因动点产生的相切问题

因动点产生的相切问题

例1 2012年河北省中考

如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．

（1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而

变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切

时，求t的值．

图1

答案（1）点C的坐标为(0,3)．

（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，4

t=

如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，4

t=+

图2 图3

（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；

如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；

如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．

图4 图5 图6

例2 2012年无锡市中考模拟

如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P

从A 出发，AC 向C 作匀速运动；与此同

时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．

（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；

（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙

P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？

答案（1）因为2

AQ t

AB

=，

2

AP t AC =

，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ．

（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1

)2

t =．解得6t =．

如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．

如图4，由PQ ＝PC ，得t =．解得3t =． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．

因此，当6t =或1＜t ≤3t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点．

当6＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．

图2 图3 图4 图5

例3 例4 例5 例6 例7

17.(2012年浙江省嵊州市评价)如图，已知抛物线4)1(9

4

2+--=x y ，与x 轴交于A 、B 两点，

点C 为抛物线的顶点。点P 在抛物线的对称轴上，设⊙P 的半径为r ，当⊙P 与x 轴和直线BC 都相切时，则圆心P 的坐标为 ▲ 。

答案：)2

3,1(，)6,1(-

29.（2014?福建福州,第22题14分）如图，抛物线()2

1y x 312

=--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求点A ，B ，D 的坐标；

（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD .

求证：∠AEO =∠ADC ；

（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标

.

第4题

【答案】（1

）(

)30

，()

30，()3,1- ；（2）证明见解析；（3）（5， 1）；（3，1）

或1913,55?? ???

.. 【解析】

可得222PQ EP EQ =-，即()()222m 5n 151-+-=-，联立二方程解得m 3n 1=??=?或19m 513

n 5?=

???

?=??

，

从而得到点Q

（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理得22PQ EP 1=-，

考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.

【019】如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，

和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D

出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、

1

2

t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．

①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．

【019】解：（1）(50)C t -，

，34355P t t ?

?- ???，． （2分） （2）①当C ⊙的圆心C 由点

()

50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时，

有3532t -≤，即

4

3t ≥． 当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，

得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得48

5t CF -=

． 由

12CF ≤

t ，即48152t t -≤，解得16

3t ≤

．

∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值范围为416

3

3t ≤≤

． （5分）

②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222

PA PQ AQ =+

2

21633532525t t t ?

?=+--+ ???．22

29184205t t t ∴-+=，即2

972800t t -+=．

解得

1242033t t ==

，． （7分）

当PA PB =时，有PC AB ⊥，

3

535t t

∴-=-．解得35t =． （9分）

当PB AB =时，有

2

2

2

2

2161

3532525PB PQ BQ t t t ??=+=+--+ ?

?

?． 22

132

4205t t t ∴

++=，即2

78800t t --=． 解得

4520

47t t ==-

，（不合题意，舍去）． （11分）

∴当PAB △是等腰三角形时，

43t =

，或4t =，或5t =，或20

3t =

． （12分）

【038】如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．

阅读理解：

第（2）题

备用图

（1）如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到

⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在

∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由 ⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋

转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n

周．

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自

转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=

1

2

c ．⊙O 从 ⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动 到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．

拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D

的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．

（2）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于

点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接．．写 出⊙O 自转的周数．

【038】解：实践应用（1）2；l c

．16；1

3．（2）54．

拓展联想（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了l

c

周．

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O 自转了

360

1360

（周）

．

图13-4

图13-1

图13-2

图13-3

图13-5

∴⊙O 共自转了（l

c

+1）周．

（2）l

c

+1．

【041】如图11，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的

速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

【041】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） ∴∠ACB ＝90o（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC ＝60o（已知） ∴∠BAC ＝180o－∠ACB －∠ABC ＝ 30o（三角形的内角和等于180o） ∴AB ＝2BC ＝4cm （直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为4cm ．

（2）如图10（1）CD 切⊙O 于点C ，连结OC ，则OC ＝OB ＝1/2·AB ＝2cm ． ∴CD ⊥CO （圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD ＝90o（垂直的定义） ∵∠BAC ＝ 30o（已求）

∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60o ∴∠D ＝180o－∠COD －∠OCD ＝ 30o∴OD ＝2OC ＝4cm ∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ） ∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得：

BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；

如图10（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC ∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2解得：t ＝1

如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA ∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4解得：t ＝1.6 ∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形．

图10（3）

B

图10（1）

B

图10（2）

【043】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90o，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC

＝22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t (s )． (1)当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ (2)当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？

【043】（1）解：∵直角梯形ABCD ，

AD BC ∥ PD QC ∴∥

∴当PD QC =时，四边形PQCD

为平行四边形．

由题意可知：2AP t CQ t ==，

82t t ∴-=

38t = 83

t =

∴当8

3

t s =时，四边形PQCD 为平行四边形． ·

························································ 3分 （2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E 直角梯形ABCD AD BC ，∥

