No 8-8 何丽华：分数阶与整数阶

漳州师范学院

毕业论文

分数阶超混沌系统与整数阶超混沌系统的

同步

The synchronization between Fractional hyperchaos system and integral hyperchaos

system

姓名：何丽华

学号：070401124

系别：数学与信息科学系

专业：数学与应用数学

年级：07级

指导教师：蔡建平教授

2011年01月12日

摘要

本文基于反馈控制的思想，利用分数阶系统稳定性定性理论，实现了分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的混沌同步，给出了补偿器和反馈控制器的选择方法。并以四维分数阶超混沌Lorenz系统和新提出的整数阶超混沌系统之间的同步为例，用MATLAB软件进行了数值仿真进一步验证了本文方法的有效性。

关键词：分数阶；超混沌系统；混沌同步；反馈控制

Abstract

This paper based on feedback control theory，using qualitative theory of fractional system stability, realized the synchronization between fractional chaotic system and integral chaotic system, and gives the compensator and feedback controller selection method. And with the synchronization between four-dimensional fractional Lorenz hyperchaos system and the newly proposed integral hyperchaos system as an example, the MATLAB software based on the numerical simulation further demonstrate the validity of this method.

Key words:fractional-order; hyperchaotic system; Chaotic synchronization;

feedback control

目录

中英文摘要…………………………………………………………………（I）

1 引言 (1)

2 分数阶微分定义 (1)

3 分数阶超混沌Lorenz系统与新的整数阶超混沌系统的同步 (2)

3.1反馈控制 (4)

3.2数值仿真 (7)

4 结论 (8)

参考文献 (9)

致谢 (10)

1 引言

分数阶微积分是研究分数阶次的微积分算子特性及其应用的数学理论，其拓展了传统微积分的概念，并且有300多年的发展历史，最早可以追溯到leibniz,Riemann等的研究[1,2]。虽然其发展几乎和整数阶微积分理论具有同样长的历史。但将其应用到物理学和工程学的研究热潮还是最近几十年兴起的。许多物理系统能展现出分数阶动力学行为，例如黏滞系统、介质机化、电极-电解液极化、有色噪声和电磁波[3-6]等。最近分数阶混沌系统又引起了人们广泛的兴趣和深入的研究。特别是在Chua电路[7]、Lorenz系统[8]、Chen系统[9]、Lü系统[10]中，计算机仿真表明，当其阶数为分数时,系统还是混沌的，且更能反映系统呈现的物理现象。

另一方面，自从1990年Pecora和Caccoll[11]发现了两个混沌系统可以实现同步以来，就掀起了混沌同步问题研究的热潮。在通信领域，Arman Kiani-B 等用简单的混沌系统掩盖方法证明了分数阶混沌信号能加强通信的安全性。将分数阶混沌应用于通信保密、信号处理等领域，由于系统模型自身的复杂性，会比整数阶混沌系统具有更强的保密性和抗破译能力。因此研究分数阶混沌系统具有广泛的应用前景。

然而，众多已经存在的混沌同步结果只是针对整数阶混沌系统之间的同步或者是只针对分数阶混沌系统之间的同步。关于分数阶混沌系统与整数阶混沌系统的同步研究却是很少涉及的。本文基于追踪控制思想，利用分数阶线性系统稳定性理论和反馈控制思想，实现了分数阶超混沌Lorenz系统和新提出的整数阶超混沌系统之间的同步。同时也用Matlab软件数值仿真来进一步验证了本文方法的有效性和可行性。

2 分数阶微分定义

在研究分数阶微积分的过程中，对于微分和积分的概念有很多。在本文中，将采用的是Caputo 微分的定义来研究分数阶混沌动力学行为[12]。Caputo 微分定义为：

()()(),0m

m D y x J y x ααα-*=>， （1） 这里[]m α=为第一个不小于α的整数，()m y 为y 的m 阶导数，J β是β阶Riemann-Liouville 积分算子,即：

()()()()101,0x J z z x t z t dt ββββ-=->Γ?,

（2） 其中()Γ?是Gamma 函数,D α*通常称为α阶Caputo 微分算子。

3 分数阶超混沌Lorenz 系统与新的整数阶超混沌系统的同步

下面以超混沌Lorenz 系统为例，对其分数阶超混沌系统同步的实现进行研究。超混沌Lorenz 系统为：

()43143213312124121rx x x x bx x x x

x x x cx x

x x x a x

+-=-=--=+-= (3)

