常 用 积 分 公 式
(一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.
d x ax b +?=1
ln ax b C a ++
2.()d ax b x μ
+?
=
11
()(1)
ax b C a μμ++++(1μ≠-)
3.
d x x ax b +?=21
(ln )ax b b ax b C a +-++
4.2d x x ax b +?
=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??
+-++++????
5.
d ()x
x ax b +?=1ln ax b C b x +-+
6.
2
d ()
x
x ax b +?
=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.
2
d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b
++++ 8.22
d ()x x ax b +?=2
31(2ln )b ax b b ax b C a ax b
+-+-++ 9.
2d ()x
x ax b +?
=
2
11ln ()ax b C b ax b b x +-++
的积分
10.
x C +
11.x ?=2
2(3215ax b C a -
12.x x ?=2223
2(15128105a x abx b C a
-+
13.
x
?
=22
(23ax b C a -
14
.
2x ?
=2223
2
(34815a x abx b C a -+ 15
.?
(0)
(0)
C b C b ?+><
16
.
?
2a b - 17.
d x x ?
=b ?18.
2d x x ?
=2a + (三)含有2
2
x a ±的积分 19.
22d x x a +?=1arctan x
C a a
+ 20.
22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x
n a x a n a x a ---+-+-+? 21.
22d x
x a -?=1ln 2x a C a x a -++
(四)含有2
(0)ax b a +>的积分
22.2d x ax b +?
=(0)
(0)
C b C b ?+>+<
23.
2d x x ax b +?=2
1ln 2ax b C a ++
24.22d x x ax b +?=2d x b x
a a ax b
-+?
25.2d ()x x ax b +?=2
21ln 2x C b ax b
++
26.
22d ()x x ax b +?=21d a x
bx b ax b --+?
27.32d ()x x ax b +?=2222
1
ln 22ax b a C b x bx
+-+ 28.
22d ()x ax b +?=221d 2()2x x
b ax b b ax b +++?
(五)含有2
ax bx c ++(0)a >的积分
29.2d x ax bx c ++?
=22(4)
(4)
C b ac C
b a
c +<+>
30.
2d x x ax bx c ++?=2
21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c
++-++?
(0)a >的积分 31
.
?
=1arsh
x
C a
+
=ln(x C ++ 32
.
C +
33
.
x ?
C
34
.
x
=C +
35.
2
x 2ln(2a x C +
36.
2
x =ln(x C +++
37.
?1ln a
C a x -+
38.
?C +
39.
x 2ln(2
a x C ++
40.x =2243(25ln(88
x x a a x C ++
41.x ?C +
42.x
x ?
=422(2ln(88
x a x a x C +++
43.
x ?a C +
44.
x ?
=ln(x C +++
(0)a >的积分
45.
?
=
1arch x x
C x a
+=ln x C ++ 46.
C +
47.
x ?
C
48.
x =C +
49.
2
x 2ln 2a x C +++
50.
2
x =ln x C +++
51.
?1arccos a
C a x
+
52.
?2C a x +
53.
x 2ln 2
a x C -++
54.x =2243(25ln 88
x x a a x C -++
55.x ?C
56.x
x ?=422(2ln 88
x a x a x C -+
57.
x ?
arccos a a C x -+
58.
x ?
=ln x C +++
(0)a >的积分 59.
?
=arcsin
x
C a
+ 60.
C +
61.
x ?
=C +
62.
x C +
63.
2
x =2arcsin 2a x C a + 64.
2
x arcsin
x
C a
-+
65.
?1C a +
66.
?2C a x -+
67.
x 2arcsin 2a x C a
+
68.x =2243(52arcsin 88x x a x a C a
-+
69.x ?=C
70.x
x ?
=422(2arcsin 88x a x x a C a
-+
71.
x ?ln a a C x ++
72.
x ?
=arcsin x
C a
-+
(0)a >的积分
73.
?
2ax b C +++
74.
x
2
2ax b C +
+++
75.
x ?
