数学物理方法下半学期练习题

Example 7.2 求e iaz ?e ibz

z 2

在奇点处的留数。i(a-b) Example 7.3 求1(z 2+1)3在奇点处的留数。res f ±i =?316i

Example 7.4 函数f z =e iz z (z +1)，求res f i 。?34e Example 7.5 函数f z =1

z 2sin z

，求res f 0 。16 Example 7.6 计算积分I = 11+?cos θ

2π0dθ,?1

Example 7.8 计算定积分I = dx x 4+1∞0。 24π Example 7.9 计算积分I = x sin x x +a ∞0dx ,a >0。π2e ?a Example 7.10 计算积分I = sin x x ∞?∞dx 。π Example 7.11计算积分I = x?sin x x 3(x 2+1)∞0dx 。π2(12?1e ) 例 7.10计算积分I = x α?1x +e ∞0dx ,0<α<1。πsin παe iφ(α?1)

Example 7.13 计算积分I = ln x

1+x +x 2∞0

dx 。0

（无穷远点的留数） Example 8.1 求无穷级数 1(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)∞n =0之和。14( 3ln 3) Example 8.2求无穷级数 1(n + 1)(2n + 1)∞n =0

之和。2π23?8ln 2 例 8.2求无穷级数 1

n 2+a 2∞n =0之和，其中a>0。

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -

数学物理方法习题

第一章 分离变量法 1、求解定解问题： 2000 000 00,(01), ||0, ,(0),|(),(),|0,(0). tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==?≤≤??? =?-≤≤?- ???=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为 200 0000 00,(0),(0,)(,)0, ,(0),(,0)(),(), |0. tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =-=<<==-?<???? ==?==? ??===??=?

4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为 20000,(0),||0,2 |2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====?-=<

数学物理方法习题答案[1]

数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线

于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数

《数学物理方法》各章节作业题

《数学物理方法》各章节作业题 要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周 星期四上课时交第一章的作业，以此类推。 说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 （第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出） 希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：） 辅导答疑安排：待定 辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）

第5页（第三版）第6页（第四版）： 第1题中（1），（2），（4），（6），（10）； 第2题中（1），（2），（3），（7）； 第3题中（2），（3），（7），（8）； 第9页（第三版）第8页（第四版）： 第2题中（1），（3），（7），（9）； 第3题。 “第二章复变函数的导数”作业题（2月27日交） 第13页（第三版）第12页（第四版）：习题； 第18页（第三版）第16页（第四版）： 第1题； 第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）； 第23页（第三版）第20页（第四版）： 第1题 第3题。 “第三章复变函数的积分”作业题（3月6日交） 第38页（第三版）第31页（第四版）： 第1题，第2题； 补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分

?-l z dz α的物理意义。 补充题2：计算()?-l n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。 “第四章 复数级数”作业题（3月16日交） 第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题； 第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）； 第60页（第三版） 第47页（第四版）： （1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）； 第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。 “第五章 留数定理”作业题（3月23日交） 第71页（第三版） 第55页（第四版）： 第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）； 第2题中（1），（4）； 第3题； 第81页（第三版） 第63页（第四版）： 第1题中（4），（5），（7），（8）； 第2题中（4），（6）； 第3题中（1），（2），（7），（8）。 第二部分 积分变换

数学物理方法试题

嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u

2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

数学物理方法试题

数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）

1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数学物理方法典型习题

典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

数学物理方法试卷(全答案).doc

嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,044>=+a a z 444244 00000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+-+ （2） y = （3） 求复数2 ?? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==-+ ?????=-===+=±± 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ???而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法习题

数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1） （2） ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值（和为实常数，为实变数） 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？ （1） （2） 5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。 （1） ； （2） 6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分： 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y +=

2、证明：其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章： 1、泰勒展开 （1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1） 在区域展成洛朗级数。 （2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开； ②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章： 1、计算留数 （1） 在点。 （2） ，在点； （3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z -

数学物理方法试卷答案

《数学物理方法》试卷答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ C ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ． 0=?Γ dS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ B ） A ．) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u .

二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y （ )21 (2 3 x J 或0). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1 ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ）. 三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

【】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 |

4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2