全等三角形常见的几何模型.doc

(1)自旋转: 自旋转构造方法 1、绕点型(手拉手模型)

遇60°旋60°,造等边三角形

遇90°旋90°,造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等

遇中点旋180°,造中心对称

(2)共旋转(典型的手拉手模型)

例1、在直线ABC 的同-,侧作两个等边三角形AABD 和△BCE,连接AE 与CD,证明:

(1)

AABE^ADBC (2)

AE=DC (3)

AE 与DC 的夹角为60" (4)

AAGB^ADFB (5)

AEGB^ACFB (6)

BH 平分ZAHC (7) GF//AC

变式练习1、如果两个等边三的形Z\ABD 和ZXBCE,连接AE 与CD,证明:

(1)

AABE^ADBC (2)

AE 二DC (3)

AE 与DC 的夹角为60, (4) AE 与DC 的交点设为H, BH 平分ZAHC

变式练习2、如果两个等边三角形AABD和ABCE,连接AE与CD,证明:

(1)A ABE^ADBC

⑵AE二DC

(3) AE与DC的夹角为60，

(4) AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC

(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和Z\CBN,连接AN, BM.分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想ACEF的形状，并说明理由.

(2)若将(1)中的“以AC, BC为边作等边左ACM和左CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM 盹CBN,”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.

例4、例题讲解：

1.已知AABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆

时针排列)，使ZDAF=60°,连接CF.

(1)如图1,当点D在边BC I：时,求证：①BD=CF,②AC=CF+CD.

(2)如图2,当点D在边BC的延长线上旦其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD

之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变肘，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

2、半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。

例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB, AD上各存在一点P、Q,若AAPCJ的周长为2,求ZPCQ的度数。

例2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN,求证：①ZMAN=45° ；② ACMN的周长

=2AB；③AM、AN分别平分ZBMN和NDNM。

例3、在正方形ABCD中，已知ZMAN=45° ,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动：①试探究线段MN、BM、DN之

间的数量关系；②求证：AB二AH.

例 4、在四边形 ABCD 中，ZB+ZD=180° , AB=AD,若 E、F 分别在边 BC、CD 且上，满足 EF=BE+DF.求证：ZEAF = -

ZBAD。

2

4、已知：如图1在RiAMC中，7BAC =90° , AB = AC，点。、E分别为线段上两动点，若』。4￡ = 45。.探究线段3Q、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把AAEC绕点A顺时针旋转90。，得到匠，连结ED ,

使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想成、DE、%三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点E在线段3C上，动点O运动在线段勇延长线上时，如图2 ,其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.

图2

小学数学常见几何模型典型例题及解题思路

* 小学数学常见几何模型典型例题及解题思路（1） 巧求面积 常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则（平移、旋转等）；模型（鸟头、蝴蝶、漏斗等模型）；差不变 1、ABCG 是边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE ，求阴影部分的面积。答案：72 A H F E C B I D G 思路：1）直接求，但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2）整体减空白。关键在于如何找到整体，发现梯形BCEF 可求，且空白分别两个矩形面积的一半。 2、在长方形ABCD 中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1。△AEF 的面积是多少答案：20 |

A D B F C E 思路：1）直接求，无法直接求；2）由于知道了各个边的数据，因此空白部分的面积都可求 3、如图所示的长方形中，E 、F 分别是AD 和DC 的中点。 （1）如果已知AB=10厘米，BC=6厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米答案： （2）如果已知长方形ABCD 的面积是64平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米答案：24 B C D F E 思路（1）直接求，无法直接求；2）已经知道了各个边的数据，因此可以求出空白的位置；3）也可以利用鸟头模型 4、正方形ABCD 边长是6厘米，△AFD （甲）是正方形的一部分，△CEF （乙）的面积比△AFD （甲）大6平方厘米。请问CE 的长是多少厘米。答案：8 @

