工科数学分析-数集和确界原理.

《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院

§1.2 数集和确界原理

授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理

教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.

教学要求：(1) 掌握邻域的概念；

(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.

教学难点：确界的定义及其应用.

教学方法：讲授为主.

教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.

一、区间与邻域

(一) 区间（用来表示变量的变化范围）

设a,b∈R且a

?有限区间区间?，其中

?无限区间

?

?.?开区间: {x∈R|a

?有限区间?闭区间: {x∈R|a≤x≤b}=[a,b].

??闭开区间:{x∈R|a≤x

间:{x∈R|a

?{x∈R|x≥a}=[a,+∞).

?

?{x∈R|x≤a}=(-∞,a].

?无限区间?{x∈R|x>a}=(a,+∞).

?{x∈R|x

?{x∈R|-∞

(二) 邻域

联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？

1、a的δ邻域：设a∈R,δ>0，满足不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简记为U(a)，即

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U(a;δ)={x|x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).

2、点a的空心δ邻域

U(a;δ)={x0<|x-a|<δ}=(a-δ,a)?(a,a+δ) U(a). oo

3、a的δ右邻域和点a的空心δ右邻域

U+(a;δ)=[a,a+δ) U+(a)={xa≤x

U+(a;δ)=(a,a+δ) U+(a)={xa

4、点a的δ左邻域和点a的空心δ左邻域

U-(a;δ)=(a-δ,a] U-(a)={xa-δ

U(a;δ)=(a-δ,a) U+(a)={xa-δ

5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域

U(∞)={x|x|>M}, （其中M为充分大的正数）；

U(+∞)={xx>M}, U(-∞)={xx<-M}

二、有界集与无界集

什么是“界”？

定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切x∈S都有x≤M(x≥L)，则称S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.

闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，

集合 E={y y=sinx, x∈ ( -∞ , +∞ )}也是有界数集.

若数集S不是有界集，则称S为无界集.

( -∞ , +∞ ) , ( -∞ , 0 ) , ( 0 , +∞ )等都是无界数集,

集合 E=?y y=

??1?, x∈( 0 , 1 )?也是无界数集. x?

注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界与S的关系如何？看下例：

例1 讨论数集N+={n|n为正整数}的有界性.

分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取L=1；上界似乎无，但需要证明. 7

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解：任取n0∈N+，显然有n0≥1，所以N+有下界1；但N+无上界.证明如下：假设N+有上界M,则M>0，按定义，对任意n0∈N+，都有n0≤M，这是不可能的，如取n0=[M]+1,则n0∈N+，且n0>M.

综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.

例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).

三、确界与确界原理

1、定义

定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切x∈S,有x≤η（即η是S的上界）; (2) 对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α（即η是S的上界中最小的一个），

则称数η为数集S的上确界，记作η=supS.

定义2'（上确界的等价定义）设E是R中的一个数集，若数M满足：

1） M是E上界，

2）?ε>0,?x'∈E使得x'>

则称数M为数集E的上确界。

定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切x∈S,有x≥ξ（即ξ是S的下界）；（2）对任何β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β（即ξ是S 的下界中最大的一个），

则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ=infS.

定义3'（下确界的等价定义）设S是R中的一个数集，若数ξ满足：

1）ξ是S下界；

2）?ε＞0，x0∈S,有x0＜ξ+ε.

则称数ξ为数集S的下确界。

上确界与下确界统称为确界.

注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

命题设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.

8 M-ε.

《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院证明设η=supA，η'=supA且η≠η'，则不妨设η<η'

η=supA??x∈A有x≤η

η'=supA?对η<η'，?x0∈A使η

例 supR-=0 ，sup ??n?1 ，=1inf??=+ +n∈Zn+1n+1n∈Z????2?n

E={-5,0,3,9,11}则有infE=-5.

开区间(a,b)与闭区间[a,b]有相同的上确界b与下确界a.

例3 设S和A是非空数集，且有S?A. 则有supS≥supA, infS≤infA..

例4 设A和B是非空数集. 若对?x∈A和?y∈B,都有x≤y, 则有

supA≤infB.

证明?y∈B, y是A的上界, ? supA≤y. ? supA是B的下界,

? supA≤infB.

例5 A和B为非空数集, S=A B. 试证明: infS=min{ infA , infB }.

