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圆锥曲线专题复习

知识归纳： 名称

椭圆

图 象

平面内到两定点

F 1 ,F 2 的距离的和为

常数（大于 F 1F 2 ）的动点的轨迹叫椭 圆即 MF 1

MF 2 2a

定 义

c 时，轨迹是椭圆，

当 2 a ﹥ 2 当 2 a ＝ 2 c 时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段

F 1 F 2

当 2 a ﹤ 2 c 时，轨迹不存在

双曲线

平面内到两定点

F 1, F 2 的距离的差的绝

对值为常数（小于

F 1 F 2 ）的动点的轨

迹叫双曲线即

MF 1 MF 2 2a

当 2 a ﹤ 2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a ＝ 2 c 时，轨迹是两条射线当 2 a ﹥ 2 c 时，轨迹不存在

焦点在 x 轴上时：

x 2

y 2

a

b

1

x 2

y

2

2

2

焦点在 x 轴上时：

1

a 2

b 2

标 准 焦点在 y 轴上时： y 2 x

2

方 程

1

焦点在 y 轴上时： y

2

x 2

a

2

b

2

1

注：根据分母的大小来判断焦点在哪一

a 2

b 2

坐标轴上

常 数

a,b,c

a 2 c 2

b 2 ， a b 0 ，

c 2

a 2

b 2 ，

c a 0

的 关 a 最大， c

b, c b, c

b

c 最大，可以 a b, a

b,a

b

系

焦点在 x 轴上时：

x

y

渐 近

a b

线

焦点在 y 轴上时：

y

x 0

a b

抛物线：

图

形

y

O

F

l y

x

F

O x

l

方 2

2 px( p

0)y

2

2 px( p

0) x 2

2 py( p 0)

x 2

2 py( p 0)

y 程

焦

p

,0) ( p

,0)

(0, p

)

(0, p )

(

点

2

2

2

2 准

p

x p

y

p

y

p x

2

2

2

2

线

（一）椭圆

1. 椭圆的性质：由椭圆方程

x 2

y 2 a

b 0)

a

1(

2

b 2

（ 1）范围：

a x

a ，- b

x a ，椭圆落在 x

a y

b 组成的矩形中。

，

（ 2）对称性 : 图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。 x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（ 3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A ( a,0), A 2 (a,0) ，

B (0, b), B 2 (0,b) 。加两焦点 F 1 ( c,0), F 2 (c,0) 共有六个

特殊点。 A 1 A 2 叫椭圆的长轴， B 1 B 2 叫椭圆的短轴。长分别为 2a,2b 。 a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半

轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（ 4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e

c e

1 ( b

)2 。 0 e 1 。

a

a

椭圆形状与 e 的关系： e 0, c 0 ，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在

e 0 时

的特例。 e 1, c

a, 椭圆变扁，直至成为极限位置线段

F 1 F 2 ，此时也可认为是椭圆在 e 1 时的特例。

2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ，那么这

个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数

e 就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

3.

椭圆的准线方程

对于 x

2

y 2 1 ，左准线 l 1 : x

a 2 ；右准线 l 2 : x a 2

a 2

b 2 c

c 对于

y

2

x 2 1，下准线 l 1 : y

a 2 ；上准线 l 2 : y a 2

a 2

b 2 c

c

焦点到准线的距离p a 2 a2 c2 b2

c

c

（焦参数）

c c

（二）双曲线的几何性质：

1.（ 1）范围、对称性

由标准方程x

2

y2 1，从横的方向来看，直线x＝－ a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x a 2 b2

的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（ 2）顶点

顶点： A1 (a,0), A2a,0 ，特殊点： B1 (0, b), B2 0, b

实轴： A1 A2长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。

（ 3）渐近线

过双曲线x

2

y

2 1的渐近

线y

b

x （x y 0）a 2 b2 a a b

（ 4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比 e 2c c

，叫做双曲线的离心率范围： e>1

2a a

双曲线形状与 e 的关系：k b c2 a2 c2 1 e2 1 ，e越大，即渐近线的斜率的绝对

a a a2

值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

2.等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为：y x ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 e 2 。

