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浙教版2018-2019学年九年级数学上册与圆有关的角专题复习(含答案)

与圆有关的角

圆心角定理、圆周角定理为圆中角的等量关系提供了丰富的理论依据，圆中确定角相等一般按弧所对角来确定，要特别注意直径与直角的关系．

1.如图所示，AE∥CD，连结AO ，∠AOC=40°，则

所对的圆心角的度数为(A ).

A.40°

B.50°

C.60°

D.30° (第1题)(第2题)(第3题)(第4题)

2.如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，且OD⊥AB 于点C ，

所对的圆周角∠DEB=35°，则∠AOD 的度数是(C ).

A.35°

B.55°

C.70°

D.110°

3.如图所示，在⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OD=6

3AB ，则弦AB 所对圆心角的度数为(C ). A.60°B.90°C.120°D.150°

4.如图所示，量角器的外缘边上有A ，P ，Q 三点，分别表示读数180°，70°，30°，则∠PAQ 的度数为(D ).

A.10°

B.30°

C.40°

D.20°

5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，则下列判断：①BD=CD；②BD=DE；③AE=DE；④△ABC 为锐角三角形.其中正确的判断有(C ).

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)

6.如图所示，⊙O 的圆心O 在正方形网格的格点上，A ，B 两点在⊙O 上，并且也在格点上，C 为⊙O 上一点，则∠ACB= 45° ．

7.如图所示，，AD 为⊙O 的弦，若∠BAD=50°，则∠AED= 75° ．

8.如图所示，AC 为⊙O 的直径，B ，D ，E 都是⊙O 上的点，则∠A+∠B+∠C= 90° ．

图1图2

（第9题）

9.如图所示，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB=80°.

(1)若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小.

(2)若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小.

【答案】(1)∵AO⊥BD，∴=.∴∠AOB=2∠ACD.∵∠AOB=80°，∴∠ACD=40°.

（第9题答图）

(2)①如答图所示，当点C1在上时，∠AC1D=∠ACD=40°.

②如答图所示，当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD=180°，

∴∠AC2D=140°.

综上所述，∠ACD=140°或40°.

(第10题)

10.如图所示，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，23为半径作⊙M交x轴于

A，B两点，交y轴于C，D两点，连结AM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E．

(1)求点C，P的坐标．

(2)求证：BE=2OE．

（第10题答图）

【答案】(1)如答图所示，连结PB.∵PA是⊙M的直径，∴∠PBA=90°.∵MO⊥AB，∴PB∥MO,OB=OA=3.∴PB=2OM=23.∴点P坐标为(3，23).∵MC=23.OM= 3,∴OC=MC-OM=3.∴点C的坐标为(0，-3).

(2)如答图所示，连结AC.∵AM=MC=23，AO=3，OC=3.∴AM=MC=AC=23.∴△AMC为等

边三角形.∵AP为⊙M的直径，∴∠ACP=90°.∴∠OCE=30°.∴OE=1.∴BE=OB-OE=2.∴BE=2OE.

11.如图所示，过等腰三角形ABC三边的中点D，F，G作⊙O，并与两腰AB，AC分别相交于点H，E，若∠B=72°，则∠BDH等于(C).

A.32°

B.34°

C.36°

D.72°

(第11题)(第12题)(第13题)

12.如图所示，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中，正确的是(D).

A.∠OBA=∠OCA

B.四边形OABC内接于⊙O

C.AB=2BC

D.∠OBA+∠BOC=90°

13.如图所示，四边形ABCD为矩形，△ACE为以AC为底的等腰直角三角形，连结BE分别交AD，AC于点F，N，CM平分∠ACB交BN于点M.给出下列结论：①BE⊥ED；②AB=AF；③EM=EA；

④AM平分∠BAC.其中正确的结论有(D).

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

14.如图所示，AB是⊙O的直径，的度数是60°，的度数是20°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为50°．

(第14题)(第15题)

15.如图所示，AB=AC=AD，∠ABD=50°，∠BDC=30°，则∠CBD= 10° .

