高考数学函数零点专题

专题2.函数的零点

高考解读

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理

1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破

考点一 函数的零点判断

例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．1

2

-

B ．13

C ．12

D ．1

【变式探究】(1)函数f (x )＝e x

＋12x －2的零点所在的区间是( )

A. )21,0(

B.)1,2

1( C ．(1,2) D ．(2,3)

(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝

?????

log 2x ，x >0，－1

x

，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )

A ．1

B ．3

C ．2

D ．4 【方法技巧】函数零点的求法

(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．

【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 考点二、二次函数的零点

例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .

(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；

(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．

【方法技巧】

解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．

【变式探究】

已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．

考点三 函数零点的应用

例3、【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

【变式探究】已知函数f (x )＝???

2－|x |，x ≤2，x －22

，x >2，

函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A.),47(+∞

B.)47,(-∞

C. )47,0(

D.)2,4

7( 【方法规律】

函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

【变式探究】

对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝???

－m 2

＋2mn －1m ≤n

n 2－mn m >n

设f (x )＝(2x

－1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x

1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．

考点四、分段函数的模型

例4、【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1

()()12f x f x +->的

x 的取值范围是_________.

【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千

件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝?????

10.8－1

30

x 20

108

x －1 000

3x

2

x >10.

(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？

(注：年利润＝年销售收入－年总成本)

【方法技巧】

(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．

(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

【变式探究】

国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

高考链接

1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点

B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.

②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

2.【2016高考山东理数】已知函数其中，若存在

实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是

________________.

3.【2016高考上海理数】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值

的差不超过1，求的取值范围.

4.【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（）

A. B.

C. D.

5.【2015高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数

有两个零点，则的取值范围是 .

6.【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为

7.【2015高考天津，理8】已知函数函数

，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )

（A）（B）（C）（D）

8.【2015高考浙江，理10】已知函数，则，

的最小值是．

9.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时。

10.【2015高考上海，理10】设为，的反函数，则的最大值为．

12.【2015高考浙江，理18】已知函数，记是

在区间上的最大值.

（1）证明：当时，；

（2）当，满足，求的最大值.

13.（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A.

p ＋q

2 B.（p ＋1）（q ＋1）－12

C.pq

D.（p ＋1）（q ＋1）－1 14．（2014·湖南卷）已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像

上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1

e

) B ．(－∞，e)C.? ????－1e ，e D.? ?

???－e ，1e

15.（2014·天津卷）已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0

恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．

16．（2014·浙江卷）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0

A ．c ≤3

B ．3

C ．6

D ．c >9

17.（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间? ??

??

π6，π2是减函数，则

a 的取值范围是________．

C D 18．（2014·江西卷）已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．－1

19．（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 121

3，则( )

A ．a >b >c

B ．a >c >b

C ．c >a >b

D ．c >b >a

20．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y

(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )

A. 1x 2＋1＞1

y 2＋1

B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)

C. sin x ＞sin y

D.

x 3＞y 3

【高考数学专题】函数的零点练习题

函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121，内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21<x f x f C ()()0,0. 21>>x f x f D 7、已知a 是()x x f x 2 1log 2-=的零点，若a x <<00，则()0x f 的值满足（ ） ()0. 0=x f A ()0.0x f C ()符号不确定 0.x f D 8、若函数()a x x x f -+=2 log 3 在区间()21， 内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） ()2log 1. 3--，A ()2l o g 0.3，B ()12l o g .3， C ()4l o g 1.3，D 9、若432<<<

《方程的根与函数的零点》优秀公开课教案 (比赛课教案)

《方程的根与函数的零点》教学设计 一、学情分析 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的． 二、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣． 教学原则：注重各个层面的学生． 教学方法：三学一导． 三、教学目标 1.知识与技能： ①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件； ②培养学生的观察能力； 2.过程与方法： ①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法； ②让学生归纳整理本节所学知识． 3.情感、态度与价值观： 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 四、教学重点、难点 重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法． 五、教学过程设计 1．指导学生进行课前学习 预习教材，完成以下习题： 2．指导学生进行课堂学习 （1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索 问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1 ①方程0322=--x x 与函数322--=x x y ②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ③方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y