2ax b C -
+++
76.
?
=C +
77.
x 2
C +
78.
x ?
=C ++
79.
x ?=((x b b a C --+
80.
x ?=((x b b a C -+-
81.
?
=C ()a b <
82.
x 2()arcsin 4b a C -+ ()a b < (十一)含有三角函数的积分
83.sin d x x ?
=cos x C -+ 84.cos d x x ?
=sin x C + 85.tan d x x ?=ln cos x C -+ 86.cot d x x ?=ln sin x C + 87.sec d x x ?=ln tan(
)42
x
C π++=ln sec tan x x C ++ 88.csc d x x ?
=ln tan
2
x
C +=ln csc cot x x C -+ 89.2
sec d x x ?=tan x C + 90.2
csc d x x ?
=cot x C -+ 91.sec tan d x x x ?=sec x C + 92.csc cot d x x x ?
=csc x C -+
93.2
sin d x x ?=
1
sin 224x x C -+ 94.2
cos d x x ?=1sin 224x x C ++
95.sin d n x x ?=12
11sin cos sin d n n n x x x x n n
----+? 96.cos d n x x ?=1
211cos sin cos d n n n x x x x n n
---+? 97.d sin n x x ?=121cos 2d 1sin 1sin n n x n x
n x n x
----?+--? 98.d cos n x x ?=121sin 2d 1cos 1cos n n x n x
n x n x
---?+--? 99.cos sin d m n
x x x ?=11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++? =11211
cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n
+----+++?
100.sin cos d ax bx x ?
=11
cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -
+--++-
101.sin sin d ax bx x ?
=11
sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b -
++-++-
102.cos cos d ax bx x ?
=
11
sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b ++-++-
103.
d sin x
a b x +?
tan
x
a b C ++22()a b >
104.d sin x a b x +?
C
+22()a b <
105.
d cos x
a b x +?
)2
x C +22()a b >
106.d cos x a b x +?
C +22()a b <
107.
2222d cos sin x a x b x +?=1arctan(tan )b
x C ab a + 108.
2222d cos sin x
a x
b x -?=1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-
109.sin d x ax x ?=211
sin cos ax x ax C a a -+ 110.2
sin d x ax x ?=223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++
111.cos d x ax x ?=211
cos sin ax x ax C a a ++
112.2
cos d x ax x ?=223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a
+-+
(十二)含有反三角函数的积分(其中0a >)
113.arcsin d x x a ?
=arcsin
x
x C a
++
114.arcsin d x
x x a ?=22()arcsin 24x a x C a -+
115.2
arcsin d x x x a
?=3221arcsin (239x x x a C a ++
116.arccos d x
x a ?
=arccos
x
x C a
117.arccos d x
x x a ?=22()arccos 24x a x C a -
118.2
arccos d x x x a
?=3221arccos (239x x x a C a -+
119.arctan
d x x a ?=22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120.arctan d x x x a ?=22
1()arctan 22
x a a x x C a +-+
121.2
arctan d x
x x a
?=33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+
++ (十三)含有指数函数的积分
122.d x
a x ?=
1ln x
a C a + 123.e d ax
x ?=1e ax C a +
124.e d ax x x ?=21(1)e ax
ax C a
-+
125.e d n ax
x x ?=11e e d n ax n ax n x x x a a
--?
126.d x
xa x ?
=
21ln (ln )
x x x a a C a a -+ 127.d n
x
x a x ?=11d ln ln n x n x n
x a x a x a a --? 128.e sin d ax bx x ?=2
2
1e (sin cos )ax
a bx
b bx C a b
-++
129.e cos d ax
bx x ?=
221e (sin cos )ax
b bx a bx C a b +++ 130.e sin d ax n
bx x ?=1222
1e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n
--+ 22
2
22(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++?
131.e cos d ax n
bx x ?