其中r c b a ,,,是实常数。当1,28,3

8,10-====r c b a 时，此系统是超混沌的，其超混沌吸引子如图1所示。

图1 超混沌 Lorenz 系统的吸引子

下面研究相应的分数阶的超混沌Lorenz 系统：

()4

314

3213

31212

4121

rx x x dt x d bx x x dt x d x x x cx dt x d x x x a dt x d q q q

q q

q q

q +-=-=--=+-= （4） 这里，[],0.1,1q

q q d D q dt

*=∈。当1q =时，系统（4）为整数阶的超混沌Lorenz 系统。

注：对每个方程的阶数q 可以取互不相同，为方便讨论，本文取阶数q 相同。 取95.0=q 时，其对应的吸引子如图2所示。

图2 分数阶超混沌 Lorenz 系统的吸引子

新提出的整数阶超混沌系统：

()4324413313423112211y y y h y gy fy ey y y y

y dy y y cy y

by ay y

-=+--=---=+-= （5）

其中h g f e d c b a ,,,,,,,是实常数，当,5.4,4,6.0,42,8.68,5.20======f e d c b a 时，此系统为超混沌的,其超混沌吸引子如图3所示。

图3新提出的整数阶超混沌系统的吸引子

下面主要是利用分数阶线性系统稳定性理论和反馈控制方法来实现分数阶超混沌系统与整数阶混沌系统的同步。

3.1反馈控制

现在以新的整数阶混沌系统（5）为驱动系统，受控的分数阶超混沌Lorenz 为响应系统。构造受控的分数阶超混沌Lorenz 系统

??????? ??+----+-=??????

? ??43132131214124321)(////rx x x bx x x x x x cx x x x a dt x d dt x d dt x d dt x d q q q q q q q q +))(),(())((t y t x U t y u + （6） 式（6）中的))(),(())((t y t x U t y u +为追踪控制器，其中))((t y u 为补偿器，))(),((t y t x U 为反馈控制器。

由追踪控制思想，可将驱动系统（5）的输出作为参考信号，要实现受控分数阶超混沌Lorenz 系统（6）与新的整数阶超混沌系统（5）的混沌同步，实质上就是要求受控分数阶超混沌Lorenz 系统（6）的输出T x x x t x ),,()(321=追踪新的超混沌系统（5）的输出T y y y t y ),,()(321=。

依据新的超混沌系统（5）的输出信号，可定义受控系统（6）中的补偿器为))(()())((t y f dt

t y d t y u q q -= 其中??????

? ??+----+-=4313213121412)())((rx y y by y y y y y cy y y y a t y f 则受控分数阶超混沌Lorenz 系统（6）变为

))(),(()(/)()(////431321312141243132131214124321t y t x U ry y y by y y y y y cy y y y a dt t y d rx x x bx x x x x x cx x x x a dt x d dt x d dt x d dt x d q q q q q q q

q q

q +??????? ??+----+--+??????? ??+----+-=??????

? ?? （7） 令受控的分数阶超混沌Lorenz 系统（6）与驱动整数阶混沌系统（5）的同步误差为)4,3,2,1(,=-=i y x e i i i ，则系统（7）变化为

))(),(()(////43

131133212112313113214124321t y t x U re e e e x e x be e e e x e x e e e x e x e ce e e e a dt e d dt e d dt e d dt e d q q q q q q q q +??????? ??+----++----+-=??????? ?? （8）

下面讨论反馈控制器))(),((t y t x U 的选取：

令()()()???

? ??=t e t e t e 21??，其中()11?e t e =，()()T e e e t e 4322,,?=,则式（8）变化为 ))(),(())(?),(())(?),(?),(()(?))(?),(?),(()(?/)(?/)(?2222121222111121t y t x U t e t y F t e t e t y F t e B t e t e t y F t e B dt t e d dt t e d q q q q +???? ??+++=???? ?

? （9） 其中a B -=1，????

? ??--=r b B 00000012，42211))(?),(?),((e ae t e t e

t y F +=。 这里对))(?),(?),((2121t e t e

t y F ，))(?),((222t e t y F 的选取，要求))(?),(?),((2121t e t e t y F 为包含所有误差()t e 1项的非线性函数，))(?),((222t e

t y F 为不包含误差()t e 1项的非线性函数。

故得到????? ??-----=31132112311312121))(?),(?),((e e e x e e e x e e e x ce t e t e t y F ，????

? ??--=312131222))(?),((e x e x e x t e t y F 。

因此当()()∞→→t t e 01时，

有0lim ))(?),(?),((lim 31132112311310)(21210)(11=????

? ??-----=→→e e e x e e e x e e e x ce t e t e t y F t e t e 成立。 故可以选择反馈控制器为

???

? ??--=))(?),(()(?))(?),(?),(()(?))(),((2222221111t e t y F t e A t e t e t y F t e A t y t x U （10） 其中111?∈R A ，332?∈R A 为待定实常矩阵。将（10）带入（9）可得

))(?),(?),(()(?0000001/)(?)(?)(/)(?2121222111t e t e t y F t e A r b dt t e d t e A a dt t e

d q q q q +????

? ??+????? ??--=+-= （11） （11）式中的第一个方程：由分数阶线性系统稳定性理论可知，当选择

01<+-A a 时，则有0lim 11=-∞

→y x t ，即()()∞→→t t e 0?1成立。

故0lim ))(?),(?),((lim 31132112311310)(21210)(11=????