证明?x∈S,有x∈A或x∈B, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

x≥infA或x≥infB. ? x≥min{ infA , infB }.

即min{ infA , infB }是数集S的下界,

? infS≥min{ infA , infB }. 又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ?infS是A的下界, ? infS≤infA; 同理有infS≤infB.

于是有i nfS≤min{ infA , infB }.

综上, 有 infS=min{ infA , infB }.

1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释.

2、确界与最值的关系: 设 E为数集.

（1）E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.

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（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.

（3）若maxE存在, 必有 maxE=supE. 对下确界有类似的结论.

3、确界原理:

定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.

这里我们给一个可以接受的说明.E?R，E非空，?x∈E，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而p+1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2, ,p.9和p+1，我们可以找到一个q0，0≤q0≤9，使得p.q0不是E上界，p.(q0+1)是E上界，如果再找第二位小数q1， ,如此下去，最后得到p.q0q1q2 ，它是一个实数，即为E的上确界.

证明（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得

1）?x∈S，有x>n；

2）存在x1∈S，有x≤n+1；

把区间(n,n+1]１０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在n1，使得

1）?∈S，有；x>n.n1；

2）存在x2∈S，使得x2≤n.n1+

再对开区间(n.n1,n.n1+10110． ]１０等分，同理存在n2，使得

1）对任何x∈S，有x>n.n1n2；

x≤n.n1n2+2）存在x2，使21102

继续重复此步骤，知对任何k=1,2, ，存在nk使得

1）对任何x∈S，x>n.n1n2 nk-110k；

2）存在xk∈S，xk≤n.n1n2 nk．

因此得到η=n.n1n2 nk ．以下证明η=infS．

1) 对任意x∈S，x>η；

2) 对任何α>η，存在x'∈S使α>x'．

作业： P9 1（2），（3）； 2； 4（1）、（3）；6 10

数学分析教学现状调查与分析

作为学院院级精品课程，我们以素质教育观为指导思想，对数学分析教学现状进行了调查与研究.调查地目标是教学内容、教学方法和手段.调查地方式有：.在全省范围内向师范院校毕业地中学数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅰ），（回收份）；.向学院在职与退休地数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅱ），（回收份）；.对在职和退休地数学分析教师是行访谈；.召开在校学生座谈会；.查阅部分学校地数学分析教学档案.现梳理出调查结果并作出分析.数学分析在数学教育专业中所处地地位 教学管理机构，院、系对数学分析课地重视程度. 数学分析地形成发展有着悠久地历史，它地内容丰富、诚厚，很多数学分支是由它派生地.也有很多数学分支要以它为思想、知识、方法地基础，同时它还直接或间接地应用于自然、人文、社会科学地诸多方面.无论是哪方面地现代人才，都必须掌握足够地数学分析知识.对此，我省有关教学管理机构，各学院地院、系两级认识深刻、清楚，在学院数学教育专业地课程体系中始终把数学分析课放在“基础、主干”地地位.个人收集整理勿做商业用途 第一，保证了课时.各校给数学分析地排课都是三，四学期课时以上.年全省各校为拓宽专业口径，压缩了专业课，甚至提出淡化专业课地口号，但各校均未减少数学分析地课时.个人收集整理勿做商业用途 第二，在恢复高考招生制度后，全省高师系统首次组织地统考，就是对数学分析地统考.年省教委又组织了部分院校为数学分析摸底考试而命题.个人收集整理勿做商业用途 第三，各校都重视数学分析课地课程建设.象咸阳师院、渭南师院、安康学院都把数学分析定为校级重点建设课程.个人收集整理勿做商业用途 学生心目中地数学分析 卷Ⅰ题地统计结果是：有地人在校学习期间对数学分析课最感兴趣；地人对数学分析学习投入地精力最大；地人认为毕业后仍留下深刻影响地课是数学分析课.但只有地人将该课列为对中学数学教学作用最大地课.个人收集整理勿做商业用途 教学内容现状及分析 教学文件 2.1.1教学大纲 年原教育部委托部分院校编过一部数学分析教学大纲，其内容扎实、结构严谨.它是此后近二十年各师专数学教育专业选择教材、编写讲义、命题考试地主要依据，其作用不可低估.但用现在地眼光看，不对其“革新”就不能适应发展地教育形势，在幅员辽阅地国土上，各地经济、文化发展不平衡，生源素质不一，办学特色不同，用一个大纲覆盖万平方米是不现实地.再之，年地大纲没用具体地教学要求.仅列教学目录，不便操作.这部大纲看不出师范特点，也没能考虑专科生地接受能力，盲目向本科看齐，这个大纲是不能进入世纪地.此后，原国家教委及现教育部都从未颁过统一地数学分析教学大纲，师专数学分析教学内容地遴选无“法”学可依由来已久.年调整教学计划后，各校都自行编写了数学分析教学大纲，以教学内容地遴选、组织起到了一定地规范作用.个人收集整理勿做商业用途 2.1.2原国家教委年地“教学方案” 年原国家教委颁发了《高等师范专科研教育二、三年制教学方案》.随后陕西省教委通知各师专自级执行这一方案.这是一次力度较大地改革.其中学科必修课改革力度最大，表现在课程门类地精减和课时地压缩上，这个方案没有配置相应地大纲，只有一个学科必修课地“课程设置说明”，各科地说明都很原则.对数学分析地“说明”列举有内容要点及课程设置目地.它指出：“设置课程地目地是使学生系统地掌握数学分析地基本理论、基础知识、能熟练地进行基本运算，具有较强地分析论证能力，能深入分析和处理中学数学教材，具备一定地解决实际问题地能力，办学习后继课程打下基础”.这是适应时代要求地.“方案”不配大纲，我们要作积极地理解，这本身就是改革，是在统一目地、统一要求地前提下，充分发挥各院校在