3.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y

b x kb x(k 0) ，那么此双曲线方程就一定是：

a ka

x2 y 2

1( k 0) 或写成

x2 y 2 (ka)2 (kb)2 a2 。

b2

4.共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量

a,b,c 中 a,b 不同（互换） c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确

定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为－ 1。

5. 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e c (c a 0) 的点的轨迹是

a

双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数 e 是双曲线的离心率。

6.双曲线的准线方程：

对于 x2 y 2 1 来说，相对于左焦点 F1 ( c,0) 对应着左准线l1: x a2 ，相对于右焦点 F2 (c,0) 对a2 b 2 c

应着右准线 l2 : x a2

；c

焦点到准线的距离p b2

（也叫焦参数）。c

对于 y2 x 2 1 来说，相对于下焦点 F1 (0, c) 对应着下准线l1: y a2 ；相对于上焦点 F2 (0, c) 对a2 b2 c

应着上准线 l2 : y a2

。c

（三）抛物线的几何性质

（ 1）范围

因为 p＞ 0，由方程y2 2 px p 0 可知，这条抛物线上的点M的坐标（ x，y）满足不等式 x≥0，所

以这条抛物线在y 轴的右侧；当 x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（ 2）对称性

以－ y 代 y，方程y2 2 px p 0 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做

抛物线的轴。

（ 3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y 2 2 px p 0 中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线 y 22px p 0 的顶点就是坐标原点。

（ 4）离心率

抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示。由抛物线的定义可知， e＝ 1。

【典型例题】

例 1.根据下列条件，写出椭圆方程

（ 1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2 、长轴长为8；

（ 2）和椭圆9x2＋ 4y2 ＝36 有相同的焦点，且经过点（2，－ 3）；

（ 3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的

距离是10－ 5 。

确定分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据

a2、 b2 的值进而写出标准方程。

解：（ 1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上

a2＝ b2＋ c2 及已知条件

因此有两解： x

2

y 2

1或 y 2

x 2 1

16 12

16 12

（ 2 ）焦点位置确定，且为（

0 ，

y 2 x 2 1 , （ a>b>0），由已知条件有

5 ），设原方程为

b 2

a 2

a 2

b 2 5

y 2

x 2

9 4

a 2 15,

b 2 10 ，故方程为

1。 a 2 b 2 1

15 10

x 2

y

2

（ 3）设椭圆方程为

2 b

a 2

1, （ a>b>0）

b c

及 a2＝ b2＋c2，解得 b ＝ 5, a10

由题设条件有

c

10 a 5

故所求椭圆的方程是

x 2

y 2

10

1。

5

例 2. 直线 y

kx 1与双曲线 3x 2 y 2 1 相交于 A 、 B 两点，当 a 为何值时， A 、 B 在双曲线的同一支

上？当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？

解：把 y kx

1代入 3x 2

y 2 1

整理得： (3 a 2 ) x 2 2ax 2 0 （ 1）

当 a 3 时，

24 4a 2

由

>0 得

6 a

6 且 a

3 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若 A 、 B 在双曲线的同一支，须 x 1 x 2

2 >0，所以 a

3 或 a

3 。

a 2

3

故当

6 a

3 或 3 a

6 时， A 、B 两点在同一支上；当

3 a

3 时， A 、B 两点在

双曲线的两支上。

例 3. 已知抛物线方程为 y

2 2p(x 1) （ p>0），直线 l : x

y m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得

的弦长为 3，求 p 的值。

解：设 l 与抛物线交于 A(x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 则 | AB | 3.

由距离公式 |AB| ＝ (x 1 - x 2 )

2

( y 1 y 2 )

2

1

1

| y 1

y 2

|

2 | y 1 y 2 |

k 2

则有 ( y y )2 9 .

1

2

2

x y

1 p

2 ，消去 x ，得 y 2 2 py p 2

由

y 2

2 p( x 1)

( 2 p) 2 4 p 2

0.

y 1 y 2 2p, y 1 y 2

p 2 .

从而 ( y 1 y 2 ) 2

( y 1 y 2 ) 2 4 y 1 y 2

即 ( 2 p) 2 4 p 2 9

2

由于 p>0，解得 p

3

4

例 4. 过点 (1 ，0) 的直线 l 与中心在原点，焦点在

x 轴上且离心率为

2

的椭圆 C 相交于 A 、B 两点，直

2

线 y= 1

x 过线段 AB 的中点，同时椭圆

C 上存在一点与右焦点关于直线

l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方

2

程 .

解法一：由 e=

c

2 , 得 a 2

b 2

1

, 从而 a2=2b2,c=b.

a 2 a 2

2

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)

在椭圆上 .

