人教版数学中考总复习学案全套(提高版)

中考总复习：实数—知识讲解 （提高）

【考纲要求】

1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；

2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；

3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；

4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、实数的分类 1.按定义分类：

??????????

?????????????

???????

????????

????????????

正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：

?????????

??

???

??

?????????????

正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零

负整数负有理数负实数负分数

负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n

m

（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：

常见的无理数有以下几种形式：

（1）字母型：如π是无理数，

24

ππ

、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；

（3）根式型：3256、、，

…都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二、实数的相关概念 1.相反数

（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数?a+b=0. 2.绝对值

（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

可用式子表示为：???

??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a

（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．

用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 3.倒数

（1)实数(0)a a ≠的倒数是

a

1

；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ??=. 4.平方根

（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±

．

（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ．

5.立方根

如果x 3

=a ，那么x 叫做a 的立方根．

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 要点诠释：

若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.

考点三、实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.

考点四、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.

3.对于实数a 、b ， 若a-b>0?a>b ；a-b=0?a=b ；a-b<0?a

4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2

>b 2

?a>b b a >?； 或利用倒数转化：如比较417-与154-.

要点诠释：

实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.

考点五、实数的运算 1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．

满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法

（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．

（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方

（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n

所表示的意义是n 个a 相乘.

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数0

1

1(0)(0).p

p

a a a

a a -==

≠，≠ 要点诠释：

（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、

一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． （2）实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

考点六、有效数字和科学记数法 1.近似数

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 2.有效数字

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法

把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．

要点诠释：

（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n

，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；

（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.

考点七、数形结合、分类讨论、建模思想 1.数形结合思想

实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口； 2.分类讨论思想

（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；

3. 从实际问题中抽象出数学模型

以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.

【典型例题】

类型一、实数的有关概念

1．在实数－

23，0，3，－3.14，2

π

，4，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C ；

【解析】在上面所给的实数中，只有3，

2

π

，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有理数，故选C.

【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无

限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如4=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，?但它是无限不循环小数，是无理数．

2

π

是无理数，而不是分数． 举一反三：

【高清课程名称： 实数 高清ID 号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-4】

【变式】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______，

绝对值等于它本身的数是______． 【答案】±1；0；非负数.

类型二、实数有关的计算

【高清课程名称： 实数 高清ID 号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】

2．(1)有一列数17

4

,103,52,21--，…，那么依此规律，第7个数是______； （2）已知123112113114

,,,1232323438345415a a a =

+==+==+=??????=

4a 6541??,,24

551 =+ 依据上述规律，则99a = ． 【答案】(1) 750

－

； （2）100

9999.

【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数

分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是7

50

－

. （2）99a =.9999

100

1001101100991=+??

【点评】(1) 规律：21)1

n n

n ?+(－（n 为正整数）；

（2）规律：

111

(1)(2)1(2)

n n n n n n n ++=++++（n 为正整数）.

举一反三：

【变式】a 是不为1的有理数，我们把

1

1a

-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是

11

1(1)2

=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，

依此类推，则2009a = ．

【答案】因为11

3a =-

，

,43

.)

3

1(112=

--=a ,4.4

3113

=-=a ,3

1.4114-=-=

a ,4

3

.)

3

1

(115=

--=

a ,4.4

3116=-=a ……..三个一循环，因此2009a =.4

3)3

1

(11

2=--=

a

类型三、实数大小的比较

3．若2007

2008

a =

，20082009b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小． 【答案与解析】a=2007200920082009??(20081)(20081)20082009-?+=?222008120082009-=

?，b 2

200820082009

=?，222200812008-<，

∴ a

【点评】通过通分进行比较. 举一反三：

【变式】当0b ≠时，比较1＋b 与1的大小. 【答案】（1）∵b≠0时，∴b＞0或b ＜0．

当b ＞0时，1＋b ＞1， 当b ＜0时，1＋b ＜1.

类型四、平方根的应用

4．已知0)2(123

1

2=-++++

c b a ，求bc a 的值. 【答案与解析】∵13a +

≥0，21b +≥0，2

(2)c -≥0，0)2(123

12=-++++c b a .

∴10321020

a b c ?+=??+=??-=?

? 解得13122a b c ?=-??

?=-??=??

?

则11()33bc

a -=-=-.

【点评】利用a ≥0，a ≥0，n

a

2≥0（n 为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，

得一个三元一次方程组，解得a 、b 、c 的值，代入后本题得以解决。

举一反三：

【变式】已知x 、y 是实数，且34x ++（y 2

－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（ ）

A ．

14 B ．－14 C ．74 D ．－74

【答案】A. ∵34x ++（y －3）2

=0， ∴3x+4=0，y －3=0， ∴x=－

4

3

，y=3． ∵axy－3x=y ，∴－

43×3a－3×（－43）=3， ∴a=14

∴答案选A.

