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高中总复习教案第04讲基本初等函数

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座4）—基本初等函数

一．课标要求

1．指数函数

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。

二．命题走向

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2007年对本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

三．要点精讲

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若a x n

=，则x 称

a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，

1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；

2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。 ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；

3）当n 为偶数时，?

??<-≥==)0()0(||a a a a a a n

。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）∈???=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a

p p

Q ，4）m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n 。 ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。（3）．对数的概念

①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b

=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；

2）以无理数)71828

.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：

1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a

a =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N

a a a

log log log -=； 3）∈=n M n M a n

a (log log R ）。 ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N m m a

1）1log log =?a b b a ；2）b m

b a n

a m log log =。 2．指数函数与对数函数（1）指数函数：

①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；

3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；

3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称。 ③函数值的变化特征：

（2

①定义：函数)

1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<a 时函数为增函数；

4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x

且互为反函数。 ②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）；

4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a

a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+-

2)2917(21]10

24251253794[=?+-=÷??+-=；（2）原式=

2()2()(])2()[(a a a a a

b a b b a a b a a ???-÷

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．已知112

()(1)3(71)18x x x x x x --

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算

例3．计算

（1）2(lg2)lg2lg50lg25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；

（3）1

.0lg 2

036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+?。

解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++

(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg35

2lg36lg 24

?=；（3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2

=++=++；

分母=4100

lg 26lg 101100036lg

)26(lg =-+=?-+； ∴原式=4

。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。

例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222

a b c +=

（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c

a b +-+

++=；（2）若4log (1)1b c a ++=，82

log ()3

a b c +-=，求a 、b 、c 的值。证明：（1）左边2

22log log log ()a b c a b c a b c a b c

a b a b

+++-+++-=+=? 2222222

2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab

+-++-+-=====；

解：（2）由4log (1)1b c a ++

=得14b c

++=， ∴30a b c -++=……………①

由82

log ()3

a b c +-=得2

384a b c +-==………… ……………②

由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入2

a b c +=得2(43)0a a b -=，

∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程

例5．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），

（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。解：（1）原方程为1

4+-=x x

b ，

11)12(22)2(24221-≥--=?-=-+x x x x x ， ),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；

（2）①当1-=b 时，12=x

，∴方程有唯一解0=x ；

②当1->b 时，b b x x +±=?+=-1121)12(2 .

b b x x ++=∴>++>112,011,02 的解为)11(log 2b x ++=；

令,0111011<<-?<+?>+-b b b

b b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；

综合①、②，得

1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=；

2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=；

3）当1-

点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

例6．（2006辽宁文13）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为。

解：考察对数运算。原方程变形为2)1(log )1(log )1(log 2222=-=++-x x x ，即412

=-x ，得

5±=x 。且??

?>+>-0

1x x 有1>x 。从而结果为5。点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质

例7．设12

32,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，

则的值为，（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1)12(log )2(23=-=f ，e

f f 2

2))2((1

=-。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。

例8．已知

)1,0()(log 1

≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。解：令t x a =log ，则x =t

a ，t ∈R 。

所以t a a t f -+'=)(即x

x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。

因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单调性。任取1x ，2x ，且使210x x ≤≤，则

)()(12x f x f -

)()(1122x x x x a a a a --+-+=

212121)

1)((x x x x x x a a a a ++--=

（1）当a >1时，由210x x ≤≤，有210x x a a <<，121>+x

x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。

（2）当0

x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )

在[0，+∞]上单调递增。

综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。

点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。题型5：指数函数的图像与应用

例9．若函数m y x +=-|

1|)2

1(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（）

A ．m ≤－1

B ．－1≤m<0

C ．m ≥1

D ．0

解：??

???<≥==---)

1(2)

1()21()2

(11|

1|x x y x x x ，

画图象可知－1≤m<0。答案为B 。

点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数x a y =的图像特征。

例10．设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围。

解：由于2x y =

是增函数，()f x ≥3

|1||1|2

x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3

x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解；综上x 的取值范围是3

,4??+∞????

。

点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理。题型6：对数函数的概念与性质

例11．（1）函数2log 2-=

x y 的定义域是（）

A ．),3(+∞

B ．),3[+∞

C ．),4(+∞

D ．),4[+∞

（2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg

，则)2

()2(x

f x f +的定义域为（） A ．），（），（－4004 B ．(－4,－1) (1，4) C ．(－2,－1) (1，2) D ．(－4,－2) (2，4)

解：（1）D （2）B 。

点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

例12．对于)32(log )(2

1+-=ax x x f ，

（1）函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；

（2）结合“实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义”与“实数a

的取何值时函数的定义域为

),3()1,(+∞?-∞”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；

（3）结合（1）（2）两问，说明实数a 的取何值时)(x f 的值域为]1,(--∞ （4）实数a 的取何值时)(x f 在]1,(-∞内是增函数。解：记223)()(a a x x g -+-==μ，则μ2

log )(=x f ；

（1）不一样；

定义域为R ?0)(>x g 恒成立。

得：0)3(42

<-=?a ，解得实数a 的取值范围为)3,3(-。值域为R ：μ21

log 值域为R μ?至少取遍所有的正实数，

则0)3(42≥-=?a ，解得实数a 的取值范围为),3[]3,(+∞?--∞。

（2）实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义：命题等价于0)(>=x g μ对于任意),1[+∞-∈x 恒成立，

则??

