圆的有关概念练习题(一)
练习1 圆
【练习题】
1. 要确定一个圆,需要知道_________和___________.
2.到定点O的距离等于2cm 的点的集合是以_________为圆心,_________为半径的圆.
3. 在同圆中,如果B A
=2D C ,那么弦AB 、CD 的关系为AB____2CD.
4.正方形ABCD 的边长为1,以A 为圆心,1为半径做⊙A ,则点B 在⊙A ________,C 点在⊙A ________,D 点在⊙A ________.
5、 A、B是半径为2的⊙O 上不同两点,则AB 的取值范围是_________
6、圆是轴对称图形,它有____条对称轴,是_________直线;圆还是中心对称图形,对称中心是_____
7、 弧分为_________,_________,_________
8、 一个圆的最长弦长为10cm ,则此圆的半径是_________ 9、 判断:
(1)直径是弦.( ) (2)弦是直径.( ) (3)半圆是弧,但弧不一定是半圆.( )
(4)半径相等的两个半圆是等弧.( ) (5)长度相等的两条弧是等弧.( ) (6)周长相等的圆是等圆.( ) (7)面积相等的圆是等圆.( )。 (8)优弧一定比劣弧长。( ) 10.如图,半圆的直径AB =___ .
11.如图(1)若∠A =40°,则∠ABO =______,∠C =______, ∠ABC =______.
12.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB ,CD 的延长线交于E ,若AB =2DE ,∠E =18°,
则∠C=______,∠AOC=______.
第10题
13.已知⊙O 的半径为5厘米,A 为线段OP 的中点,当OP =6厘米时,点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.点A 在⊙O 内
B.点A 在⊙O 上
C.点A 在⊙O 外
D.不能确定
14.过⊙
内一点M 的最长弦长为10cm ,最短弦长为8cm ,那么OM 的长为( )
(A )3cm (B )6cm (C )
cm (D )9cm
15.如图,在⊙O 中,P 是弦AB 的中点,CD 是过点P 的直径,则下列结论中不正确的是( ) A 、AB ⊥CD B 、∠AOB =4∠ACD C 、
D 、PO =PD
16.如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C ,若AB =3,BC =1,则与圆环的面积最接近的整数是( ) A.9
B.10
C.15
D.13
D
(第13题) (第14题) (第15题)
17.下图中BOD ∠的度数是( )
A 、550
B 、1100
C 、1250
D 、150
18.已知:如图,在同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C ,D 两点. (1)求证:∠AOC =∠BOD ;
(2)试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系,并证明你的结论.
19、如图:AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC。求证:∠1=∠2。
20、如图:在矩形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,试
说明点A、B、C、D在同一个圆上,并画出这个圆。
练习2 垂直于弦的直径
【练习题】
1.圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB=______cm.2.如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD于E,DE=8cm,CE=2cm,
则AB=______cm.
3.如图,⊙O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OC,
则AB=______cm,∠AOB=______.
4.如图,AB为⊙O的弦,∠AOB=90°,AB=a,
则OA=______,O点到AB的距离=______.
2,圆内一条弦长23cm,则弦的中点与弦所5. 圆的半径等于cm
对弧的中点的距离等于_____________;
6.如图,P为⊙O的弦AB上的点,P A=6,PB=2,
⊙O的半径为5,则OP=______.
7.已知:如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,∠AEC=30°,则CD=______.
8.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数学语言表述是:“如图3-2-16所示,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E, CE=1寸,求直径CD的长.”
C
9、已知:如图,30
∠=?,在射线AC上顺次截取AD =3cm,DB =10cm,
PAC
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,求圆心O到AP的距离及EF 的长.Array
10. 如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千
踏板与地面的最大距离约为多少?
图24-1-2-7
11. “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)
已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________
米.
图24-1-2-8
练习3 弧、弦、圆心角
【练习题】
1.⊙O中,M 为的中点,则下列结论正确的是( ).
A.AB>2AM B.AB=2AM
C.AB<2AM D.AB与2AM的大小不能确定
2.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF 等于( )
A.2∶1
B.3∶2
C.2∶3
D.0 3.如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA、OB在0点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把0点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为 ( )
A.12个单位B.10个单位C.4个单位D.15个单位
A
(第3题) (第6题) (第7题)
4.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
5.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________. 6.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C,则BC= . 7.如图,矩形ABCD中,86
AB AD
==
,,将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动90 ,转动3秒后停止,则顶点A经过的路线长为.
8.如图,矩形ABCD与与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E,
GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF= cm .
