2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 复数的几何意义习题 新人教A版选修2-2

第一章 2.3 复数的几何意义

A级基础巩固

一、选择题

1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A )

A．必须运用假设

B．n可以部分地运用假设

C．可不用假设

D．应视情况灵活处理，A，B，C均可

[解析]由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．2．(2018·嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( A )

A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k

C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k

[解析]假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除．

当n＝k＋1时，

5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k

＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k

＝5(5k－2k)＋3×2k

故选A．

3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k

k ＋2＋k＋＝k2＋3k＋2

∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( D )

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．

4．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n

能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( C )

A ．假设n ＝k (k ∈N *

)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋2时命题也成立 D ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N )时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立

[解析] ∵n 为正奇数，当n ＝k 时，k 下面第一个正奇数应为k ＋2，而非k ＋1．故应选C ．

5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( C ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1

D ．f (n )＋n －2

[解析] 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1．故应选C ．

6．(2018·杏花岭区校级期中)等式12＋22＋32＋…＋n 2

＝12(5n 2－7n ＋4)( B )

A ．n 为任何正整数都成立

B ．仅当n ＝1,2,3时成立

C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立

D ．仅当n ＝4时不成立

[解析] 当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，成立； 当n ＝2时，左边＝1＋4＝5，右边＝5，成立； 当n ＝3时，左边＝1＋4＋9＝14，右边＝14，成立； 当n ＝4时，左边＝1＋4＋9＋16＝40，右边＝28，不成立； 当n ＝5时，左边＝1＋4＋9＋16＋25＝65，右边＝94，不成立； 故选B ． 二、填空题

7．(2017·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n ＝k (k ∈N )时命题成立可以推出n ＝k ＋1时命题也成立．现已知n ＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：③__(填上所有正确命题的序号)

①n ＝11时，该命题一定不成立； ②n ＝11时，该命题一定成立； ③n ＝1时，该命题一定不成立；

④至少存在一个自然数，使n ＝n 0时，该命题成立．

[解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P (n )对n ＝10时该命题不成立，(否

则n ＝11也成立)．

同理可推得P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立．所以③正确． 故答案为③．

8．观察下列等式，照此规律，第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2

．

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

…

[解析] 将原等式变形如下：

1＝1＝12

2＋3＋4＝9＝32 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72

…

由图知，第n 个等式的左边有2n －1项，第一个数是n ，是2n －1个连续整数的和，则最后一个数为n ＋(2n －1)－1＝3n －2，右边是左边项数2n －1的平方，

故有n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2

． 三、解答题

9．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *

)．

求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论． [解析] 由已知得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2

n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4， 由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25． 猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2

． 用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，可得结论成立．

②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *

)时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝2

b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1

b k ＝

k ＋2k ＋2

k ＋2

＝(k ＋2)2

．

∴当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．

10．(2017·汉阳期中)已知{f n(x)}满足f1(x)＝

x

1＋x2

(x>0)，f n＋1(x)＝f1(f n(x))．

(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想f n(x)的表达式；

(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．

[解析](1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝

f1x

1＋f21x

＝

x

1＋2x2

，

f3(x)＝f1[f 2(x)]＝

f2x

1＋f22x

＝

x

1＋3x2

猜想：f n(x)＝

x

1＋nx2

，(n∈N*)

(2)下面用数学归纳法证明，f n(x)＝

x

1＋nx2

(n∈N*)

①当n＝1时，f1(x)＝

x

1＋x2

，显然成立；

②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即f k(x)＝

x

1＋kx2

，

则当n＝k＋1时，f k＋1＝f1[f k(x)]＝

x

1＋kx 2

1＋

x

1＋kx2

2

＝

x

1＋k＋x2

，

即对n＝k＋1时，猜想也成立；

结合①②可知，猜想f n(x)＝

x

1＋nx2

对一切n∈N*都成立．

B级素养提升

一、选择题

1．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想( D ) A．n≥1时，2n>n2B．n≥3时，2n>n2 C．n≥4时，2n>n2D．n≥5时，2n>n2 [解析]当n＝1时，21>12，即2n>n2；

当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；

当n＝3时，23<32，即2n

当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；

当n＝5时，25>52，即2n>n2；

当n＝6时，26>62，即2n>n2；

…

猜想当n ≥5时，2n >n 2

；

下面我们用数学归纳法证明猜测成立， (1)当n ＝5时，由以上可知猜想成立， (2)设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k >k 2

， 当n ＝k ＋1时，2k ＋1

＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2

，即n ＝k ＋1时，命题

成立，

由(1)和(2)可得n ≥5时，2n >n 2

；

故当n ＝2或4时，2n ＝n 2；n ＝3时，2n n 2

．故选D ．

2．用数学归纳法证明“n 3

＋(n ＋1)3

＋(n ＋2)3

(n ∈N *

)能被9整除”，要利用归纳假设证

n ＝k ＋1时的情况，只需展开( A )