2.实数基本定理的等价性证明

§ 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 . 一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有. 推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理 3 数列收敛是Cauchy列.

引理Cauchy列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”： 定理5 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确 界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是 的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证.用反证法验证的上界性和最小性. 二. “Ⅱ”的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证（突出子列抽取技巧） 定理7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”： 定理8 数列收敛是Cauchy列.

Rudin数学分析原理第一章答案

The Real and Complex Number Systems Written by Men-Gen Tsai email:b89902089@https://www.wendangku.net/doc/bd3196929.html,.tw 1. 2. 3. 4. 5. 6.Fix b>1. (a)If m,n,p,q are integers,n>0,q>0,and r=m/n=p/q,prove that (b m)1/n=(b p)1/q. Hence it makes sense to de?ne b r=(b m)1/n. (b)Prove that b r+s=b r b s if r and s are rational. (c)If x is real,de?ne B(x)to be the set of all numbers b t,where t is rational and t≤x.Prove that b r=sup B(r) where r is rational.Hence it makes sense to de?ne b x=sup B(x) for every real x. (d)Prove that b x+y=b x b y for all real x and y. 1

Proof:For(a):mq=np since m/n=p/q.Thus b mq=b np. By Theorem1.21we know that(b mq)1/(mn)=(b np)1/(mn),that is, (b m)1/n=(b p)1/q,that is,b r is well-de?ned. For(b):Let r=m/n and s=p/q where m,n,p,q are integers,and n>0,q>0.Hence(b r+s)nq=(b m/n+p/q)nq=(b(mq+np)/(nq))nq= b mq+np=b mq b np=(b m/n)nq(b p/q)nq=(b m/n b p/q)nq.By Theorem1.21 we know that((b r+s)nq)1/(nq)=((b m/n b p/q)nq)1/(nq),that is b r+s= b m/n b p/q=b r b s. For(c):Note that b r∈B(r).For all b t∈B(r)where t is rational and t≤r.Hence,b r=b t b r?t≥b t1r?t since b>1and r?t≥0.Hence b r is an upper bound of B(r).Hence b r=sup B(r). For(d):b x b y=sup B(x)sup B(y)≥b t x b t y=b t x+t y for all rational t x≤x and t y≤y.Note that t x+t y≤x+y and t x+t y is rational. Therefore,sup B(x)sup B(y)is a upper bound of B(x+y),that is, b x b y≥sup B(x+y)=b(x+y). Conversely,we claim that b x b r=b x+r if x∈R1and r∈Q.The following is my proof. b x+r=sup B(x+r)=sup{b s:s≤x+r,s∈Q} =sup{b s?r b r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup{b s?r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup B(x) =b r b x. And we also claim that b x+y≥b x if y≥0.The following is my proof: 2

