直线l 与曲线C 相交，

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，由根与系数的关系知52221=

+x x ，5

921=x x ，

所以5

95

2594)522(

)21(1||22=

⨯-⋅+=AB ， 所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为

5

95

2. 2．在直角坐标系xOy 中,直线l

的参数方程为32

12x y ⎧

=-⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

（t 为参数）,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为π2cos 6ρθ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

． （1）求直线l 的极坐标方程；

（2）若射线()π

=03θρ>与直线l 交于点P ,与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合),求OQ OP 的值．

【解析】（1

）由32

12

x y ⎧

=-⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

消去t 得直线l 的普通方程为40x y +-=, 把cos ,sin x y ρθρθ==,代入40x y +-=得直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ+=.

（2）由题意可得

,

4ππcos sin

33

OP =

=

+

ππ2cos 36OQ ⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

所以OQ OP

=

3．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为)3,1(，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θθρ

ρsin 2cos 44

+=+

.

（1）求点P 的极坐标1(,)ρα(02π)α≤<及曲线C 的参数方程； （2）过点P 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若||MN =

3，求直线l 的直角坐标方程.

【解析】（1） 在平面直角坐标系xOy 中，点P )3,1(是第一象限内的点，

∴12ρ=

，tan α=π

02

α<<

，

π3

α∴=

， ∴点P 的极坐标为π

(2,)3.

曲线C 的极坐标方程为θθρ

ρsin 2cos 44

+=+

，

θρθρρsin 2cos 442+=+∴，

由2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得y x y x 2442

2+=++，

∴曲线C 的直角坐标方程为042422=+--+y x y x ，即1)1()2(22=-+-y x ， ∴曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y β

β

=+⎧⎨

=+⎩（β为参数）.

（2）显然直线l 的斜率存在，∴可设直线l 的方程为)1(3-=-x k y ，即03=-+-k y kx ，

||MN =3，圆C 的半径为1， ∴圆C 的圆心(2,1)到直线l 的距离为2

1，

∴

12=

，化简得03815)13(832=-+-+k k ，解得3-=k 或3

358-=k ，

∴直线l 的直角坐标方程为0323=-+y x 或(8380x y --+=.

4．已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为

sin()6ρθπ-=

． （1）求直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线2cos (sin x y θ

θθ

=⎧⎨

=⎩为参数）相交于A ，B 两点，求点()1,1P 到A ，B 两点的距离之积．

（2）易得2cos (sin x y θ

θθ

=⎧⎨

=⎩为参数）的普通方程为2244x y +=，点()1,1P 在直线l 上， 把直线31112

x y t

⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22

44x y +=可得2231(1)4(1)4

2t +++=，即27(43)104t t ++=，显然124

7

t t =

， 故点()1,1P 到A ，B 两点的距离之积为

47

． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为123x t

y t

⎧

=⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为(1sin )2ρθ+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与曲线D 交于,M N 两点，求||MN .

【解析】（Ⅰ）消掉参数t ，得曲线C 的普通方程为32y x =-，即230x y +-=. 曲线D 的方程可化为：sin 2ρρθ+=，显然0ρ>， 222x y y ++=，

化简得2

44x y =-.

方法二：将曲线C 的参数方程化为5253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（m 为参数），并代入曲线D 的直角坐标方程，得

2525()44(3)55

m m -=-+，整理得2+85400m m +=. 由求根公式解得21,285(85)44045210m -±-⨯==- 故12||||410MN m m =-=

高考数学专题—参数方程

高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的

高考数学专题复习：参数方程知识与习题精选

高考数学专题复习：参数方程知识与习题 一．常见直曲线的参数方程 1、直线参数方程的标准式是 2、圆心在点(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是 3、 4、双曲线12222=-b y a x 的参数方程是 5、抛物线y 2=2px 的参数方程是 备注：参数t 的几何意义： Tips:判断参数方程表示的是什么曲线题中，关键是“消参”. 常用方法：平方法——三角函数、 t t 1+型. 注意观察是否规定参数的范围 练习1：将参数方程化为普通方程 （1） （2）

练习2：已知椭圆16410022=+y x 有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积. 练习3：如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个懂点，点A 坐标为(12,0). 当点P 在圆上运动时，线段PA 中点M 的轨迹是什么？ 一、直线参数方程中的参数的几何意义 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6π α=， ①写出直线l 的参数方程; ②设l 与圆42 2=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积. 2、已知直线).3cos( 2.32),2,1(πθρπ+=-圆方程的直线倾斜角为是过点P l （I ）求直线l 的参数方程； （II ）设直线l 与圆相交于M 、N 两点，求|PM|·|PN|的值.