高中数学函数的零点和最值

函数的零点 1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点 注意：零点是一个实数,不是点。 练习：函数23)(2 +-=x x x f 的零点是（ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ.１，２ 方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。 方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x 3-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x 2-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x 3-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数 例，当a>0时，方程ax 2+bx+c=0的根与函数y=ax 2+bx+c 的图象之间的关系如下表： 练习：如果函数f(x)= ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。 3、零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 例1：观察二次函数f (x)=x 2- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______； f (-2)=_____，f (1)=_____， f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______； f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =） 例1图 例2图 例2：观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a ，b]上___(有/无)零点； f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点； f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =） 练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点? 4、函数最值： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数 f （x ）= )1(11 x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值 大2a ，则a 的值为______ ③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值. ④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值.

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=

高考数学专题04 函数的零点(第六篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. （1）若0a =，求()f x 极值； （2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 （1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值. （2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a f -??> ??? ，再由()00f <，可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 （1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-． 当x 变化时，() f x '，()f x 的变化情况如下表：

故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+''，()1 002 f b -'=-<， 所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=， 当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点． 当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+． 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? ． 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???． 因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点． 综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点． 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【思路引导】

3.1.1方程的根与函数的零点(优秀经典公开课比赛教案)

3.1.1方程的根与函数的零点 一、教材分析 1、本节内容在教材中的地位和作用 本节内容是高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，“函数与方程”这个单元体现了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，也为今后通过多次接触、反复体会、螺旋上升方式学习函数奠定了基础。本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用. 2、教学重难点 重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理。难点：探究并发现零点存在性定理及其应用。 二、三维目标分析 1、知识与技能 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。 2、过程与方法 培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程互相转化的重要思想。 3、情感态度与价值观 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 确定教学目标的依据： 1、新课程标准的基本要求：注重基础，避免拓展，注重联系，突出本质 2、学生的认知水平：已有的认知基础是初中学习过二次函数定义图象及性质和一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质，掌握了研究部分基本初等函数性质的思想方法． 三、教法学法 为了达到三维目标，突出重点攻克难点，我制定了以下的教法和学法

高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-, 则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0, 得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. 6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是 f(x),g(x)的零点,则( A )

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一

类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值

高考数学函数零点专题

专题2.函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破 考点一 函数的零点判断 例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．1 2 - B ．13 C ．12 D ．1 【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋1 2 x －2的零点所在的区间是( ) A. )2 1 ,0( B.)1,2 1( C ．(1,2) D ．(2,3) (2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝????? log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【方法技巧】函数零点的求法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且

函数的零点问题

函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有

高中数学专题练习-函数零点问题

高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

2018届高三数学基础专题练习：导数与零点(答案版)

导数与函数的零点专题 研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 例题精讲 例1、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2，由题设得－2 a ＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2，设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0. 当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )． h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 例2、已知函数 . (I)讨论的单调性；(II)若 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+． （ i ）当0a ≥时，则当1x >时，()0f x '>；当1x <时，()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增． （ ii ）当0a <时，由()0f x '=，解得：1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=，即2 e a =-，则x R ?∈，()(1)()0x f x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增．

高中数学-函数零点问题

函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(

高考数学隐零点问题解题技巧

专题三 . 隐零点专题 知识点 一、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 二、含参函数的隐零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0. 例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=. （I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数； （II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥. 例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2 --=，且()0f x ≥. （I ）求a ； （II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<时，(2)e 20;x x x -++> （II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2 e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 例 5.（2013.湖北.10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则 A.21)(,0)(21->>x f x f B.2 1)(,0)(21-<

高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：

函数的零点教案详细(孔祥武)

《函数的零点》教学设计 常州市第一中学孑L祥武 一.设计思想与理念 本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线. ”的原则而设计的?教师在 充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探 索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，弓I导学生不断地提出新问题，解决 新问题. 二.教材分析： 1.内容分析 函数f(X)的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看，即为相应方程f (x) = 0的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就是函数f (x)与x轴交点的横坐标?函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用. 学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方 程近似解》提供理论支持?在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数 形结合的思想方法? 2.学情分析： 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程 的根?教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数， 转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题. 本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不 起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生 自主发现，自我建构知识. 3.教材处理 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一 元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形?体会函数与方程之间的转化关系.