当前位置：文档库 › 文科高等数学(5. 不定积分)

文科高等数学(5. 不定积分)

第五章不定积分

§5. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有

F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时,

因为x

x 21)(=', 所以x 是x

21的原函数.

提问:

cos x 和x

21还有其它原函数吗？

原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有

F '(x )=f (x ).

简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明:

第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.

第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).

定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作

x f )(.

其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.

根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即

+=C

x F dx x f )()(.

因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x x d x +=?s i n c o s .

因为x 是x

21的原函数, 所以

C x dx x

+=?21.

例2. 求函数x

x f 1)(=的不定积分.

解：当x >0时, (ln x )'x

1=,

C x dx x

+=?ln 1(x >0);

当x <0时, [ln(-x )]'x

1)1(1=-?-=,

C x dx x +-=?)ln( 1(x <0).

合并上面两式, 得到 C x dx x

+=?||ln 1(x ≠0).

例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.

解设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,

即f (x )是2x 的一个原函数. 因为 ?+=C x x d x 22,

故必有某个常数C 使f (x )=x 2

+C , 即曲线方程为y =x 2

+C . 因所求曲线通过点(1, 2), 故

2=1+C , C =1.

于是所求曲线方程为y =x 2

+1.

积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线. 从不定积分的定义, 即可知下述关系:

=)(])([x f dx x f dx d

, 或 ?=dx x f dx x f d )(])([;

又由于F (x )是F

'(x )的原函数, 所以 ?+='C x F dx x F )()(,

或记作 ?+=C x F x dF )()(.

由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号?表示）是互逆的. 当记号?与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表 (1)C kx kdx +=?(k 是常数), (2)C x dx x ++=+?11

1μμμ,

(3)C x dx x

+=?||ln 1,

(4)C e dx e x x +=?,

(5)C a

a dx a x

+=?ln , (6)C x xdx +=?sin cos , (7)C x xdx +-=?cos sin , (8)C x xdx dx x

+==??tan sec cos 1

, (9)C x xdx dx x

+-==??

cot csc sin 1

, (10)C x dx x +=+?arctan 11

, (11)C x dx x +=-?

arcsin 112

(12)C x xdx x +=?sec tan sec , (13)C x dx x +-=?csc cot csc , (14)C x dx x +=?ch sh , (15)C x dx x +=?sh ch .

例4 ??-=dx x dx x

331C x C x +-=++-=

+-21321

131.

例5 ??=dx

dx x x

252

x ++=

2512

51C x +=27

C x x +=37

例6 ??-

=dx

x dx 343

C x ++-=

+-13

413

4C x

+-=-

13C

+-=3

三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.

这是因为, ])([])([])()(['+'='+????dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).

性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 ??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0). 例7. ??-=-dx

x x

dx x x )5()5(2

?-=dx

x dx

x 21255?

-=dx

x dx

x 21255

x x

-=23

257

例8 dx x x x dx x

x x x dx x x )133(133)1(22

2323

-+-=-+-=-???

C x x x x dx x

dx x dx dx x +++-=-+-=????1

||ln 3321113322.

例9 ???-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3. 例10

e C e e dx e dx e x

x x x

x x ++=

=??2

ln 12)

2ln()2()2(2.

例11 dx x

x dx x x x x dx x x x x )1

11()1()

1()1(122222

++=+++=+++??? C x x dx x dx x

++=++=??||ln arctan 1

112

. 例12

dx x x x dx x x dx x x ???++-+=++-=+2

22242411)1)(1(11

????++-=++

-=dx x dx dx x dx x x 2

211

)111( C x x x ++-=arctan 3

例13 ????-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan = tan x - x + C .

例14 ???-=-=dx x dx x dx x )cos 1(2

cos 1 2

sin 2

x x +-=)sin (2

例15 C x dx x

dx x x +-==?

?cot 4sin 1

cos 2sin 1222

§5. 2 换元积分法一、第一类换元法

设f (u )有原函数F (u ), u =?(x ), 且?(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有 d F [?(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [?(x ) ] d ?(x )= F '[?(x ) ]?'(x )d x ,

所以 F '[?(x )]?'(x )dx = F '[?(x )] d ?(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [?(x ) ], 因此 ??'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ????

