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XDF 研数线代冲刺 09 尤承业讲义

考研数学冲刺线性代数讲义

主讲：尤承业

欢迎使用新东方在线电子教材

什么

每个同学经过了一年的努力，系统复习了内容，做了大量的习题，到了现在的阶段应该做一个总结，巩固战果，使得知识更加系统化，条理化，做题的能力得到提高。我做的串讲只是起到‘抛砖引玉’的作用。希望串讲对大家的总结有所帮助串讲的特点：

不求全面，突出要点，重点，考题经常会涉及的地方。不讲细节，看全局，从宏观上看，突出知识的纵向联系。第一部分矩阵

是全课程的计算基础。

关键概念：矩阵的初级变换，乘法，可逆矩阵初等变换

初等变换可用在那些方面 a.计算秩/向量组的秩

① 计算秩初等变换保持矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于他的非零行数(行列变换都可用，可交替使用)①②

②用于方程组类问题。

C B A ?→??→?行列对于方程组的增广矩阵初等行变换方程组回解变换（可用行变换，不可用列变化）

b.要熟练掌握的基本运算：

用初等（行）变换的矩阵的阶梯形或简单阶梯形矩阵。用初等行变换可逆矩阵为单位矩阵初等变换法

方程组唯一解时的求解法。

由变换法则，当系数矩阵A 为方

唯一解可逆β=?x A A

求唯一解的方法：

就是解

ηη).()(E B A ?→?

同解与ηβ==Ex x A

2.解矩阵方程：①b,x =A ②B XA =其中A 是个逆矩阵 AX=B ，

{}{}{}

s i B AX B AX x x x X B i i n n ,.....,2,1......,.....2121=====即则βββ

同时解这些线性方程组：()()B

X E B A 1

A x =?→?，行

即

()(

,X E B A B X A t t t t t ?→?=

矩阵方程是常规的考题，还可应用于下面情况：设以知n 阶矩阵A 的n 个线性无关的特征向量n ηηη,.....,,21它们的每个特征值n λλλ.. (21)

求A

建立矩阵方程：

()()n n n A ηληληληηη......,.....2211..21=

例如（2006）有一个三阶矩阵A 的各行元素之和=3，又()()t

t 1,1,0,1,2,121-=--=αα他们

都是AX=0的解求A ：

? ??=????? ??---????? ??=????? ??-????? ??=????? ??--=????? ??=????? ??000333333011121011000110,000121,333111A A A A 则

用等式换算法求A ???

????-?→??????

??---000333333110030111000000333110121111 ??

???

??=∴111111111A

3求逆矩阵 A 可逆时，1

-A

为AX=E 的解()()1

-?→?A E E A 行

矩阵乘法的俩个规律俩个规律： ①

()()

S A A A A ββββββ,.....,,.....,,21s 21=

②()n

s n b b b b b αααααα,......,,..,,22112121=????

?? ??

这俩个规律的直接结论是对矩阵乘法的认识

深化：两个矩阵A ，B 的乘积矩阵C 的每个列的向量都是A 的列向量的线性组合，系数为B 的相应列的各元素：

j AB r =

nj j j j b b b r ααα,.....,,2211=

对于C 的行向量，则有如下结论：C 的每个行向量都是B 的行向量组的线性组合，组合系数是A 的相应行的各元素

用这个认识，可对元素比较简单的情况直接通过C 的各列（各行）写出C

()

???? ??--=??

??? ??-+-++=????? ??--????? ??--????

? ??----=-++-=??

??? ??--????? ??--132112339208

5911870643110011111161528157977110011111591187064332313213213132121ηηηηηηηηηηααααααα，，列如：

认识对角矩阵与初等矩阵在乘法中的作用：

⑴对角矩阵Ω放在右侧与一个矩阵A 相乘，相当等于用 Ω 的对角线元素乘A 的对应列；如果Ω在A 左侧，则表示相当于用Ω的对角线元素乘A 的对应行。

⑵对矩阵A 作一次初等行变换，相当与在A 的左/右侧乘一个相应的初等矩阵。（把要做的

初等变换作用GE 得到）

矩阵分解：这俩个规律的反向应用例如：

()()32131321321,,3,ααααααααααα-+-+-==B A

则

????? ??---=

?????

??????? ??-????? ??-????? ??-=111101113111,101,113A A A A B

把矩阵B 分解的A 与一个矩阵的乘积，条件是B 的每个列向量都是A 的列向量组的线性组

合。

今年考题：

,,,321ααα是3232211,,ααααααα+===A A A 求矩阵P A P 1-其中

),,(321ααα=p

解：B P A P =-1

也就是AP=PB =

()3221,,αααα+-

()??

?? ??=100210001,,321ααα

?????

??-=????? ??-=100110001,100110001B p

可用矩阵分解求矩阵的运算还出现在05，01年 05年考试题目：设A 为3阶矩阵，

321,,ααα是线性无关的A 向量组

231221132,2,3αααααααααα+=+=++=A A A ，

求矩阵B 使得

()()B A 3213211,,,ααααααα++=

01年：A 是3阶矩阵，α是3维列向量，使得α，α2

,A AX 线性元素，ααα2

323A -=A A ，

求B ，使得1

-=PBP A

三个点共同之处：A 与B 相似

矩阵分解可用来求行列式，求秩等等方面。

08年考题：21,αα，A 是二阶矩阵线性元素的俩个2维列的 2122ααα+=A 求A 的一个

非零的值。 ()()()()()1010201020,,1020,2,0,211

21212121，

的特出值为，。

即A A ???

