近世代数复习题(1)

近世代数复习思考题

一、基本概念与基本常识的记忆

（一）填空题

1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.

2、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是________.

3. 6阶循环群有_________个子群.

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为———。

5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个.

6.整数环Z 的理想有_________个.

7、n 次对称群Sn 的阶是——————。

8、9-置换???

? ??728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 10. 24Z 中的所有可逆元是：__________________________.

11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。

12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。

13. 在整数环Z 中，23+=__________________；

14、n 次对称群S n 的阶是_____.

15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。

16、除环的理想共有____________个。

17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.

18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________.

19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.

20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________.

21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________.

22. 剩余类环Z n 是域?n 是_________.

23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中,

(5x-4)(3x+2)=________.

24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =_______________。

25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n =___.

26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.

27、整数环Z 的商域是________.

28. 整数加群Z 有__________个生成元.

29、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且仅当I 是————————。

30. 已知1234531254σ??= ???

为5S 上的元素，则1σ-＝__________。31. 每一个有限群都

与一个__________群同构。

32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。

二、基本概念的理解与掌握。

（二）选择题

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A.2

B.5

C.7

D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的（）

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。

A.2

B.4

C.6

D.8

4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( )

A 5；

B 6；

C 7；

D 9.

5、下面的集合与运算构成群的是( )

A {0，1}，运算为普通的乘法；

B {0，1}，运算为普通的加法;

C {-1，1}，运算为普通的乘法；

D {-1，1}，运算为普通的加法;

6、关于整环的叙述，下列正确的是( )

A 左、右消去律都成立；

B 左、右消去律都不成立;

C 每个非零元都有逆元；

D 每个非零元都没有逆元;

7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )

A 在环的同态满射下，理想的象是理想;

B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;

C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想

D 环的最大理想就是该环本身.

8.整数环Z 中，可逆元的个数是( )。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个 9. 设M 2(R)=????????? ??d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域?

??按矩阵的加法和 乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。

A. 有单位元的交换环

B. 无单位元的交换环

C. 无单位元的非交换环

D. 有单位元的非交换环

10. 设Z 是整数集，σ(a)=?????+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ，Z a ∈，则σ是R 的( ).

A. 满射变换

B. 单射变换

C. 一一变换

D. 不是R 的变换

11、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个

子集 的同态满射的是( ).

A 、x →10x

B 、x →2x

C 、x →|x|

D 、x →-x .

12、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

A 、不适合交换律

B 、不适合结合律

C 、存在单位元

D 、每个元都有逆元.

13.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）

不能交换的元的个数是( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4.

14、设(),G 为群，其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）

A 、0和x -；

B 、1和0；

C 、k 和2x k -；

D 、k -和(2)x k -+

15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么G 的阶G =（ ）

A 、6

B 、24

C 、10

D 、12

16.整数环Z 中，可逆元的个数是( ).

A 、1个

B 、2个

C 、4个

D 、无限个。

17、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为（ ）

A 、若a 是零元，则b 是零元

B 、若a 是单位元，则b 是单位元

C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子

D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换

18、下列正确的命题是（ ）

A 、欧氏环一定是唯一分解环

B 、主理想环必是欧氏环

C 、唯一分解环必是主理想环

D 、唯一分解环必是欧氏环

19. 下列法则，哪个是集A 的代数运算( ).

A. A=N, a b=a+b-2

B. A=Z,a b=b

a C. A=Q, a b=a

b D. A=R, a b=a+b+ab

20. 设A={所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).

A. x →-x

B. x →x 1

C. x →x

1- D. x →5x 21. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

22．剩余类环Z 6的子环有( ).

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

23、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）

A.11--a bc ；

B.11--a c ；

C.11--bc a ；

D.ca b 1-。

24、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

A.f 的同态核是1G 的不变子群;

B.1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

C.1G 的子群的象是2G 的子群；

D.2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；

25、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果H =6，那么G 的阶=G （ ）

《近世代数》模拟试题2与答案

近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A0B1C－1D1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）。 AG只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 BG是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 CG是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 DG是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群G是指一个集合 B环R是指一个集合 C群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A反身性B对称性C传递性D封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类()。 A（1） B（123），（132），（23） C（123），（132） D（12），（13），（23） 二、计算题(每题10分，共30分) 1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群S3的正规化子和中心化子。

2.设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 3.设R是由一切形如x,y 0,0 （x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。

三、证明题(每小题15分，共45分) 1、设R是由一切形如x,0 y,0 （x，y是有理数）方阵作成的环，证 明0,0 0,0 是其零因子。 2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。证明：Z对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。

3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。

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多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

优秀的近世代数期末考试总复习题

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A 到B的（） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集 合A×B中含有（）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A；{}2,1=B，则有= B---------。 ?A 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。 4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，??????=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并 把σ和τ写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=，定义m M 中运算“m +”为 a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。 2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

抽象代数复习题及答案.docx

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )

