数学必修二空间几何体的三视图和直观图同步练习

双基达标(限时20分钟)

空间几何体三视图

1．一条直线在平面上的正投影是()．

A．直线B．点C．线段D．直线或点

解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线．答案 D

2．如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是()．

解析A中俯视图为圆不正确；C中正侧视图不是三角形，也不正确；而D中俯视图为三角形，显然不是四棱锥．

答案 B

3．针对柱、锥、台、球，给出下列命题

①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；

②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；

③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；

④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台

其中正确的是()．

A．①②B．③C．③④D．①③

解析①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；

②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；③正确；④不正确，因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形．

答案 B

4．一个图形的投影是一条线段，这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．

解析②的投影是直线或点，对于③④，当图形所在面与投影面垂直时，其投影为线段，而⑤的投影显然不可能是平面图形．

答案②⑤

5．如图所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．

解析这是一个组合体，上部为圆锥．下部为圆柱．

答案圆锥圆柱

6．画出如图所示的空间图形的三视图(阴影部分为正面)．

解该几何体是在一正方体上面放一个圆台，其三视图如图所示．

综合提高(限时25分钟)

7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．

A．①②B．①③C．①④D．②④

解析①的三个三视图都是正方形；②的正视图与侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心；③的三个视图都不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图为正方形．

答案 D

8．(2012·泰安高一检测)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可以是

()．

解析A中正视图、俯视图不对，故A错．B中正视图、侧视图不对，故B错．C 中侧视图、俯视图不对，故C错，故选D.

答案 D

9．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1在六个面上的投影长度总和是________．

解析正方体的体对角线在各个面上的投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都是2，所以其和为6 2.

答案6 2

10．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．

则该几何体的高为________m ，底面面积为________m 2.

解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，AC ＝4，BD ＝3，高为2.

S △ABC ＝12AC ·BD ＝1

2×4×3＝6. 答案 2 6

11．说出下列三视图表示的几何体，并画出该几何体．

解 该三视图表示的几何体是截去一角的正方体．如图所示．

12．(创新拓展)如图所示，图(2)是图(1)中实物的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．

解 图(1)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线

表示)，正确画法如下图所示．

空间几何体直观图

1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段()．

A．平行且相等B．平行不相等

C．相等不平行D．既不平行也不相等

解析斜二测是平行投影中的斜投影，所以其直观图不会改变平行线段的长度之比．

答案 A

2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A′＝()．

A．45°B．135°

C．45°或135°D．90°

解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.

答案 C

3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()．

A．AB B．AD C．BC D．AC

解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．

答案 D

4．平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点M′，则M′的坐标为________．

解析根据斜二测画法可知M′的坐标为(4,2)．

答案 (4,2)

5．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．

解析 将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为5

2. 答案 52

6．画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图．

解 画法：(1)画轴．画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图(1)．

(2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形ABCD 的直观图． (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP 使OP 的长度是原四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接P A 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．

综合提高 (限时25分钟)

7．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )．

A ．16

B ．64

C ．16或64

D ．都不对

解析 在直观图中边长为4的边若与x ′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y ′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64. 答案 C

8．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )．

A.1

2 B.22 C ．1

D. 2

解析 直观图如图所示，

则B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°. ∴B ′到x ′轴的距离为1×sin 45°＝22. 答案 B

9．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )． A.32a 2 B.34a 2 C.6

2a 2 D.6a 2

解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：

图(1) 图(2) 则A ′D ′＝3

2a ，又∠x ′O ′y ′＝45°， ∴A ′O ′＝62a . 画△ABC 的实际图形，

如图(2)所示，AO ＝2A ′O ′＝6a ，BC ＝B ′C ′＝a ，

∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝6

2a 2. 答案 C

10．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．

解析 由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm ，1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm ，0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 答案 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm

11．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，△AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．

解 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1.由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示．

在直观图中，O ′D ′＝12，梯形的高D ′E ′＝24， 于是，梯形A ′B ′C ′D ′的面积S ＝12(1＋2)×24＝32

8.

12．(创新拓展)如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．

解 (1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.

(2)画两底面．由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.

(3)成图．连接A′A、B′B、C′C、D′D、E′E、F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.