11章
10-5如题10-5所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以
t
I
d d 的变化率增大,求: (1>
任一时刻线圈内所通过的磁通量;
(2>
线圈中的感应电动势.
解: 以向外磁通为正则
(1>
]ln [ln π2d π2d π200
0d
a d
b a b Il r l r I r l r I a
b b
a d d m +-+=-=?
?++μμμΦ
(2>
t I
b a b d a d l t d d ]
ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε
10-7 如题10-7图所示,长直导线通以电流I =5A ,在其右方放一长方形线圈,两者共面.线圈长b =0.06m ,宽a =0.04m ,线圈以速度v =0.03m ·s
-1
离.求:d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向.
题10-7图
解: AB 、CD 运动速度v
方向与磁力线平行,不产生感应电动势.
DA 产生电动势
?==??=A
D I vb vBb l B v d
2d )(01πμε
BC 产生电动势
)
(π2d )(02d a I
vb
l B v C
B
+-=??=?με
∴回路中总感应电动势
8021106.1)11
(π2-?=+-=
+=a
d d Ibv μεεε V 方向沿顺时针.
10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B
的方向如题10-9图所
示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t =0>.解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时
0d d <Φ
t
,0>ε; 题10-9图(a>题10-9图(b>
在磁场中时
0d d =t
Φ
,0=ε; 出场时
0d d >t
Φ
,0<ε,故t I -曲线如题10-9图(b>所示. 题10-10图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘>.求:线圈与导线间的互感系数.解: 设长直电流为I ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
?
=
=323
00122ln π
2d π2a a Ia
r r
Ia
μμΦ
∴ 2ln π
2012
a
I
M μΦ=
=
10-16 一矩形线圈长为a =20cm ,宽为b =10cm ,由100匝表面绝缘的导线绕成,放在一无限长导线的旁边且与线圈共面.求:题10-16图中(a>和(b>两种情况下,线圈与长直导线间的互感. 解:(a>见题10-16图(a>,设长直电流为I ,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
2ln π
2d 2πd 020)(12Ia
r r Ia S B b b S μμΦ??==?= ∴ 6012
108.22ln π
2-?===
a N I N M μΦ H (b>∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通012=Φ,见题10-16图(b> ∴ 0=M
题10-16图
题10-17图
13章
12-7 在杨氏双缝实验中,双缝间距d =0.20mm ,缝屏间距D =1.0m ,试求: (1>若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ,计算此单色光的波长; (2>相邻两明条纹间的距离.
解: (1>由λk d
D
x =明知,λ22.01010.63??=
, ∴ 3
10
6.0-?=λmm o
A 6000=
(2> 3106.02
.010133
=???==?-λd D x mm 12-11 白光垂直照射到空气中一厚度为3800 o
A 的肥皂膜上,设肥皂膜的折射率为1.33,
试问该膜的正面呈现什么颜色?背面呈现什么颜色?解: 由反射干涉相长公式有
λλ
k ne =+
2
2 ),2,1(???=k
得 1
220216
12380033.14124-=
-??=-=
k k k ne λ 2=k , 67392=λo
A (红色> 3=k , 40433=λ o
A (紫色>
所以肥皂膜正面呈现紫红色.
由透射干涉相长公式 λk ne =2),2,1(???=k 所以 k
k ne 10108
2=
=
λ 当2=k 时, λ =5054o A (绿色> 故背面呈现绿色.
14章
13-13 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm 的单缝,缝后凸透镜的焦距
f=40.0cm ,观察屏幕上形成的衍射条纹.若屏上离中央明条纹中心1.40mm 处的P 点为一明条纹;求:(1>入射光的波长;(2>P 点处条纹的级数;(3>从P 点看,对该光波而言,狭缝处的波面可分成几个半波带?解:(1>由于P 点是明纹,故有2
)
12(sin λ
?+=k a ,???=3,2,1k
由
??sin tan 105.3400
4.13≈=?==-f x 故310
5.31
26
.0212sin 2-??+?=+=
k k a ?λ
3102.41
21
-??+=
k mm 当 3=k ,得60003=λo
A
4=k ,得47004=λo
A
(2>若60003=λo
A ,则P 点是第3级明纹; 若47004=λo
A ,则P 点是第4级明纹. (3>由2
)
12(sin λ
?+=k a 可知,
当3=k 时,单缝处的波面可分成712=+k 个半波带; 当4=k 时,单缝处的波面可分成912=+k 个半波带.