(第8题)
9.已知:如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,且C为的中点,若∠BAD=20°,则∠ACO=______.
10. 如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D.
(1)求证:AC=DB;
(2)如果AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积.
图24-1-3-2
11.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD.
求证:OC=OD.
图24-1-3-3 12、如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么?
图24-1-3-6
13.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB于D,求的度数.
A
14.如图24-1-3-8,AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC 、
EB 、DF 是否相等?为什么?
图24-1-3-8
15.如图24-1-3-9,已知在⊙O 中,AD 是⊙O 的直径,BC 是弦,AD ⊥BC ,E 为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?
(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论)
图24-1-3-9
16.如图24-1-3-10,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上一点,AB=10 cm ,OP=5 cm ,
PA=4 cm ,求⊙O 的半径.
图24-1-3-10 17.⊙O 的直径为50 cm ,弦AB ∥CD ,且AB=40 cm ,CD=48 cm ,求弦AB 和CD 之间的距离.
18. 如图所示,已知O 是∠EPF 的平分线上的一点,以O 为圆心的圆心角的两边分别交于点A 、B 、C 、D 求证:PB=PD ,若角的顶点P 在圆上或圆内,上述还成立吗?请说明。
P
19. 如图24-1-3-5,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD ,垂足为E ,BF ⊥CD ,垂足为F ,我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?
当EF ∥AB 时,情况又怎样?
图24-1-3-5
练习4 圆周角
一、选择题
1.在⊙O 中,若圆心角∠AOB =100°,C 是上一点,则∠ACB 等于( ). A .80°
B .100°
C .130°
D .140°
2.在圆中,弦AB ,CD 相交于E .若∠ADC =46°,∠BCD =33°,则∠DEB 等于( ). A .13°
B .79°
C .38.5°
D .101°
3.如图,AC 是⊙O 的直径,弦AB ∥CD ,若∠BAC =32°,
则∠AOD 等于( ). A .64°
B .48°
C .32°
D .76°
4.如图,弦AB ,CD 相交于E 点,若∠BAC =27°,∠BEC =64°,
则∠AOD 等于( ). A .37° B .74°
C .54°
D .64°
5.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,若∠BOD =138°,
则它的一个外角∠DCE 等于( ). A .69° B .42°
C .48°
D .38°
6.如图,△ABC 内接于⊙O ,∠A =50°,∠ABC =60°,BD 是⊙O 的直径,
BD 交AC 于点E ,连结DC ,则∠AEB 等于( ). A .70° B .90°
C .110°
D .120°
7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°
D
D
C
B
A
(7) (8) (9) (10)
8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 角中,相等的角有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
9.如图9,D 是
AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )
A.100°
B.80°
C.50°
D.40°
11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110° 13.下列命题中,正确的是( )
① 顶点在圆周上的角是圆周角; ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ③ 90
的圆周角所对的弦是直径; ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆;
⑤ 同弧所对的圆周角相等
A .①②③
B .③④⑤
C .①②⑤
D .②④⑤
14. 下列说法中,正确的是( )
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内
B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半
D. 等弧所对的圆心角相等 15.下列说法正确的是( )
A.顶点在圆上的角是圆周角
B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍
D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 16.在⊙O 中,同弦所对的圆周角( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.都不对 17.如图24-1-4-1,在⊙O 中,弦AD=弦DC ,则图中相等的圆周角的对数有( )
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
图24-1-4-1 图24-1-4-2
18.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图24-1-4-8所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?(
)
图24-1-4-8
19、如图,△ ABC 内接于⊙O ,D 为线段AB 的中点,延长OD 交⊙O 于点E ,连接AE ,BE ,则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ,⑤
,正确结
论的个数是( )
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
20. 如图所示,圆O 的直径为10,弦AB 的长为6,M 是弦AB 上的一动点,则线段的OM 的长的取值范围是( )
(第19题图)
A. 3≤OM≤5
B. 4≤OM≤5
C. 3<OM<5
D. 4<OM<5
21.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于()
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 270°
22.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为()
A.
(4 cm B. 9 cm
C. D.
cm
23.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,点P是直径MN上一个动点,则P A+PB的最小值为
A.22B.2C.1 D.2
24、如图所示,在圆⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,
∠A=∠B=60°,则BC的长为()
A.19 B.16 C.18 D.20
二、填空题
1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是 AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.
D
C
B
A
O
(1) (2) (3)
2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
4.如图4,A、B、C为⊙O上三点,若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
B
A
A
(4) (5) (6)
D C
A
O
(第23图)
(第24题图)
(第22题图)
5.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.