??='=)()(u dF du u F C x F x dF +==?)]([)]([??. 即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ?????=???==' =[F (u ) +C ] u = ?(x ) = F [?(x )]+C . 定理1 设f (u )具有原函数, u =?(x )可导, 则有换元公式

???

+=+==='C

x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([????? .

被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式?'(x )dx =du 可以应用到被积

表达式中.

在求积分?dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [?(x )]?'(x )的形式, 那么

?dx

x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ???=??

='=

例1. ??'?=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2?=)2(2cos x xd

C u u d u +==?s i n

c o s =sin 2x +C . 例2. dx x x dx x ??

'++=+)23(23121231?++=)23(231

21x d x

不定积分

C u dx u +==?||ln 21121C x ++=|23|ln 21.

例3. ????=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(2222

C e C e x u +=+=2

例4. 2222212

1)(12

11dx x dx x x dx x x ???-='-=-

u du u x d x +-=-=---=??23

212231

21)1(121

x +--=23

2)1(3

例5. ???-==x d x

dx x

x xdx cos cos 1cos sin tan

C u du u +-=-=?||ln 1

=-ln|cos x |+C . 即 C x x d x +-=?|c o s |ln tan . 类似地可得C x xdx +=?|sin |ln cot . 熟练之后, 变量代换就不必再写出了. 例6. dx a

x a dx x a ??+=+2

222)(1111

C a x

a a x d a

x a

+=+=?a r c t a n 1)(1112. 即 dx x a ?+221

C a x a +=a r c t a n 1.

例7. C a

a a

x d a

x a dx a

x +==??sh ch ch .

例8. 当a >0时, ?

-dx a

x a

dx x

a 2

)(1111C a

x a x d

x +=-=?

a r c s i n )(112

即 dx x a ?

-2

C a x

+=a r c s i n .

例9. ??+--=-dx a x a x a dx a

x )11(

21122]11[21??+--=dx a x dx a x a

不定积分

])(1)(1[21??++---=a x d a

x a x d a x a

C a x a x a

++--=|]|ln ||[ln 21C a

x a x a

++-=||ln 21.

即 dx a

x ?-221C a x a x a ++-=||ln 21. 例10. ?

??++=+=+x

x d x x d x x dx ln 21)

ln 21(21

ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 2

例11. ?

??=

d e x d e dx x

33223

C e x

+=3

含三角函数的积分:

例12. ???=xdx x xdx sin sin sin 23?--=x d x cos )cos 1(2

??+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3c o s 3

c o s . 例13. ??=x x

d x xdx x sin cos sin cos sin 4252

?-=x d x x s i n )s i n 1(s i n

222 ?+-=x d x x x s i n )s i n s i n 2(s i n 6

C x x x ++-=753s i n 7

1s i n 5

2s i n

1. 例14. dx x xdx ?

?+=2

2cos 1cos 2)2cos (2

??+=xdx dx ??+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2s i n

21. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ??=?+=dx x 2)]2cos 1(21

[

?++=dx x x )2cos 2cos 21(41

?++=dx x x )4cos 21

2cos 223(41

C x x x +++=)4s i n 8

2s i n

3(41

不定积分

C x x x +++=4s i n 32

12sin 4

例16. ??+=dx x x xdx x )5cos (cos 2

12cos 3cos

C x x ++=5s i n 10

1sin 2

例17. ??=dx x

xdx sin 1csc ?

=dx

x x 2

cos

2sin 21

C x x x

d x x x

+===?

|2t a n |ln 2

tan 2tan 2cos

tan 2

=ln |csc x -cot x |+C . 即 ?x d x c s c =ln |csc x -cot x |+C .

例18. ??+=dx x xdx )2

csc(sec π

C x x ++-+=|)2

cot()2

csc(|ln ππ

=ln |sec x + tan x | + C . 即 ?x d x s e c =ln |sec x + tan x | + C .

二、第二类换元法

定理2 设x =?(t )是单调的、可导的函数, 并且?'(t )≠0. 又设f [?(t )]?'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式

x F t F dt t t f dx x f +=='=-??

)]([)()()]([)(1???.