A B D C F 思路：差不变 5、把长为15厘米，宽为12厘米的长方形，分割成4个三角形，其面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，且S 1=S 2=S 3+S 4。求S 4。答案：10 D C E F S 1 S 2 S 3 S 4 思路：求S4需要知道FC 和EC 的长度；FC 不能直接求，但是DF 可求，DF 可以由三分之一矩形面积S1÷AD ×2得到，同理EC 也求。最后一句三角形面积公式得到结果。 6、长方形ABCD 内的阴影部分面积之和为70，AB=8，AD=15。求四边形EFGO 的面积。答案10。 A B C D F O E G 思路：看到长方形和平行四边形，只要有对角线，就知道里面四个三

初中数学9大几何模型

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEA=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BE=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 2 1 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O C O C D E O B C D E O C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中中考数学常见几何模型简介

几何问题 初中几何常见模型解析 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②；③平分。?

（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③；④；⑤连接AD、BC，必有 ； ⑥（对角线互相垂直的四边形） ?

（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明；?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。

（2）全等型-120° ?条件：①；②平分； ?结论：①；②；③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②；③ . ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 ◇请思考初始条件的变化对模型的影响。

? 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下： 结论：①；②；③.

全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接 AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

3、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN ”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2， 求PCQ 的度数。 Q

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③

?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：

初中几何模型及常见结论的总结归纳

初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念 三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。 三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心） 如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长 中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）

如等 OE ； r = 2

（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心） 如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB， ，的长度，求BE的长。 特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。 三角形全等 三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL） 在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。 对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。 全等三角形的基本图形： 平移类全等；对称类全等；旋转类全等；

盘点小升初平面几何常考五大模型

盘点小升初平面几何常考五大模型 （一）等积变换模型性质与应用简介 导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。 等积变换模型例题讲解与课后练习题 （一）例题讲解与分析 ?【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少 【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4， S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少

【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。 【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会 一下。 （二）课后练习题讲解与分析 （二）鸟头定理（共角定理）模型 导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

(完整版)中考数学常见几何模型简介

初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）

模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明 为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？

初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)

初二数学三角形全等 常用几何模型及构造方法大全 掌握它轻松搞定全等题！ 全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型： （一）平移全等：平行等线段（平行四边形） （二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型； （三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！

1：角平分线模型： 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折） 翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称

小学数学常见几何模型典型例题及解题思路

小学数学常见几何模型典型例题及解题思路(1） 巧求面积 常用方法:直接求;整体减空白；不规则转规则(平移、旋转等);模型(鸟头、蝴蝶、漏斗等模型)；差不变 1、ABC Ｇ是边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE,求阴影部分的面积。答案：72 A H F E C B I D G 思路:1)直接求，但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求;2）整体减空白。关键在于如何找到整体，发现梯形BCEF 可求,且空白分别两个矩形面积的一半. 2、在长方形ＡＢCD 中，B Ｅ=5,EC ＝4,ＣF=4，FD ＝1。△ＡEF 的面积是多少?答案:2０

A D B F C E 思路:1）直接求,无法直接求；2)由于知道了各个边的数据,因此空白部分的面积都可求 3、如图所示的长方形中,Ｅ、F 分别是AD 和DC 的中点。 （1）如果已知AB=10厘米，ＢC=6厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米？答案:22。5 （2）如果已知长方形ABC Ｄ的面积是6４平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?答案:24 B C D F E 思路(１)直接求,无法直接求；2)已经知道了各个边的数据,因此可以求出空白的位置；３）也可以利用鸟头模型 4、正方形A ＢCD 边长是6厘米,△AF Ｄ(甲)是正方形的一部分,△ＣＥF(乙)的面积比△AFD （甲）大６平方厘米。请问C Ｅ的长是多少厘米．答案:8

A B D C F 思路：差不变 5、把长为15厘米，宽为1２厘米的长方形，分割成４个三角形,其面积分别为S １、Ｓ2、S 3、Ｓ4,且Ｓ1=S ２=S 3+S ４。求Ｓ４.答案:１0 D C E F S 1S 2 S 3S 4 思路：求S4需要知道FC 和EC 的长度;ＦＣ不能直接求，但是ＤF 可求,DF 可以由三分之一矩形面积S １÷AD ×２得到，同理ＥC 也求.最后一句三角形面积公式得到结果。 6、长方形ABCD 内的阴影部分面积之和为7０,ＡＢ=8，A Ｄ=15。求四边形E ＦＧO 的面积.答案10。 A B C D F O E G 思路：看到长方形和平行四边形,只要有对角线，就知道里面四个三

