不等式应用习题

人教版七年级数学《不等式的应用》解集

1.七年级(1)班师生共30人准备在五?一期间到某地去旅游，班主任刘老师了解到甲乙两家旅行社服务项目和服务质量相同，且甲旅行社平时收费为每人300元，但假期对教师实行8折优惠，对学生实行5折优惠：乙旅行社平时收费为每人280元，假期对教师和学生均实行6折优惠。请你分析刘老师一行将如何选择旅行社。

解：设选择甲旅行杜的费用为y1，选样乙旅行社的费用为y2元．李老师一行有教师x人，则：y1＝0.8×300x ＋0.5×300(30一x)，即y1＝90x十4500，

y2＝0.6×280× 30＝5040

当y1＝y2时，90x十4500＝5040，解得x＝6．

当y1

当y1>y2时，90x十4500>5040，解得x>6．

∴当李老师一行中有6名教师时。选样甲乙两家旅行社的费用相同；

当教师人数少于6人时．应选择甲旅行社；

当教师人数多于6人时．应选样乙旅行社。

2.某学校计划暑假期间组织部分师生到某地旅游，甲、乙两家旅行社的服务项目与服务质量相同，且报价都是每人1000元，经协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示可免去10位游客的费用，其余八折优惠，该学校选哪家旅行社合算？

解：设一共的旅游人数为x人，则选择甲旅行社需要的费用为1000×0.75x=750x（元），选择乙旅行社需要的费用为：1000（x-10）×0.8=800x-8000元．

得到750x-（800x-8000）=-50x+8000

①当50x+8000＞0时，得x＜160；

②当50x+8000=0时，得x=160；

③当50x+8000＜0时，得x＞160．

答：旅游人数小于160人时，选乙旅行社合算；旅游人数大于160人时，选甲旅行社合算；旅游人数刚好为160人时选择两家旅行社都一样．

3.某校计划在“十一”期间组织教师到某地参观旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客7.5折优惠．乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客8折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

解：设该单位参加旅游的人数为x人，选择甲旅行社的费用为y甲元，选择乙旅行社的费用为y乙元．

则y甲=200×0.75x=150x，y乙=200×0.8（x-1）=160x-160．

当y甲=y乙时，即150x=160x-160，解得x=16；

当y甲＞y乙时，即150x＞160x-160，解得x＜16；

当y甲＜y乙时，即150x＜160x-160，解得x＞16．

所以，当人数为16人时，甲、乙旅行社费用相同，当人数为17～25人时，选甲旅行社费用较少，当人数为10～15时，选乙旅行社费用较少．

4.某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．

（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．

（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？

解：（1）设A旅行社费用为y1，B旅行社费用为y2，该单位旅游人数为x，

由题意得：

y1=300×0.75x=225x，

y2=300×0.8×（x-1）=240x-240，（2分）

令y1=y2，即225x=240x-240，解得：x=16，

答：该单位的旅游人数为16人时，A、B两家旅行社所收费用相同；

（2）若选择A旅行社，y1=225×30=6750元

若选择B旅行社，y2=240×30-240=6960元

∴应选A旅行社．

5.“五一”期间，某校由4位教师和若干学生组成的旅游团到某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按七折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）可购团体票，旅游团体票按原价的八折优惠．这两家旅行社的全票价均为每人300元．（1）若有10位学生参加该旅游团，问选择哪家旅行社更省钱？

（2）参加旅游团的学生人数是多少时，两家旅行社收费一样？

解：（1）住甲旅行社付款4×300+10×0.7×300=3300（元），

住乙旅行社付款14×0.8×300=3360（元）．

从上可知应选择甲旅行社更省钱；

（2）设参加旅游团的学生有x人时，两家旅行社收费一样，

由题意得，4×300+0.7x×300=0.8（x+4）×300，

解得x=8．

答：当参加旅游团的学生有8人时，两家旅行社收费一样．

6.小明的妈妈暑期准备带领小明和亲戚家的几位小朋友组成旅游团赴某地旅游．甲旅行社的促销办法是“带队的一位大人买全票，其余小朋友按团体票半价优惠”；乙旅行社的促销办法是“包括带队的大人在内，一律按全票价的六折优惠”．如果两家的服务质量相同，票价每张均是240元．