类型五、实数运算中的规律探索

5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？

（2）设a 、b 都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b 的正确性？ 【答案与解析】

（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指； （2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a ；

右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b 两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指数的积为（10-a ）×（10-b ）=100-10a-10b+a×b

根据题中的规则，a×b 的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b） 而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b 所以用题中给出的规则计算a×b 是正确的．

【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关

系．

6．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是（ ） A ．363 B ．153 C ．159 D ．456 【答案】B ；

【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；

第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B ．

【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求

的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．

举一反三：

【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n 个图形是由n 个正方形组成的，通过观察可以发现：

4

=n 3=n 2=n 1=n

（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ；

（2）第n 个图形中火柴棒的根数是 .

【答案】（1）13；（2）13+n .

【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；

当按顺序从第m 个数到第n 个数（m ＜n ）时，共数了 个数。 【答案】5；)1(+-m n .

中考总复习：实数—巩固练习 （提高）

【巩固练习】 一、选择题 1. 在实数π、

1

3

、2、sin30°,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 对于实数a 、b ，给出以下三个判断：

①若b a =，则 b a =．②若b a <，则 b a <． ③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

3．根据第六次全国人口普查的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，将1 370 000 000用科学记数法表示应为（ ）

A. 100.13710?

B. 91.3710?

C. 813.710?

D. 713710?

4．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为

半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A ．2.5

B ．2 2

C ． 3

D ． 5

5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（ ）

A ．38

B ．52

C ．66

D ．74

6. 若a 、b 两数满足567a ?3＝103，a ÷103

＝b ，则b a ?之值为（ ）

A ．9656710

B ．9356710

C ．6

356710 D ．567

10

二、填空题

7．（1）先找规律，再填数：

0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 8

44 m 6

1111111111111111,,,,122342125633078456

............

111+_______.2011201220112012

+-=+-=+-=+-=-=?则 （2）对实数a 、b ，定义运算★如下：a ★b=(,0)

(,0)

b

b a a b a a a b a -?>≠??≤≠??，

例如2★3=2-3

=1

8

.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]= . 8．已知：

,

,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算2

7A = （直接写出计算结果）， 并比较59A 310A （填“>”或“<”或“=”）

9．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ．请你按图中箭头所指方向(即

A →

B →

C →

D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，

对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．

10．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为___________.

11．已知

，当n=1时，a 1=0；当n=2时，a 2=2；当n=3时，a 3=0；… 则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6

的值为___________．

12．在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图，，其中a ，b ，c 是三个连续偶

数(a

间选择另一组符合条件的数填入下图：

.

三、解答题

13．对于任何实数，我们规定符号

c a d

b 的意义是：

c a d

b =b

c a

d -．按照这个规定请你计算：

当0132=+-x x 时，21-+x x 1

3-x x

的值．

14. 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]33

22,3-=??

???

?-=π等），

求111212323201320122013?

????

?+++?

????

?-?-?-???????

的值.

15．根据以下10个乘积，回答问题：

11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20.

(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2

”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程； (2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； (3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)

16.已知等边△OAB 的边长为a ，以AB 边上的高OA 1为边，按逆时针方向作等边△OA 1B 1，A 1B 1与OB 相交于点A 2.

(1)求线段OA 2的长；

(2)若再以OA 2为边按逆时针方向作等边△OA 2B 2，A 2B 2与OB 1相交于点A 3，按此作法进行下去，得到 △OA 3B 3，△OA 4B 4，…，△OA n B n (如图).求△OA 6B 6的周长.

【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；

【解析】π、2是无理数.

2.【答案】C ；

【解析】通过举反例说明①②是不对的，只有③是正确的. 3.【答案】B ；

【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为1010n a a

时关键要正确确定a 的值以及n 的值，故选B.

4.【答案】D ；

【解析】用勾股定理求得OB= 5 即可. 5.【答案】D ；

【解析】先分析出阴影方格的数，如图，找出规律：m=左下角方格的数的平方加上右上角方格的数.

6.【答案】C ；

二、填空题 7．【答案】（1）

1

1006

；（2）1； 【解析】（1）规律为：1111

11(1)2

n n n n n +-=

+++（n 为正整数）. （2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4

×（-4）2

=1.

8．【答案】42；>.

【解析】27A =7×6=42；∵59

A =9×8×7×6×5，310A =10×9×8，∴59A >3

10A .

9．【答案】B ；603；6n ＋3；

【解析】字母C 第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。 10．【答案】4；

【解析】第一次结果是-2，继续输入得到结果是4，符合题意. 11．【答案】6；

【解析】a 1=a 3=a 5=…=0，a 2=a 4=a 6=…=2，所以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=6. 12．【答案】

三、解答题

13.【答案与解析】

14.【答案与解析】

1

212-?=

221122+=+ , 1212??

??-???

= 1，

1

323-?=

362

133+=+ , 1323????-???

= 1，

… …

1

201320122013-?=

2013201320122012120132013+?=+ 1201320122013?

???-???

= 1， 原式=2012个1相加=2012.

15.【答案与解析】

(1)11×29=202-92；12×28=202-82

； 13×27=202-72；14×26=202-62； 15×25=202-52；16×24=202-42； 17×23=202-32；18×22=202-22； 19×21=202-12；20×20=202-02； 例如：11×29；假设11×29=□2-○2；

)2(3)1)(1(1

32

1---+=--+x x x x x x

x x .

