ss3-5
2011/10/26
1
第3章连续信号与系统的频域分析§3.10 连续时间系统的频域分析
一、系统的时域分析法
全响应：)
()()(t r t r t r zs zi +=)
(t e ()
h t )
(*)()(t h t e t r =特征方程：
)(=p A nt
n t
t
zi e
C e C e C t r λλλ+++=L 2121)(∑==
n
k t
k
k e C
1
λ()()0
()t
e t e t d τδττ
=?∫即将分解为无限个之叠加。
)(t e ()t δ2011/10/26
2
第3章连续信号与系统的频域分析
二、LTI频域分析
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3
第3章连续信号与系统的频域分析1. 基本信号激励下的零状态响应
t
j e
ω)
()(t h e t r t j zs ?=ω∫
∞
∞
??=
τ
ττωd e h t j )()(∫
∞
∞
??=τ
τωτ
ωd e
h e
j t
j )()
(ωωj H e t j ?=∫+∞
∞
??=dt
e t
f j F t j ωω)()(()()()τ
ττd )(2121∫
∞
∞
??=
?t f f t f t f 2011/10/26
4
第3章连续信号与系统的频域分析
2. 一般信号f (t )激励下的零状态响应
t
j e j H ωω)(ωωπωd e j E t j )(21
ω
ωπωd e j E t
j )(21∫∞∞?)]
()([)(1ωωj H j E FT t r zs ?=?)(ωj H )
(ωj E )(ωj R zs t
j e ωωωωπωd e j H j E t j )()(21
ω
ωωπωd e j H j E t j )()(21∫∞∞?)
(t e )(t r zs )
(t e 2011/10/265第3章连续信号与系统的频域分析线性系统的频域分析法步骤：
1.求激励信号e(t)的傅里叶变换E(jω)；
2.求系统函数H(jω)；
3.求零状态响应的傅里叶变换R zs (jω)，Rzs(jω)=E(jω)H(jω)；
4.求Rzs(jω)的傅里叶反变换，即得零状态响应r zs (t)。
2011/10/266
第3章连续信号与系统的频域分析
傅氏变换分析法和卷积分析法的相似和不同之处
相同之处：都对信号作单元信号的分解，然后再求取系统在各个单元信号作用下的响应，最后再进行叠加。
不同之处：在卷积分析法中，其单元信号为加权的冲激信号，而在傅氏变换分析法中，其单元信号为加权的虚指数信号，前者是直接求响应的时域积分的方法，而后者是间接求响应的变换域的方法。
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7
第3章连续信号与系统的频域分析3. H(jω)的定义及物理意义
若令e(t)＝δ(t)，系统的零状态响应即为冲激响应h(t)。由于FT[δ(t)]=1，故有FT[h(t)]=H(jω)因此，H(jω)也就是系统冲激响应的傅氏变换，称为系统的频率响应或系统函数。h(t)和H(jω) 从时域和频域两个侧面描述了同一个系统的特性。
)
()()(ωωωj H j E j R zs ?=)
()()(t h t e t r zs ?=2011/10/26
8第3章连续信号与系统的频域分析
H(jω)是描述系统的重要参数，它与系统本身的特性有关，而与激励无关。
系统由于H(jω)的作用将导致输出信号相对于输入信号在幅度和相位两个方面的变化。因此，H(jω)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。)(j e e )(j )(j ω?ωω?=E E )(j h e )(j )(j ω?ωω?=H H )
(j )(j )(j ωωωH E R ?=)
()()(h e r ω?ω?ω?+=加权
由的幅度)()(ωωH E ()()修正
由的相位ω?ωE )
()()(ωωωj H j E j R zs ?=2011/10/269第3章连续信号与系统的频域分析频域系统函数求法H(j ω)
⑴已知h(t)，
)]([)(t h FT j H =ω⑵已知H(p)，ω
ωj p p H j H ==|)()(⑶已知电路，从频域等效电路模型求
)
()
()(ωωωj E j R j H =
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第3章连续信号与系统的频域分析
Eg1 已知激励信号
，试求图
所示电路中电容电压的零状态响应u Cf (t )。
()()()2e t t t εετ=??????R
()
e t ?