二、巧用参数方程解最值题 1、在椭圆 22 1 1612 x y += 上找一点，使这一点到直线 2120 x y --=的距离的最小值. 2、已知点 (,) P x y是圆222 x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；（2）若0 x y a ++≥恒成立，求实数a的取值范围. 3、在平面直角坐标系xOy中，动圆 222 8cos6sin7cos80 x y x y θθθ +--++=的圆心为(,) P x y， 求2x y -的取值范围 高考数学专题复习：参数方程知识与习题专题：参数方程

高考数学 选择题 专题02 参数方程 文-人教版高三全册数学试题

专题02 参数方程 知识通关 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数() ()x f t y g t =⎧⎨ =⎩ ，并 且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么() ()x f t y g t =⎧⎨=⎩ 就是曲线的参数方程．在参 数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等. （2）普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 3．常见曲线的参数方程 普通方程 参数方程 过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线 y －y 0＝tan α(x － x 0) 00cos sin x x t y y t α α=+⎧⎨ =+⎩ (t 为参

2020年高考数学第二轮复习专题：极坐标与参数方程(含答案)

高考数学第二轮复习专题：极坐标与参数方程 一、选择题（题型注释） 二、填空题（题型注释） 三、解答题（题型注释） 1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,?=???? =??x y （t 为参数）.在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴） 中，圆C 的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为，求PA PB + 2．（本小题满分10分） 在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点为 坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 3．（本题满分10分）曲线1C 的参数方程为?? ?+==α α sin 22cos 2y x （其中α为参数），M 是曲 线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的方程为 2)4 sin(=+π ρx ，直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点。 （1）求曲线2C 的普通方程； （2）求线段AB 的长。 4．选修4-4：坐标系与参数方程 （Ⅰ）求直线11x t y t =+??=-?（t 为参数）的倾斜角的大小. （Ⅱ）在极坐标系中，已知点4(2,),(2,)3 A B π π，C 是曲线2sin ρθ=上任意一点，求ABC ?的面积的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θ θ=+??=? （θ为参数），以坐标 原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标为 sin cos ρθθ=+，曲线3C 的极坐标方程为6 π θ= . （1）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．

3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨ ⎧ x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．

2021届高考数学选做题冲刺辅导(文理通用)专题02 参数方程

专题02 参数方程 【知识网络】 【考情分析】 【知识详单】 1.曲线的参数方程 （1）概念：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，

⎩ ⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M (x,y )都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. （2）求曲线的参数方程的一般步骤： 第一步 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y )表示曲线上任意一点M 的坐标； 第二步 选参：选择合适的参数； 第三步 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. 第四步 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程． （3）曲线的普通方程的概念：相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 注意：参数方程的几个基本问题 （1）消去参数，把参数方程化为普通方程.（2）由普通方程化为参数方程. （3）利用参数求点的轨迹方程.（4）常见曲线的参数方程. 2.几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩ ⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 注意：t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P (y x ,)为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 【例1】已知动点都在曲线 为参数上,对应参数分别为与,为 的中点. (Ⅰ)求 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．

广西高考数学一轮复习 考点规范练56 坐标系与参数方程 文-人教版高三全册数学试题

考点规范练56 坐标系与参数方程 一、基础巩固 1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{ x =1+1 2x ,x = √32 x (t 为参数),椭圆C 的参数方 程为{ x =cos x , x =2sin x (θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. C 的普通方程为x 2 + x 24 =1. 将直线l 的参数方程{ x =1+1 2x ,x = √32x (t 为参数)代入x 2 + x 24 =1,得(1+1 2x )2 + (√32 x )2 4 =1, 即7t 2 +16t=0,解得t 1=0,t 2=-16 7. 所以AB=|t 1-t 2|=16 7. 2.在平面直角坐标系xOy 中,将曲线C 1:x 2 +y 2 =1上的所有点的横坐标伸长为原来的√3倍,纵坐标伸长为原来的2倍后,得到曲线C 2;以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6. (1)写出曲线C 2的参数方程和直线l 的直角坐标方程; (2)在曲线C 2上求一点P ,使点P 到直线l 的距离d 最大,并求出此最大值. 由题意知,曲线C 2方程为(√3)2 +(x 2)2 =1,故曲线C 2的参数方程为{x =√3cos x ,x =2sin x (φ为参数). 直线l 的直角坐标方程为2x-y-6=0. (2)设P (√3cos φ,2sin φ), 则点P 到直线l 的距离为 d= √3cos √5 = √5 , 故当sin(60°-φ)=-1时,d 取到最大值2√5,此时取φ=150°,点P 坐标是(-3 2,1).