6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离
OE=______.
7.如图,以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ,B ;两点,点P 的坐标为(4,2),点A 的坐
标为(0)则点B 的坐标为 .
8. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点D 是 BC 的中点,已知∠AOB =98°,∠COB =120°.则
∠ABD 的度数是 .
9.如图⊙O 的半径为1cm ,弦AB 、CD
,1cm ,则弦AC 、BD 所夹的锐角α= .
10.如图,扇形OAB 中,∠AOB=900 ,半径OA=1, C 是线段AB 的中点,CD//OA ,交弧
AB 于点D ,则CD= . 11.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2, OC 是⊙O 的半径,OC ⊥AB ,点D 在
13
AC 上,点P 是半径OC 上一个动点,那么 AP + DP 的最小值等于
12.如图,已知A 、B
两点的坐标分别为()
、(0,2),P 是△AOB 外接圆上的一点,且∠AOP=45°,则点P 的坐标为 .
13. 如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,以AC 为直径作圆与斜边交
于点P ,则BP 的长为________________。 14. 如图所示,四边形ABCD 内接于圆O , ∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。
(第8题图)
(第7题图)
(第9题图)
15.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________。
三、解答题
1.已知:如图,△ABC内接于⊙O,BC=12cm,∠A=60°.求⊙O的直径.
2.已知:如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=2cm.
求DB长.
3.已知:如图,⊙O的直径AE=10cm,∠B=∠EAC.求AC的长.
4.如图24-1-4-10(1),已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.(1)求证:△DOE是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2),若∠A=60°,AB≠AC,则(1)中结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
图24-1-4-10
5.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.
B
A
6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长
.
7、如图24-1-4-15所示,已知AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,OD ∥BC ,交AC 于D ,BC=4 cm.
(1)求证:AC ⊥OD ; (2)求OD 的长;
(3)若∠A=30°,求⊙O 的直径.
图24-1-4-15
8.如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A 、B 、C.
(1)用尺规作图法,找出弧BAC 所在圆的圆心O ;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设△ABC 为等腰三角形,底边BC=10 cm ,腰AB=6 cm ,求圆片的半径R ;(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n <R <m(m 、n 为正整数),试估算m 和n 的值
.
图24-1-2-9
9.如图,射线AM 交一圆于点B 、C ,射线AN 交该圆于点D 、E ,且BC ⌒ =DE ⌒ . (1)求证:AC = AE ;
(2)利用尺规作图,分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线, 两线交于点F (保留作图痕迹,不写作法),求证:EF 平分∠CEN .
10.如图24-1-4-13所示,在小岛周围的APB 内有暗礁,在A 、B 两点建两座航标灯塔,且∠APB=θ,船要在两航标灯北侧绕过暗礁区,应怎样航行?为什么?
图24-1-4-13
11.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.
(1)P 是 CAD
上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的
结论.
A B
C D
E M
N
12.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B 点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素
)
13.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a 的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的
圆钢?
14.如图,AD 为ABC ?外接圆的直径,AD BC ⊥,垂足为点F ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,连接BD ,CD . (1) 求证:BD CD =;
(2) 请判断B ,E ,C 三点是否在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上?并说明理由.
15.如图9,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 边上的一点,且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC. ( 1)求证:AE ⊥DE;
(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F,连接DF 交AE 于G,已知CD=5,AE=8,求
FG
AF
的值.
16.如图,圆O 的直径为5,在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ,已知BC :
CA =4:3,点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 两点重合),过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点.
(1)求证:A C ·CD=PC ·BC ;
(2)当点P 运动到AB 弧中点时,求CD 的长;
(3)当点P 运动到什么位置时,△PCD 的面积最大?并求出这个最大面积S 。
A B
C
E
F
D
五、圆的对称性
1. 弓形弦长为24,弓形高为8,则弓形所在圆的直径是( )
A.10 B.26 C.13 D.5
2. EF 是O 的直径,5cm OE =,弦8cm MN =,则E 、F 两点到直线MN 距离的和等于(
)
6cm C.8cm
D.3cm
3. 如图O 的直径AB 与弦CD 相交于M 点,AE CD ⊥于E ,BF CD ⊥
于F ,若
4CM =
,3MD =,:1:3BF AE =,则O 的半径是(
) A.4
B.