16.如图所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AC，点D为垂足，E是BC 上一点，G是DE的中点，OG的延长线交BC于点F．

(1)线段OD，BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程．

(2)线段BE，EF，FC三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．

(第16题)

【答案】(1)OD∥BC.证明：∵AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.∵OD⊥AC，∴OD∥BC.

(2)EF=BE+FC.证明：∵OD⊥AC，∴AD=DC.∵O为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴BC=2OD.∵∠ODG=∠FEG，DG=EG，∠GOD=∠GFE，∴△ODG≌△FEG.∴OD=EF.∴BC＝BE+EF+FC=2OD=2EF. ∴EF=BE+FC.

17.如图所示，是劣弧，M是的中点，B为上任意一点.自点M向BC引垂线，垂足

完整版浙教版初中数学全部公式

公式学全部浙教版初中数过两点有且只有一条直线1 两点之间线段最短2 同角或等角的补角相等3 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行7 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行11 两直线平行，同位角相等12 两直线平行，内错角相等13 两直线平行，同旁内角互补14 定理三角形两边的和大于第三边15 推论三角形两边的差小于第三边16 180°三角形三个内角的和等于17 三角形内角和定理直角三角形的两个锐角互余18 推论1 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和19 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角推论20 3 21 全等三角形的对应边、对应角相等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等边角边公理22(SAS) 1 ( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等23 角边角公理(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等24 推论有三边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS)

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等27 定理1 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上28 定理2 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合29 (即等边对等角）等腰三角形的两个底角相等30 等腰三角形的性质定理推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边31 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°33 推论3 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）34 等腰三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形1 35 推论的等腰三角形是等边三角形2 有一个角等于60°36 推论那么它所对的直角边等于斜边的一半37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等39 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上40 逆定理线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合41 1 4 2 定理关于某条直线对称的两个图形是全等形如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线2 4 3 定理定理443 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称逆定理45 2 a^2+b^2=c^2 c的平方，即、直角三角形两直角边ab的平方和、等于斜边46勾股定理 a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形、b、c有关系47勾股定理的逆定理如果三角形

人教版九年级数学圆和正多边形专题

圆和正多边形教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系。教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．正多边形是轴对称图形，正n 边形有n 条对称轴；?正2n 边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。知识结构及知识点： 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正n 边形每一个内角的度数为：(n-2)*180°/n 正n 边形的一个中心角的度数为：360°/n 正多边形的中心角与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。 4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）： (1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。 (2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：d=12 r （2）圆内接正四边形：d=22 r （3）圆内接正六边形：2 r 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：（2）圆内接正四边形：x= 22r （3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。（1）用量角器等分圆周。（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。 8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；

浙教版-初中数学-全部公式

浙教版初中数学全部公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

2017年浙教版九年级数学上册知识点汇总

九年级（上册） 1. 二次函数 1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是???? ??--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象具有如下性质： 1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。 2. 简单事件的概率 2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；

把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。 2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。事件A发生的概率记为P(A)。必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0r d ? 点在圆上； < 点在圆外；? = ? 不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 3.2.图形的旋转一个图形变成另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。图形的旋转具有以下性质：图形经过旋转所得到的图形和原图形相等。对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 3.3.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

九年级圆的专题-初三数学关于圆的大题

九年级圆的专题（含答案） 1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内切圆，且此圆半径不大于2 R ．解析如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆．由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=．取到等号仅当P 为圆心时． 2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与 1O e 交于点D ，且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △．解析如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △．设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=?，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠．又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△，求BC ．解析如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==， 72 BC =． C F G P H D B E A (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F

(word完整版)初三数学圆所有经典难题

圆所有经典难题一，选择题 1.下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半（4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（） A ．97° B ．104° C ．116° D ．142° 3.下列说法正确的是（） A 、三点确定一个圆。 B 、一个三角形只有一个外接圆。 C 、和半径垂直的直线是圆的切线。 D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。 4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（） A 、60o或120o B. 30o或120o C. 60o D. 120o 5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（）Ａ、２Ｂ、３Ｃ、４Ｄ、５ 6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（） A 、三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。 7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。 8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为（） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含 9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ）， A B P O