=
1222
1
e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n
-++ 222
22(1)e cos d ax
n n n b bx x a b n
--++? (十四)含有对数函数的积分 132.ln d x x ?
=ln x x x C -+
133.
d ln x
x x ?=ln ln x C +
134.ln d n
x x x ?=111(ln )11
n x x C n n +-+++
135.(ln )d n
x x ?
=1
(ln )(ln )
d n n
x x n x x --?
136.(ln )d m n
x x x ?=
111(ln )(ln )d 11
m n m n n
x x x x x m m +--++? (十五)含有双曲函数的积分 137.sh d x x ?
=ch x C + 138.ch d x x ?=sh x C + 139.th d x x ?
=lnch x C +
140.2
sh d x x ?=1
sh224x x C -
++ 141.2
ch d x x ?=1sh224
x x C ++
(十六)定积分 142.cos d nx x π
-π?
=sin d nx x π
-π
?=0
143.
cos sin d mx nx x π
-π
?
=0
144.cos cos d mx nx x π
-π?=0,,m n
m n ≠??π=?
145.
sin sin d mx nx x π
-π
?=0,,m n m n
≠??π=? 146.
sin sin d mx nx x π
?
=0
cos cos d mx nx x π
?
=0,,2
m n m n ≠??
?π=??
147. n I =20
sin d n
x x π?=20
cos d n x x π
?
n I =
21
n n I n
-- 1342
253n n n I n n --=????-L (n 为大于1的正奇数)
,1I =1 13312422n n n I n n --π=?????-L (n 为正偶数)
,0I =2
π
一、 (系数不为0的情况)
00101101
lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞?=??+++?
=+++?∞>???
L L
二、重要公式(1)
0sin lim 1x x
x →=
(2)()1
lim 1x
x x e
→+= (3
)
)1
n a o >=
(4
)lim 1
n →∞
= (5)
lim arctan 2
x x π
→∞
=
(6)
lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
(7)limarccot 0
x x →∞
= (8)lim arccot x x π
→-∞
= (9)lim 0
x x e →-∞
=
(10)lim x x e →+∞=∞
(11)0
lim 1x
x x +
→=
三、下列常用等价无穷小关系(
0x →)
sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x :
2
11cos 2x x -:
()ln 1x x
+: 1x e x -: 1ln x
a x a -:
()
11x x
?
+-?:
四、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+
2u u v uv v v '''-??=
???
五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1
x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-?
⑼
()x
x
e e '= ⑽
()ln x
x a a a
'= ⑾
()1
ln x x '=
⑿
()
1log ln x a
x a '=
⒀
(
)arcsin x '=
⒁
(
)arccos x '=
⒂
()21
arctan 1x x '=
+ ⒃
()2
1
arccot 1x x '=-+⒄
()1
x '=
⒅
'=
六、高阶导数的运算法则
(1)
()()()
()
()
()
()
n n n u x v x u x v x ±=±????
(2)
()()
()
()
n n cu x cu
x =????
(
3
)
()()
()
()
n n n
u ax b a u
ax b +=+????
(4)
()()()
()()()()
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????
∑
七、基本初等函数的n 阶导数公式
(1)
()()
!
n n
x n = (2)
()()
n ax b
n ax b
e a e ++=? (3)
()()
ln n x
x n a a a
=
(4)
()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π?
?+=++??? ?
??
?
? (5)
()()
cos cos 2n n ax b a ax b n π?
?+=++??? ?
??
?
? (6)()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +???
=- ?+??
+ (7)
()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -?-+=-????
+
八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0
d c = ⑵
()1d x x dx
μμμ-= ⑶
()sin cos d x xdx
=
⑷()cos sin d x xdx
=- ⑸
()2tan sec d x xdx
= ⑹
()2cot csc d x xdx
=-
⑺
()sec sec tan d x x xdx
=? ⑻
()csc csc cot d x x xdx
=-?