PE AB ∴=

由题意可知：2AP BE t CQ t ===，

222BQ BC CQ t ∴=-=-

222223EQ BQ BE t t t =-=--=- AB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=° AD BC ∴、为O ⊙的切线

B

Q

B

Q

E

AP PH HQ BQ ∴==，

22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=- ·························································· 5分

在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=，22212(223)(22)t t ∴+-=- 即：2

8881440t t -+=，2

11180t t -+=，(2)(9)0t t --=

1229t t ∴==，，因为P 在AD 边运动的时间为8

811

AD ==秒 而98t =>，9t ∴=（舍去），∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切． ·································· 8分

因动点产生的直角三角形问题

因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 图1 思路点拨 1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个． 2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 （1）由， 得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于 △ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等． 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对

应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H． 由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以． 所以，点D的坐标为． 因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG． 而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为． 图2 图3 （3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M． 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了． 联结GM，那么GM⊥l． 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6． 所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为． 根据对称性，直线l还可以是． 考点伸展 第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式． 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5． 因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C． 例2 2012年杭州市中考第22题

2014挑战中考数学压轴题_1.7因动点产生的相切问题

1.7 因动点产生的相切问题 例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点． （1）当1 A=时，求AP的长； tan 2 （2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y 关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当4 A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙ tan 3 Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形． 请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，y与x 成反比例．拖动点P使得5 QP=，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内 2 切，同时与⊙Q相外切．拖动点P使得5 QP=，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与 2 ⊙O、⊙Q都内切． 思路点拨 1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理． 2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似． 3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程． 满分解答

（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ． 在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2 A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32． 解得m =24AP AH m ===． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形． 又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP PO PA =，即33y x =． 由此得到9y x =．定义域是0＜x ≤6． 图4 图5 （3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径． 在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52 QP =． 如图7，设⊙M 的半径为r ． 由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52 QM r =+． 在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52 QM r =+，由勾股定理，得 22255()(3)()22r r +=-+．解得911 r =． 图6 图7 图8 考点伸展 如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多 少？

因动点产生的等腰三角形问题(三)

因动点产生的等腰三角形问题 1、（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4， ∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ， 解得， ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在， 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，

当y=2时，在Rt △POD 中，∠PDO=90°，sin ∠POD==， ∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P 、O 、B 三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P 的坐标为（2，﹣2） ②若OB=PB ，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2， 故点P 的坐标为（2，﹣2）， ③若OP=BP ，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2， 故点P 的坐标为（2，﹣2）， 综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2 ）， 2、（湖州中考） 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点。P （0，m ）是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交A B 的延长线于点D 。 ⑴求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； ⑵当△APD 是等腰三角形时，求m 的值； ⑶设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2），当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动。请直接写出点H 所经过的路径长。（不必写解答过程） 3、（盐城中考）如图，已知一次函数y =- x +7与正比例函数y = 4 3 x 的图象交于点A ， 且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴． A O C P B D M x y A O C P B D M x y （第24题图） 图1 图2 E

因动点产生的相似三角形问题)

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题 直线113 y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标； (2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提． 4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个． 满分解答 （1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)． （2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,2,3.a b c =-??=??=? 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．

(完整版)汇编《因动点产生的面积问题》含答案

例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”． 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标． 图1 备用图

如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”． 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个． 思路点拨 1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长． 2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值． 满分解答 （1）抛物线的解析式为21 88 y x =-+． （2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218 x ． 而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128 x +． 因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个． 在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值． 而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．

中考压轴题_因动点产生的直角三角形问题

因动点产生的直角三角形问题 一．解答题（共7小题） 1．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？ （3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的 值． 2．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=_________（s）时，△PBC是直角三角形； （2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ （4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q 都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由． 3．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=﹣2x+4．点B'是OA上 的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

因动点产生的平行四边形问题

因动点产生的平行四边形问题 例1（上海市中考第24题）已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数 3 3 4 y x =+的 图像与y轴交于点A，点M在正比例函数 3 2 y x =的图像上，且MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M． （1）求线段AM的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在 一次函数 3 3 4 y x =+的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 图1 满分解答 （1）当x＝0时， 3 33 4 y x =+=，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为3 2 ．将 3 2 y= 代入 3 2 y x =，得x＝1．所以点M的坐标为 3 (1,) 2 ．因此AM=． （2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M 3 (1,) 2 ，所以 3, 3 1. 2 c b c = ? ? ? ++= ?? 解得 5 2 b=-， 3 c=．所以二次函数的解析式为25 3 2 y x x =-+． （3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m． 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入25 3 2 y x x =-+，得2 3216103 m m m -=-+．解得1 2 m=或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．