3最新浙教版初中数学九年级上册专题练习 .1 圆

3.1 圆一、选择题（本题包括6小题.每小题只有1个选项符合题意） 1. 下面关于圆的叙述正确的是（） A. 圆是一个面 B. 圆是一条封闭的曲线 C. 圆是由圆心确定的 D. 圆是到定点的距离等于或小于定长的点组成的图形 2. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）（第2题图） A. 点 P B. 点 Q C. 点 R D. 点 M 3. 已知一条定直线和直线外两个定点 A，B且 A，B在l 两旁，经过 A，B两点且圆心在l 上的圆有（） A. 0个 B. 1 个 C. 无数个 D. 0 个或 1 个或无数个 4. 如图，是圆的直径，它把圆分成上下两个半圆，自上半圆上一点作弦，的平分线交圆于点，当在上半圆（不包括、两点）上移动时，点（）（第4题图） A. 到的距离保持不变 B. 位置不变 C. 随点的移动而移动 D. 等分 5. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为（）（第5题图）

A. B. C. D. 6.半径为的圆内接正三角形的面积是（） A. B. C. D. 二、填空题（本题包括5小题） 7. 连接的叫做弦．经过的叫做直径．并且直径是同一圆中的弦． 8. 已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为． 9. 如图，草地上一根长的绳子一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊，那么小羊在草地上的最大活动面积是．（第9题图） 10. 如图，在直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为．（第10题图） 11. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标是；外接圆的半径的长为．（第11题图）

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》一、圆的概念概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +；外切（图2）?有一个交点?d R r =+；相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+；内切（图4）?有一个交点?d R r =-；内含（图5）?无交点?d R r <-； A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理 1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B

浙教版初中数学九年级上册 3.1 圆教案 (1)

直线与圆的位置关系教学目标： 1、了解圆的切线的概念； 2、理解直线与圆位置关系的性质； 3、掌握直线与圆的三种位置关系的判定。教学重点：直线与圆的三种位置关系教学难点：直线与圆的三种位置关系的性质和判定与正确运用教学过程：一、新授播放微课，师生共同完成知识梳理。二、精题分析，课堂练习 1、设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d 。根据下列条件判断直线与圆的位置关系，并说明直线与圆有几个交点：（1）d=4，r=3 （2）d=23 ，r=3 （3）d=32，r=5 3 （4）d=25，r=25 2、如果一条直线与圆有公共点,那么该直线与圆的位置关系是

3、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d ， (1)当d=4，r=3时，直线l与⊙O的位置关系是____; (2)当3d=2r时，直线l与⊙O的位置关系是 4、如果正△ABC的边长为2厘米，以A为圆心，r为半径的圆与BC相切，那么r= ____ 厘米直线与圆的位置关系的性质：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d：通过这几道题目，加强直线与圆的位置关系的两种判断方法直线与圆相交 d r，有个交点；直线与圆相切 d r，有个交点；直线与圆相离 d r，有个交点。 5．变式练习：Rt△ABC,∠C=90°AC=3, BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2；（2）r=2.4; （3）r=3. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，设⊙C的半径为r。 1）当r满足________________时，⊙C与直线AB相切． 2）当r满足____________ 时，⊙C与直线AB相离． 3）当r满足____________时，⊙C与直线AB相交． 4）当r满足______________时, ⊙C与线段AB有公共点 5）当r满足______________时, ⊙C与线段AB只有一个公共点. 这里的几道游戏关卡，让学生们在快乐中进行变式练习。三、实际应用例．在码头A的北偏东60°方向有一个海岛，离该岛中心P的12海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向东方向航行，行驶了10海里到达B，这时岛中心P在北偏东45°方向。若货船不改变航向，问货船会不会进入暗礁区？分析：要解决这个问题，首先要把它转化为数学问题，画出图形．要判断货轮是否有触礁危险，关键是看航线与暗礁圆区的位置关系．

