高考数学(浙江版,理科)大一轮复习：第七章++不等式(23份)第七章 7.5
§7.5 空间向量及其运算
1． 空间向量的有关概念
2． (1)共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是
OP →＝OA →
＋t a
①
其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →
＝ OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.
(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不
共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →
＝xOM →＋yOA →＋zOB →
，其中x ＋y ＋z ＝__1__. (3)空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2
，则称a 与b 互相垂直，记作
a ⊥
b .
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉．
(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，
则d AB ＝|AB →
|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．
( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． ( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .
( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．
( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0. ( √ ) (6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件．
( × )
2． 如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1
的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →
相等的向
量是 ( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C ．－12a －1
2b ＋c
D.12a －1
2b ＋c 答案 A
解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →
)
＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .
3． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →
，则x ，
y 的值分别为
( )
A ．x ＝1，y ＝1
B ．x ＝1，y ＝1
2
C ．x ＝12，y ＝1
2
D ．x ＝1
2
，y ＝1
答案 C
解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →
)．
4． 同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________．
答案 ????13
，－23，23或????－13，23，－2
3 解析 设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则 ????
?
p 2
＋q 2
＋r 2
＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，
解得????? p ＝13
，q ＝－23，
r ＝23
，或?????
p ＝－13
，
q ＝23，r ＝－23
，
即同时垂直于a ，b 的单位向量为
????13
，－23，23或????－13，23，－23.
5． 在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，D 为BC 的中点，E 为
AD 的中点，则OE →
＝________(用a ，b ，c 表示)． 答案 12a ＋14b ＋14
c
解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →
＝12a ＋14b ＋1
4
c .
题型一 空间向量的线性运算
例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC
的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →
.
思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可． 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →
＝12OA →＋23(ON →－OA →
) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13
OC →.
OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →
＝13OA →＋13OB →＋13
OC →
. 思维升华 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中 点．
(1)化简A 1O →－12AB →－12
AD →
＝________；
(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→
＝________. 答案 (1)A 1A →
(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→
解析 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12AC →
＝A 1O →－AO →＝A 1A →
.
(2)OC 1→＝OC →＋CC 1→ ＝12AB →＋12
AD →＋AA 1→. 题型二 共线定理、共面定理的应用
例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、
DA 的中点，
(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；
(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．
思维启迪 对于(1)只要证出向量EG →＝EF →＋EH →即可；对于(2)只要证出BD →与EH →
共线即可； 对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量 OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →
表示． 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12
(BC →＋BD →)
＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →
＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .
又EH ?平面EFGH ，BD ?平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .
(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，
所以EH →＝FG →
，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →
)＝12OE →＋12OG →
＝12????12
(OA →＋OB →)＋12????12(OC →＋OD →)
＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 思维升华 (1)证明点共线的方法
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →
共线，亦即证明AB →＝λAC →
(λ≠0)． (2)证明点共面的方法
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →
＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →
＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点， F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________． 答案 平行
解析 取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底，易得EF →
＝－13(a －b ＋c )，
而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→
，故EF ∥DB 1， 且EF ?平面A 1B 1CD ，DB 1?平面A 1B 1CD ， 所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三 空间向量数量积的应用
例3 如图所示，已知空间四边形AB -CD 的各边和对角线的长都等于a ，
点M 、N 分别是AB 、CD 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；
(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．
思维启迪 两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a |2＝a ·a 可以求 线段长；利用cos θ＝a ·b |a ||b |可求两条直线所成的角．
(1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →
＝r .
由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →
)－12AB →＝12(q ＋r －p )，
∴MN →·AB →＝1
2(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)
＝1
2(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.
即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .
(2)解 由(1)可知MN →＝1
2(q ＋r －p )，
∴|MN →
|2＝14
(q ＋r －p )2
＝1
4[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2
＋2(a 22－a 22－a 22
)] ＝14×2a 2＝a 22
. ∴|MN →
|＝22a .
∴MN 的长为
22
a . (3)解 设向量AN →与MC →
的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝1
2(q ＋r )，
MC →＝AC →－AM →
＝q －12p ，
∴AN →·MC →＝1
2(q ＋r )·(q －12p )
＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －1
2
r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →
|＝32
a ，
∴AN →·MC →＝|AN →||MC →
|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.
∴cos θ＝2
3
.
∴向量AN →与MC →
的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.
思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；
(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，π2]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝|a ·b |
|a ||b |
；
(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．
已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →
. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；
(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，
即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010
. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)． k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)， 且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，
∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－5
2
，
∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－5
2.
方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2 ＝2k 2＋k －10＝0， 得k ＝2或k ＝－52
.
