向量坐标表示练习题及答案
一、主要知识： 1．基本单位向量
2. 位置向量 ：起点是 的向量叫做位置向量。
已知(),A x y ，则位置向量OA xi y j =+。把有序实数对(),x y 叫做位置向量OA 的坐标，记作(),OA x y =。
注意：位置向量的坐标就是 。
3.已知任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，则向量PQ = 。 注意：一个向量的坐标就是 。
4.向量的运算的坐标表示形式
设λ是一个实数，()()1122,,,a x y b x y ==
则a b += 说明向量相加等于 ；
a b -= 说明向量相减等于 ；
a λ= 数乘向量等于 ；
a = 向量的模等于 ；
1212a b x x y y =?==且 向量相等的充要条件是 。
5.非零向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的充要条件是 。
6.已知P 是直线12P P 上一点，且()1
2,1PP PP R λλλ=∈≠- ()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，则
x = ，y = 这个公式叫做点P 分线段12P P 的定比分点公式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。
特别地，当1λ=时，P 是12P P 的中点，此时 x = ，y = 叫做中点公式。
二、例题分析：
考点一、向量的坐标表示及其运算
例1、已知平行四边形ABCD 中，()()()2,1,3,2,2,4A B C ---，O 为坐标原点。 （1）写出,OB AC 的坐标；（2）求点D 的坐标。
巩固练习：
已知()()4,1,5,2a b =-=，（1）求23a b +的坐标；（2）求2a b -。
提高练习：
已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求,a b 的坐标。
例2、 已知点()2,3A -，点B 在x 轴上，且5AB =，求AB 的坐标。
巩固练习：
（1）已知()2,5AB =，点()3,1B -，则点A 的坐标为 。
（2）已知()()3,2,2,1a b =-=--，则2a b +的坐标为 ，
2a b += 。
（3）2,2AB i j AC i j =-=+，则BC =
考点二、向量平行的判断应用
例3、设()()22,4,8,1a k b k =+=+，已知//a b ，求实数k 的值。
巩固练习：
已知()()4,5,3,6a b ==，求实数k ，使ka b +与3a b -平行。
迁移练习：
已知()()()3,6,5,2,6,A B C y -三点共线，求实数y 的值。
考点三、定比分点公式和中点公式 例4、已知4
7
PA AB =-，设BP PA λ=，求λ的值。
巩固练习：
已知()()2,1,8,8A B -，求线段AB 的三等分点,C D 的坐标。
提高练习：
已知()()122,1,0,5P P -，若点P 在12P P 的延长线上且122PP
PP =，求点P 的坐标。
课堂测试：
1．已知平面内两点()()2,4,2,1P Q -，则PQ 的单位向量0_______a =。
2．已知()()2,3,1,5a b =-=-，则3_________
a b -=。
3．若向量()0,2a =、(),3b k l =--，且a 与b 是模相等的平行向量，则___,___k l ==。 4．若平面内,A B 两点的坐标分别是()()2,5,3,0，P 是直线AB 上的一点，2
3
AP PB =-，则点P 的坐标是________。 5．在ABC ?中，有命题
①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-?+AC AB AC AB ，则ABC ?为等腰三角形；④若0>?AB AC ，则A B C ?为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④
6．如图,在平面四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( )
A ．=
B ．=+
C ．B
D AD AB =- D ．0=+CB AD
7．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，
2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．若平面内,,A B C 三点的坐标分别是()()()112233,,,,,x y x y x y ，G 是ABC ?的重心，求点G 的坐标。
当堂巩固
1．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b
的值为________．
2．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．
3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3BC.若DE →＝λ1 AB →＋λ2
AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
4．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
5．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →
.