??→???? ??=A ?

??=+=A -αααααααααα

例：3维列的值

321,,ααα，321,,βββ满足

2,03,02323231212121=+-+-=-+-=-++ββααββααββαα

已知

a ,,321=ααα求3

21,,βββ

解：

()()

()()??

??---=????? ??--++=+-+=+-+=-+=+110101012,,100111031,,-2-2--3-2-32-321321323121321213232312121212

βββαααββββββααααααββααββααββαα，，，，，

，，

俩边取行列式得-4a

,,1

,,4a -1

10101

2,,1

111031a 321321321=?=---=--βββββββββ

四、矩阵可逆性的判断

设A 是n 阶矩阵，则 A 可逆

)(0非奇异，非退化A A ≠?

()的特征值

不是所以有零解）唯一解（无关的列（行）向量组线性A AX AX A A 00n

r ?==??=?β

不可逆的特征是E A A →?λ

（的特征不是可逆A E A λ?→）

例：设A,B 都是n 阶矩阵，证明E-AB 可逆可逆BA E -?

BA -E 0AB -E =?=即

或1是AB 的特征值的特征值是BA 1? ‘右左?’取η是AB 的特征值，特征值为1，则ηη

=AB ⑴

()ηηB B BA =? ⑵

因为,0≠η

⑴式说明0≠ηB

于是ηB 是BA 的特征向量，特征值为1.

例：08年题：A 不是零矩阵，满足

03=A ,判断E-A ，E+A 的可逆性方法一：用定义：()()E A E

A A E A E ==+±33

说明A E ±可逆

方法二：判断E-A ，(E+A)是可逆即判断1，（-1）是不是A 的特征值

因为03=A ，所以A 的特征值λ都应满足

03=λ即λ它是0，则1（-1）不是A 的特征值。

代入法取以特定的矩阵????

??=0010A ，03

=A 它可逆

???? ??=+???? ??-=-1011,1011A E A E

例：A 满足E A =3

⑴证明：E A A 322

+- 可逆

⑵证明E A A

++可逆

证明：⑴

))(3(322E A E A E A A +-=+-

因此要证明

E A A 322+-可逆，用证明)(),3(E A E A +-都可逆，也就是3和-1都不是A 的特征值。由于E A

，A 的特征值λ都满足13

=λ。3，-1却不满足此式，所以不是特征值。

第⑵直接说明：0不是E A A 22

++的特征值

设

A 的特征值为

λλλ,....,,21，则

A A 22++特征值为

,....,2,22

212

1++++++n n λλλλλλ而每一个

λ都满足

=i λ，

()()110,123++-=-λλλλ；即或1=i λ；或012

=++i i λλ 当1=i

λ时422

=++i i λλ 当012=++i i

λλ时，122

=++i i λλ 所以每个22

++i i

λλ的值都不为0

第二部分：向量组与线性方程组

这一部分是课程的重点和难点，也是理论基础的制高点，也是考试的重点。关键概念：线性表示，线性相关性，秩和方程组里的基础解析。请大家特别注意秩这个概念，它的应用和作用。线性表示的判断与应用线性表示的意义分为三种：

一个n 维向量可以用n 维向量组来表示 ——β 可用n αα,.....,1 线性表示

一个向量组βββ,....,,21可以用

n αα,.....,1来表示线性问题。

两个向量组等价的问题。——这俩个向量组互相可以线性表示。 β=Ax 有解就是β可以用α线性向量组来表示

重要性：它跟线性方程组有没有解的问题

因此线性表示的这个问题，也可以说线性方程组有没有解的问题的另外一种说法向量组的线性表示与矩阵乘法又有密切的关系：

一方面来说：AB 的列向量组可用A 的列向量组线性表示如果A=

n αα,.....,1，B=βββ,....,,21，则n ni i i i i a b a b a b A r |...2211+++==β

b.反过来，如果向量βββ,....,,21 组可以用

n αα,.....,1来线性表示

则由矩阵分解，构造一个矩阵C ，使得：()βββ,....,,21=

()C n αα,.....,1

2.线性表示的判别

除了用定义之外，主要的判断方法是用秩 ①)...(),...(...111s s s r r ααβααααβ=?线性表示可用

②

?式唯一线性表示，并且表示方可用s ααβ,...,1

),...,(),,...,(11s s r r ααβαα==s

AX=)()((A r A r =?ββ有解

AX=未知数个数有唯一解==?)()((A r A r ββ

③

t ββ...1可用?线性表示s αα (1)

)...,...(11t s r ββαα =)...(1s r αα

推论：)...()...(......1111s t s t r r ααββααββ≤线性表示时，可用当

④

)...()...,...()...(......111111t t s s t s r r r ββββααααββαα==?等价与

例1：设

线性表示，

可用，要使得，，，，32121213212010010111001-111021ααααααkr r r r a +????

? ????????? ????????? ??=??????? ??=??????? ??= 解

()1

101),,(),,,13210001-a 0011-001112121110101100112111011011

20113212132121321≠-==+=+ ?

???

??+--?→? ?

?????

??-----?→????????

?-=+a k k k k k k k k a k k a k ；并且，即：则：（于是要使得，，行

行αααγγγαααγγγααα例2：设

？，，，，为何值时，，，321321321321,

412,612,321;21-1311201βββαααβββααα?????? ??+=????? ??+=????? ??+=????? ??+=????? ??=????? ??=a a a a a

解

)

,,(,,,,,,,,,,,321321321321321321βββγβββαααγαααγβββααα==??）（）（先求：

），，，，，（）和，，（321321321βββαααγαααγ

()???