“两向量同向”意义不清致误
典例：(4分)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________． 易错分析 将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a ·b 方向相同或相反． 规范解答
解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2
＋y －22＝y
3
，
即?
???
?
y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2，或x ＝1
当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.
当?
????
x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ， 两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．
当????? x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以?
????
x ＝1y ＝3. 答案 1,3
温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两
向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件； (2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例．
方法与技巧
1． 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
2． 利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一
些距离、夹角问题．
3． 利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，
然后通过向量的运算或证明去解决问题． 失误与防范
1． 向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，
(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．
2． 求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进
行转化．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1． 空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系
是
( )
A ．垂直
B ．平行
C ．异面
D ．相交但不垂直
答案 B
解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →
＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，
∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →
没有公共点． ∴AB ∥CD .
2． 已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →
为空间的一个基底，则
( )
A ．O ，A ，
B ，
C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线
D ．O ，A ，B ，C 四点不共面 答案 D
解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →
不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →
共面．
3． 已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是
( ) A ．2，1
2
B ．－13，12
C ．－3,2
D ．2,2
答案 A
解析 由题意知：????? λ＋16＝22λ，
2μ－1＝0，解得????? λ＝2，μ＝12或?????
λ＝－3，μ＝12.
4． 空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系是
( )
A ．共线
B ．共面
C ．不共面
D ．无法确定
答案 C
解析 ∵AB →＝(2,0，－4)，AC →
＝(－2，－3，－5)， AD →
＝(0，－3，－4)．
假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x ，y ， 使AD →＝xAB →＋yAC →
，即?????
2x －2y ＝0， ①－3y ＝－3， ②
－4x －5y ＝－4， ③
由①②得x ＝y ＝1，代入③式不成立，矛盾． ∴假设不成立，故四点不共面．
5． 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π
3
，
则cos 〈OA →，BC →
〉的值为
( )
A ．0 B.12 C.3
2
D.22
答案 A
解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，则|b |＝|c |， 〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，BC →
＝c －b ，
∴OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝|a ||c |cos π3－|a ||b |cos π
3＝0，
∴OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →
〉＝0. 二、填空题
6． 已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线
的夹角为________． 答案 60°
解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10， 又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝
b ·
c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－1
2
， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
7． 已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．
答案
35
5
解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2 ＝
5????t －152＋95
， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值35
5
.
8． 如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则
PC 等于________． 答案 12
解析 因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →
， 所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →
|＝12. 三、解答题
9． 已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →
⊥b (O 为原点)? 解 (1)∵a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)， ∴2a ＋b ＝(0，－5,5)，
∴|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )， 则AE →＝λAB →，
即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，
∴????
?
x ＝λ－3y ＝－λ－1z ＝－2λ＋4
，∴E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)， ∴OE →
＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)． 又∵b ＝(－2,1,1)，OE →
⊥b ，
∴OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4) ＝－5λ＋9＝0， ∴λ＝95
，
∴E (－65，－145，25
)，
∴在直线AB 上存在点E (－65，－145，25
)，使OE →
⊥b .
10．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，
以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长；
(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.
(1)|AC 1→
|2＝(a ＋b ＋c )2
＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋1
2)＝6，
∴|AC 1→
|＝6， 即AC 1的长为 6.
(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →
＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →
|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.
∴cos 〈BD 1→，AC →
〉＝BD 1→·AC →
|BD 1→||AC →
|＝66.
∴AC 与BD 1夹角的余弦值为
66
.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则
( )
A ．c ∥d
B ．c ⊥d
C ．c 不平行于d ，c 也不垂直于d
D ．以上三种情况均有可能 答案 B
解析 由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面． ∵d ＝λa ＋μb ， ∴d 与a ，b 共面． ∴c ⊥d .
2． 以下命题中，正确的命题个数为
( ) ①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；
②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；
④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 C
解析 由共线向量知a 与b 所在直线可能重合知①错；
若a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数x ，y ，使a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )＝y a ＋x b ＋(x ＋y )c ， ∵a ，b ，c 不共面，∴y ＝1，x ＝1，x ＋y ＝0，∴x ，y 无解， ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能构成空间的一个基底，∴②正确； 由向量相等的定义知③正确；
由共面向量定理的推论知，当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面，∴④不正确． 故选C.
3． 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1
和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________． 答案 25
解析 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直 角坐标系，
则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，
B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，
C (0,1,0)，
∴M (1，12，1)，N (1,1，1
2)，
∴AM →＝(0，12，1)，CN →
＝(1,0，12)，
∴cos 〈AM →，CN →
〉＝AM →·CN →
|AM →|·|CN →|
＝
12
(1
2
)2＋12× 12＋(1
2
)2
＝25. 4． 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．
(1)求以AB →，AC →
为边的平行四边形的面积；
(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →
垂直，求向量a 的坐标． 解 (1)由题意可得：
AB →＝(－2，－1,3)，AC →
＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →
〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝－2＋3＋614×14＝714＝12.