? ??-----=→→e e e x e e e x e e e x ce t e t e t y F t e t e ，此时（11）中的第二个方程变为)(?0000001/)(?222t e A r b dt t e d q q ????

? ??+????? ??--=，由分数阶线性系统稳定性理论可知，当选择332?∈R A 合适矩阵，使得矩阵????

? ??+????? ??--20000001A r b 所有特征值的幅角满足2

)arg(πλq ≥，则有()0?lim 2=→∞t e t ，即()()4,3,20lim lim ==-=→∞→∞i y x t e i i t i t 。 由上面分析可得，选择合适111?∈R A ，332?∈R A 可以使()()()0

lim lim =-=∞→∞→t y t x t e t t 成立，即实现了受控分数阶超混沌Lorenz 系统（6）与新的整数阶超混沌系统

（5）之间的混沌同步。

上述方法也可以实现分数阶超混沌Lorenz 系统（6）的输出T x x x t x ),,()(321=追踪控制任意给定的参考信号T y y y t y ),,()(321=，该参考信号可以来于整数阶超混沌系统，也可以来于其他分数阶超混沌系统，进一步，参考信号)(t y 可以来于超混沌系统状态变量组合生成的函数，即()()()()()()T t y f t y f t y f t y ),,()(321=。

本方法可以推广到分数阶超混沌系统和整数阶超混沌系统为高维情况下的混沌同步，进一步可以推广到m 维分数阶混沌系统与()m n n ≤维整数阶混沌系统之间的同步。

3.2数值仿真

下面采取预估—校正解法进行数值仿真，取时间步长为0.01，这里阶数分别取92.0,95.0,85.0,9.04321====q q q q ， 受控分数阶超混沌Lorenz 系统（6）的初值为()()T

x 4,1.1,6.3,5.20=，新的整数阶超混沌系统（5）的初值为

()()T y 2,1.0,3,20=，取81=A ,?????

? ??---=91001138900072A ，则有01<+-A a ，且????

? ??+????? ??--20000001A r b 的特征值分别为j 444.45.0,821±-=-=λλ，由特征值3,2,1λ的幅角满足2arg 3,2,1q

πλ>，其仿真结果如图4所示，进一步验证分数阶驱动系

统（6）和整数阶响应系统（5）是同步的。

图 4受控分数阶Lorenz 超混沌系统（6）

与新的整数阶超混沌系统（5）的同步结果

4 结论

本文以分数阶超混沌Lorenz 系统和新的整数阶超混沌系统为例，利用反馈控制，实现了分数阶超混沌系统与整数阶超混沌系统之间的同步，通过选取适当的参数以及初始值进行数值模拟，进一步验证了本文的方法是可行的、有效的。

参考文献：

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[12]张若询，杨洋，杨世平.分数阶统一混沌系统的自适应同步[J].物理学报，2009,58(9)：

6039-6043.

致谢

在我论文的选题、开题到成文的全过程，得到导师蔡建平教授的悉心指导，特此深表感激，同时也非常感谢数学与信息科学系的全体任课老师给予我的支持和帮助。

分数的意义与分数单位。1范文

分数的意义与分数单位 教学内容：青岛版小学数学五年级下册第9页和第10页两个红点的内容、自主练习第11页1——4题。 教学目标： 1．在“说一说”、“分一分”、“画一画”等活动中体会单位“1”的含义，理解分数的意义，学会用分数描述生活中的事情。 2．在具体生活情境中感悟“把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数表示”这一过程，理解“把单位1平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位”的意义，培养学生动手操作能力和抽象概括能力。 3．能用分数进行简单的表述和交流，获得与同伴合作探索和相互交流的体验。 4．在学习活动中感受数学与生活的密切联系，体验数学的价值，获得成功、兴趣、愉悦的情感体验，激发学生对数学的兴趣。 教学重难点 教学重点：建立单位“1”和分数单位的概念，理解单位“1”的内涵。 教学难点：对单位“1”的理解。 教具、学具 多媒体课件、每组一个苹果、每人9个圆片或三角形片。 教学过程： 一、创设情境，提出问题 课件出示信息窗1情境图： 师：请同学们仔细阅读信息窗中提供的信息，想一想，你能提出什么数学问题？ 学生提出问题： （1）每个同学分到多少个船模？ （2）每个同学分得的船模数占总数的几分之几？ （3）一小队和二小队的每组各放飞多少架飞机？