⑼
()x
x
d e
e dx = ⑽()ln x
x
d a a
adx
= ⑾
()1
ln d x dx x =
⑿()1
log ln x
a d dx
x a =
⒀
(
)arcsin d x =
⒁
(
)arccos d x =
⒂
()
2
1
arctan
1
d x dx
x
=
+⒃
()
2
1
arccot
1
d x dx
x
=-
+
九、微分运算法则
⑴
()
d u v du dv
±=±
⑵
()
d cu cdu
=
⑶
()
d uv vdu udv
=+
⑷
2
u vdu udv
d
v v
-
??
=
?
??
十、基本积分公式
⑴
kdx kx c
=+
?
⑵
1
1
x
x dx c
μ
μ
μ
+
=+
+
?
⑶
ln
dx
x c
x
=+
?
⑷
ln
x
x
a
a dx c
a
=+
?
⑸
x x
e dx e c
=+
?
⑹
cos sin
xdx x c
=+
?
⑺
sin cos
xdx x c
=-+
?
⑻
2
2
1
sec tan
cos
dx xdx x c
x
==+
??
⑼
2
2
1
csc cot
sin
xdx x c
x
==-+
??
⑽
2
1
arctan
1
dx x c
x
=+
+
?
⑾
arcsin x c
=+?
十一、下列常用凑微分公式
十二、补充下面几个积分公式
tan ln cos
xdx x c
=-+
?cot ln sin
xdx x c
=+
?
sec ln sec tan
xdx x x c
=++
?csc ln csc cot
xdx x x c
=-+
?
22
11
arctan
x
dx c
a x a a
=+
+
?2211ln
2
x a
dx c
x a a x a
-
=+
-+
?
arcsin
x
c
a
=+ln x c
=++
?
十三、分部积分法公式
⑴形如
n ax
x e dx
?
,令
n
u x
=,ax
dv e dx
=
形如
sin
n
x xdx
?
令
n
u x
=,sin
dv xdx
=
形如
cos
n
x xdx
?
令
n
u x
=,cos
dv xdx
=
⑵形如
arctan n x xdx
?,令arctan u
x =,n dv x dx =
形如
ln n x xdx
?,令ln u x =,n dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ?,cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a t =
(2) tan x a t =
sec x a t =
【特殊角的三角函数值】
(1)sin00= (2)
1sin
6
2π
=
(3
)sin 3π= (4)sin 12π=) (5)sin 0π=
(1)cos01= (2
)
cos
6
π
=
(3)1cos 32π= (4)cos 0
2π=) (5)cos 1π=- (1)tan 00= (2
)
tan
6
π
=
(3
)tan 3π=(4)
tan
2π
不存在 (5)tan 0π= (1)cot 0不存在 (2
)cot
6
π
= (3
)
cot
3
3
π
=
(4)
cot
2
π
=(5)cot π不存在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
- tan tan tan()1tan tan A B
A B A B --=
+
cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ?-+=
+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A ?+-=
-
2.二倍角公式
sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-
22tan tan 21tan A A A =
-
3.半角公式
sin
2A =
cos 2A =
sin tan
21cos A A A ==+
sin cot 21cos A A A ==-
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin 22
a b a b
a b +--=?
cos cos 2cos
cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin 22a b a b
a b +--=-?
()
sin tan tan cos cos a b a b a b ++=
?
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1
cos cos cos cos 2a b a b a b =++-????
()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-???? ()()1
cos sin sin sin 2a b a b a b =+--????
6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2a
a a
=+
2
2
1tan 2cos 1tan 2
a a a -=+
2
2tan
2tan 1tan 2a a a
=
-
7.平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=
8.倒数关系
tan cot 1x x ?= sec cos 1x x ?= c sin 1cs x x ?=
9.商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x =
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程:()()dy
f x
g y dx = , ()()()()11220
f x
g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程:
dy y f dx x ??
= ???
3.一阶线性非齐次微分方程:()()
dy
p x y Q x dx += 解为:
()()()p x dx
p x dx y e Q x e dx c -??