则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两式相减得， (x12 － x22)+2(y12 －y22)=0,

y 1

y 2 x 1 x 2 .

x 1

x 2

2( y 1 y 2 ) 设 AB 中点为 (x0,y0),

则 kAB=－

x 0

,

2 y 0

又 (x0,y0) 在直线 y=

1

x 上， y0= 1

x0,

2

2

于是－

x 0

=－ 1,kAB= － 1,

2y 0

设 l 的方程为 y=－ x+1.

右焦点 (b,0)

关于 l 的对称点设为 (x ′ ,y ′ ),

y 1

则 x b

解得

x

1

x b

b

y

1

y 1

2

2

由点 (1,1

－b) 在椭圆上，得 1+2(1 － b)2=2b2,b2= 9

, a 2 9 .

16

8

∴所求椭圆 C 的方程为

8x 2

16 y 2

=1,l 的方程为 y=－ x+1.

9 9

解法二：由 e=

c

2 , 得 a 2

b

2

1

, 从而 a2=2b2,c=b.

a

2

a 2

2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x － 1),

将 l 的方程代入 C 的方程，得 (1+2k2)x2 － 4k2x+2k2 － 2b2=0,

则 x1+x2=

4k 2

,y1+y2=k(x1 － 1)+k(x2 － 1)=k(x1+x2) － 2k=－ 2k .

2k 2

2k 2

1

1 1 的中点 x 1

x 2

y 1 y 2 ), 则 k 1

2k 2

直线 l ： y=

x 过 AB

(

2

,

2

1 2k 2

,

2

2 1 2k 2

解得 k=0，或 k=－ 1.

若 k=0, 则 l 的方程为 y=0, 焦点 F(c,0) 关于直线 l

的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍

去，从而 k=－ 1，直线 l 的方程为 y=－ (x － 1), 即 y=－ x+1, 以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为

x 2 y 2

1(a b 0)(1)

a 2

b 2

直线 l 不平行于 y 轴，否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y

1

x 过AB 中点矛盾。

2

故可设直线 l 的方程为 y

k( x 1) (2)

(2)代入 (1)消 y 整理得：(k 2 a

2

b 2 ) x 2 2k 2 a 2 x

a 2 k 2 a 2

b 2 0 (3)

设A(x 1，y 1 ) B( x 2，y 2 ) ， 知：

x 1

x 2

2k 2 a 2

k 2a

2

b

2

又 y 1 y 2 k (x 1 x 2 ) 2k 代入上式得：

k

x 1 2k 1 ， k 2k k 2 a 2

b 2

1 ， k k b

2 1

， 又

e 2

x 2

2

2k 2 a 2

2

ka

2

2

2

k

2b 2 2(a 2 c 2 )

2 2e

2 1 ， 直线 l 的方程为 y

1 x ，

a 2

a 2

此时 a 2 2b 2 ， 方程 (3)化为 3x 2 4x 2 2b 2 0， 16 24(1 b 2

)

8(3b 2

1) 0

b

3 ， 椭圆 C 的方程可写成： x

2

2 y

2

2b 2

( 4) ， 又 c

2

a

2

b 2

b 2

，

3

右焦点 F (b ，0) ， 设点 F 关于直线 l 的对称点 ( x 0， y 0 ) ，

y 0

1

x 0

b

则

x

， y 0 1 b ，

y 0

x 0 b

1

1

2

2

又点 (1，1 b)在椭圆上，代入 (4)得：

2(1 b ) 2b 2

， b

3

3 ，

1

4

3

b

2

9 ， a 2

9

16

8

所以所求的椭圆方程为：

x 2

y 2 1

9

9

8

16

例 5. 如图，已知△ P1OP2的面积为

27

，P 为线段 P1P2 的一个三等分点，求以直线

OP1、OP2为渐近线且

4

过点 P 的离心率为

13

的双曲线方程 .

2

解：以 O 为原点，∠ P1OP2的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系

.

