2014福州中考数学及答案

二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试

数学试卷

（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。

毕业学校姓名考生号

一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡

的相应位置填涂）

1．-5的相反数是

A．-5 B．5 C．1

5

D．-

1

5

【答案】B

2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为A．11?104B．1.1?105C．1.1?104D．0.11?106

【答案】B

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是

A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥

【答案】D

4．下列计算正确的是

A．x4·x4=x16B．(a3)2=a5C．(ab2)3=ab6D．a+2a=3a

【答案】D

5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是

A．44 B．45 C．46 D．47

【答案】C

6．下列命题中，假命题是

A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边

C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360?

【答案】B

7．若(m-1)2+=0，则m+n的值是

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

8．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方

程正确的是

A．

600450

50

x x

=

+

B．

600450

50

x x

=

-

C．600450

50

x x

=

+

D．

600450

50

x x

=

-

【答案】A

9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为A．45?B．55?C．60?D．75?

【答案】C

10．如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=k

x

交于E，F

两点，若AB=2EF，则k的值是

A．-1 B．1 C．1

2

D．

3

4

【答案】D

二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）11．分解因式：ma+mb=.

【答案】m(a+b)

12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是.

【答案】1 5

13．计算：1）1）=.

【答案】1

14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则□ABCD的周长是.

【答案】20

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点

F，使CF=1

2

BC .若AB=10，则EF的长是.

【答案】5

三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

16．（每小题7分，共14分）

（1

1

2014

??

?

??

0+|-1|.

【答案】解：原式=3+1+1=5.

（2）先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x=1 3 .

【答案】解：原式=x2+4x+4+2x-x2

=6x+4.

当x=1

3

时，

原式=6?1

3

+4=6.

17．（每小题7分，共14分）

（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.

【答案】证明：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF

即BF=CE.

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE.

∴∠A=∠E.

（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.

①sin B的值是；

②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接

AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.

【答案】①3

5

；

②如图所示.

由轴对称的性质可得，AA 1=2，BB 1=8，高是4. ∴11

AA B B S 梯形 =

1

2

(AA 1+BB 1)?4=20.

18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x 分，满分为100分.规定：85≤x ≤100

为A 级，75≤x <85为B 级，60≤x <75为C 级，x <60为D 级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，a = %； （2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中C 级对应的圆心角为 度；

（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D 级学生有多少名？ 【答案】解：（1）50，24； （2）如图所示； （3）72；

（4）该校D 级学生有：2000?

4

50

=160人.

19．（满分12分）现有A ，B 两种商品，买2件A 商品和1件B 商品用了90元，买3件A

商品和2件B 商品共用了160元. （1）求A ，B 两种商品每件多少元？

（2）如果小亮准备购买A ，B 两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】解：（1）设A 商品每件x 元，B 商品每件y 元.

依题意，得29032160.x y x y +=??+=?，

解得2050.x y =??=?

，

答：A 商口每件20元，B 商品每件50元.

（2）设小亮准备购买A 商品a 件，则购买B 商品(10-a )件. 依题意，得2050(10)3002050(10)350.a a a a +-≥??+-≤?

，

解得5≤a ≤6

23

. 根据题意，a 的值应为整数，所以a =5或a =6.

方案一：当a =5时，购买费用为20?5+50?(10-5)=350元； 方案二：当a =6时，购买费用为20?6+50?(10-6)=320元. ∵350>320，

∴购买A 商品6件，B 商品4件的费用最低.

答：有两种购买方案，方案一：购买A 商品5件，B 商品5件；方案二：购买A 商品6件，B 商品4件.其中方案二费用最低.

20．（满分11分）如图，在△ABC 中，∠B =45?，∠ACB =60?，AB =D 为BA 延长线上的一点，且∠D =∠ACB ，⊙O 为△ACD 的外接圆. （1）求BC 的长； （2）求⊙O 的半径.

【答案】解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E . ∴∠AEB =∠AEC =90?. 在Rt △ABE 中，∵sin B =

AE

AB

，

∴AB =AB ·sin B =sin45?= 3=3. ∵∠B =45?，

∴∠BAE =45?. ∴BE =AE =3.

在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACB =AE

EC

，

∴EC =

3

tan tan 60AE ACB ===∠?

∴BC =BE +EC =3

（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC =30?，EC

∴AC =解法一：连接AO 并延长交⊙O 于M ，连接CM .

∵AM 为直径， ∴∠ACM =90?.

在Rt △ACM 中，∵∠M =∠D =∠ACB =60?，sin M =AC

AM

，

∴AM =

sin AC M =4. ∴⊙O 的半径为2.