(4)一小队每组放飞的飞机架数占本小队飞机总数的几分之几？二小队呢？ 教师把本节课要重点解决的问题板书在黑板上： （1）每个同学分得的船模数占总数的几分之几？ （2）一小队每组放飞的飞机架数占本小队飞机总数的几分之几？二小队呢？ 师：我们今天要借助解决这两个问题进一步学习——分数的意义与分数单位。板书课题：分数的意义与分数单位 二、自主学习，小组探究 1．出示学习目标 师：本节课要达到以下学习目标（课件出示）： （1）在“说一说”、“分一分”、“画一画”等活动中体会单位“1”的含义，理解分数的意义，认识分数单位。 （2）学会用分数描述生活中的事情。 （3）能够运用分数进行简单的表述和交流，解决简单的实际问题。 2．出示自学指导 师：要达到本节课的学习目标，还需要同学们的努力自学探究，下面请看自学指导。（出示自学指导） 自学指导：认真看课本第9、10页的内容，重点看黄底色和紫底色部分，借助学具摆一摆，并在练习本上画一画、分一分。思考： ①把5只船模平均分给5个同学时，把谁看作一个整体？平均分成几份？1只船模占这个整体的几分之几？2只呢？ ②一小队4架飞机平均分成2组放飞，把谁看作一个整体？平均分成几份？1份占这个整体的几分之几？ ③二小队6架飞机平均分成3组放飞，把谁看作一个整体？平均分成几份？1份占这个整体的几分之几？2份呢？ ③什么是单位“1”？分数的意义是什么？分数单位是什么？ 5分钟后，比一比谁汇报得最清楚。 师指名读自学指导。

分数的意义(优质课)

分数的意义 慧芬 教学容：九年义务教育六年制小学数学第十册第四单元。 教学目标： 1、让学生在原有知识的基础上理解并掌握单位“1”的意义，分数的 意义，并了解分数各部分的名称。 2、利用广阔的学习资源，让学生通过各种学习渠道，了解分数产生 的背景。 3、让学生在轻松和谐的氛围中学习数学，体验学习数学的成功和愉 悦。 教学重、难点： 1、单位“1”概念的抽象和分数意义的归纳。 2、把多个物体组成的一个整体看作单位“1”。 教学过程： 一、导入 1、引出数，并板书（数）。 问：这是一节什么课呀？数学课数学课肯定跟数有关，这节课就来研究数。 2、1 问：老师这里有一个神奇的数，它的本领可大了，你想知道是几吗？ （1 板书）1可以表示几？（板书：一个苹果等） 这还不算什么神奇，实际上你不管说多大的数量，我啊都可以用

“1”表示，信不信？我们来试一试。（板书：56人 47个等） 3、单位“1”，及与1的区别。 （1）这个神奇的“1”与平常的1有什么不一样的地方？ （2）是啊，它不仅表示单个的物体，还表示56人 47个等等的 多个物体，象这样的多个物体我们把它看作一个整体，也是单位“1”。 （3）那你觉得单位“1”还可以表示哪些？ 4、折纸 这纸也可以用“1”表示。对折，21表示什么？再对折，4 1。 （过渡：除了这两个分数外，你还知道哪些分数？） 二、 展开 （一） 单位“1”的教学 1、展示图。问：你能画一幅简单的图表示你喜欢的分数吗？或在老师的提供的5个图中任选一幅图表示出你喜欢的一个分数？ 2、学生操作，师巡视。 3、同桌互说。问：你是怎么表示的？ 4、汇报交流。问：你是怎么表示的？再问：把什么看作单位“1”？ 说明（谁）占（谁）的几分之几？（板书） 5、完整单位“1” 问：一个物体、一个图形、一个计量单位称单个物体，也可看作单位“1”。现在你知道单位“1”可以指哪些？一个计量单位除1分米外，还可以是哪些？

分数混合运算总结一

分数混合运算的总结 一、运算 1.分数加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减，异分母分数相加减，要先通分为同分母分数再相加减。 同分母分数加减法 ②法则：异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法进行计算。注意：计算的结果，能约分的要约成最简分数，是假分数的一般要化成带分数或整数。 步骤：一看二通三算四约五化 验算：分数加减法的验算方法与整数加减法的验算相同。

例： 6562362633121=+=+=+ （和的分母是两个分母的积） 8786186814381=+=+=+ （分母是其中一个分母的） 2411249224924283121=+=+=+（分母是最小公倍数） 2计算技巧：能约分的，先约分再算。 分数的意义： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做 分数。 在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分母； 表示这样多少份的数，叫做分子；其中的一份，叫做分数单位。

分数混合运算顺序 1.含有同级运算的按从左到右的顺序计算； 2.含有两级运算的先算乘除，后算加减； 3.有括号的先算括号里的运算。 分数简便运算常见题型 涉及定律：乘法分配律逆向定律) = ? ± ? a± a (c b b c a 基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。

第四种：添加因数“1” 例题：1）759575?- 2）9216792?- 3）232331 17233114+?+? 持一致。 第六种：带分数化加式 例题：1）4161725 ? 2）351213? 3）135127?