(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．
课后作业
1．已知()()1,3,4,a k b k =-=，若//a b ，则实数k = 。 2．已知()()2,4,3,6A B -，若1
2
AC CB =
，则点C 的坐标为 。 3．若()()()1,2,5,4,9,A B C t -三点不能构成三角形，则t = 。 4．平行四边形ABCD 中，()()4,2,2,6AC BD =-=-，则AB = 。
5．ABC 中，()()4,1,3,4A B ，ABC 的重心()2,3G ，则顶点C 坐标为 。 6．设2AB =，P 为AB 延长线上一点，且4BP =，设AP PB λ=，则λ= 。 7．()()()1,1,2,1,4,2AB CB CD ==-=，则AD = 。
8．已知()1,5A -，向量()2,3a =，若3AB a =，则点B 位于第 象限。 9．已知()()1,2,2,2a b =-=-，则a b -的单位向量的坐标为 。 10．已知()()3,5,5,6A B -且()
23,44a x x x =-+-，若a AB =，则x = 。 11．已知()()3,1,1,1,A B O ---为坐标原点，（1）求2OA AB OB +-； （2）若2xOA yOB AB +=，求实数,x y 的值。
12．已知()()()1,3,,2a b t t t R =-=∈，求a b +的最小值。
13．已知()2,1a =-，点()4,4A ，且//AB a ，若25AB =OB 的坐标。
14．已知ABC 中，()()()4,1,2,1,0,5A B C -，点D 在AB 上，2AD DB =，点E 在AC 边上，且DE 恰将ABC 的面积平分，求点E 的坐标。
答案
例1：（1）()()3,2,4,3---；（2）()3,7
巩固练习：（1）
()23,4；
（2
提高练习：()()1,2,2,1---
例2：()4,3-或()4,3 巩固练习：（1）()1,6-；（2）()1,4--；（3）3i j + 例3:3或5- 巩固练习：1
3
k =- 迁移练习：6
例4：3
4
λ= 巩固练习：()()4,2,6,5C D 提高练习：()2,11- 课堂测试：
1. 43,55??
-
???
； 2. 3. 0,15k l ==--或； 4. ()0,15； 5. C ； 6. C ； 7. B 8.
12312
3
,33x x x y y y x y ++++==
当堂巩固
1． 12 2． m ≠54 4.当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，
并且反向．
5． (1) t 2＜0且t 1＋2t 2≠0，(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →
＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →
＝OB →
－OA →
＝(4,4)，
AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →，∴AM →与AB →
共线，又它们有公共点A ，
∴A ，B ，M 三点共线．
课后作业：
1.4或3-；
2.114,
33??
- ?
??
； 3.10-； 4.()3,4-； 5.()1,4-； 6.32-；
8.一； 9. 34,5
5??
- ???
； 10.5-； 11.（1）4；
（2）2,2-； ； 13.()8,2或()0,6 14.()1,4
高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标
(完整版)《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。 二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
向量练习题及答案
向量练习题及答案 一．选择题（共16小题） 1．（2016?湖南模拟）已知，，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量等于（） A．B．C．D． 2．（2015春?建瓯市校级期末）已知=（2，0）， =（1，1），则下列结论正确的是（）A．∥B．| |=| | C．﹣与垂直D．与的夹角为 3．（2015秋?淄博校级期末）已知向量，若 ，则k等于（） A．﹣12B．12 C．D． 4．（2015秋?广安期末）与向量=（3，4）共线反向的单位向量=（） A．（﹣，﹣）B．（﹣，） C．（﹣，﹣），（，）D．（，） 5．（2016?广州模拟）已知| |=1，=（0，2），且?=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D． 6．（2016?宝鸡一模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（） A．|? |=||||B．|+|=| |+丨丨C．（?）= （? ）D． 2 ?=|| 7．（2016?镇江一模）已知||=| |=1，| ﹣|= ，则|+ |=（） 第1页（共4页）
A．1 B．C．D．2 8．（2016?淄博一模）已知平面向量，的夹角为，且| |=1，|+2|=2 ，则||=（）A．2 B．C．1 D．3 9．（2016?山东模拟）已知向量，| ，则＜ 等于（） A．B．C．D． 10．（2016?江西模拟）如图，在正六边 形ABCDEF 中，| |=2，则?等于（） A．﹣6B．6 C．﹣2 D．2 11．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A．﹣ 2 2 2 2 aB．﹣aC．aD． a 12．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．| |≤|||| B．| |≤|||﹣||| 2 2 ）?（2 ﹣ 2 C．（）=| |D．（）= 13．（2015?嘉峪关校级三模）已知向量，的夹角为 45°，且||=1，|2﹣|= ，则||= （） A．B．2 C．3 D．4 14．（2016?吉林三模）函数（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+ ）? =（） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 第2页（共4页）
高中平面向量测试题及答案
一、选择题 1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 2．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB → ⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－1 7 4．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC → 分别为a 、b ，则AH → ＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 6．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关 7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足????? x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最 大值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数 10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC → ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1·λ2＋1＝0 D ．λ1λ2－1＝0 11．如图，在矩形OACB 中， E 和 F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF → 其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )
(完整版)高中数学平面向量测试题及答案
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
平面向量练习题集(附答案解析)
' 平面向量练习题 一．填空题。 1． +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则||的值等于________． " 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值 是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . (
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
平面向量专题练习题(简单有答案)