13-14 用5900=λo
A 的钠黄光垂直入射到每毫M 有500条刻痕的光栅上,问最多能看到第几级明条纹?
解:500
1=+b a mm 3100.2-?= mm 4
100.2-?=o A 由λ?k b a =+sin )(知,最多见到的条纹级数m ax k 对应的2
π
?=
,
所以有39.35900
100.24max ≈?=+=
λ
b
a k ,即实际见到的最高级次为3max =k .
第五章
5-7 质量为kg 10103
-?的小球与轻弹簧组成的系统,按)SI ()3
28cos(1.0ππ+
=x 的规
律作谐振动,求:
(1>振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值;
(2>最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等? (3>s 52
=t 与s 11=t 两个时刻的位相差;
解:(1>设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ,则知:
3/2,s 4
1
2,8,m 1.00πφωπ
πω===
∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -? 51.2=1s m -?
2.632==A a m ω2s m -?
(2> N 63.0==m m a F
J 1016.32
122
-?==
m mv E J 1058.12
1
2-?==
=E E E k p 当p k E E =时,有p E E 2=,
即
)2
1(212122kA kx ?= ∴ m 20
2
22±=±
=A x (3> ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t
5-8 一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A ,周期为T ,其振动方程用余弦函数表示.如果0=t 时质点的状态分别是:(1>A x -=0;
(2>过平衡位置向正向运动; (3>过2
A
x =
处向负向运动; (4>过2
A x -
=处向正向运动.
试求出相应的初位相,并写出振动方程.
解:由于 ??
?-==0
00
0sin cos φωφA v A x
将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有
)2cos(1ππ
π
φ+==t T A x
)23
2cos(2
3
2πππφ+==t T A x
)3
2cos(3
3π
ππ
φ+==
t T A x
)4
5
2cos(454πππφ+==
t T A x
5-11 图为两个谐振动的t x -曲线,试分别写出其谐振动方程.
题5-11图
解:由题4-8图(a>,∵0=t 时,s 2,cm 10,,2
3
,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-?==
ππωT
故 m )2
3
cos(1.0ππ+=t x a 由题4-8图(b>∵0=t 时,3
5,0,2000π
φ=
∴>=
v A x 01=t 时,2
2,0,0111π
πφ+
=∴<=v x
又 ππωφ2
535
11=+?= ∴ πω6
5=
故 m t x b )3
56
5cos(1.0ππ+
= 5-16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为
??
???
-=+=m
)65
2cos(3.0m )62cos(4.021
ππt x t x 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相,并写出谐振方程。 解:∵ πππ
φ=--=
?)6
5
(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合
336
5cos
3.06cos
4.065sin
3.06sin
4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-?=
++=πππ
π
φφφφφA A A A ∴ 6
π
φ=
其振动方程为
m )6
2cos(1.0π
+=t x
第六章
6-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4->,式中x ,y 以M 计,t 以秒计.求:
(1>波的波速、频率和波长;
(2>绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度; (3>求x =0.2m
t =1s 时的位相,它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的
运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点? 解: (1>将题给方程与标准式
)22cos(x t A y λ
π
πυ-
=
相比,得振幅05.0=A m ,频率
5=υ1-s ,波长5.0=λm ,波速
5.2==λυu 1s m -?.
(2>绳上各点的最大振速,最大加速度分别为
ππω5.005.010max =?==A v 1s m -? 222max 505.0)10(ππω=?==A a 2s m -?
(3>2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为
08.05
.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x >,在92.008.010=-=t s 时的位相, 即 2.9=φπ. 设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点,则
825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m
6-13 一列机械波沿x 轴正向传播,t =0时的波形如题6-13图所示,已知波速为10 m ·s -1
,
波长为2m ,求:(1>波动方程;
(2> P 点的振动方程及振动曲线; (3> P 点的坐标;
(4> P 点回到平衡位置所需的最短时间.