5
C.6
D.8
4. 同圆中的两条弦长为1m 和2m ,圆心到两条弦的距离分别为1d 和2d ,且
1
2d d >,那么1m ,2m 的大小关系是( )
A.12m m >
B.12m m < C.1
2m m = D.12m m ≤
5. 如图,AB 是O 的弦,从圆上任意一点作弦CD AB ⊥,作OCD ∠的
平分线交O 于点P ,若5AP =,则BP 的值为( )
A.4 B.5 C.5.5 D.6
6、 O 的半径为5cm ,点P 到圆的最小距离与最大距离之比为2:3,求OP 的长--------。
7. 如图,ABCD 是直角梯形,以斜腰AB 为直径作圆,交CD 于点
E ,
F ,交BC 于点
G .求证:(1)DE CF =;(2) AE GF =.
8. 如图,已知 AB ,在 AB 上作点C ,D ,E ,
使 A C C D D E E B ===.
D
9. 如图,有一座石拱桥的桥拱是以O 为圆心,OA 为半径的一段圆弧. (1)请你确定弧AB 的中点;(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)若120AOB ∠=
,4OA =m ,请求出石拱桥的高度.
10. 如图,已知O ,线段CD 与O 交于A ,B 两点,且OC OD =.试比较线段AC 和BD 的大小,并说明理由.
11.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦, CE ⊥CD ,DF ⊥CD .求证:OE=OF .
12.已知:两个以O 为圆心的同心圆中,M ,N 是小圆上两点,大圆的弦AB ,CD 分别过点M ,N ,且OM ⊥AB ,ON ⊥CD (如图).求证:AM=CN .
13.已知:如图,MN 是⊙O 的直径,P 是MN 上一点,弦AC ,BD 过P 点,且∠1=∠2.
求证:PA=PB .
C
14.已知:如图,AB 是⊙O 的弦,C ,D 在AB 上,且AC=BD ,EC ⊥AB 于C ,FD ⊥AB 于D .求证:EC=FD .
15.已知:如图,⊙O 的半径为10,圆心角∠AOB=90°,弦MN ∥AB ,且MN 被点E ,F 三等分.求证:O 点到MN 的距离的平方等于半径长.
16. 如图,AB O 是的直径,C 、E 是圆周上关于AB 对称的两个不同点,CD AB EF BC AD M AF BE N ∥∥,与交于,与交于.
(1)在A 、B 、C 、D 、E 、F 六点中,能构成矩形的四个点有
哪些?请一一列出(不要求证明); (2)求证:四边形AMBN 是菱形.
17. 平面直角坐标系中,点(29)A ,、(23)B ,、(32)C ,、(92)D ,在
P 上.
(1)在图中清晰标出点P 的位置; (2)点P 的坐标是 .
A
B
圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念,认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程,使学生积累一定的数学活动经验;第二课时在第一课时的基础上,掌握垂径定理及其逆定理;第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识;第四课时的重点是圆周角,通过圆周角定理及其推理的推理论证,从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来,从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论,再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活,又服务于生活,最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学,探索与分析,讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标: 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念,理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系; 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用,掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用,掌握圆周角定理及推论的意义和应用; 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系,理解并会证明圆周角定理及其推论,理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能: 1、经历圆的形成过程,理解圆的概念, 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等; 3、认识圆的对称性,知道圆既是轴对称图形,又是中心对称图形; 过程与方法: 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程,熟记圆及有关概念; 2、通过折叠、旋转的动手实验,多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系,体会研究几何图形的各种方法; 情感态度价值观: 经历探索圆及其有关结论的过程,发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点:(1)了解圆的概念的形成过程;(2)揭示与圆有关的本质属性。 难点:圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析
圆的基本概念和性质—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.知识目标:理解圆的有关概念和圆的对称性; 2.能力目标:能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系,?圆的对称性进行计算或证明; 3.情感目标:养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 要点诠释: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. (2)静态:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释: ①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面; ③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心; ②圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释: ①圆有无数条对称轴; ②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线). 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.