高考数学题极坐标与参数方程大训练含答案

高考23题(极坐标与参数方程)大训练 1.(1)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动， 求圆C 的极坐标方程； (2)．设直线l 经过点 ) 3,2(π P ，倾斜角6 πα=，写出直线l 的极坐标方程. 2．(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲 线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3 )＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求出M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ，设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值. 4.已知曲线1C 的参数方程为 210cos , 10sin x y θθ ⎧=-+⎪⎨ =⎪⎩ （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． （1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. （2）曲线1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π 4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面 积． 6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2 －42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣ ⎢⎡ ⎦ ⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程； (2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标． 8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩ ⎨⎧x ＝4＋5cos t ， y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋1 2 t ，y ＝32t (t 为参数)．以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程； (2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 10.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ 4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。 （Ⅰ）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C 的参数方程为)(sin , cos 1为参数a a y a x ⎩ ⎨ ⎧=+=，试判断直线l 与圆C 的位置关系. 答案版： 新课标极坐标参数方程高考23题汇总

统考版2022届高考数学一轮复习选修4_4.2参数方程课时作业理含解析

课时作业72 参数方程 [基础达标] 1．[2021·某某省示X 高中名校高三联考]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程 为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos φy ＝sin φ (φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 是圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 7，π2且经过极点的圆． (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程； (2)已知射线θ＝π 3 (ρ≥0)分别与曲线C 1，C 2交于点A ，B (点B 异于坐标原点O )，求线段 AB 的长．

2．[2021·黄冈中学，华师附中等八校第一次联考]在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直 线l 的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2＋t cos α y ＝3＋t sin α (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋8. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的倾斜角．

3．[2021·某某省七校联合体高三第一次联考试题]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线 C 1：x ＋y ＝1与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cos φ y ＝2sin φ (φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系． (1)写出曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知l ：θ＝α(ρ>0)与C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 0，π2，当 |OB | |OA | ＝4时，求α的值．

高考数学刷题首选卷 第二章 函数、导数及其应用 考点测试12 函数与方程 文(含解析)-人教版高三全

考点测试12 函数与方程 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、高等难度 考纲研读 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 一、基础小题 1．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，那么函数g (x )＝bx 2 －ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12 C ．0，－12 D ．2，－1 2 答案 C 解析 由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2 －ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12 . 2．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞) B．(－∞，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1) 答案 C 解析 由题意知，f (－1)f (1)<0，即(1－a )(1＋a )<0，解得a <－1或a >1. 3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 答案 C 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有 f (a )·f (b )<0.A ，B 中不存在f (x )<0，D 中函数不连续．故选C. 4．用二分法研究函数f (x )＝x 5 ＋8x 3 －1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )

A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0.5，1)，f(0.875) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25) 答案 D 解析∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0， ∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)，故选D. 5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为( ) A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 答案 C 解析∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1，2)上必有零点，又∵函数为二次函数，∴有且只有一个零点． 6．函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数即为函数y＝3x与函数y＝2－x2的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，则f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为2，故选C. 7．已知自变量和函数值的对应值如下表： 则方程2x＝x2的一个根位于区间( ) A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8) C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0) 答案 C 解析令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选C.

高考数学 试题汇编 第二节 坐标系与参数方程(选修44) 文(含解析)

第二节坐标系与参数方程(选修4 4) 极坐标系与极坐标 考 向聚焦重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化,主要以选择题、填空题的 形式出现,难度不大,分值5分左右 备考指津(1)简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可通过极坐标方程与直角坐标方程的互化得出;(2)通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的异同,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的重要性 1.(2012年陕西卷,文15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)直线2ρcos θ=1与圆ρ=2cos θ相交的弦长为. 解析:化极坐标为直角坐标得直线x=, 圆(x-1)2+y2=1, 由勾股定理可得相交弦长为2×=. 答案: 2.(2012年湖南卷,文10,5分)在极坐标系中,曲线C1:ρ(cos θ+sin θ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a= . 解析:将极坐标方程化成直角坐标方程,C1:x+y-1=0,C2:x2+y2=a2,交点在极轴上,则 y=0,x=,即交点坐标为(,0),代入C2方程可得a=. 答案: 极坐标系中交点问题常常化成直角坐标方程求解. 然本题也可直接在极坐标系中求解如下:交点在极轴上,则θ=2kπ,于是cos θ=1,sin θ=0,代入C1得ρ=,