（1）小孩人数为多少时，两家旅行社收费总数一样？

（2）就小孩人数讨论哪家旅行社更优惠．

解：（1）设当小孩人数为x时，两家旅行社收费总数一样，

甲旅行社的收费总数：240+120x

乙旅行社的收费总数：（x+1）×240×0.6

若两家收费相同，

则：240+120x=（x+1）×240×0.6

解得：x=4

故小孩人数为4人时，两家旅行社收费总数一样．

（2）甲旅行社的收费总数：240+120x

乙旅行社的收费总数：（x+1）×240×0.6

由第一问可知，当x=4时，两家收费总数相等；

当x ＜4时，240+120x ＞（x+1）×240×0.6，故乙旅行社更优惠；

当x ＞4时，240+120x ＜（x+1）×240×0.6，故甲旅行社更优惠．

7.一家三口（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母全票，女儿按半价优惠”；乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的80%收费”．如果这两家旅行社每人的原票价相同，那么应选择哪家旅行社比较合算？

解：设每人的原票价为a 元，

如果选择甲，则所需要费用为2a+ a 2

1=2.5a （元）， 如果选择乙，则所需费用为3a ×80%=2.4a （元），

因为a ＞0，2.5a ＞2.4a ，

所以选择乙旅行社较合算．

8.在“五?一”期间，某公司组织员工外出某地旅游．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴该地旅游的团体优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按原价五折优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价6折优惠．已知这两家旅行社的原价均为a 元，且在旅行过程中的各种服务质量相同．如果你是该公司的负责人，你会选择哪家旅行社．

解：设有x 人参加旅游（1分）

当4a+0.5a （x-4）=0.6ax 时，x=20（4分）

当4a+0.5a （x-4）＞0.6ax 时，x ＜20（6分）

当4a+0.5a （x-4）＜0.6ax 时，x ＞20（8分）

答：当参加人数为20人时，任选取一家；当参加人数少于20人时，选乙旅行社；当参加人数多于20人时，选甲旅行社．（9分）（方法不唯一）．

9.希望小学学生王晶和他的爸爸、妈妈准备在“元旦”期间外出旅游．阳光旅行社的收费标准为：大人全价，小孩半价；而蓝天旅行社不管大人小孩，一律八折．这两家旅行社的基本费一样，都是300元，你认为应该去哪家旅行社较为合算？为什么？

解：阳光旅行社的收费为：2×300+150=750（元）；

蓝天旅行社的收费为：300×0.8×3=720（元）．

∵720＜750，

∴应该去蓝天旅行社较为合算．

10.暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x 名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？

解：设甲旅行社的收费为y1，乙旅行社的收费为y2，

根据题意得，y1=2×4000+0.7×4000x=2800x+8000，

y2=（x+2）×0.8×4000=3200x+6400，

若y1＞y2，即2800x+8000＞3200x+6400，解得x ＜4；

若y1=y2，即2800x+8000=3200x+6400，解得x=4；

若y1＜y2，即2800x+8000＜3200x+6400，解得x ＞4．

所以①当这两位家长带领的学生数少于4人去旅游，他们应该选择乙家旅行社；

②当这两位家长带领的学生数为4人去旅游，他们选择甲、乙两家旅行社一样；

③当这两位家长带领的学生数多于4人去旅游，他们应该选择甲家旅行社．

11.某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠”；乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠”．若甲、乙两家旅行社原票价每人都是240元．

问题：

（1）当学生人数为10人时，两家旅行社费用分别为多少？

（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？

解：（1）当学生人数为10人，

乙旅行社的费用为：144×（10+1）=1584（元）．

甲旅行社的费用为：120×10+240=1400（元）；

（2）设学生人数为x，

根据题意得：144（x+1）=120x+240，

解得：x=4．答：当学生人数为4的时候，两家旅行社的收费一样多．

12.暑假期间，两名老师计划带领若干名学生去三亚旅游，他们联系了报价均为每人400元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名老师全额收费，学生都按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师，学生都按七折收费．假设这两名老师带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？

解：设选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，

则y1=400×2+400×0.6x，即y1=240x+800

y2=（2+x）×400×0.7，即y2=280x+560

由y1=y2，得240x+800=280x+560

解得x=6；

由y1＞y2，得240x+800＞280x+560

解得x＜6；

由y1＜y2，得240x+800＜280x+560

解得x＞6．

所以，当x=6时，甲、乙两家旅行社的收费相同：

当x＜6时，选择乙旅行社费用较少；

当x＞6时，选择甲旅行社费用较少．

13.“五?一”黄金周期间，我校某班主任要带领“三好学生”去某地参观，甲旅行社说：“如果老师买全票一张，其余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括老师在内，按全票价地六折优惠”，若全票价为240元．