2

2

设双曲线方程为 x 2

y

2 =1(a ＞ 0,b ＞0)

a

b

由 e2= c

2

1 (b

)

2

( 13 )2 ，得 b

3 .

a 2

a

2

a 2

∴两渐近线 OP1、 OP2方程分别为 y= 3 x 和 y=－ 3

x

2 2

设点 P1(x1,

3

x1),P2(x2, －

3

x2)(x1 ＞ 0,x2 ＞ 0),

2

2

则由点 P 分 P 1 P 2 所成的比λ =

P 1 P

=2,

PP 2

得 P 点坐标为 ( x 1

2x

2 ,

x

1

2 x 2 ),

3

2

又点 P 在双曲线

x 2 4y 2

2

2 =1 上，

a

9a

所以 ( x 1

2x 2 ) 2

(x 1 2 x 2 )2 =1,

9a 2

9a 2

即 (x1+2x2)2 － (x1 －2x2)2=9a2, 整理得 8x1x2=9a2

①

又|OP 1|

x 12

9

x 1 2

13

x 1 ,|OP |

x 2 2

9

x 2

2

13

x 2

4

2

4

2

2 3

2 tan P 1Ox

2 12

sin P 1OP 2

1 tan

2

P 1Ox

9 13

1

4

S POP

1

|OP 1 | |OP 2 | sin P 1 OP 2

1 13

x 1 x 2

12 27 , 1

2

2 2 4

13 4

即 x1x2= 9

②

2

由①、②得 a2=4,b2=9

故双曲线方程为

x 2

y 2

4

=1.

9

例 6. 已知点 B （－ 1，0）， C （ 1， 0）， P 是平面上一动点，且满足

| PC | | BC | PB CB.

（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；

（ 2）已知点 A （m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ，且 AD ⊥ AE ，判断：直线 DE 是否过定点？试证明你的结论 .

（ 3）已知点 A （ m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD ，AE ，且 AD ，AE 的斜率 k1、k2 满足 k1·k2=2.

求证：直线 DE 过定点，并求出这个定点 .

解：（ 1）设 P ( x , y )代入 | PC | | BC |

PB CB 得 ( x

1)2

y

2

1 x ,化简得 y

2 4 x .

(2) 将 A(m,2) 代入 y 2 4x 得 m 1, 点 的坐标为 (1,2).

A

设直线

的方程为 y 2

k(x 1) 代入 y 2

4x, 得 y 24

y 8 4 0,

AD

k k

由 y 1 可得 y 2

4 2, D(

4 4 2).

2

k

1,

k 2

k

同理可设直线 AE : y 2 1 ( x 1),

代入 y 2 得 E(4k 2

1, 4k 2).

k 4x

4 4k : y 4k 2 k ( x 4k 2

1), 则直线 方程为 化简得 DE 4

k 2 ( y

k 2 4k

2) k(x 5) ( y 2) 0,

即y 2

k

(x

5), 过定点 (5, 2).

k

2

1

(3)

将A (m,2) 代入 y 2

设直线 DE 的方程为

y

kx b

由

得 k 2 x 2

y 2 4 x

4x 得

m 1,

y kx b, D ( x 1, y 1 ), E ( x 1, y 1 )

2(kb 2) x b 2

0,

k

AD

k

AE 2,

y 1 2 y 2

2

2( x 1 , x 2

1),

x 1 1 x 2

1

且 y 1 kx 1 b, y 2 kx 2 b

(k 2 2)x 1 x 2 ( kb 2k 2)( x 1

x 2 ) (b 2) 2 2 0,

将 x 1 x 2

2(kb 2) , x 1 x 2

b 2

代入化简得 b 2

(k 2) 2

, b

( k 2).

k 2

k 2

b (k 2).

将 b k 2代入 y

kx b 得 y kx k 2 k (x 1) 2, 过定点 ( 1, 2). 将 b 2 k 代入 y kx b 得 y kx 2 k

k( x

1) 2, 过定点 (1,2), 不合 , 舍去 ,

定点为 ( 1, 2)

【模拟试题】 （答题时间： 50 分钟）

一、选择题

1. 是任意实数，则方程 x

2

y 2 sin 4 所表示的曲线不可能是（

）

A. 椭圆

B. 双曲线

C.

抛物线

D.

圆

2.

已知椭 x

2

( y t )2 1 的一条准线方程是 y

8，则实数 t 的值是（

）

12 21

A.7或－7

B. 4 或 12

C.1 或 15

D. 0

3.

双曲线 x

2

y 2 1的离心率 e (1,2) ，则 k 的取值范围为（

）

4

k

A. (

,0)

B.

（－ 12， 0） C.

（－ 3， 0） D.

（－ 60，－ 12）

4.