故a=. 3.(2011年湖南卷,文9)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数), 在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则C1与C2的交点个数为. 解析:曲线C1化为普通方程+=1是椭圆, 对曲线C2:ρ(cos θ-sin θ)+1=0, ∴ρcos θ-ρsin θ+1=0,∴x-y+1=0是直线, 而直线x-y+1=0与椭圆+=1有两个交点. 答案:2 4.(2010年广东卷,文15)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为. 解析:曲线ρ(cos θ+sin θ)=1化为直角坐标方程为 x+y=1, 曲线ρ(sin θ-cos θ)=1化为直角坐标方程为y-x=1. 由得交点为(0,1),化为极坐标为(1,). 答案:(1,) 5.(2012年辽宁卷,文23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程. 解:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2, 圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ, 解,得ρ=2,θ=±, 故圆C1与圆C2交点的坐标为(2,),(2,-). 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)法一:由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).

2022版高考人教版数学一轮学案：选修4-4第二讲参数方程

第二讲 参数方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 参数方程的概念 如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t ). 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上， 那么方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参数． 知识点二 圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为 __⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)__． (2)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为 __⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)__． (3)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)__． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2， y ＝2pt (t 为参数)． 知识点三 直线的参数方程 过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为__⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)__，其 中t 表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M → 的__数量__．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M → 的方向向下；当t ＝0时，M 与M 0重合． 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2． ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；

【高三】2021高考数学坐标系与参数方程总复习测试(含答案)

【高三】2021高考数学坐标系与参数方程总复习测试(含答案) 2021年高考数学总复习12-2坐标系与参数方程但因为测试新人教b版 1.（海淀中期，北京，2022年）在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ＝2cosθ，那 么在以下几点中，圆C上的方程为（） a．(1，－π3)b．(1，π6) c、（2,3π4）d.（2,5π4） [答案] a [analysis]将替代答案代入圆C的方程中，因为2cos（-π3）=2×12=1，所以a成立 2．(2021湖南，4)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－ty＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是( ) a、直线，直线B.直线，圆 c．圆、圆d．圆、直线 [答：]d [解析] 由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆． 通过消除方程x=-1-ty=2+t，x+Y-1=0中的参数t。这个方程式所代表的图形是一条直线 3．()(2021湖南十二校联考)若直线的参数方程为x＝1＋3ty＝2－3t(t为参数)，则 直线的倾斜角为( ) a、30°b.60° c．120°d．150° [答：]d [解析] 由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直 线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°. （理论上）直线的参数方程为x=tsin50°-1y=-tcos50°（t为参数），则直线的倾 角为（） a．40°b．50° c、140°d.130°

[答案] c 【分析】对直线的参数方程进行变形，得到x=-1-tcos 140°，y=-Tsin 140°，倾角为140° 4．()(2021皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 x＝ty＝t＋1(t∈r)，圆的参数方程为x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))，则圆心c到 直线l的距离为( ) a、 0b.2 c.2 d.22 [答：]C [解析] 化直线l的参数方程x＝ty＝t＋1(t∈r)为普通方程为x－y＋1＝0，化圆的 参数方程x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆心 c(1,0)到直线l的距离为1－0＋112＋－12＝2. （原因）（上海市奉贤区2022年）如果已知点P（3，）位于以点F为焦点的抛物线 x=4t2y=4T（t为参数）上，则pf=（） a．1 b．2 c、三, d、四, [答案] d 【分析】将抛物线的参数方程转化为一般方程，即y2=4x，然后焦点f（1,0），拟线 性方程为x=-1，P（3，）在抛物线上。根据抛物线的定义，PF=3-（-1）=4 5．()(2021北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) a、ρ＝cosθb.ρ＝sinθ c．ρcosθ＝1d．ρsinθ＝1 [答：]C [解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极 坐标方程为ρcosθ＝1，故选c. （科学）（2022衡阳联考）在极坐标系下，曲线ρcosθ＋ρsinθ＝2（0≤ θ<2π）和θ＝π4交点的极坐标为（）