A ．(k ＋3)3

B ．(k ＋2)3

C ．(k ＋1)3

D ．(k ＋1)3

＋(k ＋2)3

[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3

，减少了k 3

，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3

展开，证明余下的项9k 2

＋27k ＋27能被9整除．

二、填空题

3．用数学归纳法证明“2

n ＋1

≥n 2＋n ＋2(n ∈N *

)”时，第一步的验证为当n ＝1时，左边

＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立．

[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *

，∴第一步的验证为n ＝1的情形． 4．对任意n ∈N *,3

4n ＋2

＋a

2n ＋1

都能被14整除，则最小的自然数a ＝5．

[解析] 当n ＝1时，36

＋a 3

能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310

＋35

不能被14整除，故a ＝5．

三、解答题

5．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：这n 条直线将它们所在的平面分成

n 2＋n ＋2

2

个区域．

[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成

k 2＋k ＋2

2

块不同的区域，命题成立．

当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成

k 2＋k ＋2

2

块区域，直

线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它

所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．

从而k ＋1条直线将平面分成

k 2＋k ＋2

2

＋k ＋1＝

k ＋

2

＋k ＋＋2

2

块区域．

所以n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立． 6．(1)用数学归纳法证明： 12

－22

＋32

－42

＋…＋(－1)

n －1n 2

＝(－1)n －1·

n n ＋

2

(n ∈N *

)．

(2)求证：12

－22

＋32

－42

＋…＋(2n －1)2

－(2n )2

＝－n (2n ＋1)(n ∈N *

)． [解析] (1)①当n ＝1时，左边＝12

＝1， 右边＝(－1)0

×

＋2

＝1，

左边＝右边，等式成立．

②假设n ＝k (k ∈N *

)时，等式成立，即 12

－22

＋32

－42

＋…＋(－1)k －1k 2

＝(－1)

k －1

·

k k ＋

2

．

则当n ＝k ＋1时， 12

－22

＋32

－42

＋…＋(－1)k －1k 2

＋(－1)k (k ＋1)2

＝(－1)

k －1

·

k k ＋

2

＋(－1)k

(k ＋1)2

＝(－1)k

(k ＋1)·?

?????k ＋－k

2 ＝(－1)k

·

k ＋

k ＋

＋1]

2

．

∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，

根据①、②可知，对于任何n ∈N *

等式成立．

(2)①n ＝1时，左边＝12

－22

＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n ＝k 时，等式成立，即12

－22

＋32

－42

＋…＋(2k －1)2

－(2k )2

＝－k (2k ＋1)2

． 当n ＝k ＋1时，12

－22

＋32

－42

＋…＋(2k －1)2

－(2k )2

＋(2k ＋1)2

－(2k ＋2)2

＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2

－(2k ＋2)2

＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2

＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何n ∈N *

都成立．

C 级 能力拔高

已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项的和S 10＝185， (1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8， (2)

，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ；

(3)设B n ＝n (5＋3a n )，试比较A n 和B n 的大小，并说明理由．

[解析] (1)设公差为d ，由题意得???

??

a 1＝8－d

185＝10a 1＋45d ，

解得?

??

??

d ＝3，

a 1＝5.

∴a n ＝5＋3×(n －1)＝3n ＋2．

(2)设新数列为{b n }，∴b n ＝a 2n ＝3×2n

＋2． ∴A n ＝3×(2＋22

＋23

＋ (2)

)＋2n ＝3×2

n ＋1

＋2n －6．

(3)∵B n ＝n (9n ＋11)＝9n 2

＋11n ，

∴A 1＝3×4－4－8，A 2＝3×8－2＝22，A 3＝3×16＝48，

A 4＝3×32＋2＝98，A 5＝3×64＋4＝196，A 6＝3×128＋6＝390，A 7＝3×256＋8＝776，……

而B 1＝20，B 2＝58，B 3＝114，B 4＝188，B 5＝280，B 6＝390，B 7＝518，…… ①当n ＝1,2,3,4,5时，B n >A n ； ②当n ＝6时，B 6＝A 6； ③当n ≥7，且n ∈N *

时， 猜想A n >B n ，用数学归纳法证明：

当n ＝7时，A 7＝776>518＝B 7，结论正确； 假设当n ＝k (k ≥7)时，A k >B k ， 即3×2

k ＋1

＋2k －6>9k 2＋11k ?2

k ＋1

>3k 2

＋3k ＋2，

∴n ＝k ＋1时，

A k ＋1－

B k ＋1＝[3×2k ＋2＋2(k ＋1)－6]－[9(k ＋1)2＋11(k ＋1)]＝6×2k ＋1－9k 2－27k －24

＝6×[2

k ＋1

－(3k 2＋3k ＋2)]＋6×(3k 2＋3k ＋2)－9k 2－27k －24＝6×[2

k ＋1

－(3k 2

＋3k ＋2)]

＋9k 2

－9k －12>9k 2

－9k －12＝9k (k －1)－12≥9×7×(7－1)－12>0，

∴A k ＋1>B k ＋1，即n ＝k ＋1时，结论也正确． 综上知，当n ≥7，且n ∈N *

时，有A n >B n ．