以 x 2

y 2 1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）

4 12

A.

x 2

y 2

1 B. x

2 y

2 1

16 12

12 16

C.

x 2 y 2 1 D. x 2 y 2

1

16 4

4 16

5. 抛物线 y 8mx 2 的焦点坐标为（

）

A.

( 1 ,0) B. (0, 1 )

C. (0,

1 ) D. (

1 ,0)

8m

32m

32m

32 m

6.

已知点 A （－ 2，1）， y 2 4 x 的焦点为 F ， P 是 y 2

4 x 的点，为使 PA PF 取得最小值， P 点

的坐标是（

）

A.

(

1

,1)

B.

( 2,2 2)

C.

( 1 , 1) D.

( 2, 2 2 )

4

4

7. 已知双曲线的渐近线方程为

3x 4 y 0 ，一条准线方程为 5y 9 0，则双曲线方程为（

）

A.

y 2 x 2 1

B. x 2 y 2

1

9 16

9 16

C.

y 2 x 2 1 D. x 2 y 2

1

9 25

9 25

8. 抛物线 y x 2

到直线 2x

y 4 距离最近的点的坐标为（

）

A.

( 3 , 5 )

B. (1,1)

C. ( 3 , 9 )

D.

( 2,4)

2 4

2 4

9. 动圆的圆心在抛物线 y 2

8x

上，且动圆与直线 x 2

0 相切，则动圆必过定点（

）

A. （4， 0）

B.

（ 2，0） C. （0， 2） D. （0，－ 2）

10 ．中心在原点，焦点在坐标为 (0，±5

2 ) 的椭圆被直线 3x － y － 2=0 截得的弦的中点的横坐标为

1 ，

2

则椭圆方程为 ( )

2 x 2

2 y 2

1

2 x 2

2 y 2

1

A.

75

B. 75

25

25

x 2 y 2

1

D. x 2 y 2 1

C.

75

75

25

25

二、填空题

11.

到定点（ 2， 0）的距离与到定直线

x 8 的距离之比为

2

的动点的轨迹方程为

______________。

2

12. 双曲线 2mx 2

my 2

2 的一条准线是 y 1，则 m ___________。

13.

已知点（－ 2， 3）与抛物线 y

2

2px( p 0) 的焦点距离是 5 ，

。

p ____________

14

．直线 l 的方程为 y =x +3, 在 l 上任取一点 P ，若过点 P 且以双曲线

12x 2－4y 2=3 的焦点作椭圆的焦点，

那么具有最短长轴的椭圆方程为 ________________ 。

三、解答题

15.

已知双曲线的中心在原点， 过右焦点 F （2，0）作斜率为

3

的直线，交双曲线于 M 、N 两点，且 MN

5

＝ 4，求双曲线方程。

16. 过椭圆 x

2

y 2 1的左焦点 F 作直线 l 交椭圆于 P 、 Q ， F 2 为右焦点。 4

3

． 的最值

求： PF 2 QF 2

17. 已知椭圆的一个焦点为 F

， 2 2 ) ，对应的准线方程为

9

2

，且离心率 e 满足 2

，e 、

4

1

( 0

y

3

3

4

成等比数列。 （ 1）求椭圆的方程。

（ 2）试问是否存在直线 l ，使 l 与椭圆交于不同的两点 M 、N ，且线段 MN 恰被直线

x

1

平分？若存在，

2

求出 l 的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。

18.

如图所示， 抛物线

y2=4x

的顶点为 O ，点 A 的坐标为

(5 ，0) ，倾斜角为

的直线

l 与线段

OA 相交 ( 不

4

经过点 O 或点 A) 且交抛物线于 M 、 N 两点，求△ AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求△ AMN 的最大面积 .

【试题答案】

1. C

2. C

3. B

4. A

5. B

6. A

7. A

8. B

9. B

11. ( x 4) 2

y 2

72

1

36

12. －

4

13. 4

14.