(完整版)九年级数学中考圆专题复习

九年级圆专题复习第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ；（2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ；（2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点．（1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．

4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ．（1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ；（2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ．（1）求证：AT 是⊙O 的切线；（2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考）已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C

浙教版-初中数学-中考知识点汇总教学提纲

浙教版-初中数学-中考知识点汇总

a n n n b a b a =)(p p b a a b )()(=-32a n a n a am bm a b a b a b a b -=-=-)(121n x x x n x +++=Λ)(212211n f f f n f x f x f x x k k k =++++++=ΛΛa x x -=1'1a x x -=2'2a x x n n -='a x x +='])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-=Λ2 s s =b a b a =b a ab ?=2a a )0()(2≥=a a a 浙教版初中数学中考知识点汇总 1.数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001???叫无理数；有理数和无理数统称实数。实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。 2.自然数（0和正整数）；奇数2n-1、偶数2n 、质数、合数。科学记数法：n a 10?（1≤a ＜10,n 是整数）,有效数字。 3．（1）倒数积为1；（2）相反数和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。 4．数轴：①定义（“三要素”）；②点与实数的一一对应关系。 (2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 5非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0）(1)常见的非负数有: 6．去绝对值法则：正数的绝对值是它本身，“+（）”；零的绝对值是零,“0”；负数的绝对值是它的相反数，“-（）”。 7．实数的运算：加、减、乘、除、乘方、开方；运算法则，定律，顺序要熟悉。 8.代数式，单项式，多项式。整式，分式。有理式，无理式。根式。 9. 同类项。合并同类项（系数相加，字母及字母的指数不变）。 10. 算术平方根：（正数a 的正的平方根）；平方根： 11. （1）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式；（2）同类二次根式：化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式；（3）分母有理化：化去分母中的根号。 12.因式分解方法：把一个多项式化成几个整式的积的形式A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法。 13.指数：n 个a 连乘的式子记为。（其中a 称底数，n 称指数，称作幂。）正数的任何次幂为正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数。 14. 幂的运算性质：①a m a n =a m+n ; ②a m ÷a n =a m-n ; ③(a m )n =a mn ;④( ab )n =a n b n ; ⑤ 15.分式的基本性质 = = （m ≠0）；符号法则： 16.乘法公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2; (a+ b)2= a 2+2ab+b 2; a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）; a 2+2ab+ b 2 = (a+ b)2 17．算术根的性质：①＝ ;② ; ③ (a ≥0,b ≥0); ④ (a ≥0,b ＞0) 18.统计初步：通常用样本的特征去估计总体所具有的特征。（1）.总体，个体，样本，样本容量（样本中个体的数目）。（2）众数：一组数据中，出现次数最多的数据。平均数：平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数） ① ; ② ③若，，… ， , ; 则（3）极差：样本中最大值与最小值的差。它是刻划样本中数据波动范围的大小。方差：方差是刻划数据的波动大小的程度。标准差：（4）调查：普查：具有破坏性、特大工作量的往往不适合普查；抽样调查：抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=；（2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

新浙教版初中数学教材完整目录[最新]

新浙教版初中数学教材完整目录[最新] 4.6 整式的加减新浙教版初中数学教材第5章一元一次方程 5.1 一元一次方程完整目录 5.2 等式的基本性质 5.3 一元一次方程的解法【七年级上册】 5.4 一元一次方程的应用第1章有理数 1.1 从自然数到有理数阅读材料丢番图课题学习问题解决的基本步骤阅读材料中国古代在数的发展方面的贡献第6章1.2 数轴图形的初步知识 1.3 绝对值 1.4 有理数的大小比较6.1 几何图形 6.2 线段、射线和直线第2章有理数的运算 6.3 线段的大小比较 2.1 有理数的加法6.4 线段的和差 2.2 有理数的减法6.5 角与角的度量 2.3 有理数的乘法 6.6 角的大小比较 2.4 有理数的除法 6.7 角的和差 2.5 有理数的乘方6.8 余角和补角 2.6 有理数的混合运算6.9 相交直线阅读材料初识“几何画板” 2.7 近似数和计算器的使用

