高中数学人教A版必修四第二章 5从力做的功到向量的数量积 Word练习题含答案
§5 从力做的功到向量的数量积
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1．问题导航
(1)计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量？
(2)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？
(3)若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定是锐角吗？若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角一定是钝角吗？
2．例题导读
P 95例1.通过本例学习，学会计算两个向量的数量积． 试一试：教材P 97习题2－5 A 组T 2你会吗？
P 95例2.通过本例学习，学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题． 试一试：教材P 97习题2－5 A 组T 6你会吗？
P 96例3.通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系． 试一试：教材P 97习题2－5 B 组T 2你会吗？
P 96例4.通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角． 试一试：教材P 97习题2－5 A 组T 5你会吗？
1．力做的功
一个物体在F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W ＝|F ||s |cos θ，其中θ 是F 与s 的夹角．
，如图，作OA →＝a ，OB →
＝的夹角
(1)若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos_θ． (2)若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ?a ·b ＝0．(a ，b 为非
零向量)
(3)a 、b 同向?a ·b ＝|a ||b |；a 、b 反向?a ·b ＝－|a ||b |；特别地a ·a ＝a 2或|a |＝a ·a .
(4)cos θ＝a ·b
|a ||b |
(|a ||b |≠0)．
(5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |.当且仅当a ∥b 时等号成立． 5．向量数量积的运算定律
(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2等等．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的数量积的运算结果是一个向量．( ) (2)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (3)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( )
解析：(1)错误．向量的数量积是一个数． (2)错误．向量a 与b 可能垂直．
(3)错误．向量b 与向量a ，c 可能垂直，所以a 与c 不一定相等． 答案：(1)× (2)× (3)× 2．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2
解析：选A.向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝－12
3
＝－4，故选A.
3．已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________．
解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
＝|a |2－|b |2＝32
－42＝－7. 答案：－7
4．已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →
＝________．
解析：画图可知向量BC →与CA →的夹角为角C 的补角，故BC →·CA →＝|BC →|×|CA →
|cos(π－C )
＝4×8×(－1
2
)＝－16.
答案：－16
1．对数量积概念的三点说明
(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角．
(2)从运算上看：两向量a ，b 的数量积称作内积，写成a·b ，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．
(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握． 2．理解数量积的几何意义要关注的三点
(1)a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的．
(2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b
|a |
.
(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．数量积性质的作用
性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值．但要特别注意该不等式中“＝”成立的条件．
b ≠0|a·b|≤
向量数量积的运算
(1)已知|a |＝4，|b |＝5，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角为30°时，分别求a
与b 的数量积．
(2)已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，求OC →·AB →
的值．
(链接教材P 95例1)
[解] (1)①a ∥b ，若a 与b 同向， 则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |cos 0°＝4×5＝20； 若a 与b 反向，则θ＝180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20.
②当a ⊥b 时，θ＝90°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0. ③当a 与b 的夹角为30°时，
a ·
b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×3
2
＝10 3.
(2)由2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，得2OA →＝－3OB →－4OC →，两边平方得，4＝9＋16＋24OB →·OC →，
所以OB →·OC →＝－78
，3OB →＝－2OA →－4OC →
，
两边平方得，9＝4＋16＋16OA →·OC →
，
所以OA →·OC →
＝－1116
，
所以OC →·AB →＝OC →·(OB →－OA →) ＝OB →·OC →－OA →·OC →
＝－78＋1116＝－316
.
方法归纳
求向量数量积的方法及注意事项
(1)方法：分别求出向量a 与向量b 的模及向量a 与向量b 夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．
(2)注意事项：①要牢记数量积的运算公式；②要注意确定两个向量的夹角；③对于平行向量要注意两向量是同向还是反向．
(3)求形如(m a ＋n b )·(p a ＋q b )的数量积，可以先展开，再求a 2、b 2、a ·b .
1．(1)在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →
等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16
(2)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足6CM →＝3CB →＋2CA →，则MA →·MB →
＝________．
解析：(1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →
)
＝－CB →·CA →＋CA →
2＝16.
(2)由6CM →＝3CB →＋2CA →可得MC →
＝－12CB →－13CA →，
在△MAC 中，MA →＝MC →＋CA →
＝－12CB →＋23
CA →，
在△MBC 中，MB →＝MC →＋CB →＝12CB →－13
CA →
，
MA →·MB →
＝(－12CB →＋23CA →)·(12CB →－13
CA →)
＝－14CB →2＋12CB →·CA →－29
CA →2，
又等边△ABC 中，|CB →|＝|CA →
|＝2，
CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos 60°＝2，则MA →·MB →
＝－89
.