平面向量 一 、选择题 1、已知向量等于则MN ON OM 2 1),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8( B ．)1,8(- C ．)2 1,4(- D ．)2 1,4(- 2、已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则23--的坐标是（ ） A ．)1,7( B ．)1,7(-- C ．)1,7(- D ．)1,7(- 3、已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥，则x 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．3 1 D ．3 1 - 4、若),12,5(),4,3(==则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．6563 B ． 65 33 C ．65 33 - D ．65 63- 5 、若64==，m 与n 的夹角是ο135，则?等于（ ） A ．12 B ．212 C ．212- D ．12- 6、点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（ ） A ．)5,3(- B ．)2 9,0( C ．)6,9(- D ．)2 1 ,3(- 7、下列向量中，与)2,3(垂直的向量是（ ） A ．)2,3(- B ．)3,2( C ．)6,4(- D ．)2,3(- 8、已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A 分 所成的比是( )
A ．83- B ．83 C ．3 8- D ．3 8 9、在平行四边形ABCD -=+，则必有( ) A ．= B ．=或= C ．ABC D 是矩形 D ．ABCD 是正方形 10、已知点C 在线段AB 的延长线上， 且 λλ则,CA BC ==等于( ) A ．3 B ．3 1 C ．3- D ．3 1- 11、已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为( ) A ．3 B ．6 C ．7 D ．9 12、已知ABC ?的三个顶点分别是 ） ，（），，（），，（y C B A 1242 3 1-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是( ) A ．5,2==y x B ．2 5,1-==y x C ．1,1-==y x D ．2 5 ,2-==y x 16、设两个非零向量,不共线，且b k a b a k ++与共线，则k 的值为( ) A ．1 B ．1- C ．1± D ．0 17、已知B A 3 2),2,3(),1,2(=--，则点M 的坐标是( ) A ．)2 1,2 1(-- B ．)1,3 4(-- C ．)0,3 1(
完整版向量相关练习题及答案
向量相关练习一：选择题(共12题，每题5分，共60分) , rrr?_rrrr r r uu uu ur o 1.设向量a,b,c满足 a b c 0,a b,|a| 1,|b| 2,则|c| () A. 1 B.2 C.4 D.5 2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA（上B丄C）, |AB| |AC|定通过△ ABC K（） A.外心 B.内心 C. 重心 D. 垂心 3.已知平面向量a(1,2),b(2, m)，且a// b，则2a3b =( ) A . (-2 , -4 ) B.(-3 , -6 ) C. (-4-8) D.(-5 , -10) 4、已知平面向量a=(1, —3), b= (4〔，一2）, a b与 a 垂 直， 则是() A. -1 B. 1 C. —2 D. 2 5.已知向量a、b满足a| 1, b 4,，且agD 2，则a与b的夹角为（） A. — B 6 0，+ ，则P的轨迹一 6.设向量a=(1, —2),b=( —2,4),c=( —1, —2),若表示向量4a,4b—2c,2（a—c）,d的有向线段首尾相接能构成四边形，贝卩向 A.(2,6) B.( —2,6) C.(2, —6) D.( —2,—6) 7?如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
8. 在平行四边形ABC ［中，AC 与 BD 交于点O, E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC a , BD b ,则AF ( ) 1 r i r 2 r 1 r 1 r 1 r 1 r 2 r A . — a —b B. —a —b C. —a —b D. —a - b 4 2 3 3 — 4 3 3 9. 已知点M — (6, 2)和M — (1, 7),直线y=mx — 7与线段M — M —的交点分有向线段M —M —的比为3: 2,则m 的值为 3 2 1 A - B - C — D 4 2 3 4 10. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v (4, 3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为 v 个单位).设 开始时点P 的坐标为(一10, 10),则5秒后点P 的坐标为() A (-2, 4) B (-30, 25) C (10, -5) D (5, -10) 11. ( 2007上海)直角坐标系 xOy 中，r , r 分别是与X , y 轴正方向同向的单位向量 .在直角 三角形ABC 中，若 AB 2i j, AC 3i k j ，则k 的可能值个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 十 八 ，， t - uur uuu uuu UUU uuur uuu r 「uur uu uuir _ uuu 12. 设 D 、E 、F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且 DC 2BD,CE 2EA, AF 2FB,则 AD BE CF 与 BC ( ) A. AB = DC B. AD + AB = AC C. AB — AD = BD D. AD + CB = 0
平面向量练习题及答案解答
平面向量练习题及答案解答 典例精析 题型一向量的有关概念 下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. ①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 下列各式： ①|a|＝a?a； ② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2； ⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥. 其中正确的个数为
A.1 B. C. D.4 选D.| a|＝a?a正确； ?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示， MN=++且MN=++， 两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线， 即得⊥. 所以命题①③④⑤正确. 题型二与向量线性运算有关的问题 如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段 DO 上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1 313 . 在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22 ＝2＝2＝2. 11又＝，＝，3 1所以＝AD＋＝b＋
1115＝b＝a，266111 ＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323 所以＝－1511＝－＋)＝a.6626 向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝ 1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 . 由已知得－＝λ， 11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP－AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0， 所以? ＝?0＝0，故填0. 题型三向量共线问题 设两个非零向量a与b不共线. 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3， 求证：A，B，D三点共线； 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1 证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它
向量的坐标表示及其运算