_____________________________________ 第3章实数 3.1 平方根【七年级下册】3.2 实数阅读材料神奇的π 3.3 立方根第1章平行线 3.4 实数的运算1.1 平行线 1.2 同位角、内错角、同旁内角第4章代数式 1.3 平行线的判定4.1 用字母表示数 4.2 代数式 1.4 平行线的性质 4.3 代数式的值阅读材料地球有多大? 阅读材料数学中的符号 1.5 图形的平移 4.4 整式 4.5 合并同类项第2章二元一次方程组 2.1 二元一次方程 6.4 频数与频率 2.2 二元一次方程组 6.5 频数分布直方图 2.3 解二元一次方程组综合与实践关于“初中生最喜爱看的电视节目”的调查 2.4 二元一次方程组的简单应用 _____________________________________ 2.5 三元一次方程组及其解法(选学) 阅读材料《九章算术》中的“方程”【八年级上册】第1章三角形的初步知识第3章整式的乘除 1.1 认识三角形3.1 同底数幂的乘法 3.2 单项式的乘法 1.2 定义与命题 3.3 多项式的乘法 1.3 证明 3.4 乘法公式阅读材料费马和他的猜想 3.5 整式的化简

中考初三数学专题隐形圆

中考初三数学专题隐形圆辅助圆模型一：“隐形圆”解点的存在性模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上. 1. 如图，已知线段AB. （1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；（2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P. 2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P. 3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________. . 模型二：“隐形圆”解角的最值模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠ B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.

4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由. 5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使∠APB＝30°的点P有________个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由. 模型三：“隐形圆”解线段的最值模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）；第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）；第三种：当点D在⊙O内时，d

上海市初三数学复习专题及答案圆的基础知识

授课类型T圆的基础T综合题目授课日期及时段教学内容题型一：圆的有关概念及其性质（宝山区）6.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”。由此说明：（B）（A）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；（B）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；（C）圆的直径互相平分；（D）垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧．题型二：点与圆的位置关系（普陀区）17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=8，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C 外，那么圆C半径r的取值范围为______________ 题型三：垂径定理的应用（长宁区）14. 点A B ，是⊙O上两点，10 AB=，点P是⊙O上的动点（P与A B ，不重合），连结AP PB ，过点O分别作OE AP ⊥于E，OF PB ⊥于F，则EF=______________ 17. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8．则sin∠ABD=______________ （闸北区）18．如图七，直径AB⊥弦CD于点E，设AE x =,BE y =，用含x y ，的式子表示运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系______________ O D C B A 第17题 x y C B D A O E ( 图七 )

C B E · O D A y x ? O P A （崇明区）18、如图，AB 是圆O 的直径，2=AB ，弦3=AC ，若D 为圆上一点，且1=AD ，则=∠DAC ______________ （奉贤区）18．如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半径且OC AB ⊥，垂足为D ，CD =______________ （虹口区）17．如图3，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，如果10AB =，8CD =，那么AE 的长为______________ （长宁区）15．铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度AB 为80cm ，凹坑最大深度CD 为20cm ，由此可算得铲车轮胎半径为______________ （金山区） 18. 如图，在平面直角坐标系中点()3,4P ，以P 为圆心，PO 长为半径作⊙P ，则⊙P 截x 轴所得弦OA 的长是______________ （闵行区） 16．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径r = 4，油面（阴影部分）高为3 2 r ，那么截面上油面的面积为______________（答案保留π及根号）（静安区）16．如图，⊙O 的的半径为3，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，点F 是BC 的中点，那么EF 2+OF 2 =______________ 练习 C A O B A B O D C A B D C A C D F O B E 32 r