+?
+
()
o u t C
R
?
+
?
+
0()
U j ωC
()
E j ω1j C
ω()
I j ω()()
()()R o u t Ri t du t i t C dt ==()
()()()1
R o U j RI j U j I j j C
ωωωωω==——频域阻抗
时域电路模型（RC低通网络）
频域电路模型
)
()(0ωωωj cU j j I =)
(t u R )
()
()(ωωωj E j R j H =)(1
)()
(1
ωωωωωj I c
j j RI j I c j +=
c j R c j ωω11+
=
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第3章连续信号与系统的频域分析解：()()()2e t t t εετ=??????
])()([)()(ωτωτω
ωπδωωπδωj j e j e j j E ????+=1121RC j C
j R C
j j E j U j H ωωωωωω+=
+
==1111
)()()2(0）（求系统函数2
)2
(
2ωτ
ωτ
τj
e
Sa ?=)1(2ωτωj e j ??=)(2222ωτ
ωτωτωj j j e e e j ???=
)2
sin(222ωτ
ωωτ
j e j j ?=?)
..(2
2
2
2
2ωτωτωτωτω
j
j
j j e
e
e e j ????=2011/10/2612
第3章连续信号与系统的频域分析
]
11
)
1(2
[
)]([)()4(11RC
j e j F j R F t r j zs ωω
ωωτ+?==???求]
1212)1(2
[
1ωτωτωωω
j j e RC
j RC
j e j F ???+
+
+
??=]
)([
RC j RC
j RC j e j F j ωωωω
ωτ+?+?=??11121]
)()([
RC j RC
e e j F j j ωω
ωτωτ+???=???112121()2
13()()()212j
a R j E j H j S e
j Rc ωτ
ωτωωωτω???=?=
????+???求ω
αεαj t e t +?
?1
)(
2011/10/2613
第3章连续信号与系统的频域分析
)
(212,1
)()
(212,1
)()(1τεωα
ωτεεωα
ωετωτωτταα??+
+?
??+
+?
????????t e e RC
j e j t e t e RC
j j t e RC
t j j t t RC
t 得得利用)
(]1[2)(]1[2)]
()([2)]()([2)(110τεετεετεεττ????=?????=∴??
???
?
t e
t e
t e
t e
t t t u RC
t t RC
RC
t t RC
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第3章连续信号与系统的频域分析例题说明+?
R
C
11′
22′
+?2
O
t
τ
E
O t τ
O ω
O
ω
τ
E O
ω12
2()o u t ()()2
1
1H j RC ωω=+()22E j Sa ωτωτ??
=??
??
()
e t ()e t ()o u t RC
1急速变化处意味着有很高的频率分量
|
)().(||)(|0ωωωj E j H j U =若信号时域波形变化越平缓，高次谐波
成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。)
()(τεε??=t t )
(]1[2)(]1[21τεετ????=??
?t e
t e
RC
RC
2011/10/2615第3章连续信号与系统的频域分析说明
；
功率带宽为系统具有低通特性，半RC
1
?形变圆滑。数规律上升和下降，波成分。经低通后，以指急剧下降，蕴含着高频
急剧上升，输入信号在 0 τ==?t t 降时间就要缩短。
上升，下
分量通过，响应波形的增加，允许更高的频率，即带宽称为时间常数，，↑↓?==
?αταRC RC RC
1
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第3章连续信号与系统的频域分析
从以上分析可以看出，利用从频谱改变的观点解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作用
于具体电路的响应时，用更方便，很少利用。
这节引出的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。
()H j ω结论
()H S ()H j ω()H j ω2011/10/2617
第3章连续信号与系统的频域分析Eg2
如图a所示系统，已知乘法器的输入
,2000cos 2sin )(t t
t
t f π=
S(t)波形如图b所示，系统函数????
?><=?1
1
)(2ωωωω
j e
j H 求响应y(t)
y (t )
f (t )
H (j ω)(a )x (t )
s (t )
t
s (t )o 1
T ＝1 ms
－T
T
T 4
(b )
T 42011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析
解：)
()()(t s t f t x ?=)()(21
)(ωωπ
ωj S j F j X ?=
)2(22sin )(1t Sa t
t
t f ==
)
(2)2(44ωπG t Sa ?)