整数乘分数 整数乘分数计算题

整数乘分数整数乘分数计算题 整数乘分数教学目标： 知识与技能：结合具体情境理解一个数乘分数的意义就是“求一个数的几分之几是多少”。 过程与方法：通过组织学生进行迁移、类推、归纳、交流等数学活动，培养学生的类推、归纳能力。 情感态度与价值观：通过一个数乘以分数应用的广泛性事例，对学生进行学习目的性教育，激发学生学习动机和兴趣。 教学重点：理解一个数乘分数的意义，掌握分数乘分数的计算方法。 教学难点：推导算理，总结法则。 教学过程： 一、复习导入 1、计算下列各题并说出计算方法。 ×4 ×4 × 14× 2、引入：这节课我们来继续学习分数乘法的问题。（板书课题）二、探索新知（一）一个数乘分数的意义 1.投影出示例题2。 （1）问题一：3桶水共多少升？指名列出算式：12×3。 提问：你是怎么想的？启发学生得出：求“3桶水共多少升？”就是求3个12L，也就是求12L的3倍是多少。（2）问题二：桶水共

多少升？指名列出算式：12×。 提问：根据什么列示的？启发学生思考：桶就是半桶，求桶是多少升？就是求12L的一半是多少，也就是求12L的是多少。 （3）问题三：桶水共多少升？指名列出算式：12×。 提问：你是怎么想的？启发学生思考：求桶是多少？就是求12L的是多少。 2.结合上面的几个问题，你知道“12×”和“12×”这两个算式表示的意义分别是什么吗？ 12×表示12L的是多少：12×表示12L 的是多少。 3.总结：一个数乘分数的意义。 一个数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少。 4.完成教材第3页“做一做”。 引导：这道题求吃了多少千克，也就是求3千克的是多少千克。 二、巩固练习。 1.教材第4页“做一做”第1题。 这道题是有关一个数乘分数的意义的练习。 组织练习时，可以先让学生独立阅读理解，在教材上填一填。再指名汇报，并让学生说一说是怎么想的。 2.教材第5页“做一做”第3题。 这道题是运用所学的分数乘法计算知识解决实际问题，在加深对一个数乘分数的意义理解的同时，又可以巩固整数乘分数的计算方法。

分数的意义和性质练习题 全

分数的意义和性质练习题 一．填空： 1、把3米平均分成4份，每份占1米的（），是（）米。 2、5/8的分母加上40，要使分数的大小不变，分子应加上（）。 3．40平方分米＝（）平方米 75厘米＝（）米 350千克＝（）吨4、分数a/b(b不等于0)，当（）时，它是假分数；当（）时它是真分数；当（）时，它是这个分数的分数单位；当（）时它是最简分数。 5、修一条4千米长的水渠，5天修完，平均每天修（）千米，相当于1千米的（）。 6、18/20的分数单位是（），再加上（）个这样的单位是1。 7、“一块菜地的1/6种了黄瓜”中，把（）看作单位“1”，平均分成（）份，种黄瓜的是这样的（）份。 8、“红气球是气球总数的5/6”中，把（）看作单位“1”，平均分成（）份，红气球是这样的（）份。 9、把8公顷地平均分成15份，每份是这块地的（），每份是（）公顷。 10、在括号里填上适当的分数。 7厘米=（）米 35立方分米=（）立方米 53秒=（）时 25公顷=（）平方千米 29时=（）分 9分=（）时 119平方分米=（）平方米 3083毫升=（）升 11、一堆煤平均分7次运完，每次运这堆煤的（），5次运这堆煤的（）。 12. 8和9的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 12和72的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 13. 一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是（）。 14. 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是（）。 15. a和b是互质数，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 16.一台碾米机30分碾米50千克，平均每分碾米（）千克，照这样算，碾1千克米要（）分。 三．应用题： 1．有三根铁丝，一根长15米，一根长18米，一根长27米，把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长有几米？ 2．把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？ 3．小明和爸爸进行登台阶运动。台阶共有60级，爸爸每步登3级，小明每步登2级。问小明和爸爸都没有登过的台阶有多少级？ 1．小华看一本书，8天看完，平均每天看全书的几分之几？ 2. 一批货共600吨，已经运走了250吨，运走的占这批货物的几分之几？剩下的占这批货物的几分之几？

人教版五年级数学下册分数加减混合运算教案

分数加减混合运算 【教学目标】 1．使学生知道分数加减混合运算的运算顺序，和整数加减混合运算的运算顺序相同．2．使学生知道分数加减混合运算也可以一次通分，再计算． 教学重点】 能运用运算顺序正确进行计算． 教学难点】 使学生掌握什么时候一次通分好，什么时候分步通分好． 教学过程】 一、铺垫孕伏． 1．口算． 2．计算下面各题．

二、探究新知． 新课导入：这节课，我们学习新的内容——分数加、减混合运算． （板书课题：分数加减混合运算） （一）教学例1（没有括号的算式计算方法） 教师提问：回忆一下整数加减混合运算的运算顺序是怎样的？ 学生回答：整数加减混合运算顺序是从左往右依次计算．遇到有括号的，应该先算括号里面的． 教师谈话：请同学们打开书136 页读一下第一段的文字．这一段告诉我们什么内容？ 学生回答：这段文字告诉我们：分数加减混合运算的运算顺序与整数的相同；为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行计算．