答案：(1)D (2)－8
9
向量模的问题
(1)已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． (2)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，|a |＝1，则|b |＝________． (链接教材P 97习题2－5 A 组T 4) [解析] (1)因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，
又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1，
所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2
＝10，
故4×12＋4×1×|b |×2
2
＋|b |2＝10，
整理得|b |2＋22|b |－6＝0，
解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)．
(2)因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．
因为(a －b )⊥c ，所以c ·(a －b )＝0， 所以－(a ＋b )·(a －b )＝0，
所以a 2－b 2
＝0， 所以|b |＝|a |＝1. [答案] (1)2 (2)1
本例(2)中，加上条件a ⊥b ，其他不变，求|c |.
解：由已知可得c ＝－(a ＋b )，而(a －b )⊥c ， 有(a －b )·[－(a ＋b )]＝0，
所以a 2
－b 2＝0，
又|a |＝1，得|b |＝1，而a ⊥b ， 所以c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2， 即|c |＝ 2.
方法归纳
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．
(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．
2．(1)平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A.3 B ．2 3 C ．4 D ．12
(2)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B ． 2
C ．1
D ．2
2
(3)已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求|a ＋b ＋c |.
解：(1)选B.|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2
＝4＋4×2×1×1
2＋4＝2 3.
(2)选B.由题意知?
????（a ＋b ）·
a ＝0，（2a ＋
b ）·b ＝0，
即???a 2
＋b ·
a ＝0，①2a ·
b ＋b 2
＝0，②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0， 所以b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.
(3)①当向量a ，b ，c 共线且同向时，所成的角均为0°， 所以|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6；
②当向量a ，b ，c 不共线时，易知a ，b ，c 皆为非零向量． 设a ，b ，c 所成的角均为θ， 则3θ＝360°，
即θ＝120°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1.
同理b ·c ＝－3，c ·a ＝－3
2
，
由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2
＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝3， 故|a ＋b ＋c |＝ 3.
综上所述，|a ＋b ＋c |＝6或 3.
向量的夹角与垂直
(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1
3
，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1
－e 2的夹角为β，则cos β＝________．
(2)已知向量a ，b 满足a －b 与a ＋b 垂直，2a ＋b 与b 垂直，则a 与b 的夹角为________．
(3)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝1
2
.
①求|b |；
②当a ·b ＝1
2
时，求向量a 与b 的夹角θ的值．
[解] (1)因为|a |＝（3e 1－2e 2）2
＝9＋4－12×1×1×1
3＝3，
|b |＝（3e 1－e 2）2＝
9＋1－6×1×1×1
3
＝22，
所以a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 2
2
＝9－9×1×1×13
＋2＝8， 所以cos β＝83×22
＝223.故填22
3.
(2)因为a －b 与a ＋b 垂直， 所以(a －b )·(a ＋b )＝0.所以a 2＝b 2.所以|a |＝|b |. 因为2a ＋b 与b 垂直，所以(2a ＋b )·b ＝0.
所以2a ·b ＋b 2＝0.所以a ·b ＝－12b 2＝－1
2
|b |2.
设a ，b 的夹角为θ，
则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－1
2
. 因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.故填2π
3.
(3)①因为(a －b )·(a ＋b )＝1
2
，
即a 2－b 2＝1
2
，
所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝1
2，
故|b |＝2
2
.
②因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝2
2
，
又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°. 方法归纳
求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤
(2)注意事项
在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
3．(1)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D ．π2
(2)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6
(3)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为________．
解析：(1)因为|a |＝2， a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3. 又因为|b |＝3，
设a 与b 的夹角为θ，
则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝1
2
.
又θ∈[0，π]，所以θ＝π
3
.
(2)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b
＝|a |2＋|a ||b |cos θ＝9＋63cos θ＝0，则cos θ＝－3
2
；又因为θ∈[0，π]，
所以θ＝5π6，即a 与b 的夹角为5π
6.
(3)向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|cos 120°＝－3.
由AP →⊥BC →得，AP →·BC →
＝0， 即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，
所以AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →
＝0， 即4－9λ－3(λ－1)＝0，
解得λ＝7
12
.