?>--<0)1(1

g a 或???>--≥0

312

a a ，解得实数a 得取值范围为)3,2(-。

实数a 的取何值时函数的定义域为),3()1,(+∞?-∞：

由已知得二次不等式0322

>+-ax x 的解集为),3()1,(+∞?-∞可得a 231=+，则a =2。故a 的取值范围为{2}。

区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）

（3）易知)(x g 得值域是),2[+∞，又)(x g 得值域是),3[2

+∞-a ，得1232

±=?=-a a ，故a 得取值范围为{－1，1}。

（4）命题等价于)(x g 在]1,(-∞上为减函数，且0)(>x g 对任意的]1,(-∞∈x 恒成立，则?

??>≥0)1(1

g a ，

解得a 得取值范围为)2,1[。

点评：该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程

中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。

题型7：对数函数的图像及应用

例13．当a>1时，函数y=log a x和y=(1－a)x的图象只可能是( )

解：当a>1时，函数y=log a x的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。

答案：B

点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。

例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x 图象交于点C, 与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围。

解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，

所以由中点公式得D(a+2, log2)4

a)。

（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2

(

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S△ABC= log2

(

>1, 得0< a<22－2。

点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型8：指数函数、对数函数综合问题

例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n)…，对每个自然数n点P n位于函数

y=2000(

)x(0

(1)求点P n的纵坐标b n的表达式；

(2)若对于每个自然数n，以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设C n=lg(b n)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n}前多少项的和最大？试说明

理由。

解：(1)由题意知：a n=n+

,∴b n=2000(

。

(2)∵函数y=2000(

)x(0

∴对每个自然数n,有b n>b n+1>b n+2。

则以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2+b n+1>b n，

即(

)2+(

)－1>0，

解得a<－5(1+2)或a>5(5－1)。

∴5(5－1)

∴b n =2000(10

7)2

+n 。数列{b n }是一个递减的正数数列，

对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。

于是当b n ≥1时，B n

因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1，

点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。

例16．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）（1）求函数f (x )的定义域；

（2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性。（3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。解：（1）由ax x x ax <>-得0

?<≥∴ ∴f (x )的定义域是),1

(

+∞∈a x 。（2）若a =2，则)2(log )(2x x x f -= 设4

21>

>x x ，则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x

0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax

2211x ax x ax ->-∴ ①

∵f (x )是增函数，

∴f (x 1)＞f (x 2)

即)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ② 联立①、②知a ＞1，

∴a ∈(1，+∞)。

点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。题型9：课标创新题

例17．对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的∈x []n m ,，均有

1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两

个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1

log )(2≠>-=a a a

x x f a

，给定区间[]3,2++a a 。（1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围；（2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。

解：（1）两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1

log )(2≠>-=a a a

x x f a

在给定区间[]3,2++a a 有意义，因为函数a x y 3-=给定区间[]3,2++a a 上单调递增，函数在a

x y -=1给定区间

[]3,2++a a 上恒为正数，

故有意义当且仅当1003)2(1

??>-+≠>a a a a a ；（2）构造函数)3)((log )()()(21a x a x x f x f x F a --=-=，对于函数)3)((a x a x t --=来讲，

显然其在]2,(a -∞上单调递减，在),2[+∞a 上单调递增。且t y a log =在其定义域内一定是减函数。由于10<

所以原函数在区间]3,2[++a a 内单调递减，只需保证

?≤-=+≤-=+1

|)23(3log ||)3(|1

|)1(4log ||)2(|a a F a a F a a

???

????

≤-≤-≤?a a a a a 1)23(31)1(4

当12

90-≤

579->

a 时，)(1x f 与)(2x f 在区间[]3,2++a a 上是非接近的。

点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。

例18．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。解：令 log x t y =， ∵1x >，1y >，∴0t >。由2log 2log 30x y y x -+=得2

230t t

+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1

log 2

x y =，∴1

2y x =，

∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--，

∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。

点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

五．思维总结

1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为

指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高

综合能力。

(整理)基本初等函数教案.