?
?=+?????
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2d () x x ax b +? = 21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +? =2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9. 2 d () x x ax b +? =211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10. x C + 11.x ?=2 2 (3215ax b C a - 12.x x ?=2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13. x ? =22 (23ax b C a -
14 . 2x ? =222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? 2a b - 17. d x x ? =b ?18 . x ? =2a x -+ (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20. 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21. 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23. 2d x x ax b +?=2 1ln 2ax b C a ++
高等数学常用导数和积分公式 导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分: (一)含有的积分() 1.= 2.=() 3.= 4.= 5.= 6.= 7.= 8.= 9.= (二)含有的积分10.=11.=12.=13.=14.=15.=16.=17.=18.= (三)含有的积分19.=20.=21.= (四)含有的积分22.=23.=24.=25.=26.=27.=28.= (五)含有的积分29.=30.= (六)含有的积分31.==32.=33.=34.=35.=36.=37.=38.=39.=40.=41.=42.=43.=44.= (七)含有的积分45.==46.=47.=48.=49.=50.=51.=52.=53.=54.=55.=56.=57.=58.=
(八)含有的积分59.=60.=61.=62.=63.=64.=65.=66.=67.=68.=69.=70.=71.=72.=(九)含有的积分73.=74.=75.=76.=77.=78.=()含有或的积分79.=80.=81.=82.=(一)含有三角函数的积分83.=84.=85.=86.=87.==88.==89.=90.=91.=92.=93.=94.=95.=96.=97.=98.=99.==100.=101.=102.=103.=104.=105.=106.=107.=108.=109.=110.=111.=112.=(二)含有反三角函数的积分(其中)113.=114.=115.=116.=117.=118.=119.=120.=121. =(三)含有指数函数的积分122.=123.=124.=125.=126.=127.=128.=129.=130.=131.=(四)含有对数函数的积分132.=133.=134.=135.=136.=(五)含有双曲函数的积分137.=138.=139.=140.=141.=(六)定积分142.==0143.=0144.=145.=146.==147. ===(为大于1的正奇 数),=1 (为正偶数),=
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 (1)()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????(2)()() () ()n n cu x cu x =???? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)()()!n n x n =(2)()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
常 用 高 数 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? = 1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1() (1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?= 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2 d x x ax b +? = 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d () x x ax b +? =1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +? =2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7.2 d () x x ax b +? =2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8.2 2 d () x x ax b +? = 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9.2 d () x x ax b +? = 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10.x ? C 11.x ?=2 2 (3215ax b C a -+ 12.x x ?= 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13.x ? = 2 2(23ax b C a -+
14 .2 x ? = 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>? ? 16 .? 2a bx b - - ? 17.d x x ? =b ? 18.2 d x x ? =2 a x - + ? (三)含有22x a ±的积分 19.2 2 d x x a +?= 1arctan x C a a + 20.2 2 d () n x x a +? = 2221 2 2 21 23d 2(1)() 2(1)() n n x n x n a x a n a x a ---+ -+-+? 21.2 2 d x x a -? = 1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23.2 d x x ax b +? = 2 1ln 2ax b C a ++
导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++, , , 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数常用公式 平方立方: 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9. 2 d () x x ax b +? =211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 . x ? C + 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a - 12 .x x ? =2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 . x ? =22 (23ax b C a - 14 . 2x ? =222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? =2a bx b -- 17 . x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a +
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2d ()x x ax b +?=2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 .x ? C 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a -+
12 .x x ? =2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13 . x =2 2(23ax b C a - 14 . 2x =22232(34815a x abx b C a -++ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 .? 2a bx b -- 17 . x =b 18 . x = 2a + (三)含有22 x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有 2 (0)ax b a +>的积分 22.2 d x ax b +? =(0) (0) x C b C b ?+>+<
常用微积分公式大全 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.