《圆的有关概念》练习题 一.选择题(共7小题) 1.下列各图形中,各个顶点一定在同一个圆上的是() A.正方形B.菱形 C.平行四边形 D.梯形 2.下列说法:(1)直径是弦;(2)弦是直径;(3)半圆是弧,但弧不一定是半圆;(4)半径相等的两个圆是等圆;(5)长度相等的两条弧是等弧.其中错误的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列说法中,(1)长度相等的两条弧一定是等弧;(2)半径相等的两个半圆是等弧;(3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧;(4)直径是圆中最大的弦,也就是过圆心的直线.其中正确说法的个数是() A.1个B.2个 C.3个D.4个 4.如图,AB是⊙O的直径,D、C在⊙O上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接AC,则 ∠DAC等于() A.15° B.30°C.45° D.60° 5.如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于()A.42° B.28° C.21° D.20° 第4题图第5题图第6题图 6.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C、D在AB的异侧,连结AD、OD、OC.若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为() A.70°B.60° C.50°D.40° 7.点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上,图中弦的条数为()A.2 B. 3 C.4 D.5 二.填空题(共3小题) 8.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,则∠ACD= 度. 第8题图第9题图第0题图 9.如图,AB为⊙O的直径,AD∥OC,∠AOD=84°,则∠BOC= . 10.如图,点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a、b、c的大小是. 三.解答题(共6小题) 11.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么? 12.如图,AB、CD为⊙O中两条直径,点E、F在直径CD上,且 CE=DF.求证:AF=BE.
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质,能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系;能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论,能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义,有两种方式: 错误!未找到引用源。在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心,以O 为圆心的圆记作O ,线段OA 叫做半径; 错误!未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念: 错误!未找到引用源。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图1所示 线段AB ,BC ,AC 都是弦; 错误!未找到引用源。直径:经过圆心的弦叫做直径;如AC 是O 的直径,直径是圆中最长的弦; 错误!未找到引用源。弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简 称弧,如曲线BC,BAC 都是O 中的弧,分别记作BC 和BAC ; 错误!未找到引用源。半圆:圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧,每条弧都叫做半圆,如AC 是半圆; 错误!未找到引用源。劣弧和优弧:像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧; 错误!未找到引用源。同心圆:圆心相同,半径不等的圆叫做同心圆; 错误!未找到引用源。弓形:由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形; 错误!未找到引用源。等圆和等弧:能够重合的两个圆叫做等圆,在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧; 错误!未找到引用源。圆心角:定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角,圆心角的度数:圆心角的读书等于它所对弧的度数;∠ 错误!未找到引用源。 圆周角:定点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角;如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的直线都是它的对称轴,有无数条。圆是中心对称图形,圆心是对称中心,优势旋转对称图形,即旋转任意角度和自身重合。 错误!未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦,且评分弦所对的两条弧; B. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ,(2)CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立,则另外3个业成立。因此,垂径定理也称五二三定理,即推二知三。(以(1),(3)作条件时,应限制AB 不能为直径)。 错误!未找到引用源。弧,弦,圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; B. 同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,他们所对应的其余各组量也相等; 错误!未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半; B.圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示,C 是⊙O 上一点,O 是圆心,若80AOB =∠,求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
B 圆的有关概念 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ;圆又 是 对称图形, 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 ,并且平分 ;平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 . 4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ,90°所对的弦是 . 练习题 一、选择题 1.如图,A B 是⊙O 的直径,点D 在A B 的延长线上,D C 切⊙O 于C ,若 25A = ∠. 则D ∠等于( ) A . 20 B . 30 C . 40 D . 50 2.如图,⊙O 的半径OA =5,以A 为圆心,OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 两点,则BC 等于( ). A. 35 B. 25 C. 32 5 D. 8 3.AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,AB CD ⊥于E ,则下列结论中不.成立的是( ) A.∠A ﹦∠D B.CE ﹦D E C.∠ACB ﹦90° D .C E ﹦BD 4.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,∠CDB =30°,⊙O 的半径为3cm ,则圆心O 到弦CD 的距离为( ) A .3 2 cm B .3 cm C .3 3 cm D .6cm 二、填空题 1.如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕A B 的长为 __cm . 2.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为1cm 2 ,则该半圆的直径为____ 3.如图,AB 是⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上,∠AOD =130°,BC ∥OD 交⊙O 于C ,则∠A = °. A E O B D A B