?-+- ??+-?→

??????++ ???→?

??????

++++=111112

22110011011

121112221

101-101114631

122212321-1011

1321321a a a a a a a a a a a a 行

行，，，，βββααα

因此：

3321321=），，，，，（βββαααγ

则：

013

321≠+=a ，），，（αααγ ），，（321βββ=???

?? ??+++→????? ?

?+++463112333463112

221

a a a a a a

),,(20011000146311011

1321=????? ??-→????? ??--→βββγ

答：时，它们是不等价的

时，01,,,,013

21321=+?≠+a a βββααα

例3，

向量组??

? ??-=????? ??-=????? ??=????? ??????? ??=????? ??=a a a a a a a 2,42,1111,11,11321321βββααα可用

线性表示，但a 线性表示，求，，不可用，，321321αααβββ

解：条件即：），，（），，，，，（321321321βββγβββαααγ=

但

），，，，，）＜，，（321321321(βββαααγαααγ 于是

3321<），，（αααγ

321ααα，，线性相关 111

111321a a a

=ααα=22)2()1(+--a a

要使

2-13

321或，），，（=

??=????? ??=????? ??=====112-412-1111321321βββααα，，而时，a

显然

321ααα，，可以用321βββ，，线性表示，而321

βββ，，不可用321ααα，，线

性表示

当2

112-12-12-112321，秩为，，时，???

?? ??=????? ??=????? ??=-=αααa

而2

2-2-2-42-2-2-11321，秩也为，，???

??=????? ??=????? ??=βββ，-2=α不能满足要求

答：1=a

例4

设应该满足什么条件？线性表示，

，可用要使，，432121432121,,,,11

201-011c c c c c c c c ααββαα?

?????? ??=????

??=??????? ??=

解：

()???????-+-- ??→???????

c c c c c c c c c c c c βαα，

于是：

?=-+=--?0

231431221c c c c c c 线性表示，可用ααβ

32121x x x x x x βααβ

α，本题的方法给出了一类的题的做法：如果给出了一组线性无关的向量

,,...,1l ηη怎么求出一个齐次方程组AX=0，使得它以,,...,1l ηη为基础解系

例5、证明一个n 维向量组

线性表示可用任何维向量的秩为2121-....ααβααα?n s

证：’‘?因为n 维向量的秩不超过n ，因此当

()n

r s =αα.....1时，对任何

()βααβ,.....,1s r 一定也是n ，即β可以用s αα......,1线性表示。

’‘?任何n 维的向量组β 可用s 1.....αα表示，则任何n 维向量组t ββ. (1)

可用s αα......1线性表示，从而：

()()s t r r ααββ..........11≤

例6、设A 是mn 矩阵，C 是ms 矩阵。证明存在ns 矩阵B ，使得

()()()A r C A r C AB =?=

()()

()()()

()()()()()C

AB B r r r r r r r C r C A r A r C A r r r r C AB B r r r C A n s n s n n s n n s s n ===?===?==，使得构造一个线性表示，用矩阵分解可用则，即若即从而

线性表示可用则，使得存在解：证，ααααααααααααγγγααγαααααα,......,,,....,,,......,,r ,....,,,......,,'',......,,.....,....,,,......,,,....,,,'',....,,,,......,,2121212121211121212121

例7、设I 和II 是俩个4元齐次方程组，而I 有基础解系

??????? ??=??????? ??=??????? ??=01100101-1101321ηηη，，；II 有基础解系???

???? ????????? ??01-11,101021γγ求他们的公共解

解:公共解既是方程组I 的解，也是方程组II 的解，于是必有γ

γ111c c +

的形式，并且可用

321.,,ηηη线性表示，即

()()3.,,,.,,3212211321==+ηηηγγγηηηγc c

??-+-=+211121211212122122211321300021000100

111001100

000

100111110

0011,.,,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγηηη

于是，2211γγc c +是公共解的充分必要条件是0321=+c c

即公共解为

()任意，1211211133c c c c γγγγ-=-

第二向量组的线性相关性及判断对

s ααα.....,.21，，线性相关性的认识

()S A αα,........,1=,则相关0=?AX 有非零解

无线局域网组网方案

某大学新老图书馆无线桥接与无线局域网组网解决方案姓名：班级：学号：

第一章无线局域网网概述无线网络自诞生以来，已被公认为可为用户提供前所未有的灵活性、便利性及显著提高工作效率，在减少工作压力、改善生活水平乃至提高用户社会地位等方面都具有得天独厚的优势。随着Internet的蓬勃发展，信息的获得更为便利。信息的及时交换与传递显得非常重要，很多企业相继开办了分支机构，第二厂区等多个办公，生产点。而随着企业管理上的需求，需要将这些分散的点的计算机组成一个局域网，WLAN无线桥接就应运而生，以安全、方便、快捷、经济多项优点受到人们青睐，成为多点联网的首先方案。无线局域网是计算机网络与无线通信技术相结合的产物。它利用射频识别技术，取代旧时的双绞线构成局域网络，提供传统有线局域网的所有功能。网络所需的基础设施不需要再埋在地下或隐藏在墙壁里，而且可以随需移动或变化。它使用无线信道来接入网络，为通信的移动化、个人化和多媒体应用提供了潜在的手段，并成为宽带接入的有效手段之一。因此，无线局域网可以达到“信息随身化、便利走天下”的理想境界。 1.1无线局域网标准简介 IEEE 802.11b IEEE 802.11b标准是IEEE802.11标准的高速扩展，依然工作于2.4GHz频段。IEEE 802.11b的重要改变在于它在IEEE802.11协议的物理层中增加了两个新的速率：5.5Mb/s和11Mb/s。其所采用的调频技术是直序展频(DSSS)。为了提高通信速率，IEEE802.11b标准不再使用11bit长的Chipping-Barker序列，而是采用了CCK（互补码键控）调制技术。为了在有噪环境下也能保持较好的数据传输速率，IEEE802.11b采用了动态速率调节技术，允许无线设备在不同的环境下自动调整连接速度来弥补环境的不利影响。 IEEE 802.11a IEEE 802.11a由于传输速率可高达54Mbps，将可使用在更多的应用中，其安全性相对IEEE802.11b较高，而且支持语音、数据、图像等业务，因此被视为下一代高速无线局域网络规格，802.11a选择具有能有效降低多重路径衰减与有效使用频率的OFDM为调变技术，并选择干扰较少的5GHz频段。 IEEE 802.11g 由于下一代规格IEEE 802.11a与目前的802.11b规格之间，频段与调变方式不同使得其