解法二：连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，

则AF =1

2

AC ∵∠D =∠ACB =60?， ∴∠AOC =120?. ∴∠AOF =

1

2

∠AOC =60?. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF =AF

AO

， ∴AO =

sin AF

AOF

∠=2，即⊙O 的半径为2.

21．（满分13分）如图1，点O 在线段AB 上，AO =2，OB =1，OC 为射线，且∠BOC =60?，

动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.

（1）当t =

1

2

秒时，则OP = ，S △ABP = ； （2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；

（3）如图2，当AP =AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP =∠B ，求证：AQ ·BP =3.

【答案】解：（1）1； （2）①∵∠A <∠BOC =60?，

∴∠A 不可能是直角. ②当∠ABP =90?时， ∵∠BOC =60?， ∴∠OPB =30?.

∴OP =2OB ，即2t =2. ∴t =1.

③当∠APB =90?时，作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90?. ∵OP =2t ，

∴OD =t ，PD ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.

解法一：∴BP 2=（1-t ）2 +3t 2，AP 2=(2+t )2+3t 2. ∵BP 2+AP 2=AB 2，

∴(1-t )2+3t 2+(2+t )2+3t 2=9， 即4t 2+t -2=0.

解得t 1t 2= . 解法二：∵∠APD +∠BPD =90?，∠B +∠BPD =90?，

∴∠APD =∠B . ∴△APD ∽△PBD . ∴

.AD PD

PD BD

=

∴PD2=AD·BD.

于是)2=(2+t)(1-t)，即4t2+t-2=0.

解得t1t2=.

综上，当△ABP为直角三角形时，t=1

（3）解法一：∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

作OE∥AP，交BP于点E，

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180?.

又∵∠3+∠OEB=180?，

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

已知∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴AQ AO

EO EP

=，即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴

1

3 OE BE BO

AP BP BA

===.

∴OE=1

3

AP=1，BP=

3

2

EP.

∴AQ·BP=AQ·3

2

EP=

3

2

AO·OE=

3

2

?2?1=3.

解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵AQ∥BP，

∴∠QAP=∠APB.

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

∴∠QAP=∠B.

又∵∠QOP=∠B，

∴∠QAP=∠QOP.

∵∠QF A=∠PFO，

∴△QF A∽△PFO.

∴

FQ FA FP FO =，即FQ FP

FA FO =

. 又∵∠PFQ =∠OF A ， ∴△PFQ ∽△OF A . ∴∠3=∠1.

∵∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ， 已知∠B =∠QOP ， ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3.

∴△APQ ∽△BPO . ∴

AQ AP

BO BP

=

. ∴AQ ·BP =AP ·BO =3?1=3.

22.（满分14分）如图，抛物线y =

1

2

(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了. （1）求点A ，B ，D 的坐标；

（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD .求证：∠AEO =∠ADC ；

（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.

【答案】（1）顶点D 的坐标为（3，-1）. 令y =0，得

1

2

(x -3)2-1=0，

解得x 1=3x 2=3∵点A 在点B 的左侧，

∴A 点坐标(30)，B 点坐标（30）.

（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G. 则G（0，-1），GD=3.

令x=0，则y=7

2

，∴C点坐标为（0，

7

2

）.

∴GC=7

2

-(-1)=

9

2

.

设对称轴交x轴于点M.

∵OE⊥CD，

∴∠GCD+∠COH=90?.

∵∠MOE+∠COH=90?，∴∠MOE=∠GCD.

又∵∠CGD=∠OMN=90?，∴△DCG∽△EOM.

∴

9

3

2

3

CG DG

OM EM EM

==

，即.

∴EM=2，即点E坐标为(3，2)，ED=3.

由勾股定理，得AE2=6，AD2=3，

∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.

∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90?.

设AE交CD于点F.

∴∠ADC+∠AFD=90?.

又∵∠AEO+∠HFE=90?，

∴∠AFD=∠HFE，

∴∠AEO=∠ADC.

（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2=EP2-1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.

设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.

∵y=1

2

(x-3)2-1，

∴(x-3)2=2y+2.

∴EP2=2y+2+y2-4y+4

=(y-1)2+5.

当y=1时，EP2最小值为5.

把y=1代入y=1

2

(x-3)2-1，得

1

2

(x-3)2-1=1，

解得x1=1，x2=5.

又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1 1舍去.

∴点P坐标为(5，1).

此时Q点坐标为（3，1）或(1913 55

，).