第八讲向量的坐标表示及其运算 一、知识点 （一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量 （2）位置向量 （3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 4.向量的摸：22y x a += （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ????++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？ （1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ?ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ?重心，求GA 的坐标 例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()3若a BD AC a 求,-=
第二章 平面向量练习题及答案全套
第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1.下列各量中不是向量的是 【 】 A .浮力 B .风速 C .位移 D .密度 2.下列说法中错误．． 的是 【 】 A .零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0 C .零向量与任一向量平行 D .零向量的方向是任意的 3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 【 】 A .一条线段 B .一段圆弧 C .圆上一群孤立点 D .一个单位圆 4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列命题中，正确的是 【 】 A . 若a b =，则a b = B . 若a b =，则//a b C . 若a b >，则a b > D . 若1a =，则1a = 6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则 【 】 A . 与共线 B . 与共线 C . 与相等 D . 与相等 7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 . 8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= . 10.在四边形ABCD 中， AB =DC ，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD 是 . 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是 【 】 A ．00a b = B ．00 1a b ?= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是 【 】 A ．a ＋a B ．b +b C ．0 D ．a ＋b 3.若++=，则、、 【 】 A .一定可以构成一个三角形； B .一定不可能构成一个三角形； C .都是非零向量时能构成一个三角形； D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】 A < B > C ≤ D ≥ 5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则 【 】
向量的坐标表示(一)
向量的坐标表示（一） 【学习重点与难点】： 重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点：平面向量基本定理的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、思考和讨论 【问题1】:（教材69P 例1）：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=?→?AB a ,=?→?AD b ,试用向量a ,b 表示?→?MA ,?→?MB ,?→?MC ,?→ ?MD 。 结论：由作图可得a 1λ=1e +2λ2e 【问题2】：对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组？ 二、研探学习 1.共面向量定理 【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量 ?→?OA =1e ?→?OM =1λ1e ?→?OC =a =?→?OM +?→?ON =1λ1e +2λ2e ?→?OB =2e ?→?ON =2λ2e 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 【注意】： 1e 2e a C
平面向量练习题集答案
平面向量练习题集答案 典例精析 题型一向量的有关概念 【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN， 两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 31,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝12(a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝13 OC ， 所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋13 DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝23 (a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝ OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝12 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )， 即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝12 (AB ＋AC )， 所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ， 所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0， 所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.
平面向量测试题及答案
平面向量测试题及答案
平面向量测试题 一.选择题 1．以下说法错误的是（ ） A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为的是（ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C M B AD C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ） A ．65 63 B ． 65 C ． 5 13 D ． 13 4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ． 10 C ． 13 D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且?→ ?AB ＝→ a ，?→ ?AE ＝→ b ，则?→ ?BC ＝ （ ） （A ） ) (2 1 → →-b a （B ） ) (2 1 → →-a b （C ） → a ＋→ b 21 （D ） ) (2 1→ →+b a 6．设→ a ，→ b 为不共线向量，?→ ?AB ＝→ a +2→ b ,?→ ?BC ＝－4→a －→ b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ）
（A ）?→ ?AD ＝?→ ?BC （B ）?→?AD ＝2?→?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ） ?→ ?AD ＝－2?→ ?BC 7．设→ 1 e 与→ 2 e 是不共线的非零向量，且k → 1 e ＋→ 2 e 与→ 1 e ＋k → 2 e 共 线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边 形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→ a ＝（1，2），→ b ＝（－2，3），且k → a +→ b 与→ a －k → b 垂 直，则k ＝（ ） （A ） 21±-（B ） 1 2±（C ） 3 2±（D ） 2 3± 11、若平面向量(1,) a x =r 和(23,) b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈.则 a b -=r r （ ） A. 2-或0； B. 5 C. 2或25 D. 2 或10.