（1）若有10名学生，则应参加哪个旅行社更省钱？说明理由．

（2）当学生人数是多少时，两家旅行社地收费一样多？

解：（1）甲旅行社的收费为：240×10×0.5+240=1440元；

乙旅行社的收费为：204×（10+1）×0.6=1584元；

∵1584＞1440，

∴选择甲旅社合适．

答：如果有10名学生，应参加甲旅行社．

（2）设当学生人数为x人时，两家旅行社收费一样多，

则可得：240×x×0.5+240=240（x+1）×0.6，

解得：x=4．

答：当学生人数是4人时，两家旅行社收费一样多．

14.某学校计划暑假组织部分教师到张家界去旅游，估计人数在7～13人之间．甲、乙旅行社的服务质量相同，且对外报价都是300元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠．

①分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式．

②若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？

③人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？

解：①对甲旅社，y甲=300×0.8x=240x；对乙旅社，y乙=300×0.9×（x-1）=270x-270；

②若选择甲旅行社，y甲=240×11=2640若选择乙旅行社，y乙=300×0.9×（11-1）=2700 ∴应选甲旅行社．

③若选甲旅行社，则令y甲＜y乙，即240x＜270x-270，解得：x＞9

若选乙旅行社，则令y甲＞y乙，即240x＞270x-270，解得：x＜9

当x=9时，y甲=y乙，即所需费用一样．

∴当人数为9人时，选两家旅行都是一样．当人数少于9人时，应选乙旅行社；当人数多于9人时，应选甲旅行社．

15.2010年世博会在上海隆重举办，暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去参观游览上海世博园，他们联系了报价为每人4000元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？

解：设甲旅行社的收费为y1，乙旅行社的收费为y2，

根据题意得，y1=2×4000+0.7×4000x=2800x+8000，

y2=（x+2）×0.8×4000=3200x+6400，

若y1＞y2，即2800x+8000＞3200x+6400，解得x＜4；

若y1=y2，即2800x+8000=3200x+6400，解得x=4；

若y1＜y2，即2800x+8000＜3200x+6400，解得x＞4．

所以当这两位家长带领的学生数少于4人去旅游，他们应该选择乙家旅行社；

当这两位家长带领的学生数为4人去旅游，他们选择甲、乙两家旅行社一样；

当这两位家长带领的学生数多于4人去旅游，他们应该选择甲家旅行社．

16.某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？

解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2．一张全票价格为a元，

那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a．

∴y1-y2=a+0.55ax-0.75a（x+1）=0.2a（1.25-x）．

∴当x＞1.25时，y1＜y2；

当x＜1.25时，y1＞y2．又因x为正整数，

所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；

当x ≥2，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社．

17. （2010?梧州）2010年的世界杯足球赛在南非举行．为了满足球迷的需要，某体育服装店老板计划到服装批发市场选购A 、B 两种品牌的服装．据市场调查得知，销售一件A 品牌服装可获利润25元，销售一件B 品牌服装可获利润32元．根据市场需要，该店老板购进A 种品牌服装的数量比购进B 种品牌服装的数量的2倍还多4件，且A 种品牌服装最多可购进48件．若服装全部售出后，老板可获得的利润不少于1740元．请你分析这位老板可能有哪些方案？

解：设购进B 种品牌服装的数量为x 件，购A 种品牌服装的数量为2x+4件．

则()?