数学分析

数学分析 1．引言 数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。微积分学是微分学和积分学的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问[1]。 数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。 2．发展历史 阿基米德：在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了几何级数的和。再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷揭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。在古印度数学的早期，12世纪的数学家婆什加洛第二给出了导数的例子。 数学分析的创立始于17世纪以牛顿(Newton，I.)和莱布尼兹(Leibnize，G.W)为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)为代表的奠基性工作。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之。数学分析亦简称分析。 3．研究对象 牛顿：数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容。微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法。围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容。积分学则从总体上研究微小变化(尤其是非均匀变化)积累的总效果，其基本概念是原函数(反导数)和定积分，求积分的过程就是积分法。积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容。牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式—牛顿莱布尼兹公式—反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科—微积分学。又由于他们及一些后继学者(特别是欧拉(Euler))的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

数学分析中的英文单词和短语

数学分析中的英文单词和短语 第一章实数集与函数

第二章 数列极限 Chapter 2 Limits of Sequences 第三章 函数极限 Chapter 3 Limits of Functions 第四章 函数的连续性 Chapter 4 Continuity of Functions

第六章 微分中值定理 及其应用 Chapter 6 Mean Value Theorems of Differentials and their Applications

第七章 实数的完备性 Chapter 7 Completeness of Real Numbers 第八章 不定积分 Chapter 8 Indefinite Integrals 第九章 定积分 Chapter 9 Definite Integrals

第十章定积分的应用Chapter 10 Applications of Definite Integrals 第十一章反常积分Chapter 11 Improper Integrals 第十二章数项级数Chapter 12 Series of Number Terms 第十三章函数列与函数项级数 Chapter 13 Sequences of Functions and

Series of Functions 第十四章 幂级数 Chapter 14 Power Series 第十五章 傅里叶级数 Chapter 15 Fourier Series 第十六章 多元函数的极限与连续 Chapter 16 Limits and Continuity of Functions of Several Variavles

第一章复习题解答(数学分析)

第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 3、)(lim 2 n n n n -+∞ → = _______ 1 2 ________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim （有限）. 则有a = {}sup n a . 5. 设,2 12,21221 2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题 １、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。 Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ） A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1 { 2n a ； B 、}1{a n ； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个； (C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ D ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞ →lim ； (C) a x n n -=∞ →lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞ →n n x lim ； (B) +∞=∞ →n n x lim ；

1.2数集和确界原理

§1.2 数集和确界原理 授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、 区间与邻域 (一) 区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <. ???有限区间区间无限区间 ，其中 {}{}{}{}|(,).|[,]. |[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ??∈<<=??∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=???开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间: {}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|. x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?无限区间 (二) 邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ 1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即

数值积分_数值积分原理__matlab实现

课程设计报告课程设计题目：求解 的近似值 课程名称：数值分析课程设计 指导教师： X X X 小组成员： X X X X X X X X X 2013年12月31日

目录 目录 (1) 题目 (2) 一、摘要 (2) 二、设计目的 (2) 三、理论基础 (3) 1、复合矩形法求定积分的原理 (3) 2、复合梯形法求定积分的原理 (3) 3、复合辛普森法求定积分的原理 (4) 4、龙贝格求积公式原理 (5) 四、程序代码及运算结果 (5) 1、复合矩形法求定积分：用sum函数 (5) 2、复合梯形法求定积分 (6) 方法一 (6) 方法二：用trapz函数 (7) 3、复合辛普森法求定积分 (7) 方法一 (7) 方法二：用quad函数 (7) 4、龙贝格求定积分 (8) 5、Lobatto数值积分法 (9) 6、波尔文(Borwein)高阶公式 (9) 五、结果分析 (10) 六、设计心得 (10) 七、参考文献 (11)

