2019-2020数学高考一模试卷(带答案)

2019-2020数学高考一模试卷(带答案)

一、选择题

1．若复数2

1i

z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i

B ．1?i

C ．?1+i

D ．?1?i

2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．

12

B ．

13

C ．

23

D ．

34

3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 4．设函数()()21,04,0

x

log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ）

A ．9

B ．11

C ．13

D ．15

5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

6．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．

23

B ．43

C ．

32

D ．3

7．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B

B ．B 与C

C ．A 与D

D ．C 与D

8．函数()()2

ln 1f x x x

=

+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1

B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

9．函数3

2

()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞

B ．(,2)-∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,2)

10．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角

B ．假设至少有两个钝角

C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角

D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

11．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．

14

B ．

12

C ．

22

D ．2

12．函数y ()y ()f x f x ==，

的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．复数()1i i +的实部为 ．

14．已知实数,x y 满足不等式组201030

y x y x y -≤??--≤??+-≥?

，则y

x 的取值范围为__________．

15．(

)sin 5013=o

o

________________.

16．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.

18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲

19．若x，y满足约束条件

220

10

x y

x y

y

--≤

?

?

-+≥

?

?≤

?

，则32

z x y

=+的最大值为_____________．

20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是

三、解答题

21．已知向量()

2sin,1

a x

=+

r

，()

2,2

b=-

r

，()

sin3,1

c x

=-

r

，

()

1,

d k

=

u r

()

,

x R k R

∈∈

（1）若,

22

x

ππ

??

∈-??

??

，且()

//

a b c

+

r r r

，求x的值.

（2）若函数()

f x a b

=?

r r

，求()

f x的最小值.

（3）是否存在实数k，使得()()

a d

b c

+⊥+

r u r r r

？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

22．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且90

BAP CDP

∠=∠=o.

（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；

（2）若P A=PD=AB=DC，90

APD

∠=o，求二面角A?PB?C的余弦值.

23．已知椭圆()

22

22

:10

x y

C a b

a b

+=>>的一个焦点为)5,05

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点()

00

,

P x y为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

24．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1

()f x g x x x

=

-，求()g x 的极值； （2）证明：2

()1x

f x e x +<-.

（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 3

2 4.48e ≈ 27.39e ≈）

25．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)

z z +=

==+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.

2．B

解析：B 【解析】

试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．

从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2

46C =种，数学之和为偶数的有13,24

++两种，所以所求概率为1

3

，选B ． 考点：古典概型．

3．A

解析：A

【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】

∵函数2log (1),0()4,0x

x x f x x -

， ∴()2l 23

og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．

故选B ． 【点睛】

本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】

由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．

点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．

6．C

解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω?

?

=+

+ ??

?的图象向右平移43

π

个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

?

=-

++=+-+ ? ??????

?

?? 所以有

4333

2013222

w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C

7．C

解析：C 【解析】

分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；

在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；

在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；

在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.

点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】

由题得()2

1ln 2=ln 2201

f =-

-<， ()2

2ln3=ln3102

f =-->，

所以(1)(2)0,f f <

所以函数()()2

ln 1f x x x

=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】

本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】

32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-

减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】

本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.

10．B

解析：B 【解析】

用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．

11．C

解析：C 【解析】

由题得(1)111122222

i i i i z i z i -+=

===+∴==

+. 故选C. 12．D

解析：D 【解析】

原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为

0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数

知识来讨论函数单调性时，由导函数

'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．

二、填空题

13．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-

【解析】

复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.

14．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单

解析：1,22??

????

【解析】 【分析】 作出可行域，

y

x

表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值

即可求解. 【详解】

如图，不等式组201030y x y x y -??--??+-?

??…表示的平面区域ABC V （包括边界），所以y

x 表示()

,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以1

22

OA OB k k ==，，故1,22y x ??∈????.

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.

15．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1

【解析】 【分析】

利用弦化切的运算技巧得出(

)

cos103sin10sin 50sin 5013an10++=o o

o

o

o

利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果. 【详解】 原式

()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10++===

o o o o o o o o

o o

()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o o

o o o o o . 故答案为：1. 【点睛】

本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.