??≥++≤+17403242254842x x x 解得20≤x ≤22． ∵x 为整数，∴x 取20，21，22

∴2x+4取44，46，48（4分）

答：方案①A 种品牌44件，B 种品牌20件；②A 种品牌甲款46件，B 种品牌21件；③A 种品牌甲款48件，B 种品牌22件．

18.甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了赴某地旅游的团体优惠方法，甲旅行社的优惠方法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方法是：一律按7折优惠，已知两家旅行社的原价均为每人100元；那么随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？

解：设参加旅游的人数为x 人，甲、乙旅行社的收费分别为y 1元、y 2元，依题意得， y 1=4×100+（x-4）×100×

21=50x+200， y 2=100x ×10

7=70x ， 由y 1=y 2得：50x+200=70x ，解得：x=10，

由y 1＞y 2得：50x+200＞70x ，解得：x ＜10，

由y 1＜y 2得：50x+200＜70x ，解得：x ＞10，

综上所述，当人数x=10时，两家旅行社的收费一样多，

当人数x ＜10时，乙旅行社的收费较优惠，

当人数x ＞10时，甲旅行社的收费较优惠．

19.暑假学校准备组织一批学生参加夏令营，联系了甲，乙两家旅行社，他们的服务质量相同，且入营费都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可以给每位入营队员七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位带队老师的费用，其余的入营队员八折优惠．请问应该选择哪家旅行社，才能使费用最少？

解：设参加夏令营的有x 人，总费用为y 元，根据题意得：

y 甲=200×0.75=150x

y 乙=200×0.8×（x-1）=160（x-1）

（1）若y 甲=y 乙得x=16

（2）若y 甲＞y 乙得x ＜16

（3）若y 甲＜y 乙得x ＞16

答：当参加夏令营的人数等于16人时，两家旅行社的费用一样；

当参加夏令营的人数少于16人时，乙旅行社的费用较低，故选乙；

当参加夏令营的人数多于16人时，甲旅行社的费用较低，故选甲．

20.一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲施行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙施行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的25%优惠．这两家旅行社的原价均为每人100元．这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？当小孩数是5时，这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？比较随着小孩数的增多，哪家旅行社收费更优惠？

解：小孩数是4时，甲旅行社费用：4×100+3×2

100=550元， 乙旅行社费用：700×（1-25%）=525元，选择乙．

小孩数是5时，甲旅行社费用：4×100+4×2

100=600元， 乙旅行社费用：800×（1-25%）=600，都可以． 小孩数是6时，甲旅行社费用：4×100+5×

2100=650元， 乙旅行社费用：900×（1-25%）=675元，选择甲．

故小孩数多于5时，选择甲所花费用少．

21.（2002?龙岩）“元旦”期间，某学校由4位教师和若干位学生组成的旅游团，到某风景区旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按7折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）可购团体票，游团体票按原价的8折优惠．这两家旅行社的全票价均为每人300元．

（1）若有10位学生参加该旅游团，问选择哪家旅行社更省钱？

（2）设参加该旅游团的学生为x 人，问人数在什么范围内时，选择乙旅行社更省钱？ 解：（1）若有10位学生参加该旅游团，则

甲旅行社收费为：4×300+（6+4）×300×70%=3300元；

乙旅行社收费为：14×300×80%=3360元．

所以，若有10位学生参加该旅游团，选择甲旅行社更省钱．

（2）依题意得4×300+（x-4）×300×70%＞300×80%x

解之得x ＜12

又因为乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）可购团体票，有8折优惠． 所以5＜x ＜12时，选择乙旅行社更省钱．

22.某校二年级五班班主任带领该班学生去东山旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠”，若全票为每张240元．请问甲、乙两家旅行社收费哪家更合算，说明理由．

解：设学生人数为x 人，甲旅行社的费用为y 1元，乙旅行社的费用为y 2元．

y 1=240+120x

y 2=240×0.6（x+1）=144x+144

当y 1=y 2时

240+120x=144x+144，x=4

当y 1＞y 2时x ＜4

当y 1＜y 2时x ＞4

答：学生为4人时两旅行社费用一样，超过4人选甲旅行社，不到4人选乙旅行社．

用基本不等式解决应用题

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. N T M H G F E D C B A 用基本不等式解决应用题 例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35 k p x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值． 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．． 为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值． 17．解：（1）由题设，得 ()9007200822916S x x x x ??=--=--+ ??? ，()8,450x ∈． ………………………6分 （2）因为8 450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分 例2．某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ?中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交,AB DF 于N M ,，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设()DN x m =． （1）将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；

基本不等式应用-解题技巧归纳

基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

基本不等式在实际中的应用

基本不等式在实际中的应用 1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ） A ．a v << B ．v C 2a b v +< D ．2 a b v += 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式 35(06)814(6)k x x S x x ?++<

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值

【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带

用基本不等式解决应用题(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 用基本不等式解决应用题 例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35 k p x x = ≤≤+， 若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值． 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩 形区域的总面积．．． 为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．