2
(
)(ωτττSa t G ?Q )
(2)2
(ωπτ
ττG t Sa ?)
()(41ωπωG j F =))]
(())(([2
1
cos )(010101ωωωωω?++?j F j F t t f t
t f t f π2000cos )()(1=)]
2000()2000([2
)(44πωπωπω?++=
G G j F 对称性
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第3章连续信号与系统的频域分析∑∞
?∞=?=
∴n n n Sa j S )()2
(
)(?ωδπ
πωs rad T
/20002ππ
==
?∑∞
?∞
=?=
n n n Sa )2000()2
(
πωδπ
π)
()2
(2)(???=∑∞?∞=n n Sa T j S n ωδτ
τπωms
ms T 5.0,1==τQ )]
2000()2000([2
)(44πωπωπω?++=
G G j F )()(21
)(ωωπ
ωj S j F j X ?=
2011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析
∑∞
?∞
=?=
n n n Sa j S )2000()2
(
)(πωδπ
πω)]
2000()2000([2
)(44πωπωπ
ω?++=
G G j F )()(21
)(ωωπ
ωj S j F j X ?=
2011/10/2621
第3章连续信号与系统的频域分析
ω
X(j ω)
)
()(21
)(ωωπ
ωj S j F j X ?=)
()()(ωωωj H j X j Y ?=????
?><=?1
1
)(2ωωωωj e
j H 02000π
-2000π4
12
ω
ωω22)()(j e G j Y ?=)
2(1
)]([)(1?=
=?t Sa j Y FT t y π
ω2011/10/26
22
第3章连续信号与系统的频域分析
连续系统频域分析小结
优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信
号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。不足：
（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响
应仍按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅立叶变换，则无法利用频域
分析法。
（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。?解决方法：采用拉普拉斯变换
2011/10/2623第3章连续信号与系统的频域分析三、系统无失真传输条件
1.失真：信号通过系统传输时，线性系统的响
应波形与激励波形不同称为失真。
2.不失真：若信号通过系统只引起时间延迟及
幅度增减，而形状不变，则称不失真。
2011/10/2624
第3章连续信号与系统的频域分析
?信号通过非线性电路所产生的失真称非线性失真。其特点是在响应y(t)中产生了信号f(t)中所没有的新的频率分量。
?信号通过线性系统所产生的失真称线性失真。线性失真的特点是不产生新的频率成分，即组成响应y (t )的各频率分量在激励信号f (t )中都含有，只不过各频率分量的幅度、相位不同而已。
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第3章连续信号与系统的频域分析
＋
－
＋－
y (t )C t
o
t 0
R
t
o
E
t 0
E
f (t )f (t )
f (t )图a 线性失真
＋－
＋－
y (t )t
o
R
1D
t
o
1f (t )f (t )y (t )
图b 非线性失真
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第3章连续信号与系统的频域分析
3. 失真原因
①幅度失真：系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
②相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，引起的失真。
对系统的不同用途有不同的要求：
●无失真传输；●利用失真??波形变换。
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第3章连续信号与系统的频域分析4. 无失真传输条件
)
(ωj H )
(t e )
()(d t t ke t r ?=t
e(t)1
t
k
r(t)
t d
对进行付氏变换
)()(d t t ke t r ?=d
t ωj e ωj kE ωj R ?=)()()
()()(ωj E ωj H ωj R ?=2011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析
d t j k
e j H ωω?=∴)(无失真系统的系统函数
系统不失真传输在频域中的条件
)
()(ω?ωj e H =k H =)(ωd
t ωω??=)(幅频、相频条件
()=?=?t h K H d t ωωj e )j (()
d t t K ?δ2011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析k 0