答案：(1)C (2)D (3)7
12
设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π
3
，若向量2t e 1＋7e 2与
e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．
[解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，
即2t e 21＋2t 2e 1·e 2＋7e 1·e 2＋7t e 2
2<0，
因为|e 1|＝2，|e 2|＝1，且e 1与e 2的夹角为π
3，
化简即得：2t 2＋15t ＋7<0，解得－7 2 . 当夹角为π时，2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 可求得?????2t ＝λ，7＝λt ，λ<0， 所以?????λ＝－14， t ＝－14 2. 所以所求实数t 的范围是 ? ???－7，－142∪????－142，－12. [答案] ? ???－7，－142∪???? －142，－12. [错因与防范] (1)解答本题常会出现错误的答案为(－7，－1 2 )．原因是不理解数量积的 符号与向量夹角的关系，不等式“(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价，其中还包含了共线且反向的情况． (2)注意问题转换的等价性 数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量a 和b 及其夹角θ，①a ·b ＝0?a ⊥b ；②a ·b >0?θ为锐角或零角；③a ·b <0?θ为钝角或平角．如本例应排除向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线且反向的特殊情形后才等价． 4．(1)已知a 是单位向量，|b |＝6，且(2a ＋b )·(b －a )＝4－3，则a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° (2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a ，b 的夹角为________． 解析：(1)设a ，b 的夹角为θ.由(2a ＋b )·(b －a )＝2a ·b －2a 2＋b 2－a ·b ＝a ·b －2＋6＝a ·b ＋4＝4－3， 所以a ·b ＝－3， 又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝6·cos θ＝－3， 所以cos θ＝－2 2 ，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°， 故a 与b 的夹角为135°. (2)设a ，b 的夹角为θ. 由|a |＝|b |＝|a ＋b |，得|a |2＝|a ＋b |2， 所以|a |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，得a ·b ＝－1 2 |b |2， 所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1 2 |b |2， 所以cos θ＝－1 2，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 答案：(1)D (2)2π 3 1．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，() AB →－DB →·AB →＝0，则该四边形是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．正方形 解析：选B.由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC → ，所以AB 綊CD ，所以四边形ABCD 是平行四 边形．因为()AB →－DB →·AB →＝() AB →＋BD →·AB →＝AD →·AB →＝0，所以AD ⊥AB ，所以四边形ABCD 是矩形，故选B. 2．等边三角形ABC 的边长为1，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－12 D ．－32 解析：选D.由已知|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝cos 120° ＋cos 120°＋cos 120°＝－3 2 . 3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a ，b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－6，得a 2＋a ·b －2b 2 ＝－6，又|a |＝1， |b |＝2，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝1 2 ，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. 答案：60° , [学生用书单独成册]) [A.基础达标] 1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 解析：选D.因为(a ·b )c 是与c 共线的向量，(c ·a )b 是与b 共线的向量，所以(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，排除①.因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D. 2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π2 解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝1 2. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π 3 . 3．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B ．10 C.13 D ．4 解析：选C.因为|a |＝|b |＝1，又a 与b 的夹角为60°， 所以|a ＋3b |2＝|a |2＋6a ·b ＋9|b |2＝1＋6×cos 60°＋9＝13. 即|a ＋3b |＝13. 4．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB → ，则λ等于( ) A.a ·（b －a ）|a －b |2 B ．a ·（a －b ）|a －b |2 C.a ·（b －a ）|a －b | D ．a ·（a －b ）|a －b | 解析：选B.由题意知OD →·AB → ＝0， 即AB →·(OA →＋AD → )＝0， 所以AB →·(OA →＋λAB → )＝0， 所以λ＝－AB →·OA →AB →2＝－（OB →－OA →）·OA →（OB →－OA →） 2 ＝a ·（a －b ）|a －b |2 ，故选B. 5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1 B ．1 C.2＋1 D ． 2 解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ， 所以a ·b ＝0， 所以|a －b |＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2， 所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1. 6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则|2e 1－e 2|＝________． 解析：|2e 1－e 2|＝（2e 1－e 2）2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 2 2＝5－4×1×1×cos 120°＝7. 答案：7 7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC → 上的投影等于________． 解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB → 在 向量AC →上的投影为|AB → |cos 120°＝－12 . 答案：－1 2 8．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π 3 ，则实数λ＝ ________． 解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ， c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π 3 ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8 或λ＝5. 答案：－8或5 9.设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？ (2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值． 解：(1)因为|k a ＋b |＝3|a －k b |， 所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1， 即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， 所以a ·b ＝k 2＋1 4k .因为k 2＋1≠0， 所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直． (2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1 2 . 所以k 2 ＋14k ＝12. 所以k ＝1. 10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值； (2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， 所以9－6a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝5 6 . 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×5 6 ＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15. (2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ. 因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝20 3 . 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝43 9. 因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2 θ＝1－??? ?4392 ＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339 . [B.能力提升] 1.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD → |＝b ，则AC →·BD → ＝( ) A ．a 2－b 2 B ．b 2－a 2 C ．a 2＋b 2 D ．a ·b 解析：选B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB → ⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|. 所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB → |＝b 2－a 2. 2．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2 |PC |2 ＝ ( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．10 解析：选D.|P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB → 2 PC →2 ＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC →2 ＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC →2 ＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →| 2 ＝|AB →|2|PC →|2 －6＝42－6＝10. 3．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x | |b | 的 最大值等于________． 