∴sin 〈AB →，AC →
〉＝32
，
∴以AB →，AC →
为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉
＝14×
3
2
＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )， 由题意得????
? x 2
＋y 2
＋z 2
＝3－2x －y ＋3z ＝0
x －3y ＋2z ＝0，
解得????
? x ＝1y ＝1
z ＝1
或????
?
x ＝－1y ＝－1z ＝－1
，
∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
5． 直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，
AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、
E 分别为AB 、BB ′的中点． (1)求证：CE ⊥A ′D ；
(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． (1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→
＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∴CE →
＝b ＋12c ，
A ′D →
＝－c ＋12b －12a .
∴CE →·A ′D →
＝－12c 2＋12b 2＝0.
∴CE →⊥A ′D →
，即CE ⊥A ′D . (2)解 ∵AC ′→
＝－a ＋c ， |AC ′→|＝2|a |，|CE →
|＝52|a |.
AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·????b ＋12c ＝12c 2＝1
2
|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →
〉＝12|a |2
2·52|a |2＝1010.
即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010
.
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b
（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用
第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习
§7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题． 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 1． 基本不等式≤ab a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)． b a a b (3)ab ≤ 2 (a ，b ∈R )． (a ＋b 2)(4) ≥2 (a ，b ∈R )． a 2＋ b 22 (a ＋b 2)3． 算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4． 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2.(简记：积定和最p 小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2． 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ；≥ (a ，b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ，b >0)等．还要注意“添、 a 2＋ b 2 2 a ＋b 2ab (a ＋b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 3． 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋(m >0)的单调性． m x 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 答案 81 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2， xy 所以xy ≤ 2 ＝81， (x ＋y 2)当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 2． 已知t >0，则函数y ＝ 的最小值为________． t 2－4t ＋1 t 答案 －2
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．
2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<
2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： (2019?上海7)若x ，y R +∈，且 123y x +=，则y x 的最大值为 ． 【解答】 解：132y x = +… ∴298 y x =?； 故答案为：98 (2019?上海5)已知x ，y 满足002x y x y ????+? ……?，则23z x y =-的最小值为 ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ????+? ……?表示的平面区域，由23z x y =-即23x z y -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13 倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-． (2019?浙江3)若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+??--??+? …?…则32z x y =+的最大值是( ) A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??--??+? …?…作出可行域如图，联立340340x y x y -+=??--=?，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+，由图可知，当直线3122 y x z =-+过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10． 故选：C ． (2019?天津文10)设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03 x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213 x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3 -； 故答案为：2(1,)3 -； (2019?天津文理13)设0x >，0y >，25x y += 的最小值为 ． 【解答】解：0x >，0 y >，25x y +=， 则===； 由基本不等式有： = 当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =??=?或232x y =???=??时；等号成立， 故答案为： 2020高考数学不等式知识复习汇总 高考是人生道路上的重要转折点，会对考生的未来发展产生重要的影响作用，甚至改变命运。想要在高考中取得好成绩，自然是要付出努力的，只有努力才能获得回报。这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳，希望对大家有所帮助。 2020高考数学不等式知识复习汇总 高中数学不等式知识点总结： 1.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。 2.性质： ①如果xy，那么yy;(对称性) ②如果xy，yz;那么xz;(传递性) ③如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性) ④如果xy，z0，那么xzyz;如果xy，z0，那么xz ⑤如果xy，mn，那么x+my+n;(充分不必要条件) ⑥如果xy0，mn0，那么xmyn; ⑦如果xy0，那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)，x的n次幂。或者说，不等式的基本性质有： ①对称性; ②传递性; ③加法单调性，即同向不等式可加性; ④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 3.分类： ①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 ②一元一次不等式组： a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 4.不等式考点： ①解一元一次不等式(组) ②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题 ③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集 注：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。(相当系数化1，这是得正数才能使用) 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。(÷或×1个负 2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可 记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 高考数学不等式知识点归纳 不等式概念 用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是 等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如x+y≥xy，-2x≤1，x>0 ，x<3， 3x≠5等。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式;也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg1+x>x是超越不等式。 不等式性质 ①如果x>y，那么yy;对称性 ②如果x>y，y>z;那么x>z;传递性 ③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;加法原则，或叫同向不等式可加 性 ④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz ⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0，那么x÷z …… 如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上 是其中比较有名的。 不等式原理编辑 主要的有： ①不等式Fx< Gx与不等式 Gx>Fx同解。 ②如果不等式Fx < Gx的定义域被解析式H x 的定义域所包含，那么不等式 Fx2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用
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