第二章基本初等函数指数和指数函数考点回顾： 1．幂的有关概念 (1)正整数指数幂 )(*∈????=N n a a a a a n n 个 (2)零指数幂 )0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4) 正分数指数幂 ) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； (5) 负分数指数幂 ) 10,,,1m n m n a a m n N n a -* = = >∈> (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()() 20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()() 30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中() *∈>N n n ,1，n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则 ???<-≥==00a a a a a a n n ②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零课堂练习: 1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数

C ．指数函数 D ．余弦函数 2． (2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 3． (2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0 1>a >0 4． (2010·辽宁，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) B ．10 C ．20 D ．100 5．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N * )都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5 D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 6． (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,4) C ．(1 2，2) D ．(0,1) 7. (2010·北京东城区)定义在 R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ????? 21－x x ≤0 f x －1－f x －2 x >0 ，则f (－1)＝______，f (33)＝________. 8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 9．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围．

高中数学基本初等函数知识点梳理

第二章基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈

【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数

〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(

基本初等函数示范教案

第二章基本初等函数（Ⅰ）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2 1的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.

高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版

《基本初等函数》检测题一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为（） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是（） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（）

A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．函数()lg(101)2 x x f x =+-是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是（） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?，， ,则1[()]3 f f = ． 13．若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3

(完整版)基本初等函数的导数公式随堂练习

1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为

一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4

高中数学教案——基本初等函数(Ⅰ)

第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．2对数函数 2.2.1 对数与对数运算练习（64） 1.把下列指数式写成对数式：（1）328=；（2）5232=；（3）1 122-=；（4）131273-=. 1．解：（1）2log 83=；（2）2log 325=；（3）2 1log 12=-；（4）271log 33 =-． 2.把下列对数式写成指数式：（1）3log 92=；（2）5log 1253=；（3）2 1log 24=-；（4）31log 481 =-. 2．解：（1）239=；（2）35125=；（3）2124-=；（4）41381-=． 3.求下列各式的值：（1）5log 25；（2）2 1log 16 ；（3）lg1000；（4）lg 0.001. 3．解：（1）5log 252=；（2）21log 416=-；（3）lg10003=；（4）lg0.0013=-. 4.求下列各式的值：（1）15log 15；（2）0.4log 1；（3）9log 81；（4） 2.5log 6.25；（5）7log 343；（6）3log 243. 4．解：（1）15log 151=；（2）0.4log 10=；（3）9log 812=；（4） 2.5log 6.252=；（5）7log 3433=；（6）3log 2435=. 练习（68） 1.用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：

（1）lg()xyz ；（2）2lg xy z ；（3）3；（4）. 1．解：（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）2 2lg lg()lg lg 2lg lg xy xy z x y z z =-=+-；（3）331lg()lg 3lg lg 2xy x y z =-=+-；（4）221lg lg()lg 2lg lg 2 y z x y z y z ==--. 2. 求下列各式的值：（1）23log (279)?；（2）2lg100；（3）lg 0.00001；（4）2．解：（1）22333log (279)log 27log 9347?=+=+=；（2）24lg100lg104==；（3）5lg 0.00001lg105-==-；（4）12 1ln ln 2e ==. 3. 求下列各式的值：（1）22log 6log 3-；（2）lg5lg 2+；（3）551log 3log 3 +；（4）33log 5log 15-. 3．解：（1）22226log 6log 3log log 213 -===；（2）lg5lg 2lg101+==；（3）55 51log 3log log 103 +==；（4）3331log 5log 15log 13-==-. 4.利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log log a c c a ?；（2）2345log 3log 4log 5log 2???；

(完整版)人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算（1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。（2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。（3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

基本初等函数(整理)

1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数

1．指数函数 1函数（a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方，且通过点(0,1)。若a>1，指数函数是单调增加的。若0

2．对数函数由此可知，今后常用关系式，如：指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。若01 0

基本初等函数复习教案一对一

教师: 高一学生: 上课时间 2013年月日阶段: 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课教学课题: 基本初等函数教学目标: 1.了解几种特殊的基本初等函数 2.应用函数的性质解题教学重难点：重点：基本初等函数基础知识点的熟练掌握难点：基本初等函数的实际应用教学过程1. 2. 3. 4. 课后作业教学反思【励志故事】相信自己可以伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到；一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定出类拔萃，即使第一枚奖章还未颁发，你已获得难得的自信，你已懂得随梦想起飞。生命的战争并不总青睐于所谓的强者；或早或晚，赢得胜利的人，是相信是自己可以的人。

家长建议家长签名：附件：教案正文核心内容：知识点一：指数与对数的运算 1、n 次方根* ∈>N n n ,1有如下恒等式： () a a n n =；? ??=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= =- ()1,,,0>∈>* n N n m a 且例1、求下列各式的值：（1）()() * ∈>-N n n n n 且,13π；（2） ()2 y x - 例2、化简：（1）)3()6)(2(6 56131212132b a b a b a -÷-；（2）)0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则：（1）()N M N M a a a log log log +=?，（2）N M N M a a a log log log -=，（3）M n M a n a log log =，（4）M m n M a n a m log log = （5）a N N b b a log log log = ，（6）a b b a log 1 log =