高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案

高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案 （120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分） 1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos , sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的 参数方程为4, 1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩ （为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l a. 2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。 （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3 π ，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。 3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+, ,x t y kt =⎧⎨=⎩ （t 为参数），直线l 2的参数 方程为2, ,x m m m y k =-+⎧⎪ ⎨=⎪⎩ （为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设( )3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为 1322 x t y ⎧ =+⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为ρθ=． （I ）写出 C 的直角坐标方程； （II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos , :sin , x t C y t αα=⎧⎨ =⎩（t 为参数，0t ≠），其中 0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ= ，曲线 3:C ρθ=． （Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

高三数学参数方程试题

高三数学参数方程试题 1. [选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线 相交于两点，求线段的长. 【答案】 【解析】可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得． 试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴. 【考点】直线的参数方程. 2.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的 距离的最小值为． 【答案】 【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以 为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为． 【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系. 3.参数方程中当为参数时，化为普通方程为_______________. 【答案】 【解析】由参数方程，两式平方作差得，． 【考点】参数方程化普通方程． 4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρsin＋m ＝0，曲线C 2的参数方程为(0<α<π)，若曲线C 1 与C 2 有两个不同的交点，则实数m的 取值范围是____________． 【答案】. 【解析】曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，如

图， 直线与圆有两个不同的交点，即在直线（经过点的直线）与（经过点的直线）之间，当直线与重合时，，当直线经过点时，，综上得. 【考点】直角坐标与极坐标的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系. 5.在曲线C 1:(θ为参数,0≤θ<2π)上求一点,使它到直线C 2 :(t为参数)的距 离最小,并求出该点坐标和最小距离. 【答案】(1-,-) 最小值1 【解析】直线C 2 化成普通方程是x+y-1+2=0, 设所求的点为P(1+cosθ,sinθ), 则P到直线C 2 的距离 d= =|sin(θ+)+2|, 当θ+=时,即θ=时,d取最小值1, 此时,点P的坐标是(1-,-). 6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为 (θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐 【答案】(2,2)， 【解析】因为直线l的参数方程为 (t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0. 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x. 联立方程组 解得公共点的坐标为(2,2)， 7.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角 坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为． （Ⅰ）求曲线直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值． 【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》经典测试题及答案

数学《坐标系与参数方程》复习资料 一、13 1．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v （,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ） A ．[21,221]-+ B ．[422,422]-+ C ．22 [1,2]22- + D ．22 [1,2]44 - + 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r 的坐标．分类讨论，当 动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， (0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r ， 当点Q 在CD 上运动时，设(4,), [0,4]Q t t ∈， 则点P 在圆Q ：22 (4)()1x y t -+-=上及内部， 故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，

则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r ， 44cos 4sin m r n t r θθ =+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ⎛ ⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭， 04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 t r π θ=== 时，m n +24+ m n ∴+的取值范围是1244⎡- +⎢⎣ ⎦ ； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈， 则点P 在圆Q ：22 ()(4)1x s y -+-=上及其内部， 故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤， 则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r ， 4cos 44sin m s r n r θθ =+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ⎛ ⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭， 04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 s r π θ=== 时，m n +取最大值为 84 +，即24+， m n ∴+的取值范围是1244⎡- +⎢⎣ ⎦ ； 故选：D ． 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y =

高三数学参数方程试题答案及解析

高三数学参数方程试题答案及解析 1.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.【答案】 【解析】联立消可得,故填. 【考点】参数方程 2.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2 【答案】C 【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确. 【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式. 3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1和C 2 的参数方程分别为和 ，则曲线C 1与C 2 的交点坐标为_______。 【答案】 【解析】由参数方程知: 曲线C 1与C 2 的普通方程分别为,,所以解方 程组可得交点坐标为. 【考点】本题考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化,以及它们交点坐标的求解. 4.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值． 【答案】1 【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将 代入，整理可得．所以． 【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角） 设，两点对应的参数值分别为，． 将代入， 整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以） 所以． 10分

【考点】直线的参数方程 5.如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 . 【答案】(为参数) 【解析】x2+y2-x=0圆的半径为，圆心为C（，0）.连接CP，则∠PCx=2 所以P点的坐标为:(为参数) 6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________． 【答案】1 【解析】圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式. 7.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点 按坐标变换得到曲线． （1）求曲线的普通方程； （2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化 能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入中，得到曲线的参数方 程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出，由于点A在曲线上，所以将得到的代入到曲线中，得 到的关系，即为中点的轨迹方程. 试题解析：（1）将代入，得的参数方程为 ∴曲线的普通方程为． 5分 （2）设，，又，且中点为 所以有： 又点在曲线上，∴代入的普通方程得 ∴动点的轨迹方程为． 10分 【考点】参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.