1．出示例1：计算 2．观察算式：这是一个加减混合运算的等式；三个分数是异分母的分数，计算时应当从左往右计算；分母不同，计算时应先通分． 3．学生独立解答． 第一种算法：第二种算法：

思考：这两种算法有什么不同？哪一种简便？ 教师强调：三个分数是异分母分数，先一次通分比较简便．4．总结没括号算式的计算方法． 5．反馈练习： 二）教学例2（有括号的算式的计算方法）

1．出示例2 计算 教师提问：请同学们观察一下这个算式与例1 有什么不同？（有了小括号） 这道题的运算顺序是什么？（这道题的运算顺序是先算括号里面的，再算括号外面的） 2．学生独立解答．

带小括号的分数加减混合运算和简便计算(总结)

问题一：分数加减混合运算没有括号的怎么计算？有括号的怎么计算？ 问题二：用不同的方法计算课本例1中的第（2）题，说一说有什么不同？ 运算法则 1．先乘除，最后加减； 2．同级运算从左到右按顺序运算； 3．若有括号，先小再中最后大，依次计算

一、计算下列各题。 3/8+1/5-1/8 1/3+5/9-2/9 1-2/7-3/7 4/5-3/10+1/3 1-(3/4-3/8) 9/10-(1/6+1/5) 1/2+(2/3-1/4) 5/8-(1/2-1/3) 7/12-3/5+1/6

7/20-(2/5+9/20) 2/9+(9/10-2/5) 7/8-(2/5+3/16) 分数加减法简便计算习题 班级： 座号 姓名 一、计算。 1、直接写出得数。 59 ＋89 ＝ 18 ＋78 ＝ 1924 －1324 ＝ 1936 ＋336 ＝ 37 ＋47 ＝ 118 －18 ＝ 14 －19 ＝ 1213 －313 ＝ 89 ＋411 ＋19 ＝ 1－16 －16 ＝ 34 ＋14 ＋14 ＝ 78 －38 ＋38 ＝ 2、简便方法计算,写出主要计算过程。 (1)6.12＋37 ＋2.88＋47 （2）2924 －（524 －49 ） (3) 1811 －（711 ＋ 38 ） (4) 79 ＋310 －29 ＋1710 (5) 715 ＋712 ＋815 －712 (6)825 ＋ 713 ＋ 1725 ＋ 613 3、解方程。 (1) 2x －818 ＝1818 (2) 3x ＋139 ＝ 149 (3) x ＋ 59 ＝1 (4) 2x －56 ＝56

苏教版五年级下册数学教案分数的意义和分数单位

分数的意义和分数单位。(教材第52页) 1.使学生进一步理解并掌握分数的意义,特别是对单位“1”的理解。 2.弄清分数单位的含义。 3.培养学生的抽象概括能力。 重点:理解和掌握分数的意义。 难点:单位“1”的理解。 课件。 1.请学生估计课间休息时操场上的人数,用整数表示出来。 2.请学生把自己的身高用小数表示出来。 3.回忆三年级时所学的分数知识,并完成下题。 (1)用分数表示下图中的阴影部分。 ()() (2)用哪个分数可以表示下图中“()”部分? (3)图中阴影部分用表示对不对?为什么?

教师:看来你们对前面所学的分数知识掌握得很好。其实在实际生活和生产中,人们在进行测量和计算的时候,经常用到整数和小数,而小数是特殊的分数。那什么是分数呢?今天我们来共同探究分数的意义。(板书课题:分数的意义) 【设计意图:做到“温故而知新”,为新课的学习做准备、打基础】 1.分数的意义。 (1)投影出示月饼图,把它平均分成4份。 师:请观察这个月饼图,说一说这个月饼怎么分,涂色部分是多少? 生:把这个月饼平均分成了4份,涂色部分是1份。教师板书 提问:这块月饼还可以看作什么?(看作一个物体) (2)教师把一张长方形纸贴在黑板上。 师:请你说出这幅图的意思。每份是多少?学生回答后教师板书涂色部分如何表示?表示什么意思?把一张长方形纸平均分成份阴影部分占份有个 (3)教师画出线段图。 师:括号里填什么?为什么?因为把米平均分成份每份是份有个 (4)教师贴图。 师:刚才我们把一个物体或一个计量单位平均分,实际还可以把许多物体平均分,我们可

