赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记和课后习题详解(如何确定远期和期货价格)【圣才出品】
第5章如何确定远期和期货价格
5.1 复习笔记
1．投资资产与消费资产
投资资产是众多投资者出于投资目的而持有的资产。股票和债券是典型的投资资产。黄金和白银也可以是投资资产。持有投资资产的目的并非只限于投资。但投资资产必须满足一个条件，即存在相当多的投资者持有它们仅仅是出于投资的目的。
消费资产被持有主要是出于消费目的，而一般不是出于投资目的。黄铜、石油和猪肉等就是典型的消费资产。
2．卖空交易
（1）卖空交易是指投资者（通过经纪人）借入证券出售，以后再买进该种证券归还给最初出借证券一方的交易方式。如果价格下跌，则卖空者获利；如果价格上升，则该卖空者蒙受损失。该种证券一旦归还，则认为“轧平短头寸”。如果在合约未平仓的任何一个时间，经纪人无法再借股票，投资者就将被卖空挤压，此时，不论投资者是否想轧平头寸，都必须立即平仓。证券交易委员会规定投资者只能在证券价格涨点或零涨点时才能从事卖空交易，其目的是为了制止想操纵市场的投机商通过大量卖空压低价格，然后再购进，以获取暴利的行为。
（2）一般卖空的投资者被要求在经纪人处开设一个保证金账户。投资者既可以在该保证金账户中存入现金，也可以存入可交易证券，以保证当股价上升时投资者不会抛弃这一短
头寸。通常要求投资者存入一定的初始保证金，当被卖空的资产价格出现不利波动（价格上升）时，会有额外的保证金要求。保证金账户并不等同于投资者的成本，因为保证金账户中的余额通常是可以获得利息的，如果投资者认为获得的利率不合理，那么也可以用可出售的证券如短期国债等来满足保证金要求。出售资产的收入也是属于投资者的，一般可以作为初始保证金的一部分。
3．假设与符号
（1）假设对部分市场参与者而言，以下几条全部成立：
①市场参与者进行交易时没有手续费；
②市场参与者对所有交易利润都使用同一税率；
③市场参与者能够以同样的无风险利率借入和借出资金；
④当套利机会出现时，市场参与者会马上利用套利机会。
注意：并不要求这几条假设对所有的市场参与者都成立，只要求对于一些关键的市场参与者，如大型投资银行等成立，或者至少近似成立。
（2）远期和期货价格的确定将会使用到如下符号：
①T：距远期或期货合约到期的时间（以年计）；
②S0：远期或期货合约中标的资产的当前价格；
③F0：当前的远期或期货价格；
④r：对于T时刻到期的投资适用的按连续复利计算的无风险利率。
4．投资资产的远期价格
最容易定价的远期合约是基于不提供任何中间收入的投资资产的合约，包括无股息股票和零息债券等。
（1）实例推广
以价格为S0、不支付收益的投资资产为标的的远期合约，T是到期时间，r是无风险利率，F0是远期价格。F0和S0之间的关系是：
（5-1）
如果F0>S0e rT，套利者可以买入资产并卖出以该资产为标的的远期合约进行套利。如果F0 （2）不允许卖空会怎么样 并非所有的投资资产都可以卖空，但是不能卖空不会给上述结论（5-1）带来影响，即使不可以卖空资产也可以推出此式。但需要满足的是市场中存在相当多的投资者，且持有资产的目的仅在于投资。 假设标的资产是黄金，并假设不存在储存费用也没有收益。如果F0>S0e rT，投资者将采取如下策略： ①以利率r借入资金S0，期限为T；②买入1盎司黄金；③持有规模为1盎司黄金的远期合约空头。 在时刻T，1盎司黄金将以F0的价格被出售，同时归还贷款需要支付的资金为S0e rT，投资者的净利润为F0-S0e rT。 假设F0 ①以价格S0卖出黄金；②将所得收入以利率r投资出去，期限为T；③持有规模为1盎司黄金的远期合约多头。 在时刻T，投资的现金增长到S0e rT，同时以价格F0买回黄金，相对于一直持有黄金的投资者而言，该投资者的利润为S0e rT-F0。 