圆的有关性质 【中考考纲解读】 1.课标要求 ①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系. ②了解圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ③掌握垂径定理,并能应用它解决有关弦的计算和证明问题. 2.考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看,本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理,垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大.题型以选择题和填空题为主,难度不大,所占分值一般在3~5分. 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1:圆的有关概念 1. 圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.其中,定点为圆心,定长为半径 2. 弦:连接圆上任意两点的线段. 3. 直径:经过圆心的弦. 4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 5. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 6. 优弧:大于半圆的弧,用三个大写字母表示,如ABC . 7. 劣弧:小于半圆的弧,用两个大写字母表示,如AC . 8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的圆形. 9. 同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆. 10.等圆:能够重合的两个圆或半径相等的两个圆. 11.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧. 12.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 13.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 14.圆周角:顶点在圆上,?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论
_O _A 图1 C D 北辰教育学科教师辅导学案 学员编号: 年 级: 课 时 数: 学员姓名: 辅导科目: 学科教师: 授课类型 T 圆的基本概念 C 圆的基本概念 T 圆的对称性 授课日期及时段 年 月 日 00:00--00:00 教学内容 —————圆的基本概念 知识结构 一、圆的基本概念: 1、圆的概念:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。如图,把线段OA 绕着端点O 在平面内旋转1周,端点A 运动所形成的图形叫做圆.其中,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径.记作⊙O ,读作“圆O ”. 2、 2、圆的半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置。 3、圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。 4、点与圆的位置关系:点P 与圆心的距离为d ,半径为r,则点在直线外?r d >; 点在直线上?r d =; 点在直线内?r d <。 注意:这里是等价关系,即由左边可以推出右边,由右边也可以推出左边。 二、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 1、弦:连接圆上任意两点的线段,如图1上弦AB ;直径是一条 特殊的弦,并且是圆中最大的弦;从圆心到弦的距离叫做弦心距。 2、直径:经过圆心的弦,如图1上弦CD 。 3、圆心角:顶点在圆心的角,如图2上:∠AOB 。 4、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,如图3上:∠BAC 。 3、 5、同心圆:圆心相等、半径不同的两个圆。 图2
4、 6、等圆:半径相同、圆心不同的两个圆。 5、 7、等弧:能够互相重合的弧。同圆或等圆的半径相等。 注意:半圆(或直径)所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径。 8、圆的任意一条直径的两个端点吧圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆。大于半圆 的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。 题型1: 1、概念辨析:判断下列说法是否正确? (1)直径是弦; ( √ ) (2)弦是直径; ( × ) (3)半圆是弧,但弧不一定是半圆; ( √ ) (4)半径相等的两个半圆是等弧; ( √ ) (5)长度相等的两条弧是等弧; ( × ) (6)半圆是弧; ( √ ) (7)弧是半圆. ( × ) 2、如图,在Rt ABC △中,直角边3AB =,4BC =,点E ,F 分别是BC ,AC 的中点,以点A 为圆心, AB 的长为半径画圆,则点E 在圆A 的_________,点F 在圆A 的_________. 解题思路:利用点与圆的位置关系,答案:外部,内部 2、如图,扇形OAB 的半径OA =3,圆心角∠AOB =90°,点C 是弧AB 上异于A 、B 的动点,过点C 作CD ⊥OA 于点D ,作CE ⊥OB 于点E ,连接DE ,点G 、H 在线段DE 上,且DG =GH =HE . (1)求证:四边形OGCH 是平行四边形 (1)连结oc ,交de 于m , ∵四边形odce 是矩形 ∴om =cm ,em =dm 又∵dg=he ∴em -eh =dm -dg ,即hm =gm ∴四边形ogch 是平行四边形 3、已知:如图,AB 是⊙O 的直径,半径OC ⊥AB ,过CO 的中点D 作DE ∥AB 交⊙O 于点E ,连接EO ,则∠EOC 的度数为_____度. 答案:60 通过半径相等,把条件转化到Rt△ODE 中,OD=OE ,利用特殊直角三角形的性质求解 解:∵OD= OC= OE ,OC⊥AB,DE∥AB, ∴在Rt△ODE 中,∠E=30°, ∴∠EOC=90°-30°=60° 图3
作业帮一课初中独家资料之【初三数学】 1. 圆的定义 (1)动态:如图,在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆 O”. 要点诠释: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者 缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. (2)静态:圆心为 O,半径为 r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合. 要点诠释: ①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面; ③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点 的集合是球面,一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对 称图形,对称中心是圆心; ②圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何 一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释: ①圆有无数条对称轴; ②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”, 而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线). 每周六 10 点,【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料,等你来抢~~~ 核心知识点二:与圆有关的概念 1.弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释: 直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦?如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 中任意一条弦,求证:AB≥CD. 证明:连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时,取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦. 2.弧
