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2019届安徽省江南十校高三3月联考数学(理)试题word版含答案

2019届安徽省江南十校高三3月联考

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i 为虚数单位，则

=+（） A ．1122i -- B ．1122i - C ．1122i + D ．1122

i -+

2.已知集合{|ln(12)}A x y x ==-，{|1}x B x e =>，则（）

A ．{|0}A

B x x => B ．1|02A B x x ?

?=<

C ．1|2R A C B x x ?

? D ．()R C A B R =

3.()f x 是R 上奇函数，对任意实数x 都有3()()2f x f x =--，当13

(,)22

x ∈时，2()log (21)f x x =-，

则(2018)(2019)f f +=（）

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．2

4.在区间[0,1]上随机取两个数a ，b ，则函数21

()4

f x x ax b =++有零点的概率是（）

A ．112

B ．23

C ．16

D ．13

5.下列说法中正确的是（）

①“0x ?>，都有210x x -+≥”的否定是“00x ?≤，使20010x x -+<”.

②已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列. ③“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件. ④已知变量x ，y 的回归方程是20010y x =-，则变量x ，y 具有负线性相关关系. A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 和n 的值分别是（）

A ．20，5

B ．20，4

C ．16，5

D ．16，4

7.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为3尺；莞生长第一天，长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”以下给出了问题的4个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（）

A ．1.3日

B ．1.5日

C ．2.6日

D ．3.0日

8.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b a c =，22a bc c ac +=+，则

s i n c

b B

的值为（）

A ．

12 B ．2

C ．2

D ．3 9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）

A ．3π+

B ．4(1)π

C ．4(π

D ．4(1)π+

10.51()(2)a

x x x x

+-的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（）

A ．40-

B ．20-

C ．20

D ．40 11.若函数()f x 的导函数'()cos()f x A x ω?=+(0,0,)2

A π

ω?>><，'()f x 的部分图象如图所

示，()()12g x f x π

，当12,,123x x ππ??

∈-????

时，则12()()g x g x -的最大值为（）

1 C ．3

2 D ．3

12.已知函数2

1()(1)2

x f x ax x e =

--()a R ∈，若对任意实数123,,[0,1]x x x ∈，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是（）

A ．[1,2]

B ．[,4)e

C ．[1,2)[,4]e

D ．[1,4] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(2,0)a =，(1,2)b =，实数λ满足5a b λ-=，则λ= ．

14.实数x 、y 满足131

x x y y x ??≥?+≤???≥-?，则1

1y x -+的取值范围是．

15.正四棱柱1111ABCD A BC D -底面边长为2，侧棱长为4，

E 、

F 分别为棱1BB 、11D C 的中点，则四面体1FECC 的外接球的表面积为．

16.已知双曲线1C ，2C 的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程为1

y x a

=±，离心率分别为1e ，

2e .则12e e +的最小值为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

17.等差数列{}n a 的首项*1a N ∈，公差11,35d ??

∈-- ???

，前n 项和n S 满足512S S =.

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若9

4n n b a =

-，数列21n n b b +??????

的前n 项和为n T ，求证12n T <. 18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：

（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ（千步）服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）

(2,4,5)ξ∈的人数（结果四舍五入保留整数）；

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般

生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.

附：若随机变量ξ服从正态分布2

(,)

Nμσ，

则()0.6826

Pμσξμσ

-<≤+=，(22)0.9544

Pμσξμσ

-<≤+=.

19.如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC FB

=，四边形ABCD为平行四边形，且45

BCD

∠=.

（1）求证：CD BF

⊥；

（2）若22

AB EF

==，BC=直线BF与平面ABCD所成角为45，求平面ADE与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.

20.线段AB为圆M：2221060

x y x y

++-+=的一条直径，其端点A，B在抛物线C：

22(0)

x py p

=>上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为21

（1）求直径AB所在的直线方程；

（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求PQN

?面积的最小值.

21.已知函数2

()ln()

f x ax x ax

=--(0,)

a a R

≠∈.

（1）求函数()

f x的单调递增区间；

（2）讨论函数()

f x零点的个数.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程是cos 2sin x y ?

?=??=?（?为参数，0?π≤≤），在以坐

标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是4ρ=，等边ABC

?的顶点都在2C 上，且点A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(4,)6π.

（1）求点A ，B ，C 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线BC 距离的取值范围. 23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1

()22

f x a a ≥--.

2019届安徽省江南十校高三3月联考数学（理）试题

解析及评分标准

一、选择题

1-5: CBADD 6-10: ACDAD 11、12：CD 二、填空题

13. 1λ=或15λ=- 14. 31,42??

-????

15. 17π

16. 三、解答题

17.解：（1）∵512S S =，∴115101266a d a d +=+，得18a d =-，

∵1135d -<<-，∴188

a <<，

又∵*1a N ∈，∴12a =，1

d =-，

∴9

n n a -+=.