x 2 y 2

3

5

=1

4

15. 解：设所求双曲线方程为

x 2 y 2

1 （ a>0， b>0），由右焦点为（ 2， 0）。知 c ＝ 2，b2＝ 4－ a2

a

2

b

2

则双曲线方程为

x

2

y 2

1，设直线 MN 的方程为： y

3

( x 2) ，代入双曲线方程整理得： （ 20－

a 2

4 b 2

5

8a2） x2＋ 12a2x ＋ 5a4－ 32a2＝ 0

设 M （x1,y1 ） ,N （ x2,y2 ） , 则 x 1 x 2 12a 2

20 8a 2

5a 4 32a 2

x 1

x

2

20 8a 2

2

MN

1

3 x 1

x 2 4x 1 x 2

5

8 12a 2 2

5a 4 32a 2

4 4

5

20 8a 2

20 8a 2

解得： a 2

1 ， b

2 4 1

3

故所求双曲线方程为：

x 2

y 2

1

3

x

1 ．

t

cos

16. 解：直线 l ： 0 ．

为参数

y t sin

P 、 Q 为 l 与椭圆的交点

∴

(

1 tan ) 2

( t ． ) 2

1

sin

4

3

6 cos

．

9

∴ t 1 t 2

cos 2 t 1 t 2

4 cos 2

4

z PF 2 ．

( 4 PF 1 )( 4

QF 1 )

QF 2

16

4( PF 1 QF 1

) PF 1 ．

QF 1

16 4 t 1 t 2 t 1 ．

t 2

16 ． 12

9 16

39

4

cos 2

4 cos 2

cos 2

4

4 ∴ cos 2

1时 z

min

3; cos 2

0 时 z max

25

4

17.

解：（ 1）依题意， 2 ，e ， 4

成等比数列，

3

3

可得 e

2 2

3

设 P （ x ，y ）是椭圆上任一点 依椭圆的定义得

x 2

( y 2 2) 2 2 2 | y

9 2 |

3

4

化简得 9x 2

y 2 9

即 x 2

y 2 1 为所求的椭圆方程

9

（ 2）假设 l 存在

因 l 与直线 x

1

相交，不可能垂直 x 轴

2

所以设 l 的方程为： y kx

m

y

kx m

由

y 2

9 x 2 9

消去 y 得， 9 x 2

( kx m) 2

9

( k 2 ) x 2

2 kmx ( m 2 )

0 有两个不等实根

9 9 4k 2m 2 4(k 2 9)(m 2

9) 0

m 2

k 2 9

设两交点 M 、 N 的坐标分别为 ( x 1，y 1 ) ， ( x 2 ，y 2 )

x 1 x 2

2km

2

9

k 1

平分

线段 MN 恰被直线 x

2

1 x 1 x 2

2 2

即 2km

1

k 2 9

k 0

m

k 2

9

2k

代入 m 2

k 2 9

0 得

k 2

9 2

(k 2

9) 0

2k

k 2 9 0

k 2 9 1 0

4k

2

k 2 3

k 或 k

3

3

直线倾角的范围为

3 ，

2

，

2

2

3

解：由题意，可设

l 的方程为 y=x+m,－ 5＜ m ＜ 0.

y x m

由方程组

2 , 消去 y, 得 x2+(2m － 4)x+m2=0 ①

y 4x

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M 、 N ，

∴方程①的判别式

=(2m － 4)2 － 4m2=16(1－ m)＞0,

解得 m ＜ 1, 又－ 5＜ m ＜ 0, ∴ m 的范围为 ( － 5， 0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2) 则 x1+x2=4－ 2m ， x1· x2=m2,

∴ |MN|=4 2(1 m) .

点 A 到直线 l

的距离为 d=

5 m

.

2

∴ S △ =2(5+m) 1 m , 从而 S △ 2=4(1 － m)(5+m)2

2 2m 5 m

5

m

=2(2 － 2m)· (5+m)(5+m) ≤ 2(

)3=128.

∴ S △≤ 8 2 , 当且仅当 2－ 2m=5+m,即 m=－1 时取等号 .

故直线 l 的方程为 y=x － 1，△ AMN 的最大面积为 8 2 .

2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2

高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.

高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线

圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲

7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1

是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

高中数学-圆锥曲线专题

高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。

两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线:

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12

2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别

(I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2b>0)的离心率 3 ，过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线 ,3 与原点的距离为 2 (1)求椭圆的方程 (2)已知定点E (-1, 0),若直线y= kx + 2 (k乒0与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E点？请说明理由 2 2 C x y 是A、B；双曲线, a2b2 1 的一条渐近线方程为3x- 5y=0. 2 x 2 5.已知椭圆a

(完整word版)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） 1.设F 1，F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与 椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标； （2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （1）求△P AB 面积的最大值； （2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是 1B ，2B ，且21MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.

4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2 e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程； (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点. (i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.