线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

第六章二次型一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。规范二次型形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

“My Wi-Fi”打造个人无线局域网

“My Wi-Fi”打造个人无线局域网让笔记本电脑也能充当AP用似乎像用水用电一样不知不觉,Wi-Fi悄然快速普及,这种经济且便捷的联网方式让越来越多人对其产生了依赖。目前,几乎所有笔记本电脑都配备了Wi-Fi无线模块,在消费电子设备中,Wi-Fi的使用率也在快速增长。据咨询机构In-Stat 预计,到2012年,配备Wi-Fi的设备出货量将达到10亿台。一卡两用 Wi-Fi是由AP(Access Point,无线访问接入点)和无线网卡组成的无线网络。在传统应用中,AP是有线局域网与无线局域网之间的桥梁,笔记本电脑通过无线网卡接收由AP发射的信号,并连入互联网。无论是英特尔迅驰平台,还是其他厂商推出的无线模块,在以往的升级中都引入了新的标准和规范,提高Wi-Fi覆盖范围、传输速率和信号强度,以改善无线性能。尽管Wi-Fi使用已经非常方便,但是否有创新技术能进一

步弥补快速组网的不足,进而打造以自己的笔记本电脑为核心的无线局域网呢?这个问题当前最好的答案是“My Wi-Fi”,这是英特尔在今年CES上发布的无线网络解决方案。它面向家庭和办公用途,通过英特尔Wi-Fi Link 5000系列无线网卡和配套软件,可以快速创建独立的个人局域网(PAN)。据英特尔技术行销经理孙桂艳介绍,英特尔的5000系列无线网卡被虚拟成两个无线空间,同时具备接收和发射无线信号的能力。与AP相连时,这台笔记本电脑处于传统应用模式,相当于联网客户端;组建PAN时,它本身就是一台AP,以此为核心就可以组建PAN,目前允许接入8个各类Wi-Fi设备。在该方案中,一台装置5000系列无线网卡的新型笔记本电脑作为核心,担当起AP的角色,其他新型笔记本电脑和以往的笔记本电脑可以接入,但受通道限制,目前这些联入设备还只能作为联网终端。在下一代产品问世后,联入设备本身也是新型笔记本电脑。它还可以另外组建PAN,网络彼此互不影响。这样,如果一台新型笔记本电脑通过有线联网,其他设备不仅可以与此联网,还可以由此共享互联网。孙桂艳表示,无线网卡是在平台升级中一并升级的硬件,并不会因此产生额外成本,同时,网卡功耗也得到了合理控制,并没有增加额外功耗。

线性代数讲义

线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

线性代数第六章练习题

第六章练习题一、填空题 1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ????????????????====???????????????????????? ，在,,B C D 中，与A 等价的有；与A 相似的有；与A 合同的有 . 2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ?? ?= ? ??? ，它的矩阵是，它是定二次型. 3. 设112 3 32000000,000000a a A a B a a a ????????==???????????? , 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是时，二次型 222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型. 二、计算与证明题 1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+- 1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵; 2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型? 3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换. 2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++, (1) 写出二次型的矩阵A ; (2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形; (3) 求实对称矩阵B , 使得3 .A B = 3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示； 2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值；

无线局域网设计原则和技术需求

济南**公司办公楼无线覆盖网络建设方案济南骏萨信息科技有限公司 2017年4月

目录一、济南**有限公司无线局域网建设需求 (1) 1.1 项目背景和需求 (1) 1.2网络规划拓扑示意图 (2) 1.3无线AP部署设计 (2) 1.4方案设备推荐 (3) 1.5用户上网行为功能描述： (4) 二、无线局域网设计原则和技术需求 (6) 2.1遵循标准 (6) 2.2技术成熟 (6) 2.3安全可靠 (6) 2.4可扩展可升级 (7) 2.5易管理易维护 (7) 2.6技术需求 (7) 三、NETGEAR智能无线网络的典型常用的功能 (8) 四、以太网PoE供电交换机 (10) 五、关于我们 (12)

