2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年北京市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2009?北京）设集合，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}

【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法．

【分析】根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求AB的并集可得答案．

【解答】解：∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，

∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，

故选A．

【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法．属于基础知识、基本运算的考查．

2．（5分）（2009?北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）

A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向

C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【专题】计算题．

【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．

【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，

则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），

显然，与不平行，排除A、B．

若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），

即∥且与反向，排除C，

故选D．

【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．

3．（5分）（2009?北京）若（a，b为理数），则a+b=（）

A．33 B．29 C．23 D．19

【考点】二项式定理的应用．

【专题】计算题．

【分析】利用二项式定理的展开式将二项式展开，利用组合数公式化简展开式，列出方程求出a，b，求出a+b．

【解答】解：

∵

=，

由已知，得，

∴a+b=17+12=29．

故选B．

【点评】本题考查二项式定理的展开式；要熟练掌握公式．

4．（5分）（2009?北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的

点（）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【考点】对数函数的图像与性质．

【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．

【解答】解：∵，

∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

故选C．

【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．

5．（5分）（2009?北京）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120

【考点】计数原理的应用．

【专题】计算题．

【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．

【解答】解：由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有A21=2种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．

故选C．

【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．

6．（5分）（2009?北京）“”是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充要条件．

【专题】简易逻辑．

【分析】当α=时，cos2；反之，当时，，k∈Z，或

．所以“”是“”的充分而不必要条件．

【解答】解：当α=时，cos2，

反之，当时，可得?，k∈Z，或

?，

“”是“”的充分而不必要条件．

故应选：A．

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答．

7．（5分）（2009?北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）

A．B．1 C．D．

【考点】直线与平面平行的性质．

【专题】计算题；作图题；压轴题．

【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．

【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，

∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，

故选：D．

【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．

8．（5分）（2009?北京）设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心，若集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（）

A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，要求集合S={P|P∈D，

|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，表示的平面区域的形状，我们要先根据集合中点P满足的性质，找出所表示区域的边界，进而判断出区域各边界围成的图形形状．

【解答】解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，

若|PP0|=|PP i|

当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为ED；

当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为AF；

当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为BC；

故满足条件集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，

则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，

故选D

【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识．本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2009?北京）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则cosθ=．

【考点】同角三角函数间的基本关系．

【分析】根据sin2θ+cos2θ=1可得答案．

【解答】解：由已知，θ在第三象限，

∴，

∴cosθ=．

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查简单的三角函数的运算．属于基础知识、基本运算的考查．

10．（5分）（2009?北京）若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n（n∈N*），则a5=16；前8项的和S8=255．（用数字作答）

【考点】等比数列的前n项和．

【专题】计算题．

【分析】先根据a1=1，a n+1=2a n通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过a n+1=2a n可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8．

【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，

∵a n+1=2a n，即=2

∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为2．

∴，

∴故答案为：16，255．

【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题．属于基础知识、基本运算的考查．

11．（5分）（2009?北京）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9．

【考点】简单线性规划的应用．

【专题】计算题．

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求

出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y 的最大值．

【解答】解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，

由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．

故答案为：9．

【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．

12．（5分）（2009?北京）已知函数若f（x）=2，则x=log32．

【考点】函数的图象与图象变化．

【专题】计算题．

【分析】要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．

【解答】解：由?x=log32，

无解，

故答案：log32．

【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值．属于基础知识、基本运算的考查．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

13．（5分）（2009?北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．

【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，

∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．

在△F1PF2中，

cos∠F1PF2

=

==﹣，

∴∠F1PF2=120°．

故答案为：2；120°

【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．

14．（5分）（2009?北京）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个．

【考点】元素与集合关系的判断．

【专题】新定义；集合．

【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．

【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．

因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（12分）（2009?北京）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin2x，再由T=可得答案．

（2）先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）cosx=2sinxcosx=sin2x，

∴函数f（x）的最小正周期为π．

（Ⅱ）由﹣≤2x≤π，

∴﹣≤sin2x≤1，

∴f（x）在区间上的最大值为1，最小值为﹣．

【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．

16．（14分）（2009?北京）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE∥PD，，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

17．（13分）（2009?北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．

【专题】计算题．

【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．

（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．

【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，

∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为

（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）

事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），

∴，

∴ξ的期望是

【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．

18．（14分）（2009?北京）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）已知函数的解析式f（x）=x3﹣3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；

（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，

∴

（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），

当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．

当a＞0时，由，

当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

19．（14分）（2009?北京）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．

【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）由离心率和准线方程求的a和c，再根据b2=c2﹣a2求得b，进而可得双曲线的方程．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x0和y0，把点M代入圆的方程气的m．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴b2=c2﹣a2=2，

∴所求双曲线C的方程为．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），

∴=m，y0=x0+m=2m，

∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=5上，

∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力

20．（13分）（2009?北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．

（Ⅰ）若，求b3；

（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）先得出a n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（Ⅱ）先得出a n，再解关于n的不等式，根据{b n}的定义求得b n再求得S2m；

（Ⅲ）根据b m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，

解，得．

∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．

（Ⅱ）由题意，得a n=2n﹣1，

对于正整数m，由a n≥m，得．

根据b m的定义可知

当m=2k﹣1时，b m=k（k∈N*）；

当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．

∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+

（m+1）]=．

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．

∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q对任意的正整数m都成立．

当3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p﹣1=0，即时，得，

解得．（经检验符合题意）

∴存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．

【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．