历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习

高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）

数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 -

二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 -

高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程． (Ⅱ过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足： 求点G的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别 是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点N，若. 求证： 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg;

（2）若2 <3 ，求椭圆率心率 e 的取值范围 . 5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 （1）求椭圆的方程 （2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平 面内两点同时满足下列条件： ①；②；③∥ （1）求的顶点的轨迹方程； （2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围 7. 设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若 ，且 （Ⅰ）求动点M(x,y的轨迹C的方程； （Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1直线AB过点（0，3），(2若，则OAPB为矩形，试求AB方程．

高考理科数学-圆锥曲线专题训练

高三圆锥曲线选填训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 （ ） A ．45 B ．25 C ．32 D ．45 2．椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2| 的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 3．过双曲线x 2 －22 y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．如果双曲线 136 642 2=-y x 上的一点P 到双曲线的右焦点的距离是8，那么点P 到右准线的距离是 （ ） A ．10 B ．7 7 32 C ．27 D ．5 32 5．若抛物线y 2=2p x 上的一点A （6，y ）到焦点F 的距离为10，则p 等于 （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若 BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 A ．x y 23 2= B ．x y 32= C ．x y 2 9 2= D ．x y 92= 7．曲线 19252 2 =+y x 与曲线)925(19252 2 ≠<=-+-k k k y k x 且 有相同的（ A ．长、短轴 B ．焦距 C ．离心率 D ．准线 8．过椭圆22 2214x y a a += (a>0)的焦点F 作一直线交椭圆于P, Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别为 p, q ，则11p q +等于（ ） A ．4a B ．1 2a C ．4a D ．2a 9．椭圆13 22 =+y x 上的点到直线x －y+6=0的距离的最小值是 . 10．已知双曲线C 的渐近线方程是x y 32±=，且经过点M （)1,2 9 -，则双曲线C 的方程是 . 11．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值 为 .

高二数学圆锥曲线练习题及答案超经典习题

京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|→ a |=|→ b |，→ a ⊥→ b ，且（→a +→b ）⊥（k → a -→ b ） ，则k 的值是( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 2、已知3a =r ，23b =r ，3a b ?=-r r ，则a r 与b r 的夹角是（ ） A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=（ ） A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =（ ） A 、－3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ） A ． 45 B ．2 5 C ．32 D ．4 5 6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82 -= B ．y x 82 = C ． y x 162 -= D ．y x 162 = 7．若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ） A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 3 3 = D ．x y 3 3- =

高中数学专题：圆锥曲线

高中数学专题：圆锥曲线 题型一 直线与圆锥曲线的综合问题 例1 (12分)(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,－2),椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点. (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 规范解答 解 (1)设F (c,0),由条件知,2c ＝233,得c ＝ 3.[2分] 又e ＝c a ＝32,所以a ＝2,b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.[5分] (2)当l ⊥x 轴时,不合题意, 故设l ：y ＝kx －2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),[6分] 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.[7分] 当Δ＝16(4k 2－3)>0,即k 2>34时, x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1 . 从而|PQ |＝k 2 ＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1 , 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1 .[9分] 设4k 2－3＝t ,则t >0,S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t . 因为t ＋4t ≥4,当且仅当t ＝2,

即k＝± 7 2时等号成立,且满足Δ>0,[11分] 所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝ 7 2x－2或y＝－ 7 2x－2.[12分] 评分细则 第(1)问得分点 1.由直线的斜率,得出c值,得2分,列出关于c的方程,求解结果错误只得1分. 2.由椭圆的离心率求得a值得2分,得出E的方程得1分. 第(2)问得分点 1.设出直线l的方程得1分,没有考虑斜率不存在,直接设出直线方程不得分. 2.直线方程与椭圆方程联立,得出一元二次方程得1分,方程不正确,不得分. 3.求出弦长给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分. 4.求出三角形的面积得1分；只写出面积公式没有代入数据,不给分. 5.求出k值得2分,没有验证是否满足方程的判别式扣1分. 6.写出直线l的方程得1分. 第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a,b,c,e中某个值； 第二步：求圆锥曲线方程； 第三步：分析直线与圆锥曲线的关系,联立方程,得一元二次方程； 第四步：由“Δ”或根与系数的关系,弦长公式等,寻找解决问题的思路； 第五步：通过化简、运算,得出结果； 第六步：回顾反思,查验问题的完备性. 跟踪训练1(·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB 与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论.