一、济南**公司无线局域网建设需求 1.1 项目背景和需求此次无线局域网项目是针对**有限公司（以下简称济南**）办公楼区域,进行无线局域网的覆盖，以满足现在和未来可能的数据、语音和视频多方面的网络应用需求。根据目前与济南**管理人员的沟通和对现场场地环境的勘察和综合分析，方案所设计的无线网络将提供高速、稳定、安全的无线信号覆盖接入,未来覆盖区域可在此基础上轻易扩展到整个建筑内的办公区域，走廊区域,以及室外”热点”公共区域等的无线覆盖。此次的方案设计将根据无线网络的高速接入和安全特性,设计针对无线覆盖所涉及的全方面,多层次的和应用相关的技术,来介绍如何实现随时随地的网络资源共享访问，提供安全，可靠的无线访问接入控制和管理。所设计的无线网络平台将是一个多业务,多应用的平台,可以支持数据和语音的同时接入。针对内部办公人员和外来人员采取不同方式认证,安全稳定的接入无线。为加强对网络安全和网络应用的管理，符合公安部规章制度，我们在网络的出口处安装一台防火墙，用以保障整个网络的安全运行，避免病毒或者黑客的恶意攻击。同时为了记录用户上网行为以及防止用户非法接入和非法使用路由器，在网络中安装一台专业级上网行为管理设备，对上网用户进行认证和上网行为进行记录。做到防患于未然。

线代答案

第六章线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1; 解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为 (A +B )∈S 1, kA ∈S 1, 所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=0100 3ε, ?? ? ??=1000 4ε 是S 1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2; 解设??? ??-=a c b a A , ?? ? ??-=d f e d B , A , B ∈S 2 . 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈?? ? ??-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?-=10011ε, ??? ??=00102ε, ?? ? ??=0100 3ε 是S 2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,

(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3, 所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=01102ε, ?? ? ??=1000 3ε 是S 3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间. 3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V . 证明设ε1, ε2, ???, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ???, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ??? +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ?U , 而由已知知U ?V , 有U =V . 4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ???, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ???, a n , 使a 1, a 2, ???, a r , a r +1, ???, a n 成为V n 的一个基. 证明设r

IEEE802_11无线局域网标准发展历程及其发展方向

ＩＥＥＥ　８０２．１１无线局域网标准发展历程及其发展方向杨文东（深圳市中兴通讯股份有限公司，深圳５１８０５７）摘要本文详细介绍了ＩＥＥＥ　８０２．１１标准组成、标准发展历程和发展方向。关键词无线局域网（ＷＬＡＮ）ＩＥＥＥ　８０２．１１标准从１９９７年ＩＥＥＥ（电气和电子工程师协会）发布第一个无线局域网ＷＬＡＮ标准８０２．１１以来，无线局域网获得了高速发展，在办公室、家庭、宾馆、机场等众多场合得到了广泛的应用。ＷＬＡＮ相关标准的发展和制定为其迅猛发展提供了技术和兼容性方面的保证。ＩＥＥＥ作为ＷＬＡＮ标准的权威制定组织，从１９９１年开始对ＷＬＡＮ技术进行研究，迄今为止，已经制定了一系列标准，称为８０２．１１系列标准。下面对其标准的发展历程和发展方向进行详细地介绍。８０２．１１是个系列标准，由５个现行有效的标准——８０２．１１、８０２．１１ａ、８０２．１１ｂ、８０２．１１ｂ－Ｃｏｒ１、８０２．１１ｄ和５个正在发展制定中的标准——８０２．１１ｅ、８０２．１１ｆ、８０２．１１ｇ、８０２．１１ｈ、８０２．１１ｉ组成。表１汇总了ＩＥＥＥ８０２．１１系列标准的标准号、标准名称和标准状态。表１８０２．１１系列标准序号标准号标准名称标准状态１ＩＥＥＥ　８０２．１１－１９９７无线ＬＡＮ　ＭＡＣ和物理层规范被８０２．１１，　１９９９Ｅｄｉｔｉｏｎ替代２ＩＥＥＥ　Ｓｔｄ　８０２．１１，　１９９９ＩＥＥＥ信息技术标准——系统间的通信和信息现行，替代ＩＥＥＥＥｄｉｔｉｏｎ　（ＩＳＯ／ＩＥＣ交换——局域网和城域网——特殊要求８０２．１１－１９９７８８０２－１１：　１９９９）第１１部分：无线ＬＡＮ　ＭＡＣ和物理层规范３ＩＥＥＥ　８０２．１１ａ－１９９９ＩＥＥＥ信息技术标准的补充——系统间的通信现行（ＩＳＯ／ＩＥＣ　８８０２－和信息交换——局域网和城域网——特殊要求１１：１９９９／Ａｍｄ第１１部分：无线ＬＡＮ　ＭＡＣ和物理层规范１：２０００（Ｅ））５ＧＨｚ带宽的高速物理层４ＩＥＥＥ　８０２．１１ｂ－１９９９ＩＥＥＥ信息技术标准的补充——系统间的通信现行和信息交换——局域网和城域网——特殊要求第１１部分：无线ＬＡＮ　ＭＡＣ和物理层规范２．４ＧＨｚ带宽的高速物理层扩展