《圆的有关概念》教学设计 一、教材分析: 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章圆第一节内 容,圆的定义和有关概念,是圆的第一节第一课时。因为学生在小学中已经学过圆的一些 知识,对圆已有初步的了解,本课时的内容也较为简单。这节课概念较多,是今后进一步 学习圆的相关内容的基础,因此在教材的处理上,不能盲目忽略这一节,结合小学中学习 的内容、生活中的实例来学习这一节。根据《数学课程标准》的要求,结合以上分析从而 确定教学目标。 二、教法分析: 新的课程标准指出,数学课程不仅要考虑到数学自身的特点,更应遵循学生学习数学 的心理规律,从学生已有的生活经验出发,通过自主探索与合作交流的形式,使学生乐于 投入到数学活动中去。为此我联系学生生活实际创设问题情境引入新课,使大多数学生在 问题情境中自然的进入新课,引起学生学习的兴趣;通过教师问题的设置,抓住学生已有 的知识点,在学生主动参与,教师引导下,使学生更好掌握新知识,培养学生的探索精神; 经过学生合作学习,共同探究新知识,培养学生与他人合作的意识。结合我校的“学——讲——练”教学模式学习圆的有关概念,最后利用新的知识解决问题。采用直观教具和多媒体 演示,使学生获得直观印象便于学生理解新知。 三、学情分析 学生在小学中学过圆的一些知识,对于圆已经有进步的了解,并会利用圆规画面,经历 了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质,并会用自己的语言 加以简单描述,初步具有了有条理地思考与表达的能力,为本章的深入学习奠基了基础圆是一种基本的几何图形,圆形物体在生活中随处可见。学生通过观察体会现实生活中 圆形物体所具有的性质。获得了初步的数学活动体验。因此,圆这部分知识得以从小学到 初中的顺利过渡,并以积极的态度投入到初中数学的学习,具有了一定的主动参与、合作 意识和初步的观察、分析抽象概括的能力。通过一系列不同问题,采用自主学习与合作学
圆性质及基本概念公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆性质及基本概念 一基本概念 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点称为圆心,定长称为半径;圆O记作?O. 2.相关概念: (1)弧:半圆、优弧、劣弧:(2)弦:直径(3)弦心距: (4)圆心角:(5)圆周角:(在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等) 二重要定理 垂径定理: 垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧. 推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的优弧和劣弧. 垂径定理推论一:对于一个圆来说,如果具备下列五个条件中的任何两个,那么也具有其它三个:①垂直于弦,②过圆心,③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧。(当以、②③为题设时,“弦”不能是直径。) 相关定理 圆周角定理: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半;
圆周角定理推论: 1.直径所对的圆周角是90°,90°圆周角所对弦是直径. 2.同(等)弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等; 三点定圆定理: 三点定圆定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的外心与内心 一概念练习 1已知:⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm, CD=10cm,则AB、CD之间的距离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm 或7cm 2下列四个命题: ①直径是弦; ②经过三个点一定可以作圆; ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④半径相等的两个半圆是等弧. 其中正确的是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
圆的有关概念及性质 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
第二十三讲圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质: 1、圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 【名师提醒:1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥】 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的
【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线 3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆内接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做
一、圆的相关概念 1. 圆的定义 (1) 描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转 所形成的图形叫做圆,其中固定端点O 叫做圆心,OA 叫做半径. (2) 集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径. (3) 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O 为圆心,OA 为半径的圆记作”O ⊙“,读作” 圆O “. (4) 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同 心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:注意:同圆或等圆的半径相等. 2. 弦和弧 (1) 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. (2) 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. (3) 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. (4) 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B 、为端点的圆弧记作AB ,读作弧AB . (5) 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. (6) 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (7) 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. (8) 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3. 圆心角和圆周角 (1) 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我 们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2) 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 二、圆的对称性 1. 旋转对称性 (1) 圆是中心对称图形,对称中心是圆心;圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度角,总能与自 身重合. (2) 圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 2. 轴对称性 (1) 圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线是它的对称轴. (2) 圆的轴对称性?垂径定理. 三、圆的性质定理 1. 圆周角定理 (1) 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2) 推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (1) 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 圆的概念及性质 A
B C 鸣 人 教 育 学 科 教 师 讲 义 【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念, 知道圆的对称性,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系,了解直径所对的圆周角是直角,会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。 【知识梳理】 1.圆的基本概念 定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心;线段OA 叫做半径;圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长(半径r);反之,到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上(另一定义); 以O 为圆心的圆,记作“⊙O ”,读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性: (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径:经过圆心的弦叫直径。 注:圆中有无数条直径 5.圆弧: (1)圆上任意两点间的部分,也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ,读作“弧AB ”.