近世代数复习题

近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 (一)填空题 1.剩余类加群Z 12有_________个生成元. 2、设群Ｇ的元a 的阶是n,则ａk 的阶是＿____＿_＿. 3. 6阶循环群有_＿_＿_____个子群. ４、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为———。 5． 模８的剩余类环Z 8的子环有____＿____个. 6.整数环Z 的理想有＿________个． ７、ｎ次对称群S ｎ的阶是——————。 ８、９-置换??? ? ??728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z 6的子环Ｓ={[0］,［2]，［4］},则Ｓ的单位元是_＿_＿＿___＿___. 1０. 24中的所有可逆元是：＿＿_＿＿__________＿__＿_＿＿__＿_. 1１、凯莱定理的内容是:任一个子群都同一个___＿___＿同构。 12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于_____＿＿_＿__,(2）若a 的阶为n ，则G 同构于＿_____＿＿____。 １３． 在整数环中，23+=___＿_____________＿； １４、n 次对称群S ｎ的阶是_____. 1５. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___＿__＿___＿。 １6、除环的理想共有____＿______＿个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__＿_＿__＿＿_.

18、在整数环Ｚ中，由｛2,3}生成的理想是______＿_＿. 1９． 剩余类环Ｚ7的可逆元有_______＿＿＿个. 20、设Ｚ11是整数模11的剩余类环，则Z １1的特征是_________. 21. 整环Ｉ={所有复数a+ｂi(a,b 是整数）},则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Ｚn 是域?n 是＿_＿_＿____． 23、设Ｚ7 ＝{0，1,2,3，４,５,6}是整数模７的剩余类环,在Z 7 [ｘ]中, (5x-4）(3x+2)=________. 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =__＿_______＿____。 2５、设群G ＝{e,a 1，a 2，…,a n -１}，运算为乘法,e 为G 的单位元,则ａ1ｎ =___. 26． 设A ＝{a ，b,c},则Ａ到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是_______＿. 28． 整数加群Z 有__＿___＿___个生成元. 2９、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且仅当I 是————————。 30． 已知1234531254σ??= ???为5S 上的元素，则1σ-=___＿_＿____。３1. 每一个有限 群都与一个_＿＿＿＿_____群同构。 32、设I 是唯一分解环，则I[ｘ]与唯一分解环的关系是——————。 二、基本概念的理解与掌握。 (二）选择题 １．设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素，那么，Ａ与Ｂ的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

近世代数参考答案

安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》 考试试卷（B 卷）参考答案 一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件： 1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性） 2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性） 3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性） 则这个关系是的一个等价关系． 2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元． 3、错，因为由于[]Z x x Z <>?，而整数环Z 不是一个域． 4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群． 5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且 1）存在?：()()f x f x →的次数， 是非零多项式到非负整数集的一个映射； 2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环． 二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)． 2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{} 50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+ 5432 [4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分） 1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>?，整数环Z 是一个

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题 一 填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.

近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数练习题题库

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§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). ￥ A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在.

》 D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G中下列各个元素 1213 ,, 0101 c d cd ???? == ? ? - ???? ， 的阶.； ;

2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群. } … & 3. 若e 是环R 的惟一左单位元，那么e 是R 的单位元吗若是，请给予证明.

近世代数练习题部分答案(12级)(1)

练习题参考答案 一、 判断题 1. R 是A 的元间的等价关系. （错 ）见教材第27页习题2（2） 2. 则G 是交换群. （正确）见教材第37页习题6 3、则该群一定为有限群. （错 ）见教材第39页例4 4、则G 与整数加群同构. （正确）见教材49页定理1（1） 5、那么G 也是循环群. （错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群. 6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -?∈?. （正确）见教材84页定理1 7、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈?,. （正确）见教材83页定义1 8、那么R 必定没有右零因子. （正确）见教材139页推论 9、则N G /也是循环群. （正确）见教材95页定理3 10、那么R 的单位元一定是非零元. （正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是 单位元. 11、整数环与偶数环同态. （错误）设Z Z 2:→?为同态满射，且k 2)1(=?，则 24)1()1()11()1(k ==?=????，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者 不可能，因此有02=k ，则0)1(=?，得0)(=n ?，与?为满射矛盾. 12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6- -----=Z ,47Z 均是整环. （错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环. 13、素数阶群一定是交换群. （正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的 阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

《近世代数》模拟试题2与答案

近世代数模拟试题 一、单项选择题 (每题 5 分，共 25 分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A 0 B 1C－1D1/n， n 是整数 2、下列说法不正确的是（）。 A G 只包含一个元 g，乘法是 gg＝ g。G 对这个乘法来说作成一个群 B G 是全体整数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 C G 是全体有理数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 D G 是全体自然数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群 G 是指一个集合 B环 R 是指一个集合 C群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A 反身性B对称性C传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类( )。 A（1） B（123），（ 132），（ 23） C（123），（ 132） D（12），（ 13），（ 23） 二、计算题 (每题 10 分，共 30 分) 1.求 S＝{ （ 12），（ 13）} 在三次对称群 S3的正规化子和中心化子。

2.设 G＝{1 ，－ 1，i，－ i} ，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 x, y 3.设 R 是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。

三、证明题 (每小题 15 分，共 45 分) 1、设 R 是由一切形如x,0（x，y 是有理数）方阵作成的环，证 y,0 明0,0 是其零因子。0,0 2、设 Z 是整数集，规定 a·b＝a＋b－3。证明： Z 对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。

近世代数期末考试真题

近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。 三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）