微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则
(1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- +
三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2. ()d ax b x μ +?= 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
公式: 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=,强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率:1100%l l l δ-= ?断面收缩率:1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律:E σε=,泊松比:'ευε=-,剪切胡克定律:G τγ= 5、扭转切应力表达式:T I ρ ρ τρ=,最大切应力:max P P T T R I W τ= =, 4 4 (1)32 P d I πα= -,3 4(1)16 P d W πα= -,强度校核:max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角:P d T dx GI ?θ= =,刚度校核:max max []P T GI θθ= ≤,长度为l 的 一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ,扭转外力偶的计算公式: ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力:202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式: cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -,sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力: '2 x y σσσ+= ,''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应 力max ''' 2 σστ-=± =,最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- -
10、 第三和第四强度理论:3r σ= 4r σ=11、平面弯曲杆件正应力:Z My I σ =,截面上下对称时,Z M W σ = 矩形的惯性矩表达式:3 12Z bh I = 圆形的惯性矩表达式: 4 4(1)64Z d I πα= - 矩形的抗扭截面系数:2 6 Z bh W = ,圆形的抗扭截面系数:3 4(1)32 Z d W πα= - 13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:max max *S z S Z F S F K bI A τ= = 14、平面弯曲杆件的强度校核:(1)弯曲正应力max []t t σσ≤,max []c c σσ≤ (2)弯曲切应力max []ττ≤(3)第三类危险点:第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核:叠加法 max []w w l l ≤,max []θθ≤ 16、(1)轴向载荷与横向载荷联合作用强度: max max min ()N Z F M A W σσ=± (2)偏心拉伸(偏心压缩):max min ()N Z F F A W δ σσ=± (3)弯扭变形杆件的强度计算: 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>?? ? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3))1n a o >= (4)1n = (5)limarctan 2 x x π →∞ = (6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot 0x x →∞ = (8)lim arccot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0lim 1x x x + →=
12. (一)含有ax b 的积分(a 1 . dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 13. 常用积分公式 0) 1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄 ax b a 3 (ax bln b)2 b) ax b) C 2b(ax b) b 2ln ax b dx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b) 2 (^dx 1ln b 1 bx ax ax b 1 = -r(ln a ax b ax b ) 2bln ax b b 2 ax b ) C dx 2 x(ax b) b(ax b) 含有.ax b 的积分 1 2 In b 2 ax b Tax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b 15a x 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C 105a ).(ax b)3 C x 2 - d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ,ax b 3a 2
2 15a 3 dx x ¥ ax b dx x 21 ax b ax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b ■, ax b 、. ; b .ax b .b A C (b (b 0) 0) bx 2b x 丫 ax b 2 ax b dx x, ax b ax b , 2 dx = x a dx 2 x 、ax b 14. 15. 16. 17. 18. (三) 19. 20. 21 . (四) 22. 23.
导数公式: 基本积分表: 1.d x ax b +?=1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 10 .x C 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23.2d x x ax b +?=21ln 2ax b C a ++ 24.2 2d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='
31. 1arsh x C a +=ln(x C + 32. =C + 33. x =C 34. x =C + 35.2 x =2ln(2a x C -++ 39. x 2 ln(2a x C +++ 43.x a C + 44.2d x x ?=ln(x C +++ 47. x =C 53.x 2 ln 2 a x C 57.x =arccos a a C x + 59. arcsin x C a + 61. x =C
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数常用公式 平方立方: 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 倒数关系:sinx ·csc x=1 tanx ·cot x=1 cosx ·sec x=1 商的关系:tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系:sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-si n^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式: sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差: sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? L L (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)limarctan 2 x x π →∞ = (6)lim tan 2 x arc x π →-∞ =- (7)limarccot 0x x →∞ = (8)lim arccot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 1)()()() () () ()() n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()() ()()n n cu x cu x =????
高数微积分公式大全(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? (2)()() ()()n n cu x cu x =???? (3)()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? (4)()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1)() () !n n x n = (2)() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x =
微积分公式
tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1