ω
k
H =)(ω不失真条件：
①幅度为与频率无关的常数K ，系统的通频带为无限宽。②相位特性与|ω|成正比，是一条过原点的负斜率直线。③不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。
d
t ωω??=)(ω
2011/10/26
30
第3章连续信号与系统的频域分析
思考：将f(t)作为激励信号经过线性时不变系统，从理论上讲是否可以产生f 2(t)和f 3(t)的波形？为什么？τ=T/20τT
1t
f(t)
0τT t
f 2(t)
τT t
f 3(t)
都不能产生。
f(t)是带有直流分量的奇谐函数，只含有奇次谐波分量和直流分量。
而f 2(t)和f 3(t)都不是奇谐函数，含有偶次谐波分量。
线性时不变系统不能产生新的频率分量。
2011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析四、理想低通滤波器的特性
一个系统，如果它的H(ω)对不同频率成分的正弦信号，有的让其通过，有的予以抑制，则该系统称为滤波器。所谓理想滤波器，是指在某一频带内无畸变的传输信号并抑制其它频率分量。
2011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析
1. 定义：系统函数具有如下特征的系统称为理想低通滤波。
1
)
()(2ωωωc G j H =0
ω
c
ωc
ω?d
t ωω??=)(d
c t j e G j H ωωωω?=)()(2ω
)
()()(ωφj e
ωj H ωj H =2011/10/26
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第3章连续信号与系统的频域分析2、特性
②相频特性是通过原点的直线，在内，信号无失真传输。
d t ωωφ?=)(c ωω<③通带：能使信号通过的频率范围称为通带阻带：阻止信号通过的频率范围称为阻带c
ωω ωω>①是频域中的门函数，它将低于的所有信号予以通过，将高于的所有信号完全衰减。 )()(2ωG ωj H c ω=c ωc ω2011/10/26 34 第3章连续信号与系统的频域分析 ω ) (ωj H 3、理想滤波器与实际滤波器 1 c ω0 c ω?低通 1 1 c ω2 c ω0) (ωj H ω 带通 1 c ω2c ω0 )(ωj H ω 1带阻 c ω0 )(ωj H ω 1 高通 2011/10/2635 第3章连续信号与系统的频域分析 t h(t) 4、理想低通滤波器的冲激响应 )]([)(1ωj H FT t h ?=])([21 d c t ωj ω e ωG FT ???=)2 ()(ωτSa τt G τ?)()(2ωG t ωSa π ωc ωc c ?对称性延时性d c t ωj ωd c c e ωG t t ωSa π ω???)()]([2)]([)(d c c t t ωSa π ωt h ?= ∴π ωc d t c d t ωπ+ (1)) (2)(ωπ??f jt F 2011/10/2636 第3章连续信号与系统的频域分析 结论 ①理想低通滤波器的响应产生了严重失真，其响应峰值比输入延迟了t d 时刻。这是由于将中的频率成分全部抑制后产生的结果，属于线性失真。 )(t δ)(t δc ωω>②响应在t<0时已经出现，不符合因果关系。 理想低通滤波器的理想特性在实际中是无法实现的 2011/10/26 37 第3章连续信号与系统的频域分析5. 一种可实现的低通 理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想低通滤波器的实例 时，且令C L R = LC c 1= ω)(1t v C R L )(2t v ? ? ++) ()()(t t h t h ε=O t ()t h c ωπ 2c ωπ1 ()ωj H ω O c ω?c ωω O c ω?c ω2π2π?π()ω?-π 2011/10/26 38 第3章连续信号与系统的频域分析 6. 佩利-维纳准则——系统因果性准则 1. 时域中 响应r(t)必须出现在激励e(t)之后物理可实现的网络) ()()(t t h t h ε=2. 频域中 ∞ <+∫ ∞ ∞ ?ωd ωωj H 2 1)(ln 满足关系式 的系统为因果系统 2011/10/26 39 第3章连续信号与系统的频域分析说明 ?对于物理可实现系统,可以允许H (j ω)特性在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。 按此原理，理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻等理想滤波器都是不可实现的； ?佩利-维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速； ?佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。 2011/10/2640 第3章连续信号与系统的频域分析 作业： ?3.31 2011/10/26 41 第3章连续信号与系统的频域分析 第三章小结 本章重点： ?周期信号的频谱以及傅利叶变换（周期和非周期）； ?灵活应用傅里叶变换的性质对信号进行正逆变换、时移-尺度变换、微分积分性质等；?连续系统的频域分析； ?系统无失真传输条件以及理想低通滤波器特性；?抽样信号以及抽样定理。