以把平均分的物体看作一个整体。这幅图是把谁看作一个整体?把个圆片看作一个整体每份有几个圆片?(每份有2个圆片)是这个整体的几分之几? 教师强调:把6个圆片看作一个整体,平均分成3份,每份是这个整体的,是2个圆片。 (5)思考。 师:在刚才表示这几个分数的过程中,你有什么发现?它们是怎样分的?分的对象相同吗? 学生回顾、思考、讨论,全班交流、质疑。 生1:我发现刚才都是平均分的。 生2:我发现有不同的地方,有的是把一个图平均分,有的是把1米平均分,有的是把6个圆片平均分。 师:它们平均分的对象不同,(教师指着板书说明)如果我们把一个实物、一个图形、一个计量单位称单个物体,那么像6个圆片这样的图形就是由许多单个物体组成的,我们称作一个整体。 讲述:像这样的一个实物、一个图形、一个计量单位、一个整体都可以叫作单位“1”。(板书:单位“1”) 举例:单位“1”可以指哪些?(单位“1”可以是一个实物、一个图形、一个计量单位、一个整体)一个计量单位除了1米,还可以是哪些?(1千克、1小时、1平方米等)你能举出关于整体的例子吗?(一车煤、一筐黄瓜、一群羊、一把瓜子……) 教师举例:一个班的人数、一个年级的人数、一个学校的人数、江苏省的人数、全中国的人数、一批奥运志愿者、一项建设工程…… (6)展开。 师:刚才这4幅图都是把单位“1”平均分成若干份,请你说说其余部分可以用什么分数表示。 教师根据学生的回答,分别板书: 请同学说说每个分数表示的意义。 (7)概括。 师:1是一个数,它只表示某一个具体事物,如一本书、一位同学、一道题等,它是自然数的计数单位。而单位“1”不仅可以表示某一个具体的事物,还可以表示一堆、一群、一批事物等,它表示被平均分的整体。 请你看看黑板上的这些分数,说一说什么叫分数。 学生讨论概括,教师引导总结,从而板书出分数的意义。 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫作分数。 2.分数单位。 (1)写分数。 请学生任意写出两个分数。 先说出自己所写分数的意义,再说出同伴所写分数的意义。 (2)讲述。 师:你们所写的这些分数中,都是把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是分

《分数加减混合运算》教学设计

分数加减混合运算(第一课时) 教学内容：人教版课标实验教科书P117~118页以及相应的练习。 教学目标： 1、掌握分数加减混合运算的顺序，能正确地进行分数加减混合运算。 2、培养学生自主探究、解决问题的能力，渗透保护环境的意识。 教学重点、难点：分数加减混合运算的顺序和计算方法。 教学方法：合作学习，自主探究。 教学过程： 一、创设情景导入新课 1、出示湖北云梦风景图片及云梦森林公园地貌情况统计图 师：湖北云梦崇山峻岭，风景优美，这里有高大的乔木林、低矮的灌木林，还有大片的草地。 下面是云梦森林公园地貌情况统计图,从这张统计图。从中你发现了哪些数学信息？ 生：乔木林占1/2，灌木林占3/10，草地占1/5 师:你能提出哪些数学问题?并选择其中的一个问题进行解答。 反馈后，说说异分母分数加减法的计算方法。整数加减混合运算的运算顺序是怎样的？ [设计意图] 在创设情境中引导学生提出数学问题,一是能有利于调动学生的良好情感体验，激发学习兴趣。二是能让学生感受到数学与生活的紧密联系。2、提出问题： 师：森林部分比草地部分多占公园面积的几分之几呢？ 提问：森林部分指什么？怎样列式？你能找到解决这一问题的方法吗？二、合作交流、探究新知： （1）学生自主探索解决问题的方法 ①列出什么样的算式？②如何计算？ （在学生探索过程中，老师巡视，请不同算法的同学板演。）

（2）学生汇报解决问题的过程。 展示学生的两种不同的计算方法。 1/2+3/10-1/5 1/2+3/10-1/5 =5/10+3/10-1/5 =5/10+3/10-2/10 =8/10-1/5 =8/10-2/10 =8/10-2/10 =6/10 =6/10 =3/5 =3/5 （3）对比方法，总结优化。 提出问题：你喜欢哪种方法呢？这两种方法有什么不同？哪一种简便？要注意什么问题？ 第一种方法：分步通分。 第二种方法：一次通分。 ★三个分数都是异分母分数，一次通分比较简便。 ★计算的结果能约分的要约成最简分数 ．．．．。 （4）分数加减混合运算的运算顺序是什么？ 分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序的相同。同级运算应该从左向右依次计算，但是有时为了简便，可以一次通分再计算。 （5)实战检验： 2/3+4/5-3/10 （6）老师强调书写格式及注意事项：用递等式计算，等号一律对齐，分数线在同一条直线上；注意最后的结果要化成最简分数。 [设计意图] 将数学问题与生活联系起来，激活学生积极的情感，引导学生主动参与学习。引起学生探究新知的欲望。引导学生进行辨析,帮助学生加深对算理的理解。培养学生的迁移能力。进一步强调书写过程的规范性，养成认真学习的好习惯。 ( 7）小结计算方法：计算分数加减混合运算时，可以分步通分也可以一次通分进行计算。计算时，可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择方法。 2、学生自学例1（2）。 （1）师：湖北云梦地处长江中下游，雨水充足。下面是这次梅雨季节云梦森林公园和周边裸露地面降水量转化情况对比图，