要达到市场上无套利机会，F0=S0e rT同样必须成立。 5．提供已知中间收入的资产 当一项投资资产在远期合约到期前支付现值为I的现金收益时，下列方程成立： F0=（S0-I）e rT（5-2） 如果F0>（S0-I）e rT，套利者可以通过买入资产、卖出以该资产为标的的远期合约来获得利润；如果F0<（S0-I）e rT，套利者可以通过卖空资产、买入远期合约来获得利润。如果不允许卖空，持有资产的投资者卖出资产并买入远期合约可以获利。 6．收益率为已知的情形 对于标的资产提供已知收益率，而非已知的现金收益的远期合约，若定义q为按连续复利计的、合约有效期内资产的平均年收益率，下列方程成立： F0=S0e（r-q）T（5-3） 7．对远期合约定价 （1）在远期合约签署时，合约的价值为零，但之后合约的价值可能为正，也可能为负。 （2）定义：F0表示一定时间之前签署的远期合约中标的资产当前的远期价格，T表示现在距远期合约到期的时间（年），r表示T年期的无风险利率，K表示合约规定的交割价格，f表示远期合约的当前价值。 ①对于所有远期合约多头（标的物既可以是投资资产，也可以是消费资产），其当前价值为： f=（F0-K）e-rT（5-4） 对于所有远期合约空头，其当前价值为： f=（K-F0）e-rT ②结合方程（5-4）和方程（5-1），可以给出不支付收益证券的远期合约多头的价值为： f=S0-Ke-rT（5-5） ③结合方程（5-4）和方程（5-2），可以给出支付已知现金收益I的证券的远期合约多 头的价值为： f=S0-I-Ke-rT（5-6） ④结合方程（5-4）和方程（5-3），可以给出提供已知红利率q的证券的远期合约多头的价值为： f=S0e-qT-Ke-rT（5-7） 8．远期和期货价格的关系 （1）当无风险利率恒定，且所有期限的利率都相同时，交割日相同的远期合约的远期价格和期货合约的期货价格相等。 （2）当利率的变化无法预测时（正如现实世界中一样），远期价格和期货价格就存在理论差异。对于有效期仅为几个月的期货合约和远期合约而言，远期价格和期货价格的理论差异在大多数情况下可以忽略不计。在实践中，税收、交易成本以及保证金等因素可能会导致远期价格和期货价格的不一致。 （3）随着期货合约期限的增长，远期价格与期货价格间的差别有可能变得较大，此时再假设远期价格与期货价格间完全可相互替代就比较危险。 9．股指期货价格 （1）股指期货 股指通常被看作支付股利的投资资产的价格，该投资资产是构成该指数的股票组合，而支付的股利则是该股票组合的持有者收到的股利。通常假设已知股利收益率而非股利金额。如果q是股利收益率，股指期货价格F0为： F0=S0e（r-q）T（5-8） （2）指数套利 如果F0>S0e（r-q）T可以通过买入构成指数的股票组合的现货（即立刻交割）并卖出期 货合约来获取利润；如果F0 当F0 10．货币的远期和期货合约 （1）定义r f为期限为T的外币的无风险利率，r是期限为T的本币的无风险利率。S0为一单位外币当前的本币价格，F0为一单位外币的本币期货或者远期价格，二者存在以下关系： （5-9） 该式即为国际金融领域中著名的利率平价关系。 （2）将外汇作为提供已知收益率的资产 如果以r f代替q，方程（5-9）就与方程（5-3）完全一致。因为外币可以看作是提供已知收益率的资产，收益率就是外币的无风险利率。 11．商品期货 （1）收入和储存费用 不考虑收入和储存费用的情况下投资资产的远期价格为： F0=S0e rT（5-10） 储存费用可以被视为负的收入，如果U是远期合约有效期内扣除了收入后的总储存费用的现值，根据（5-2），以下方程成立： F0=（S0+U）e rT（5-11） 如果在任何时刻储存费用都与商品价格成比例，则其可以作为负的收益率来处理，根据方程（5-3）得到：