(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: (1)定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为:一条直线,如果具有:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角; 9.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角; 10.弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半; (2)圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。 【经典例题】 【例1】下列判断中正确的是( ) A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等,那么( ) A .这两条弦所对的弧相等 B .这两条弦所对的圆心角相等 C .这两条弦的弦心距相等 D .以上答案都不对 【例3】如图,已知AB 为⊙O 的直径,∠ E =20°,∠DBC =50°,则∠CBE =______. 【例4】(08山东滨州)如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD=DE ,AE 与BD 交于点C ,则图
圆的基本概念和性质—知识讲解(基础) 【学习目标】 1.知识目标:在探索过程中认识圆,理解圆的本质属性; 2.能力目标:了解圆及其有关概念,理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念,理解概念之间的区别和联系; 3.情感目标:通过圆的学习养成学生之间合作的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 要点诠释: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. (2)静态:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释: ①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面; ③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心; ②圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释: ①圆有无数条对称轴; ②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线). 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径.
圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质: 1、圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦,弦不一定是直径; 3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的。 【提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线(即弦心距)。3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是 【提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角 有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
圆的概念及性质 一、圆的相关概念 1.圆的定义 (1)描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径. (2)集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.(3)圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作”O ⊙“,读作” 圆O“. (4)同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:注意:同圆或等圆的半径相等. 2.弦和弧 (1)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. (2)直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. (3)弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 、为端点的圆弧记作?AB,读作弧AB.(4)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B (5)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. (6)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (7)优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. (8)弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3.圆心角和圆周角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2)圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 二、圆的对称性 1.旋转对称性 (1)圆是中心对称图形,对称中心是圆心;圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度角,总能与自身重合. (2)圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 2.轴对称性 (1)圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线是它的对称轴. (2)圆的轴对称性?垂径定理. 三、圆的性质定理 1.圆周角定理 (1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
B C 教 育 学 科 教 师 讲 义 讲义编号: GE —ZBM 副校长/组长签字: 签字日期: 【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念, 知道圆的对称性,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系,了解直径所对的圆周角是直角,会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。 【知识梳理】 1.圆的基本概念 定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心;线段OA 叫做半径;圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长(半径r);反之,到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上(另一定义); 以O 为圆心的圆,记作“⊙O ”,读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性: (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径:经过圆心的弦叫直径。 注:圆中有无数条直径 5.圆弧: (1)圆上任意两点间的部分,也可简称为“弧”
以A,B 两点为端点的弧.记作AB ? ,读作“弧AB ”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: (1)定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为:一条直线,如果具有:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角; 9.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角; 10.弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半; (2)圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。 【经典例题】 【例1】下列判断中正确的是( ) A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等,那么( ) A .这两条弦所对的弧相等 B .这两条弦所对的圆心角相等 C .这两条弦的弦心距相等 D .以上答案都不对 【例3】如图,已知AB 为⊙O 的直径,∠E =20°,∠DBC =50°,则∠CBE =______.
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆;能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性,了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系;知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数, 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系;了解切线的 概念,理解切线与过 切点的半径之间的 关系;会过圆上一点 画圆的切线;了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系;会根据切 线长的知识解决简 单的问题;能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容,主要考查圆的有关性质与圆的有关计算,每年的第20题都会考查,第1小题一般是切线的证明,第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化,理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定方法,会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11,20 20,25 8,20,25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用; 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明,计 算(圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形);直线与圆的 位置关系 圆的基本性质,圆 的切线证明,圆同 相似和三角函数的 结合;直线与圆的 位置关系 中考考点分析
圆性质及基本概念 一基本概念 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点称为圆心,定长称为半径;圆O记作?O. 2.相关概念: (1)弧:半圆、优弧、劣弧:(2)弦:直径(3)弦心距: (4)圆心角:(5)圆周角:(在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等) 二重要定理 垂径定理: 垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧. 推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的优弧和劣弧. 垂径定理推论一:对于一个圆来说,如果具备下列五个条件中的任何两个,那么也具有其它三个:①垂直于弦,②过圆心,③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧。(当以、②③为题设时,“弦”不能是直径。) 相关定理 圆周角定理: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半; 圆周角定理推论:
1.直径所对的圆周角是90°,90°圆周角所对弦是直径. 2.同(等)弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等; 三点定圆定理: 三点定圆定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 三角形的外心与内心 一概念练习 1已知:⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm, 则AB、CD之间的距离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm 或7cm 2下列四个命题: ①直径是弦; ②经过三个点一定可以作圆; ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④半径相等的两个半圆是等弧. 其中正确的是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3如图,△ABC内接于⊙O,D为线段AB的中点,延长OD交⊙O于点E,连接AE,BE,则下列五个结论