题 目： （1）已知：411 02π=+? x dx ，所以 ?+=10214 dx x π 。于是，我们可以通过计算上述定积分的近似值来得到π的近似值。 （2）波尔文(Borwein )高阶公式 在π值的高阶算法研究中，最好的结果来自两个都叫波尔文的数学家。他们在1984年发表了一个2阶收敛公式： 20=a ，00=b ，220+=p ， ??? ?? ? ???++=++=+=++++++1 111 11 1)1()1(2) 1(k k k k k k k k k k k k k b a b p p b a b a b a a a 式中π→k p 。试运用上述迭代算法，计算圆周率的近似值，并和前面传统方法进行比较。 一、摘要 借助matlab 环境下的计算机编程语言，先用基本的积分函数对给出的题目进行求积分，然后基于给出的波尔文高阶收敛公式，在进行了连续迭代后，对运行结果做出分析，同时与之前的传统做法进行比较。 二、设计目的 用熟悉的计算机语言编程，上机完成用复合矩形法、复合梯形法、复合辛普森法、龙贝格法以及Lobatto 数值积分方法，掌握各种方法的理论依据及求解思路，了解数值积分各种方法的异同与优缺点。

数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性外文翻译

外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量 值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础 上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明. 函数的极限 4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ?，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或 q x f p x =→)(lim （１） 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得 ε<)),((q x f d Y （２） 对于满足 δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立． 记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离． 如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）． 应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么

数集和确界原理

§2 数集和确界原理 教学目的与要求： 使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理。 教学重点，难点： 集合有界，有上下确界的定义， 确界原理的证明及应用。 教学内容： 本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R 中的两类重要数集—区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。 一 区间与邻域 1、区间的定义 设a 、b ∈R 且a ＜b. 开区间（a, b ）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间([]b a b a ,),和、有限区间的定义。 几何意义。 区间[)∞+,a 、(]a ,∞-、), (∞+a 、()a ,∞-、R =∞+-∞),(、无限区间的定义。 有限区间和无限区间统称为区间。 满足绝对值不等式δ<-a x 的全体实数x 的集合称为 2、邻域的定义 设0,>∈δR a 。 点a 的δ邻域 );(δa U 或)(a U 的定义 点a 的空心δ邻域()δ;a U 或)(a U 的定义 ()δδ;);(a U a U 与 的差别 点a 的δ右邻域()δ;a U +或)(a U + 点a 的δ左邻域()δ;a U -或)(a U - 点a 的空心δ左、右邻域()a U - 、()a U - 等的定义 ∞邻域()∞U 、+∞邻域()∞+U 、∞-邻域()∞-U 。 二 有界集·确界原理 1、有阶集的定义 定义1 设S 为R 中的一个数集。若存在数M （L ），使得对一切,S x ∈都有(),L x M x ≥≤则称S 为有上界（下界）的数集，数M （L ）称为S 的一个上界（下界）。 若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。若S 不是有界集，则称S 为无界集。 注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。 例1 证明数集{} 为正整数n n N =+有下界而无上界。

Aldmin《数学分析》3第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。 授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加 以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ １．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-. ３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤. ４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<. [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。 本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <。

大数据分析理论和技术(2)

大数据分析理论和技术（2） 胡经国 本文根据有关文献和资料编写而成，供读者参考。本文在篇章结构、内容和文字上对原文献作了一些修改和补充，并且添加了一些小标题，特此说明。 三、数据分析的灵魂 1、大数据与数据的区别 大数据与数据的区别在于其海量积累、高增长率和多样性。 什么是数据？数据（Data）在拉丁文里是“已知”的意思，在英文中的一个解释是“一组事实的集合，从中可以分析出结论”。笼统地说，凡是用某种载体记录下来的、能反映自然界和人类社会某种事物的信息，都可以称之为数据。古人“结绳记事”，“打了结的绳子”就是数据。步入现代社会，信息的种类和数量越来越丰富，载体也越来越多。数字是数据，文字是数据，图像、音频、视频等都是数据。 什么是大数据呢？数据量的海量积累和高增长率，是人们对大数据的第一个认识。随着科技的发展，各个领域的数据量都在迅猛增长和不断积累。据研究发现，近年来，数字数据的数量每3年多就会翻一番。 大数据区别于数据还在于数据的多样性。据研究，数据爆炸是三维的、立体的。所谓“三维”，除了指数据量快速增大以外，还指数据增长速度的加快，以及数据的多样性，即数据的来源、种类不断增加。 2、通过数据分析发现新知识创造新价值 从数据到大数据不仅仅是数量的积累，更主要的是质的飞跃。海量的、不同来源、不同形式、包含不同信息的数据，可以容易地被整合、分析；原本孤立的数据变得互相联通。这使得人们通过数据分析，能够发现小数据时代很难发现的新知识，从而创造新的价值。 通过数据来研究规律、发现规律，贯穿了人类社会发展的始终。人类科学发展史上的不少进步，都和数据采集分析直接相关。例如，现代医学流行病学的开端。1854年，伦敦发生了大规模的霍乱，很长时间没有办法控制。一位医师用标点地图的方法，研究了当地水井分布和霍乱患者分布之间的关系。发现有一口水井周围，霍乱患病率明显较高。据此，找到了霍乱暴发的原因：一口被污染的水井。在关闭这口水井之后，霍乱的发病率明显下降。这种方法，充分展示了数据的力量。 本质上说，许多科学活动都是数据挖掘。不是从预先设定好的理论或者原理出发，通过演绎来研究问题；而是从数据本身出发，通过归纳来总结规律。进入近现代以来，随着人类面临的问题变得越来越复杂，通过演绎的方式来研究问题常常变得很困难。这就使得数据归纳的方法变得越来越重要，数据的重