图2 图3 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况： 如图4，点C的坐标为 727 (,) 416 ． 图4 例2（江西省中考第24题）将抛物线c1：2 y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示． （1）请直接写出抛物线c2的表达式； （2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E． ①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 图1 满分解答 （1）抛物线c2的表达式为2 y= （2）抛物线c1：2 y=+x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为． 抛物线c2：2 y=x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(m -，与x轴的两个交点为(1,0) A m --、(1,0) B m -，AB＝2．

2018年中考压轴题汇编因动点产生的平行四边形问题含答案

1.4 因动点产生的平行四边形问题 成都市中考第28年题例1 20172－2ax－3a（a＜＝ax0）与x轴交于A、B两点1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yyy轴负半轴交于点C，与抛物线的＝kxb：在点B的左侧），经过点A的直线l与A（点＋另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； 5，求a的面积的最大值为的值；E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE点（2）4 （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理 由． 图1 备用图

例2 2017年陕西省中考第24题 2＋bx＋c经过A(－3,0)和Bx如图1，已知抛物线C：y＝－(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标； （3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？ 图1

例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题 2＋bx＋c经过A(0, 1)、y1，已知抛物线＝－xB(4, 3)两点．如图（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐 标． 图1

例4 2017年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径 长． 图1 图2

动点问题(与圆相关)

动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分 （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值最大值是多少 （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A P Q B y C O x A 备用图 B y C O x A 备用图

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1 个单位的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时 间为t（s）． （1）当t为何值时，MN∥BC （2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证： 点P的位置固定不变； （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得 MN与半圆O相切若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若 不存在，请说明理由．A C B D M N

3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点 出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒． ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC 求出t的值． C

因动点产生的平行四边形(最新整理)

因动点产生的平行四边形 问题： （1）以平面上的点A,点B，点C为顶点，求构成平行四边形的第四个点。 （2）平面直角坐标系中已知平行四边形的三个点，求第四个点的坐标，要分类讨论。 例1: 在平面直角坐标系中，点A(1,0),B（4，0）,点C在y轴的正半轴上，且OB=2OC (1)求直线BC的解析式； (2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标。 例2: 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例 函数y=kx的图象与双曲线交于点A，且点A的横坐 标为． (1)求k的值． (2)将直线y=kx向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于点B、C，如点D 在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．

例3: 如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角 点A在x轴上，点C在y轴上，O C= 三角形纸片，点O与原点重合， ，∠CAO=30度．将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE． (1)求折痕CE所在直线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-1)三点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．

中考数学压轴题专题训练第3讲动点产生的菱形梯形、相切

中考压轴题专题训练第3讲动点产生的菱形梯形、相切 【知识梳理】 1、因动点产生的梯形问题：根据已知条件准确画出梯形的形状，确定相关点的坐标 2、因动点产生的相切问题：作出临界条件下相切的圆的形状（分情况讨论），找出相等关系， 列出方程求解 题型一动点产生的菱形问题 【例题精讲】 例1.（2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C的坐标为（－18，0）。 （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F， 在Rt△BCF中 ∵∠BCO=45°，BC=122，∴CF=BF=12 。 ∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。 ∴点B的坐标为（－6，12）。 （2）过点D作DG⊥y轴于点G， ∵OD=2BD，∴OD=2 3 OB。 ∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。

∵ DG OD OG 2 AB OB OA 3 ===，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D （－4，8），E （0，4）。 设直线DE 解析式为y=kx+b （k ≠0） ∴ 4k b 8 b 4-+=??=? ，解得k 1 b 4=-??=?。∴直线DE 解析式为y=－x+4。 （3）结论：存在。 点Q 的坐标为：（22 ，－2 2），（－22 ，2 2），（4，4），（－2，2）。 【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。 【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF ，求出BF 、CF 的长度，即可求出B 点坐标。 （2）已知E 点坐标，欲求直线DE 的解析式，需要求出D 点的坐标．构造△ODG ∽△OBA ，由线 段比例关系求出D 点坐标，从而可以求出直线DE 的解析式。 （3）如图所示，符合题意的点Q 有4个： 设直线y=－x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ， 则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，EF=42。 ①菱形OEP 1Q 1，此时OE 为菱形一边。 则有P 1E=P 1Q 1=OE=4，P 1F=EF －P 1E=42－4。 易知△P 1NF 为等腰直角三角形， ∴P 1N=NF= 2 2 P 1F=4－22。 设P 1Q 1交x 轴于点N ，则NQ 1=P 1Q 1－P 1N=4－（4－22）=22。 又ON=OF －NF=22，∴Q 1（22 ，－22）。 ②菱形OEP 2Q 2，此时OE 为菱形一边。此时Q 2与Q 1关于原点对称，∴Q 2（－22，22）。 ③菱形OEQ 3P 3，此时OE 为菱形一边。 此时P 3与点F 重合，菱形OEQ 3P 3为正方形，∴Q 3（4，4）。 ④菱形OP 4EQ 4，此时OE 为菱形对角线。 由菱形性质可知，P 4Q 4为OE 的垂直平分线， 由OE=4，得P 4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P 4（2，2）。 由菱形性质可知，P 4、Q 4关于OE 或x 轴对称，∴Q 4（－2，2）。 综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，点Q 的坐标为：Q 1（22， －22），Q 2（－22，22），Q 3（4，4），Q 4（－2，2）。