2015线性代数辅导讲义答疑整理【日期更新至5.26】

学生问：2015线性代数辅导讲义，P2，评注2，第6页括号五，特征多项式公式，这两个地方没看明白，主要是不清楚行列式是怎么拆分的，以及怎么合并成特征多项式公式的，谢谢老师解答! 老师答： 11 1213 2122 2331 32 33 000000a a a a a a a a a λλλ--------- 行列式的性质将第1列拆开， 1213 22 233233000000a a a a a a λ λλ--=--+--11 12 132122 2331 32 33 0000a a a a a a a a a λλ--------- 这两个矩阵分别再对第2列拆开，得四个行列式，再分别对四个行列式的第3列拆开，得8个行列式，就是第二页的所给结果，这8个三阶行列式前7个都很好计算，（主对角线性，一列只有一个非零元素展开）。按行也可以得出一样的结果，要点就是一行（列）元素拆成两元素之和，其他行（列）元素保持不变。学生问：老师你好，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P6，（3），1.10的推倒过程中前两个式子为什么相等～～～老师答：这三个式子是相等的，前两式子分别等于第3个，传递性知前两个式子相等。学生问：2015线性代数辅导讲义，P6，关于副对角线的行列式从第一不到第二步看不懂，是怎样化的能详细点吗？副对角线跟主对角线有什么区别呢？谢谢老师。老师答：这儿的两式子没有推导关系，只是结果相等的关系。根据行列式的定义或展开计算得出1.8的结果。副对角线行列式的结果不只是对角线上元素乘积，还有与阶数有关的符号。学生问：2015线性代数辅导讲义，（1）P8，图片画线处前后两个等号不理解，不知道怎么来的，以及后面那个行列式怎么的出来

无线局域网的发展历程及技术展望

无线局域网的发展历程及技术展望一、无线局域网 1)什么是无线局域网无线局域网络(Wireless Local Area Networks)是相当便利的数据传输系统，它利用射频（Radio Frequency）的技术，取代旧式碍手碍脚的双绞铜线（Coaxial）所构成的局域网络，使得无线局域网络能利用简单的存取架构让用户透过它，达到“信息随身化、便利走天下”的理想境界。 2)无线局域网为何会出现无线网络的历史起源可以追溯到五十年前，当时美军首先开始采用无线信号传输资料，并且采用相当高强度的加密技术。这项技术让许多学者得到了一些灵感，1971年，夏威夷大学的研究员开创出了第一个基于封包式技术的被称作ALOHNET的无线电通讯网络，可以算是早期的无线局域网络(Wireless Local Area Network，WLAN)。这最早的WLAN包括了7台计算机，横跨四座夏威夷的岛屿。从那时开始，无线局域网络可说是正式诞生了。七十年代中期，无线局域网的前景逐渐引起人们注意，并被大力开发，而在八十年代，以太局域网的迅速发展一方面为人们的工作和生活带来了极大的便利。局域网络管理的主要工作之一就是铺设电缆或是检查电缆是否断线这种耗时的工作，很容易令人烦躁，也不容易在短时间内找出断线所在。再者，由于配合企业及应用环境不断的更新与发展，原有的企业网络必须配合重新布局，需要重新安装网络线路。虽然电缆本身并不贵，可是请技术人员来配线的成本很高，尤其是老旧的大楼，配线工程费用就更高了。因此，架设无线局域网络就成为最佳解决方案。 3)无线局域网使用范围无线局域网络绝不是用来取代有线局域网络，而是用来弥补有线局域网络之不足，以达到网络延伸之目的，下列情形可能须要无线局域网络 ◆无固定工作场所的使用者 ◆有线局域网络架设受环境限制 ◆作为有线局域网络的备用系统目前厂商在设计无线局域网络产品时，有相当多种存取设计方式，大致可分为三大类：窄频微波(Narrowband Microwave)技术、展频(Spread Spectrum)技术、及红外线(Infrared)技术，每种技术皆有其优缺点、限制、及比较，接下来是这些技术方法的详细探讨。二、无线局域网的发展历程 1)无线局域网的出现无线局域网的产生与发展与计算机的应用形态密切相关，而计算机技术的发

无线局域网国外发展现状

无线局域网国外发展现状无线局域网是90年代计算机网络与无线通信技术相结合的产物。无线网络的初步应用，可以追溯到五十年前的第二次世界大战期间，当时美国陆军采用无线电信号做资料的传输。他们研发出了一套无线电传输科技，并且采用相当高强度的加密技术。当初美军和盟军都广泛使用这项技术。这项技术让许多学者得到了灵感，在1971 年时，夏威夷大学的研究员创造了第一个基于封包式技术的无线电通讯网络，这被称作Aloha Net 网络，它采用无线电台替代电缆线，克服了由于地理环境因素造成的布线困难，可以算是相当早期的无线局域网络。这最早的WLAN 包括了7 台计算机，它们采用双向星型拓扑，横跨四座夏威夷的岛屿，中心计算机放置在瓦胡岛上。从这时开始，无线网络可说是正式诞生了。世界上第一个试验性无线局域网是1987 年建立的，随后，在医疗、零售、机场等地方，出现无线局域网，各厂商的无线局域网不能互联，于是1990 年11 月成立IEEE802.11 委员会，着手制定无线局域网标准，并于1997 年 6 月制定出全球第一个无线局域网标准IEEE802.11。IEEE 802.11 WLAN 标准又使得不同供应商的产品具有了互操作性。经过一段时间的发展，1Mbps 和2Mbps 的WLAN 技术和产品已相当成熟，搭建无线局域网的实现成本也正逐渐下降。但与以太网10Mbps相比，WLAN 较慢的数据传输率成了其进一步发展的瓶颈。为此，1999 年9 月，IEEE 组织相继推出了新的高速标准IEEE 802.11b 和IEEE 802.11a 两个新标准。后来为了克服在应用中的缺点，2003 年6 月又推出了相当于前二者的混合标准IEEE 802.11g，使得WLAN的速度又向前迈进了一大步。为了响应市场对更高性能无线局域网越来越高的需求，IEEE 组织于2003 年下半年批准成立了IEEE802.11n 工作组，其工作目标是实现最低100Mbps 的MAC 层吞吐率。2007 年 1 月14 日到19 日，802.11 工作组在英国伦敦举行了第101 次会议。其中一项重要议程就是对修改后的802.11n 草案1.10 版本进行投票，为草案 2.0 版本最终定稿，并且IEEE在2008年上半年通过正式