人教版高一数学必修一基本初等函数解析(完整资料)

此文档下载后即可编辑基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算（1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。（2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。（3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ；

高一数学基本初等函数教案

核心内容：知识点一：指数与对数的运算 1、n 次方根*∈>N n n ,1有如下恒等式： ()a a n n =； ? ? ?=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= = -() 1,,,0>∈>* n N n m a 且例1、求下列各式的值：（1）()()*∈>-N n n n n 且,13π；（2） ()2y x - 例2、化简：（1）)3()6)(2(6 56 13 12 12 13 2b a b a b a -÷-；（2）)0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则：（1）()N M N M a a a log log log +=?，（2）N M N M a a a log log log -=，（3）M n M a n a log log =，（4）M m n M a n a m log log = （5）a N N b b a log log log = ，（6）a b b a log 1 log = 其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.，例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）128 1 27= -；（2）273=a ；（3）1.0101=-；（4）532log 2 1-=；（5）3001.0lg -=；（6）606.4100ln =.

高一数学必修1《基本初等函数》测试题

高一数学必修1《基本初等函数》测试题一、选择题．（共50分每小题5分．每题都有且只有一个正确选项．） 1、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（） A 、m m n n a a a ÷= B 、n m n m a a a ?=? C 、()n m m n a a += D 、01n n a a -÷= 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则 M N =；④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则（） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算lg52lg2)lg5()lg2(22?++等于（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、 231a a -- 9、已知幂函数f(x)过点（2，2 2），则f(4)的值为（）

高一数学必修一基本初等函数知识点总结

〖 2.1〗指数函数根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）分数指数幂的运算性质① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数〖2.2〗对数函数负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么

①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且换底公式的推论：（5）对数函数〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数 y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α 是常数．

专题一第三讲二次函数、基本初等函数及函数的应用

一、选择题 1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (14 )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：设幂函数f (x )＝x α，把(4，12)代入得α＝－12 ，则f (x )＝x 12-－12，f (14)＝(14)12-＝2. 答案：B 2．(2011·福州质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又f (x )＝a (x －1)2－a ＋c ，所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案：D 3.设00，ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12 )b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．答案：B 4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为

数学必修一_第二章__基本初等函数(Ⅰ)教案

第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1 指数一．教学目标： 1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法四、教学过程：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？ =，则x叫做a的平方根.同理，若归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a 3 =，则x叫做a的立方根. x a 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根为2 根、立方根均为零. 二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念. =，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n n次方根：一般地，若n x a ∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，表示，如果是负数，用

叫做根式.n 为奇数时，a 的n n 称为根指数，a 为被开方数. 类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？ n a n a n a n ?????为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为 n a n a n a n ??? ??为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在. 零的n 0= 举例：16的次方根为2± ，275-的27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况. 根据n 次方根的意义，可得： n a = n a = a n 的n a =一定成立吗？如果不让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论. 通过探究得到：n a = n 为偶数 , ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -

高中数学基本初等函数练习题

（一）指数运算例1 计算：526743642++--- 例2 求值：238、12100-、31()4-、34 16()81- 例3 用分数指数幂表示下列各式（其中各字母均为正数）（1）34a a ?；（2）a a a ；（2）3324()a b +；（二）指数函数的性质例1 下列函数是指数函数的是（） A ．2y x = B ．2x y = C ．12 x y += D ．132x y +=? 例2 函数22(0,1)x y a a a -=->≠ 且的图象恒过定点________________ 例3 比较下列各组数的大小（1）0.245()6-与145()6- （2）1()ππ -与1 （3）2(0.8)-与125()4- 例4 设a 是实数，2()()21 x f x a x R =-∈+ （1）证明：不论a 为何实数，()f x 均为增函数；（2）试确定a 的值，使得()f x 为奇函数例5 已知0a >，且1a ≠，11()12x f x a = --，则()f x 是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．函数的奇偶性与a 有关例6 若函数221x x y a a =+-(01)a a >≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为14，求a 的值．三、实战演练 1、化简：3322 43342(0,0)()a b ab a b a b a b ->>=_______________ 2、已知12102 a -=，31032 b =，则32410=a b +_______________ 3、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 4、函数()x b f x a -=的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（） A ． B ． C ． D ． 5、比较大小：①0.70.8 a =，0.90.8 b =，0.81.2 c =；②01， 2.50.4-，0.22-， 1.6 2.5； 7、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数（1）求a 、b 的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围 0,1<>b a 0,1>>b a 0,10><

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