解: 由题6-13图可知1.0=A m ,0=t 时,0,2
00<=
v A y ,∴30π
φ=,由题知
2=λm ,
10=u 1s m -?,则52
10
==
=
λ
υu
Hz ∴ ππυω102== (1>波动方程为
]3
)10(10cos[.01π
π+-
=x t y m
题6-13图
(2>由图知,0=t 时,0,2
<-=P P v A y ,∴34π
φ-=P (P 点的位相应落后于0点,故取负值>
∴P 点振动方程为)3
4
10cos(1.0ππ-=t y p (3>∵ πππ34|3)10(100-=+-
=t x t ∴解得 67.13
5
==
x m (4>根据(2>的结果可作出旋转矢量图如题6-13图(a>,则由P 点回到平衡位置应经历的位相角
题6-13图(a>
ππ
π
φ6
523
=+
=? ∴所属最短时间为
6-19 如题6-19图所示,设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播,它在B 点的振动方程为
t y π2cos 10231-?=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播,它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+?=-t y ,本题中y 以m 计,t 以s 计.设BP =0.4m ,CP =0.5 m ,波
速u =0.2m ·s -1
,求:(1>两波传到P 点时的位相差;
(2>当这两列波的振动方向相同时,P 处合振动的振幅;
*(3>当这两列波的振动方向互相垂直时,P 处合振动的振幅. 解: (1> )(2)(12BP CP --
-=?λ
π
?φφ
)(BP CP u
--=ω
π
0)4.05.0(2
.02=--
=π
π
题6-19图
(2>P 点是相长干涉,且振动方向相同,所以
321104-?=+=A A A P m
(3>若两振动方向垂直,又两分振动位相差为0,这时合振动轨迹是通过Ⅱ,Ⅳ象限的直线,所以合振幅为
3312
2211083.210222--?=?==+=A A A A m
6-20 一平面简谐波沿x 轴正向传播,如题6-20图所示.已知振幅为A ,频率为ν11波速为
u .(1>若t =0时,原点O 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程; (2>若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求x 轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置. 解: (1>∵0=t 时,0,000>=v y ,∴2
0π
φ-
=故波动方程为
]2
)(2cos[ππ--=u x t v A y m
题6-20图
(2>入射波传到反射面时的振动位相为(即将λ4
3=
x 代入>2432π
λλπ-?-
,再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射,存在半波损失,所以反射波在界面处的位相为πππ
λλπ
-=+-?-
2
432 若仍以O 点为原点,则反射波在O 点处的位相为
ππλλπ2
5432-=-?-
,因只考虑π2以内的位相角,∴反射波在O 点的位相为2π
-,
故反射波的波动方程为
]2
)(2cos[π
πυ-+=u x t A y 反
此时驻波方程为
]2)(2cos[π
πυ-
-=u
x t A y ]2
)(2cos[π
πυ-++u x t A )2
2cos(2cos 2ππυπυ-=t u x A 故波节位置为
2
)12(22πλππυ+==k x u x 故 4
)
12(λ
+=k x (,2,1,0±±=k …>
根据题意,k 只能取1,0,即λλ43,41=
x 12
1
106/5=
=
?=
?ππω
φ
t s 7-7 速率分布函数)(v f 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度,
N 为系统总分子数>.
<1)v v f d )( <2)v v nf d )( <3)v v Nf d )(
<4)
?
v
v v f 0
d )( <5)?∞
d )(v v f <6)?2
1
d )(v v v v Nf
解:)(v f :表示一定质量的气体,在温度为T 的平衡态时,分布在速率v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.(1> v v f d )(:表示分布在速率v 附近,速率区间v d 内的分子数占总分子数的百分比.
(2> v v nf d )(:表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数密度.
(3> v v Nf d )(:表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数.
(4>
?v
v v f 0
d )(:表示分布在21~v v 区间内的分子数占总分子数的百分比.
(5>
?
∞
d )(v v f :表示分布在∞~0的速率区间内所有分子,其与总分子数的比值是1.
(6>
?
2
1
d )(v v v v Nf :表示分布在21~v v 区间内的分子数.
7-15 试说明下列各量的物理意义. <1)
kT 21 <2)kT 23 <3)kT i
2 <4)
RT i M M mol 2 <5)RT i 2 <6)RT 2
3
解:(1>在平衡态下,分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为
k 2
1
T . (2>在平衡态下,分子平均平动动能均为
kT 2
3
. (3>在平衡态下,自由度为i 的分子平均总能量均为
kT i
2
. (4>由质量为M ,摩尔质量为mol M ,自由度为i 的分子组成的系统的内能为
RT i
M M 2
mol .
(5> 1摩尔自由度为i 的分子组成的系统内能为
RT i
2
.