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题 G D M D C 0 6 B (1)求/ APC 与Z ACD 的度数 ⑶OD 动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周 Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点E S A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M 2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐 ⑴求证：OD 与边BC 也相切 向左移动正 M , N 分别是边BC , AD ⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二) (2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上. 过点B 作的一条切线BE , E 为切点. 如图1,当点A 在。O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由 1、如图,?O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧 O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C 團2 与AB 、 过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 A B 点(不与A. C 重合) F D C ( F 图1 4、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时 DFC / 图3 BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° ° AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H . t 7』 B\ / 1

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题的教学设计 一、教学内容分析 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题，它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；它集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。而做这种题就是要抓住图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图形的运动的过程，用静态的方法来研究运动当中的变与不变的函数关系，把复杂的运动过程化为简单的数学问题。复习时，除了深刻理解图形的基本性质外，还必须注重数形结合、转化等数学思想方法的学习，努力发展空间观念，切实提高分析解决问题的能力。 二、学情分析 九年级的学生已经具备了抽象、概括和分析问题解决问题的能力，通过合作交流、共同探讨，形成了一定的探究能力，此年龄段的学生独立意识、表现欲望较为强烈，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。因此在课程内容的安排中创设了一些具有一定难度的问题，加强学生在学习过程中自主探索与合作交流的紧密结合，鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，从中获得成功的体验，激发学习热情。 三、教学目标：

（1）知识与技能： 培养学生观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力。引导学生正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的关系，（2）过程与方法： 通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力；（3）情感、态度与价值观 让学生通过观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力，培养学生数形结合的思想。 四、教学重难点： 重点：如何探索动点运动的特点和规律。 难点：如何探索动点运动的特点和规律。 五、教学方法分析 根据本专题的特点，为了较好的达成本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我采用教师启发引导，学生合作交流的方式来组织本节课的教学。同时利用Z Z动态演示图形的运动变化过程，化抽象为直观，采取动中觅静、动静互化、以动制动的策略来帮助学生寻找图形中的基本关系，突破难点。 六、教学策略与手段： 新教材倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以

2018年中考压轴题汇编《因动点产生的等腰三角形问题》含答案

1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2017年重庆市中考第25题 如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF． （1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB、BD的长； （2）如图1，求证：HF＝EF． （3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由． 图1 图2

例2 2017年长沙市中考第26题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0) 和 1 ) 16 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值； （2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标． 图1

例3 2018年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1

因动点产生的等腰三角形问题

因动点产生的等腰三角形问题 例1、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC 上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线． 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)．

动点例题解析(答案)

初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。

因动点产生的相似三角形问题(解析)

因动点产生的相似三角形问题(解析) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧 时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与 △AOM 相似． 满分解答 （1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH A (1-． 因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得 a = 图2 所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x =-=． （2）由221)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1-、B (2,0)、M (1,，

得tan 3ABO ∠=，AB =3 OM =． 所以∠ABO ＝30°， OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当BA OA BC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当BC OA BA OM ==时，6BC ==．此时C (8,0)． 图3 图4 2、如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q

8、因动点产生的切线问题

1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点． （1）当1tan 2 A =时，求AP 的长； （2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当4tan 3 A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长． 图1 图2 图3 满分解答 （1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ． 在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2 A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32． 解得355m =．所以125245 AP AH m ===． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形． 又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP PO PA =，即33 y x =． 由此得到9y x =．定义域是0＜x ≤6．

图4 图5 （3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径． 在Rt △QPD 中，132 2 PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52 QP =． 如图7，设⊙M 的半径为r ． 由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52 Q r QP ==，可得圆心距52 QM r =+． 在Rt △QOM 中，52 QO =，OM ＝3－r ，52 QM r =+，由勾股定理，得 22255()(3)()22 r r +=-+．解得911r =． 图6 图7 图8 考点伸展 如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？ 同样的，设⊙M 的半径为r ． 由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3． 由⊙M 与⊙Q 内切，52 Q r QP ==，可得圆心距52 QM r =-． 在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()2 2 r r -=-+．解得r ＝9． 例2 2012年河北省中考第25题