17．解：（1）由题设，得 ()9007200822916 S x x x x ?? =--=--+ ???， ()8,450x ∈． ………………………6分 （ 2） 因 为 8450 x <<，所以 72002240x x + =≥， ……………………8分 当且仅当60 x =时等号成 立． ………………………10分 从 而 676S ≤． ………… ……………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区

基本不等式应用题

基本不等式应用题 最值问题 一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题； 2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。 二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 三．教学过程： （一）复习：1．均值不等式： 2．极值定理： （一）练习题 1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ，且211=+y x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。 7 1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。 变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。

3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ，且 求的最小值 （二）新课讲解： 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 例3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？ 例4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ?的最大面积及相应的x 值。 例5．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/ 时，已A

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

北师大版数学必修五：《基本不等式的实际应用》导学案(含答案)

第7课时基本不等式的实际应用 1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题. 今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2. 问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为错误！未找到引用源。dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(错误！未找到引用源。+2)-72=8+2(x+错误！未找到引用源。)≥8+2×2错误！未找到引用源。= . 当且仅当时,取得最小值. 问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把定为函数; (2)建立相应的,把实际问题抽象为问题; (3)在定义域内,求出函数的; (4)正确写出答案. 问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+错误！未找到引用源。,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=错误！未找到引用源。. 问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性. 1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().

基本不等式及其应用

2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:

(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析

基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数

基本不等式应用练习题(6)

基本不等式应用练习题 一、选择题 1.若满足约束条件，则的最小值是 ( A ). A. B. C. D. 解析：约束条件对应的可行域为内部(包括边界)，其中，，，∴. [变式思考]设不等式组表示的平面区域为，若指数函数的图象上存 在区域上的点，则的取值范围是( A ). A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.[ 3， ] 解析：题中不等式组表示的平面区域是如图所示的向上的“开阔性”区域(包括边界)，由题意可知，指数函数的图象经过该区域. 可求得点的坐标为(2，9).当指数函数 的图象经过点时，，根据指数函数的性质及“指数爆炸”的特性可知，当 ，其图象必经过该区域，故选A. 2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 ( D ). A. B. C. D. 解析：选项A在时不成立，选项B、C在时不成立. 3.下列结论正确的是( B ). A.当且时，； B.当时，；

C.当时，的最小值为2； D.当时，的最小值为2 解析：A选择项中可能为负，不适合基本不等式；C，D选择项中适合基本不等式，但取最小值等号取不到.只有B正确. 4.设，若是与的等比中项，则的最小值为 ( C ). A.8 B.4 C.1 D . 解析：∵，∴，则，当 且仅当即时取“＝”号，故选择C. [变式思考]若正数满足，则的最小值是 ( C ). A. B. C.5 D.6 解析：∵，，∴，∴ ，当且仅当时取“＝”号. 5.已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 ( D ) A. B. C. D. 解析：∵，，成等差数列，成等比数列，∴， ，则，当且仅当时取等号. 二、填空题 6.设，则的最小值为9 . 解析：，当且仅当时取“＝”号. 7. 若对任意，，则实数的取值范围是 . 解析：因为，所以(当且仅当时取等号)，则 ，即的最大值为，故.

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 1．ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab . (2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2 4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 选择题： 设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81 若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54 解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋

(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案

基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式

1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；

高考数学：基本不等式在实际问题中的应用

试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用 典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元． （1）当[] 10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+- ()2 35325x =--+，[10,15]x ∈. ∵35[10,15]x =?，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数， 可求得[300,75]P ∈--. ∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． （2）设平均处理成本为 90050y Q x x x ==+- 5010≥=， 当且仅当900x x = 时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． 点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于 y x ，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

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基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． (2)2 a b ab +≤ ()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab ≤2 2??? ??+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22?? ? ??+b a ≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R ). （6） b a a b b a b a 112 2222+≥≥+≥+()0,>b a

(7)abc≤a3＋b3＋c3 3; () ,,0 a b c> (8)a＋b＋c 3≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是() A.6 B.42 C.2 2 D.2 6 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为() A.1 2 B.1 C.2 D.4 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2.当且仅当a ＝1，b＝1 2时等号成立.故选A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则() A.a＜v＜ab B.v＝ab C.ab＜v＜a＋b 2 D.v＝ a＋b 2