下一代移动通信关键技术在高速无线局域网中的应用

下一代移动通信关键技术在高速无线局域网中的应用摘要：介绍了无线局域网的最新发展，探讨了下一代移动通信关键技术在无线局域网中的应用，提出了一种高速无线局域网的实现结构，讲述了IEE802.11n的概念、特点和发展前景。关键词：IEEE802.11n LDPC MIMO OFDM 自适应技术智能天线软件无线电“当今无线技术的发展就如同20年前个人电脑技术的发展那样突飞猛进，令人难以跟上它的节奏。”Intel副总裁兼首席技术官帕特·基辛格如此描述无线网络的崛起。 1997年802.11标准的制定是无线局域网发燕尾服的里程碑。其定义了单一的MAC 层和多样的物理层，先后推出了IEEE802.11、IEEE802.11a和IEEE802.11g物理层标准。11b标准采用CCK（补码键控）扩展频调制编码，数据传输速率达11Mbps。但是如果再增加传输速率，CCK为了对抗多径干扰，需要更复杂的均衡及调制，实现非常困难。因此，802.11工作组，为了推动无线局域网的发展，又引入OFDM技术。最近正式批准的11g 标准与11a一样，采用OFDM技术。最近正式批准的11g标准与11a一样，采用OFDM 技术，达54Mbps。技术不断更新，新的技术标准不断推出，极大地推动了无线局域网的发燕尾服。下一代移动通信的关键技术，如OFDM技术、MIMO技术、智能天线（Smart Antenna）、LDPC （奇偶校验码）、自适应技术和软件无线电SDR（Soft Defined Radio）等，开始应用到无线局域网中，提升了WLAN的怀能。图1 1 下一代移动通信关键无线局网中应用

1.1 OFDM技术 OFDM技术其实是多载波调制MCU（Multi-Carrier Modulation的一种。其主要思想是：将信道分成许多正交子队道，在每个子信道上进行窄带调制和传输，这样减少了子信道之间的相互干扰。每个子信疲乏上的信号带宽小于信道的相关带宽，因此每个子信寂的频率选择性衰落是平均的，大大消除了符号间的干扰。在各个子信道中的正交调制和解调要吧采用IFFT和FFT方法实现。随着大规模集成电路技术与DSP技术的发展，IFFT和FFT都是非常容易实现的。快速傅里叶变换（FFT）的引入，大大降低了OFDM的复杂性，提升了系统的性能。MIMO OFDM发送、接收机系统结构如图2所示。另外，与单载波系统相比，OFDM还存在一些缺点，易受频率偏差的影响，存在较高的峰值平均功率比（PAR）。 1.2 多入多出（MIMO） MIMO技术能在不增加带宽的情况下成倍地提高通信系统的容量和频谱利用率。它可以定义为发送端和接收端之间存在多个独立信道，也就是说天线单元之间存在充分的间隔，因此消除季天线间信号的相关性，提高信号的链路性能，增加了数据吞吐量。现代信息论表明：对于发射天线数为N、接收天线数为M的多入多出（MIMO）系统，假定信道为独立的瑞利衰落信道，并设N、M很大，则信道容量C近似为公式（1）：C=[min(M,N)Blog2(p/2)] （1）（其中B为信号带宽，p为接收端平均信噪比，min（M，N）为M、N中的较小者）。

【考研数学】2017版线代讲义练习题解答

《2017线性代数辅导讲义》练习参考答案第19页（特征值的相关知识见第五章）答案（1）1 解析矩阵不可逆，矩阵行列式为零． 0=A ，20-=A E ，320+=A E （特征值 0λ-=E A ）矩阵A 的特征值为20,2,3λ=- 矩阵+A E 的特征值为1 1,3,3 λ=, （3阶矩阵3个特征值．） +A E 的行列式等于特征值乘积，1 1313 +=??=A E ．答案（2）24 解析相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵B 的特征值为1,2,3，+B E 的特征值为2，3，4. 23424.+=??=B E 第26页答案 () 1,0, ,0T 解析线性方程组的系数行列式 D =11 1122 1111n n T n n n a a a a a a ---= A ()10i j j i n a a ≤≤≤= -≠∏ 范德蒙行列式，参见6页（4）由克拉默法则知，方程组有唯一的解． 111,D x D ==

1112 1221111 11n n n n a a a D x D D ---== 0= 行列式的性质，两列元素相同，行列式为零 0n n D x D == 所以求得方程组的解为()1,0,,0T ．第47页答案 A 解析 *T A =A 即 1121 3111 21 3112223212 223213 23 3313 23 33=A A A a a a A A A a a a A A A a a a ???????????????????? 可见(),1,2,3ij ij a i j ==A 那么2222 1111121213131112131130a A a A a A a a a a =++=++=>A 又因*AA =A E 即T AA =A E 两边取行列式，有 ??23 ΤA Α=ΑΕΑ=ΑA 为0或1. 从而21131a = 故113 3 a =

线性代数讲义-复习知识树

线性代数绪论一、线性代数研究的核心问题代数——用字母代替数；代数学——关于字母运算的学说，研究的中心内容：解方程。初等代数（用字母代替数）： )1( 一元一次方程 )2(