20182019学年九年级数学初中常见几何模型汇总

初中常见几何模型汇总 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变换

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 几何最终模型 对称最值(两点间线段最短)

全等三角形的经典模型(一)

作弊？ 漫画释义 三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型（一）

D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型

A B C O M N A B C O M N 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形． 【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如 图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由． 【解析】EMC △是等腰直角三角形． 典题精练 A B C O M N M E D C B A

全等三角形常见的几何模型

1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:

3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<

?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°

立体几何中的常见模型化方法

立体几何中的常见模型化方法 建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景 例题一个多面体的三视图如图1 所示，则该多面体的体积是 A. 23/3 B. 47/6 C.6 D.7 分析该几何体的三视图为 3 个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答. 解图 2 为一个棱长为2 的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2 X 1/3X 1/2X 1 X 1 X仁23/3选A. 解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便. 变式1已知正三棱锥P-A BC，点P, A , B , C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为_______ 分析由于在正三凌锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两互 相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.

解构造如图 3 所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点0,且EP丄平面ABC , EP与平 面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3, 所以又0P为球的半径，所以0P=.故球心0到截面ABC的距离解后反思从正方体的8 个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征. 变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A.3 n B.4 n C.3 n D.6 n 分析将一个正方体切掉四个大的“角” ，就可得到一个正四面体. 解如图4 所示，构造一个棱长为1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，连接AB1，AD1 ，AC，CD1，CB1， B1D1，?t 四面体B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径 AC1=,所以此正方体外接球的表面积S=4 n R2=3 n .选A. 解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求 得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的｝.若正四面体的棱长为a,则其体积为 变式 3 四面体A-BCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2， 3.若四面体A-BCD 的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为_____________ .

初中几何常考模型汇总(完整版)

O D C B A 第01讲 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 图1 2 图E A B C D E F D C B A 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 O O 图1 2 图E A B C D E D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 H G E F D C B A

D C B A 105 O O 120D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 M D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。 模型实例 如图，点O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ； （2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.

反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型 一、知识点回顾 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x （k≠0）的性质 （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y 随x 的增大而增大． （3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积). （4）若双曲线y=k x 图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= 2 x -． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练

模型一： 如图，点A 为反比例函数x k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2| |k S OAB = ? 例1：如图ABC Rt ?的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y= x m 在第一象限的交点，且3=?AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ?的面积 变式题 1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x 8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________ 2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3 y x = 上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 模型二： 如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交 y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN 例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两 F

全等三角形证明中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A

【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A

全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型） 遇 600旋 60 0，造等边三角形 遇 900旋 900，造等腰直角 （ 1）自旋转：自旋转构造方法 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋 1800，造中心对称 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。E （ 4）△ AGB≌△ DFB H F （ 5）△ EGB≌△ CFB G （6） BH平分∠ AHC （7）GF∥AC A B C 变式练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC C （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。 E （ 4）AE 与 DC的交点设为 H,BH平分∠ AHC A B

变式练习 2、如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： D (1) △ ABE≌△ DBC (2)AE=DC (3)AE 与 DC的夹角为 60。 （ 4） AE与 DC的交点设为 H,BH 平分∠ AHC B A H E C （1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC ，BC 为边在 AB 的同侧作等边△ ACM 和△ CBN ，连接 AN ，BM ．分别取BM ， AN 的中点 E， F，连接 CE， CF， EF．观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（ 1）中的“以 AC ，BC 为边作等边△ ACM 和△ CBN”改为“以 AC ，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰△ ACM 和△CBN ，”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例 4、例题讲解： 1.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆时针排列），使∠ DAF=60° ,连接 CF. (1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ?② AC=CF+CD. (2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。