（2）∵94n n b a =

-，∴4n n b =-，∴2116(2)

n n b b n n +=+118()2n n =-+， 132411n T b b b b =

n n b b ++???+

11111118(13243546=-+-+-+-1111)112n n n n +???-+--++

1118(1)12212

n n =+--<++.

18.解：（1）0.0410.0830.1650.447x =?+?+?+?0.1690.1110.0213+?+?+? 6.967=≈. （2）∵(7,2,5)N ξ

，∴(4.59.5)0.6826P ξ<<=，(212)0.9544P ξ<<=，

∴(2 4.5)P ξ<<1

((212)2

P ξ=<<(4.59.5))0.1359P ξ-<<=.

走路步数(2,4,5)ξ∈的总人数为4000.135954?≈人.

（3）由题意知X 的可能取值为400，300，200，100，0，

(400)P X =2220.120.0144C =?=，(300)P X =1

20.120.760.1824C =??=， (200)P X =120.120.12C =??2220.760.6064C +?=，

(100)P X =120.120.760.1824C =??=，(0)P X =20.120.0144==.

则X 的分布列为：

4000.01443000.1824EX =?+?2000.60641000.1824+?+?00.0144200+?=.

19.解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO 平面

ABCD ，因此FO OB ⊥.

∴FB FC =，FO FO =，90FOC FOB

∠=∠=， ∴FOC FOB ???，∴OB OC =，

由已知45DCB ∠=得BOC ?为等腰直角三角形，因此OB CD ⊥，又CD FO ⊥， ∴CD ⊥平面FOB ，∴CD FB ⊥.

（2）∵//AB CD ，AB ?平面CDEF ，CD ?平面CDEF ，∴//AB 平面CDEF ， ∵平面ABEF

平面CDEF EF =，∴//AB EF ，

由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，

由题设可得45FBO ∠=，进而可得1,2,0A -（），1,0,0B （），0,1,0C （），0,1,0)D

-（，(0,1,1)E -，(0,0,1)F ，

设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，则0

m AD m DE ??=???=??，即11100x y z -+=??=?，

可取(1,1,0)m =，

设平面BCF 的法向量为222(,,)n x y z =，则0

n BC n CF ??=???=??，即222200x y y z -+=??-+=?，

可取(1,1,1)n =，

则cos ,m n m n m n

?<>=

= ∴二面角的余弦值为

20.解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，抛物线C 的焦点为F ，则12AF BF y y p +=++，又1210y y +=，故21102p +=，∴1

p =，于是C 的方程为2x y =.

211

x y x y ?=??=??，则1212y y x x --122x x =+=-， ∴AB 的直线方程为230x y +-=.

（2）不妨记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ，直线l 的方程为(1)5y k x =++，

联立2(1)5x y

y k x ?=?=++?得250x kx k ---=，

则12125x x k x x k +=?

??=--?

，PQ = 又因为011012()y y x x x -=-，则2101020x x x y -+=，同理可得：2202020x x x y -+=，

故1x ，2x 为一元二次方程20020x x x y -+=的两根，

∴0120

25x x x y k =+??=--?，

点

N 到直线PQ 的距离

d =2=

12NPQ

S PQ d ?=?3221(420)4k k =++3

21[(2)16]4

k =++， ∴2k =-时，NPQ ?的面积S 取得最值16. 21.解：（1）当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞，

1'()21f x ax x =--221

ax x x

--=，令2210ax x --=得：

1104x a =

，2104x a

+=>， ∴()f x 的单调递增区间为2(,)x +∞.

当0a <时，()f x 的定义域为(,0)-∞，1'()21f x ax x =--221

ax x x

--=，

当180a ?=+≤即1

a ≤-时，()f x 的单调增区间为(,0)-∞，

当0?>，即108a -<<时，12'()()a

f x x x x

-221()(0)x x x x -<<. ()f x 的单调递增区间为2(,)x -∞和1(,0)x .

（2）由（1）知当18a ≤-时，()f x 在(,0)-∞内单调递增，1

()0f a =，

故()f x 只有一个零点1

x a

=，

当1

a -<<时，()f x 在2x x =处取极大值，1x x =处取极小值.

由12

2x a x +=

知11x <-，而211114x x a a <<<<-，则21()()0f x f a >=， 21111()ln()f x ax x ax =--11112ln()21

x x

x -=

++， ∵11x <-，∴

111121

1011

x x x x --=>++，∴1()0f x >， ∴当0a <时，函数()f x 只有一个零点1

x a

=，当0a >时，

令()(1)1ln g a f a a ==--，

'()a g a a

，()g a 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， min ()(1)0g a g ==，∴()(1)0g a f =≥（当且仅当1a =时，等号成立）， i ）1a >时，