数学分析课本-习题及答案01

第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件： （1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，

确界原理的证明

§2 数集. 确界原理 (一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理 难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的： 1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求： 1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合， 能指出其确界； 2）能用定义证明集合A 的上确界为ξ．即： A x ∈?有ξ≤x ，且 ,,00A x ∈?>?ε使得 εξ->0x ． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置 证明具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习 题． 一 区间与邻域: 区间 邻 域 设a 与δ是两个实数，且0>δ，称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域，记作)(a U δ 称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0 a U δ . δ δ

a 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a U a 的右δ空心邻域 }|{)(0 δδ+<<=+a x a x a U a 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδ a 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ ∞邻域 }||| {)(M x x U >=∞ ∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞ ∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞ 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集，若存在一个数M （ L ）, 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤，则称S 为有上界(下界)的数集。 若集合S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。 例如，区间 ],[b a 、(,) (,a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {} ) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集. 无界数集: 若对任意0M >，存在 ,||x S x M ∈>，则称S 为无界集。 例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-，有理数集等都是无界数集, 例1 证明集合 ??? ??? ∈= =) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 是无界数集. 证明：对任意0M >, 存在 1 1 (0,1),,11 x y E y M M M x =∈= ∈=+>+ 由无界集定义，E 为无界集。 y x M M+1

华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１） 存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２） 存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有

S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．

武汉大学2005数学分析试题解答.doc

2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答（武 汉 大 学） 一、设{}n x 满足: 11||||||n n n n n x x q x x +--=-,||1n q r ≤< ，证明{}n x 收敛。 证明：（分析：压缩映像原理） 1111 11 11 11 2121211,|12 ||||||||, ||||(1...)|| ||1||111ln || l n n n n n n n n n p p n p n i i n n i n n p n r m q m x x q x x m x x Cauchy x x x x m m x x m x x m m x x m m m x x N εε+--+--+-+=+--+= <<-=-<-?-≤ -<+++---=-<----=∑令：则显然|(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用收敛准则，对取n ||n p n n N m x x ε+>-≤+1,对任意的。从而知命题收敛 二、对任意δ > 0。证明级数01 n n x +∞ =∑ 在(1,1+δ)上不一致收敛。 证明：（利用反证法，Cauchy 收敛准则和定义证明。） 10,(1,1),,,1 1()11111(1,{1(1,1),M N M n n n n N x N n M N x x x x x x min εδεδδ-+=?>?∈+?>->=>-∈+?+∑如果级数收敛， 那么对于当时 只需令代入上式，矛盾 从而知非一致收敛 三、设1 ()||sin ,"()f x x y f x =-?求 解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）

数集 确界原理(经典课件).

§２数集?确界原理 教学内容：1．实数集的有关概念； 2．确界的概念和确界原理。 教学目的：1．使学生知道区间与邻域的表示方法； 2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 引言： 为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视。 一、区间与邻域： １．区间（用来表示变量的变化范围）： 设,a b R ∈且a b <。 {}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ????∈<<=????∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=?????∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间????????????? 注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。 ２．邻域： 联想字面意思：“邻近的区域”。 设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数。 (1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+ (2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<-