其中t =?-1

(x )是x =?(t )的反函数. 这是因为

)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dt

dx t t f dx

dt t F x F =='='='-????.

例19. 求dx x a ?-22(a >0).

解: 设x =a sin t , 2

ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=,

dx =a cos t d t , 于是

???=-t d t a t a dx x a cos cos 22

不定积分

C t t a t d t a ++==?)2s i n 4

1(c o s 222.

因为a

x t arcsin

=, a

x a a x t t t 2

22cos sin 22sin -?==, 所以

dx x a ?

-22C t t a ++=)2sin 4

21(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.

解: 设x =a sin t , 2

ππ<<-t , 那么

???=-t d t a t a dx x a cos cos 22

C t t a t d t a ++==?)2s i n 4

1(c o s 222C x a x a x a +-+=

2222

1a r c s i n 2. 提示:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .

提示: a

x t arcsi n =, a

x a a x t t t 222cos sin 22sin -?==.

例20. 求?

x dx (a >0).

解法一: 设x =a tan t , 2

ππ<<-t , 那么

22a x +t a a 222tan +=

a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是

2a x dx ??==tdt dt t

a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为a a x t 22sec +=

, a

t =tan , 所以 ?

x dx = ln |sec t + tan t |+C C a

a x a

+++=)ln(

2122)ln(C a x x +++=,

其中C 1=C -ln a .

解法一: 设x =a tan t , 2

ππ<<-t , 那么

???

==+t d t dt t

a t a a x dx sec sec sec 22

2=ln|sec t +tan t |+C

不定积分

C a

a x a x +++=)l n (2

2122)l n (C a x x +++=,

其中C 1=C -ln a .

提示:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2

t dt ,

提示:a a x t 2

2sec +=

, a

x t =tan .

解法二: 设x =a sh t , 那么 ?

2a x dx C a x

C t dt dt t a t a +=+===??

arsh ch ch C a

x a

x +??

? ??

++=1)(ln 2122)l n (C a x x +++=,

其中C 1=C -ln a . 提示:

22a x +2

22a t sh a +=

=a ch t , dx =a ch t d t .

例23. 求?

-2

x dx (a >0).

解: 当x >a 时, 设x =a sec t (2

0π

1sec 2-=t a =a tan t ,

于是

-2

2a x dx ??

==tdt dt t

a t

t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C .

因为a a x t 22tan -=

, a

t =sec , 所以 ?

-2

2a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a

a x a

x +-+

=||ln 2

2122)ln(C a x x +-+=, 其中C 1=C -ln a .

当x a , 于是 ?

-2

2a x dx C a u u a u du +-+-=--=?

)ln(222

不定积分

C a x x +-+--=)l n (22122)l n (C a x x +---

=, 1222

2)ln(ln C a x x C a

a x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a . 综合起来有

-2

x dx C a x x +-+

=||ln 22.

解: 当x >a 时, 设x =a sec t (2

t a sec tan tan sec C a

a x a

x C t t +-+=++=)l n (|t a n s e c

|ln 2

2 C a x x +-+=)l n (22, 其中C 1=C -ln a .

当x <-a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是 ?

a x x C a x x +---=+-+--=2

222ln )ln( 122)l n (C a x x +---=, 其中C 1=C -2ln a .

提示:22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t . 提示:a a x t 22tan -=

, a x

t =sec . 综合起来有 C a x x a

(16)C x xdx +-=?|cos |ln tan , (17)C x xdx +=?|sin |ln cot ,

不定积分

(18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , (20)C a x

a dx x

a +=+?arctan 112

, (21)C a x a x a dx a

x ++-=-?||ln 2112

(22)C a

dx x a +=-?arcsin

122, (23)C a x x a x dx +++=+?)ln(2222, (24)C a x x a

x dx +-+

=-?||ln 222

§5. 3 分部积分法

设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 (uv )'=u 'v +uv ', 移项得 uv '=(uv )'-u 'v . 对这个等式两边求不定积分, 得

??'-='v d x u uv dx v u , 或??-=vdu uv udv , 这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程:

???='-=-=='???? vdx u uv vdu uv udv dx v u .