16．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令

解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】

由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】

由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为

24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径

=22

(2)10x y -+=.

【点睛】

本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

17．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴

解析：【解析】 【分析】

由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】

因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ??=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11

2

CE CC =

， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积

1132V AB BC CE =???=11111

1201032212AB BC CC =???=?=.

【点睛】

本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.

18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8

解析：1：8 【解析】

考查类比的方法，

11

111

222

22

1

11

1

3

1428

3

S h

V S h

V S h

S h

??

＝＝＝＝，所以体积比为1∶8.

19．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B点时取得最大值联立方程组求得点B的坐标代入目标函数

解析：6

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式31

22

y x z

=-+，之后在图中画出直线

3

2

y x

=-，在上下移动的过程中，结合

1

2

z的几何意义，可以发现直线

31

22

y x z

=-+过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.

【详解】

根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由32

z x y

=+，可得

31

22

y x z

=-+，

画出直线

3

2

y x

=-，将其上下移动，

结合

2

z

的几何意义，可知当直线

31

22

y x z

=-+在y轴截距最大时，z取得最大值，

由

220

x y

y

--=

?

?

=

?

，解得(2,0)

B，

此时max3206

z=?+=，故答案为6.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件

对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

20．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025

解析：20 25 【解析】 设这三个数：

、

、

（），则

、

、

成等比数列，则

或

（舍），则原三个数：15、20、25

三、解答题

21．（1）6

x π

=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--

【解析】 【分析】

（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；

（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；

（3）计算由()()

0a d b c +?+=r u r r r

得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．

【详解】

（1）()sin 1,1b c x +=--r r

Q ，()

//a b c +r r r ，

()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ??

∈-????

，6x π∴=-.

（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=?=+-=+r r

.

x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟

，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r

， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()

0a d b c +?+=r u r r r

，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，

()2

2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，

∴存在[]5,1k ∈--，使得()()

a d

b

c +⊥+r u r r r

【点睛】

本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 22．（1）见解析；（2）3 【解析】

【详解】

（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ?平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，

由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点，FA u u u v

的方向为x 轴正方向，

AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐

标系F xyz -.

由（1）及已知可得22A ?? ? ???，2P ? ??，2,1,02B ?? ? ???，22C ??- ? ???. 所以22PC ?= ??u u u v ，)

2,0,0CB =u u u v ，22PA =??

u u u v ，()0,1,0AB =u u u

v .

设(),,n x y z =r

是平面PCB 的法向量，则

0,0,n PC n CB ??=??=?u u u

v r u u u v r 即220,

20,x y x ?+-=???=? 可取(0,1,2n =--r

.

设(),,m x y z r

=是平面PAB 的法向量，则

0,0,m PA m AB ??=??=?u u

u v r u u u v r 即220,220.x z y -=??=?

可取()1,0,1m =r

. 则3cos ,3

n m n m n m ?==-r r r r

r r ，

所以二面角A PB C --的余弦值为3

【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

23．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

553a =?=，且有2235b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

22000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2

220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

， 化简得()2

2

00

940y kx k ---=，即()()2

2

20

00

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

20

00

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

24．（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可． 【详解】 （1）()()2

1ln 1(0)f x x g x x x x x x

=

-

=->，()22ln 'x g x x -=

，当()

2

0,x e ∈，()'0g x >，

当()

2

,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在(

)2

0,e

上递增，在()2

,e +∞上递减，()g x ∴在

2x e =取得极大值，极大值为

2

1

e ，无极大值. （2）要证

f （x ）+1＜e x ﹣x 2． 即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，

先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，

易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1， 故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，

令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，

令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2， ∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增， 且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，

由零点存在定理，可知?x 1∈（0，2ln2），?x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0，

故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k

（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x2），由k′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，

k（x2）＝﹣2+x2﹣1＝﹣（x2﹣2）（2x2﹣1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，

故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．

25．(1)见解析； (2)见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据DE平行PC即可证明（2）利用PC，可知DE与FG平行且相等，即可证明.【详解】

证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.

又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP，所以DE∥平面BCP.

(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.

所以四边形DEFG为平行四边形．

又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.

所以四边形DEFG为矩形．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.