(6> 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT 2
3
,或者说热力学体系内,1摩尔分子的平均平动动能之总和为
RT 2
3
. 7-22 容器中储有氧气,其压强为p =0.1 MPa(即1atm>温度为27℃,求
(1>单位体积中的分子n ;(2>氧分子的质量m ;(3>气体密度ρ;(4>分子间的平均距离e ;(5>平均速率v ;(6>方均根速率2v ;(7>分子的平均动能ε.解:(1>由气体状态方程nkT p =得
2423
51045.2300
1038.110013.11.0?=????==-kT p n 3
m - (2>氧分子的质量
2623
0mol 1032.510
02.6032
.0?=?==
N M m kg (3>由气体状态方程RT M M
pV mol
=
得 13.0300
31.810013.11.0032.05mol =????==RT p M ρ 3m kg -?
(4>分子间的平均距离可近似计算
93
24
3
1042.71045.21
1
-?=?=
=
n
e m
(5>平均速率
58.446032
.0300
31.860.160
.1mol =?≈=M RT v 1s m -? (6> 方均根速率
87.48273
.1mol
2=≈M RT
v 1s m -? (7> 分子的平均动能
20231004.13001038.12
525--?=???==kT εJ
7-24 一瓶氧气,一瓶氢气,等压、等温,氧气体积是氢气的2倍,求(1>氧气和氢气分子数密度之比;(2>氧分子和氢分子的平均速率之比.解:(1>由于 nkT p =则
1=H
O
n n (2>由平均速率公式
mol
60
.1M RT
v = 4
1
mol mol ==O H H O
M M v v
8-12 1 mol 单原子理想气体从300 K 加热到350 K ,问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功?(1>体积保持不变; (2>压力保持不变. 解:(1>等体过程
由热力学第一定律得E Q ?=
吸热
)(2)(1212V T T R i
T T C E Q -=-=?=υ
υ
25.623)300350(31.823
=-??=
?=E Q J
对外作功 0=A (2>等压过程
)(22
)(1212P T T R i T T C Q -+=-=υ
υ
吸热75.1038)300350(31.825
=-??=
Q J
)(12V T T C E -=?υ
内能增加
25.623)300350(31.823
=-??=
?E J
对外作功 5.4155.62375.1038=-=?-=E Q A J
8-14 0.01 m 3
氮气在温度为300 K 时,由0.1 MPa(即1 atm>压缩到10 MPa .试分别求氮
气经等温及绝热压缩后的(1>体积;(2>温度;(3>各过程对外所作的功.解:(1>等温压缩 300=T K 由2211V p V p = 求得体积
3
211210101.0101
-?=?==
p V p V 3m
对外作功
2
1112ln ln
p p
V p V V VRT A ==
01.0ln 01.010013.115????= 31067.4?-=J
(2>绝热压缩
R C 25V =
57
=γ
由绝热方程 γ
γ2211V p V p =γ
γ/12
112)(p V p V = 1
1
2
1/12112)()(V p p p V p V γγγ==
3
41
1093.101.0)101
(-?=?=m
由绝热方程γ
γγγ---=22111p T p T 得
K
579)10(30024
.04.1111
2
12=?==--T p p T T γγγγ
热力学第一定律A E Q +?=,0=Q
所以
)(12mol
T T C M M
A V --
=
RT M M
pV mol
=
,)
(2512111T T R RT V p A --=
3
5105.23)300579(25
300001.010013.1?-=-????-=A J
8-15 理想气体由初状态),(11V p 经绝热膨胀至末状态),(22V p .试证过程中气体所作的功
为
12
211--=
γV p V p A ,式中γ为气体的比热容比.
答:证明: 由绝热方程
C V p V p pV ===γγγ2211 得
γγ
V V p p 1
11=
?=2
1
d V V V
p A
?
-----==2
1
)
11(1d 11
121111V V r V V V p v v V p A γγγγ
γ
]1)[(11
2
111---
=-γγV V V p
又 )
(1111211+-+----=γγγ
γV V V p A 11
2221111--=
+-+-γγγγγV V p V V p
所以
12211--=
γV p V p A
8-19 一卡诺热机在1000 K 和300 K 的两热源之间工作,试计算 (1>热机效率;
(2>若低温热源不变,要使热机效率提高到80%,则高温热源温度需提高多少? (3>若高温热源不变,要使热机效率提高到80%,则低温热源温度需降低多少?
解:(1>卡诺热机效率
121T T -
=η
%701000300
1=-
=η
(2>低温热源温度不变时,若
%80300
11
=-
=T η
要求 15001=T K ,高温热源温度需提高500K (3>高温热源温度不变时,若
%80100012
=-
=T η
要求 2002=T K ,低温热源温度需降低100K
申明:
所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。