162631222-+-=+--=x x x

x x .

1121)32.

13,013222=-=---=∴-=-∴=+-x x x x x x （原式

因为□2-○2=(□+○)(□-○)

所以，可以令□-○=11，□+○=29

解得，□=20，○=9，故11×29=202-92

(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)

(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：

11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.

(3)①若a+b=40,a,b是自然数，则ab≤202=400.

②若a+b=40，则ab≤202=400.

③若a+b=m，a，b是自然数，则

④若a+b=m，则

⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|a n-b n|，

则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n.

⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|a n-b n|，

则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n.

16.【答案与解析】

(1)

(2)依题意，

以此类推，

，即△OA6B6的周长为

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（提高）

【考纲要求】

1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；

2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简

中进行考查.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、整式

1.单项式

数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2.多项式

几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．

要点诠释：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3.整式

单项式和多项式统称整式．

4.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．

5.整式的加减

整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6.整式的乘除

①幂的运算性质：

②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相

加．用式子表达：

④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：

平方差公式：

完全平方公式：

在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

要点诠释：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）.

（4）公式()=m n mn a a 的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （5）逆用公式： ()()n

m

mn

m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，

从而解决问题.

（6）公式()=?n n n ab a b 的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数).

（7）逆用公式：()n

n n

a b ab =逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，

计算更简便.如：1010

101122 1.22????

?=?= ? ?????

（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数

之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，

()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.

考点二、因式分解 1.因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法

（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：

平方差公式：))((2

2

b a b a b a -+=-；完全平方公式：2

2

2

)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2

b x a x ab x b a x ++=+++

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.

（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

（6）运用求根公式法：若)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：

))((212x x x x a c bx ax --=++.

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

要点诠释：

（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. （5）分组分解法分解因式常用的思路有： 方法

分类

分组方法

特点

分组分解法

四项

二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项

先完全平方公式后平方差公式 五项

三项、二项 各组之间有公因式 六项

三项、三项

二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项

可化为二次三项式

【典型例题】

类型一、整式的有关概念及运算

1．若多项式x 2

+ax+8和多项式x 2

-3x+b 相乘的积中不含x 2

、x 3

项，求（a-b ）3

-（a 3

-b 3

）的值．

【思路点拨】

多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a 、b 等式，求出a 、b 后再求代数式值．

【答案与解析】

解：∵（x 2

+ax+8）

（x 2

-3x+b ）=x 4

+（a-3）x 3

+（b-3a+8）x 2

+（ab-24）x+8b ， 又∵不含x 2

、x 3

项， ∴a-3=0，b-3a+8=0，

解得a=3，b=1，

∴（a-b ）3

-（a 3

-b 3

）=（3-1）3

-（33

-13

）=8-26=-18．

【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一

项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解．

2．设m 2

＋m －2＝0，求m 3

＋3m 2

＋2012的值．

【思路点拨】可以把m 3＋3m 2＋2012及m 2

＋m －2＝0变形． 【答案与解析】

由m 2＋m －2＝0，得m 2＝2－m ，m 2

＋m ＝2，

原式＝m 2·m ＋3m 2

＋2012

＝（2－m ）·m ＋3m 2

＋2012

＝2m －m 2＋3m 2

＋2012

＝2（m 2

＋m ）＋2012 ＝2×2＋2012 ＝2016

【总结升华】要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．

3．已知25m

x

=，求61

55

m x -的值．

【答案与解析】

∵ 25m

x

=，∴ 6233111

5()55520555

m m x x -=-=?-=．

【点评】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m a a a ==．

（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．

举一反三：

【变式】已知2a

x =，3b

x =．求32a b

x +的值．

【答案】 32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===?=?=．

类型二、因式分解

4．多项式22

2225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；

【解析】 ()()2

2

22

222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.

【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值.

5．把3443ax by ay bx +++分解因式． 【答案与解析】

解法一：3443(34)(44)ax by ay bx ax ay bx by +++=+++

(34)(34)(34)()a x y b x y x y a b =+++=++．

解法二：3443(33)(44)ax by ay bc ax bx ay by +++=+++

3()4()()(34)x a b y a b a b x y =+++=++．

【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，

如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式a 和b ，并且另一个因式都是

(34x y +)，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．

举一反三：

【变式1】分解因式：222

44a b ab c +--

【答案】原式()()()2

2222

(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--.

【高清课程名称：整式与因式分解 高清ID 号：399488 关联的位置名称（播放点名称）：例3（3）-（4）】 【变式2】(1)16x 2

－(x 2

＋4)2

； (2).44

12

+-x 【答案】

(1)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2

＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2

＋4)]

＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2

－4x ＋4)

＝－(x ＋2)2(x －2)2

．

(2)原式)16(4

1

2--=x

).4)(4(4

1

-+-=x x

类型三、因式分解与其他知识的综合运用

6．若a 、b 、c 为三角形的三边边长，试判断2

2

22

22

()4a b c a b +--的正负状况．

【思路点拨】

将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号.