等差数列知识点总结.doc
等差数列的性质总结
1. 等差数列的定义： a n a n 1 d （ d 为常数）（ n 2）；
2．等差数列通项公式：
a n a 1 (n 1)d dn a 1 d (n N *)，
首项 : a 1 ，公差 :d ，末项 : a n
推广： a n
a m (n m)d ．
从而 d
a n
a
m ；
n m
3．等差中项
（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么
A 叫做 a 与 b 的等差中项．即：
A
a b
或 2 A a b
2
（2）等差中项：数列
a n 是等差数列
2a n
a
n-1
a n 1 ( n 2)
2a n 1
a n
a
n 2
4．等差数列的前 n 项和公式：
n( a 1 a n )
na 1
n(n 1)
S n
2 d
2
特别地，当项数为奇数 2n 1 时， a n 1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若 a n a
n 1
d 或 a n 1 a n d ( 常数 n N )
a n 是等差数列．
（2） 等差中项：数列 a n 是等差数列 2a n a n -1a n 1
(n
2) 2a n 1 a n a n 2 ．
（3） 数列 a n 是等差数列
a n kn
b （其中 k, b 是常数）。 (K=d ， b=a1-d) （4） 数列 a n
是等差数列 S n An 2 Bn , （其中 A 、 B 是常
数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若 a n
a
n 1
d 或 a n 1 a n d ( 常数 n N ) a n 是等差数列．
7. 提醒：等差数列的通项公式 a n 及前 n 项和 S n 公式中，涉及到 5 个元素： a 1、 d 、 n 、 a n 及 S n ，其中 a 1、 d
称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2个，即知 3求 2.
8. 等差数列的性质：
（ 1）当公差 d 0 时，
等差数列的通项公式 a n a 1 ( n 1)d dn a 1
d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d ；
前 n 和 S n na 1
n(n 1) d d n 2
(a 1
d
)n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.
2
2
2
（2）若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。
（3）当 m n
p q 时, 则有 a m a n a p a q ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 a m
a n 2a p .
注： a 1 a n
a 2
a
n 1
a 3
a
n 2
，
（4）若 a 、 b
为等差数列，则
a
b ， a
b 都为等差数列
n
n
n
1 n
2 n
(5) 若 { a n } 是等差数列，则 S n , S 2n
S n , S 3n
S
2 n
， 也成等差数列
（ 6）数列 { a n } 为等差数列 , 每隔 k(k
N * ) 项取出一项 ( a m , a m k , a m 2k ,a m 3k , ) 仍为等差数列
（ 7）设数列 a n 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的和， S n 是前 n 项的和
1. 当项数为偶数 2n 时，
S
奇 a 1 a 3 a 5
a
2 n 1
n a 1
a
2n 1
na n
2
S 偶
a 2
a 4 a 6
a
2n
n a 2
a
2 n
na n 1
2
S 偶 S 奇 na n 1 na n n a n 1 a n =nd
S 奇
na n
a n
S 偶 na n 1
a
n 1
2、当项数为奇数 2n 1 时，则
S
2 n 1
S 奇 S 偶 (2n 1) a n+1 S 奇 (n 1)a n+1
S 奇
n 1
S 奇 S 偶
a n+1
S 偶 na n+1
S
偶
n
等差数列练习： 一、选择题
1. 已知 为等差数列，
a 1
a 3 a 5 105, a 2 a 4 a 6
99
，则
a
20 等于（
）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
2. 设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，已知 a 2 3 ， a 6 11，则 S 7 等于 ( )
A ． 13
B ． 35
C
． 49
D
． 63
3. 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 3 =6 ， a 1 =4， 则公差 d 等于 ( )
A ． 1
B.
5 C.-2
D. 3
3
4. 已知 a n 为等差数列，且 a 7 － 2 a 4 ＝－ 1, a 3 ＝ 0, 则公差 d ＝ ( ) A. －2
B.
－
1
C.
1
D.2
2
2
5. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 9， S 6 36 ，则 a 7 a 8 a 9 （
）
（ 因为 Sn 是等差数
列
所以 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 是等差数列）
A ． 63
B
． 45 C ． 36 D ．27
6. 在等差数列 a n 中， a 5
a
13 40 ，则 a 8
a 9
a
10
（
）。
A ． 72
B ． 60
C ． 48
D ． 36
1、已知等差数列
a n 中， a 2 a 5
a 9 a 12
60 ，那么 S 13
A ． 390
B ． 195
C ． 180
D ． 120
2、等差数列
a n 的前 m 项的和为 30 ，前 2m 项的和为 100 ，则它的前 3m 项的和为 ( )
A. 130
B.
170
C.
210
D.
260
二、填空题
1、等差数列 a n 中，若 a 6 a 3 a 8 ，则 s 9
.
2、等差数列
a n 中，若 S n
3n 2 2n ，则公差 d
.
3．设等差数列
{a n } 共有
3n 项，它的前
2n 项和为 100，后
2n 项和是 200，则该数列的中间
n 项和等于
．
1、设等差数列 { a n } 的前ｎ项的和为 S n , 且 的和 S n ；（ 2）|a 1|+|a 2|+|a 3 |+
+|an|
S 4 =
求 Tn
－62,S6=
－ 75,
求： （ 1） { a n }
的通项公式
a
n
及前ｎ项
答案：
1.B
2.C
3.C
4.B
5.B
6.B
1.B
2.C
1.0
2.d=6