行列式解法消元法四元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组无一般根式解一元五次及更高次方程根式解或求根公式一元四次方程一元三次方程一元二次方程??????????????????→? ?? ???)2()1( 问题一：如何求解含更多个未知数的一次方程组？ 1．Varga ，1962年提到在Bettis 原子能实验室已经解了108000个未知数的方程组； 2．70年代末，我国“全国天文大地网首次整体平差计算”课题，核心部分是求解一个含16万个未知数31万个方程式的矛盾方程组。一般地，如何求解含n 个未知数m 个一次方程的方程组：

? ?????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 其中未知数之间的关系由加法与数乘来实现，称这种关系为线性关系，称相应的方程组为线性方程组。线性代数如何求解线性方程组发展??→? 线性代数研究的核心问题——求解线性方程组。字母——代替代数量（如行列式、向量、矩阵、张量等）。线性代数定义——研究具有线性关系的代数量的一门学科。问题二：一元高次方程及多元高次方程组（简称为代数方程（组））的有关问题，如：根的个数、根的性质（实根、虚根、重根等）、根的分布（上界与下界、分布区域等）、根的近似计算、公共根等。研究代数方程（组）??→?发展多项式代数

线代第六章答案

习题6.1 1．解 (1) A = ????? ? ?--011102120 (2) A = ??? ????? ??---0000012310233 10111 (3) A = ???????? ? ?57674256251 (4) A = ? ??????? ?? ??0111110111110111110111110 2．解 (1) 3231212 3213218622),,(x x x x x x x x x x x f ++--= (2) 2 3222132153),,(x x x x x x f +-= 3．解二次型f 的矩阵 ?? ??? ??----=c A 33351315 因f 的秩为2 , 故R(A) = 2. 所以 A = 0, 由此解得c = 3. 4．证明设 ?? ??? ??=321x x x X 作变换 ??? ??===23 1231y x y x y x , 即 X=CY 其中 ?? ??? ??=????? ??=321,010001100y y y Y C , C 为非奇异矩阵. 则 Y AC C Y CY A CY y a y a y a x a x a x a AX X T T T T )() ()(22 3212231233222211==++=++=

又 BY Y y a y a y a AX X T T =++=2 3 1223212 于是有 B AC C T =, 故A 与B 合同. 习题6.2 1．解 23232232132232223213 1212 2213212)()( 2)( 222),,( )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+=+-+-+=-++= 令 ?????=+=-+=333223211 x y x x y x x x y 即?????=-=+-=33 3223211 2y x y y x y y y x 则 2 322212y y y f -+= 为标准形。 23223213 2232223213231212 221321)2 1 (4)( 44)( 6223),,( )2( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + -+-=---+-=-+--= 令 ? ????=+=+-=333223211 21 x y x x y x x x y 即????????? =-=-+=333223211 21 2 3y x y y x y y y x 则 2 2214y y f -= 为标准形。 ),,,().3(44332 122 114342324131214321?????? ?==-=+=+++++=y x y x y y x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x f 令 4 342132142132121214321)()()()())((),,,(y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x f +-+-+++++-+=

麻省理工,MIT, 线性代数,讲义11

https://www.wendangku.net/doc/b315378111.html, 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 Please use the following citation format: Gilbert Strang, 18.06 Linear Algebra, Spring 2005. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare). https://www.wendangku.net/doc/b315378111.html, (accessed MM DD, YYYY). License: Creative Commons Attribution- Noncommercial-Share Alike. Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation. For more information about citing these materials or our Terms of Use, visit: https://www.wendangku.net/doc/b315378111.html,/terms

https://www.wendangku.net/doc/b315378111.html, 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 Transcript – Lecture 11 OK. This is linear algebra lecture eleven. And at the end of lecture ten, I was talking about some vector spaces, but they're --the things in those vector spaces were not what we usually call vectors. Nevertheless, you could add them and you could multiply by numbers, so we can call them vectors. I think the example I was working with they were matrices. So the --so we had like a matrix space, the space of all three by three matrices. And I'd like to just pick up on that, because --we've been so specific about n dimensional space here, and you really want to see that the same ideas work as long as you can add and multiply by scalars. So these new, new vector spaces, the example I took was the space M of all three by three matrices. OK. I can add them, I can multiply by scalars. I can multiply two of them together, but I don't do that. That's not part of the vector space picture. The vector space part is just adding the matrices and multiplying by numbers. And that's fine, we stay within this space of three by three matrices. And I had some subspaces that were interesting, like the symmetric, the subspace of symmetric matrices, symmetric three by threes. Or the subspace of upper triangular three by threes. Now I, I use the word subspace because it follows the rule. If I add two symmetric matrices, I'm still symmetric. If I multiply two symmetric matrices, is the product automatically symmetric? No. But I'm not multiplying matrices. I'm just adding. So I'm fine. This is a subspace. Similarly, if I add two upper triangular matrices, I'm still upper triangular. And, that's a subspace. Now I just want to take these as example and ask, well, what's a basis for that subspace? What's the dimension of that subspace? And what's bd-dimension of the whole space? So, there's a natural basis for all three by three matrices, and why don't we just write it down. So, so M, a basis for M. Again, all three by threes. OK. And then I'll just count how many members are in that basis and I'll know the dimension. And OK, it's going to take me a little time. In fact, what is the dimension? Any idea of what I'm coming up with next? How many numbers does it take to specify that three by three matrix? Nine. Nine is the, is the dimension I'm going to find. And the most obvious basis would be the matrix that's that matrix and then this matrix with a one there and that's two of them, shall I put in the third one, and then onwards, and the last one maybe would end with the one. OK. That's like the standard basis.

XDF 研数 线代 冲刺 09 尤承业 讲义

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