例1 ???-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C . 例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==???. 例3 ???-==2222dx e e x de x dx e x x x x x

??-=-=x x x x x d e e x dx xe e x 2222?+-=dx e xe e x x x x 222 =x 2e x

-2x +2 )+C . 例4 ????-==dx x

x x x xdx xdx x 12

1ln 2

1ln 222

C x x x x d x x x +-=-=?2224

1ln 2

不定积分

例5 ??-=x xd x x xdx arccos arccos arccos dx x x x x ?-+=2

x x x +--=21a r c c o s .

例6 ??=2arctan 2

1arctan xdx xdx x ?+?-=dx x

x x x 2221121arctan 21

C x x x x ++-=a r c t a n 2

1a r c t a n 2

12.

例7 求xdx e x sin ?.

解因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ??-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n ?+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ?+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ?--=x d x e x e x e x x x s i n c o s s i n ,

所以 C x x e x d x e x x +-=?)c o s (s i n 2

s i n

例8 求?xdx 3sec . 解因为

???=?=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23

?-=x d x x x x 2

t a n

s e c t a n s e c ?--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2

??+-=x d x x d x x x s e c s e c

|t a n s e c |ln tan sec , 所以 ?x d x 3

s e c

C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 2

dx a x x n a x x a x dx n n n ??+-++=+--)

()1(2)()(222

122122

dx a x a a x n a x x n n n ?+-+-++=--])

解令x =t 2 , 则 , dx =2tdt . 于

dx e x ?C x e C t e dt te x t t +-=+-==?)1(2)1(22. x d e x x d e dx e x x x ???==2)(2 x

第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分

??=')()]([)()]([x d x f dx x x f ????u

x =)(?令?du u f )(,

??=')()()()(x dv x u dx x v x u ?-=)()()()( x du x v x v x u . 哪些积分可以用分部积分法？

?xdx

x cos

, ?dx xe x , dx e x x ?2;

不定积分

?xdx x ln , ?xdx

arccos , ?xdx x arctan ;

xdx

sin ?, ?xdx 3sec .

222

???===???du e dx e dx xe u

x x ,

2222

???=-==???dx e e x de x dx e x

x x x x .

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

第五章定积分及其应用

第五章定积分【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．【考试内容】一、定积分的相关概念 1．定积分的定义设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -，各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤），作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑．记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即

1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ，其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．（2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积．在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差．二、定积分的性质

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案例1 求2 1lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?．例2 0 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=42 2x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。【考查方向】求定积分【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函

数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--，所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v

高等数学定积分应用

第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节定积分的元素法 1课时第二节定积分在几何学上的应用 3课时第三节定积分在物理学上的应用 2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积解由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

定积分典型例题11198

定积分典型例题例1 求21lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?．例2 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ．例18 计算2 1 ||x dx -?．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ．解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

高等数学积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ．＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章不定积分习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程. 解设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

§_5_定积分习题与答案

第五章定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?．例2 2 20 2x x dx -? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=42 2x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-，故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全内容概要课后习题全解习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。解： (8)★思路:分项积分。解： (9)★★思路:？看到，直接积分。解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解： () 17★思路:不难，关键知道“”。：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。解：、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：，；又点在曲线上，适合方程，有，所以曲线的方程为、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

高中数学定积分计算习题

定积分的计算班级姓名一、利用几何意义求下列定积分（1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算（1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（（10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ）（（14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（（16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积

高等数学第五章定积分总结

第五章定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念一、实例分析 1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理定理若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法）１） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法）１） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法）１） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分）１） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。

第五章定积分及其应用

第五章定积分及其应用定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。一、知识网络定积分??? ???? ?? ? ???? ????????Γ?????-函数审敛法和计算定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、定积分的应用?????????）（变力作功等其它弧长体积面积微元法二、典型例题例1 . 求极限 x x dt xt x x 2sin )sin(lim 2302 ?→。 [分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。 [解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2 ?2 )2(x ，4 sin x ?4 x ，)0(→x ，因此再利用洛必达法则有原式=230 20 )2(sin 1lim 2 x x dx u x x x ? →=54060 2024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=? =12 1 12lim 440=→x x x 例2. 求极限 n n n n n n )2()2)(1(1lim ???++∞→. [分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和