解析：根据题意，得 ????|x ||b |2＝ x 2（x e 1＋y e 2）2＝x 2 （x e 1）2 ＋（y e 2）2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2 x 2＋y 2 ＋2xy cos π6 ＝x 2 x 2＋y 2＋3xy ＝11＋????y x 2 ＋3y x ＝1 ????y x ＋322＋14 . 因为????y x ＋322＋14≥14 ，所以0 答案：2 4．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝1，则AB 的长为________． 解析： 设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12 AB →，于是AC →·BE → ＝ (AB →＋AD →)·????AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2 ＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14 a ＋1＝1.又a >0， 所以a ＝12，即AB 的长为1 2. 答案：12 5.如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，如果AM ＝2，求OA →·(OB →＋OC → )的最值． 解：因为OB →＋OC →＝2OM → ， 所以OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝2|OA →||OM →|·cos 180°＝－2|OA →||OM →|， |OA →|＋|OM →|＝2，设|OM →|＝t (0≤t ≤2)?|OA → |＝2－t . 所以OA →·(OB →＋OC → )＝－2(2－t )t ＝2t 2－4t ＝2(t －1)2－2(0≤t ≤2)． 所以当t ＝1时，OA →·(OB →＋OC → )取得最小值－2. 当t ＝0或2时，OA →·(OB →＋OC → )取得最大值0. 6．(选做题)已知非零向量a 、b ，设其夹角为θ，是否存在θ，使得|a ＋b |＝3|a －b |成立，若存在，求出θ的取值范围，若不存在，请说明理由． 解：假设存在满足条件的θ， 由|a ＋b |＝3|a －b |可得： (a ＋b )2＝3(a －b )2， 即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2) ?|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0?|a |2－4|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0. 已知向量a 、b 为非零向量，则|b |≠0，上式同除以|b |2得到：????|a ||b |2－4cos θ|a ||b | ＋1＝0， 由Δ≥0得到：(－4cos θ)2 －4≥0， 解得cos θ≤－12或cos θ≥1 2 ， 又知cos θ∈[－1，1]， 则－1≤cos θ≤－12或1 2 ≤cos θ≤1， 因为θ∈[0，π]． 所以θ∈???0，π3∪??? ?2π 3，π满足题意． 因此，当θ∈????0，π3∪????2π 3，π时，使得|a ＋b |＝3|a －b |. 平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0, 高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标： 2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F 高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________. 答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ） 高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（） A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4， 高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 (2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F 空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． 空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》 空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的 《空间向量与立体几何》习题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 51 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于 A.41 B.4 1 - C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1 5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A. 213 B.253 C.453 D.4 53 6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A .9π B .10π C .11π D .12π 8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1 D 1 D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A . 6 B .552 C .15 D .10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.52 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥， 1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD 的距离为 . 三、解答题（共80分） 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( ) 专题09 解密空间向量的运算技巧 一、选择题 1．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知，，，若 且，则点的坐标为（） A. B. 或C. D. 或 【答案】B 2．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知空间上的两点，， 以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴ 设正方体的棱长为，由题意可得，解得 ∴正方体的体积为，故选D 3．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（） A . B . C . D . 【答案】C 【解析】∵向量，， ∴，又 ∴ ∴点的坐标为 故选：C 4．【贵州省兴义市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知四棱锥P ABCD -中， ()4,2,3AB =-， ()4,1,0AD =-， ()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为（ ） A . 26 B 26 C . 1 D . 2 【答案】D 5．【北京市第四中学（房山分校）2016-2017学年高二上学期期中】若(),1,3a x =-， ()2,,6b y =，且a b ，则（ ）． A . 1x =， 2y =- B . 1x =， 2y = C . 1 2 x = ， 2y =- D . 1x =-， 2y =- 【答案】A 【解析】∵(),1,3a x =-， ()2,,6b y =， a b ， ∴存在实数λ，使得a b λ=， 可得2{1 36x y λ λλ =-==， 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ． 高中数学：空间向量知识点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若，，则， ，， ， ， 。 ②若，，则。 3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？ 空间向量练习 一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分) 1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2) 2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1， 则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是() A． 120° B． 45° C． 150° D． 60° 3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当 ·取得最小值时，点Q的坐标为() A． B． C． D． 4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是() A．① B．② C．③ D．④ 5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点 E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是() A． 45° B． 60° C． 90° D． 120° 6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点， 设＝a，＝b，＝c，则等于() A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c 7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空 间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为() A． B． C．－ D．－ 8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点， 若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小() A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝ SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为() A．－ B． C．－ D． 10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平 空间向量方法解立体几何 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、 PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都 用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA//平面EDB； （2）证明：PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。 点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． （2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． （3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理； ②证明这两个平面的法向量是共线向量． （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直． （5）证明线面垂直的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； 空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----, 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数 量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．平面向量及空间向量高考数学专题训练
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