分数的意义和性质知识点

分数的意义和性质知识点

分数的基本性质 知识点 1．一个物体或是几个物体组成的一个整体都可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。 2．把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。例如3/7表示把单位“1”平均分成7份，取其中的3份。 3．5/8米按分数的意义，表示：把1米平均分成8份，取其中的5份。按分数与除法的关系，表示：把5米平均分成8份，取其中的1份。 4．把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。 5．分数和除法的关系是：分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分数线相当于除法中的除号，分数的分母相当于除法中的除数，分数的分数值相当于除法中的商。 6．把一个整体平均分成若干份，求每份是多少，用除法。总数÷份数＝每份数。7．求一个数量是另一个数量的几分之几，用除法。 一个数量÷另一个数量＝几分之几（几倍）。 8．分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。 9．分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。10．带分数包括整数部分和分数部分，分数部分应当是真分数。带分数大于1。11．把假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。 把带分数化成假分数的方法是用整数部分乘分母的积加原来的分子作分子，分母不变。 12．整数可以看成分母是1的假分数。例如5可以看成是5/1。 13．分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。 14．几个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。最小公因数一定是1。 15．几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数叫作它们的最小公倍数。没有最大的公倍数。

分数加减法混合运算教学反思

分数加减法混合运算教 学反思 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

《分数加减法混合运算》教学反思课开始，给学生呈现情境：红山小学校园里有一个花园，其中月季花的面积占 1/4，杜娟花的面积占1/3，其余的是草坪。求草坪的面积占几分之几。然后帮助学生分析题意，理解题中分数所表示的意思。明确将整个花园面积看作单位“1”。 苏霍姆林斯基说：“只有当学生进行思考的时候，他才能掌握教材。请你们考虑一下，怎样才能把现在学习和即将学习的东西，变成学生乐于思考、分析和观察的对象吧。”学生小组讨论后列出数量关系式，?列出综合算式。 延伸式题解决方法 教师教学用书指出：“通常情况下，学生可能按整数加减混合运算的顺序逐步通分，逐步计算。如果有学生能够很快找出三个分数的公分母，也可以采用一次通分的方法进行计算，但一般不作具体的解释。”因为新编教材没有求三个数的最小公倍数教学要求，在这里有这样的建议也就在所难免了。问题是在实际计算过程中学生如能运用一次通分的方法进行计算，除了减少不必要的过程，对提高正确率相对也有保证。基于这一点，我在一次通分的方法上作了延伸，教给了学生一般的解决方法。如练一练计算5/9+2/3-2/5，先要求学生观察三个分数的分母，发现9是3的倍数，那么这三个分母的公分母就是9和5的最小公倍数；再如练习十五第1题的计算均可让学生采用一次通分的方法，3/4-5/8+5/6的公公母是8和6的最小公倍数、4/5-（1/6+3/10）的公分母就是10和6的最小公倍数等。这样的安排既不违背教学要求，也让学生在计算方法的选择上留下一定的思考余地，也有利于学生去创造、去发展，有利于提高学生的计算品质，使学生在学习活动中，感受到数学学习过程的探索性，获得成功的体验，享受成功的乐趣。

分数加、减混合运算

分数加、减混合运算 导读：本文是关于分数加、减混合运算，希望能帮助到您！ 教学目标 (一)通过教学，学生能比较正确地计算分数加、减混合运算的式题。 (二)在教学中，培养学生仔细、认真的良好学习习惯。 (三)培养学生对比、观察的能力。 教学重点和难点 分数加、减混合运算的计算方法；带有小括号的分数加、减混合运算。 教学用具 教具：小黑板，投影片。 教学过程设计 (一)复习准备 1．教师：整数加、减混合运算的运算顺序是什么？ 2．计算下面各题： 教师：分数连加、连减为什么可以一次通分再计算？ (二)学习新课 尝试计算例1。

通过订正找出简便的计算方法。 教师： ①分数加、减混合运算的顺序和整数加减混合运算的顺序相同吗？ ②例1与准备题比较哪相同？哪不同？(讨论) ③怎样计算比较简便？ 板书： 明确：分数加、减混合运算与整数加、减混合运算顺序相同，为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行加减计算。 说明：虚线框的部分，我们在计算带分数加减混合运算时，可以按照这样的方法去想，但在做题时这一过程可以省略不写，而直接写出计算结果。 教师：计算结果要注意什么问题？ 教师：①先算什么，再算什么？ ②分两步计算，是一次通分好，还是分步通分好呢？ 学生尝试计算并订正。 教师：①怎样计算简便？ ②为什么分步通分简便一些？ 说明：虚线框的通分过程，以后计算熟练了可以不写，或写

在草稿纸上，也可以直接写出结果，不断提高自己的计算能力。 教师：结果要注意什么？ (三)巩固反馈 1．做一做。 2．判断正误并说明理由。 3．按照下图的计算步聚列出综合算式，并算出得数。 4．思考题： 华和王英比，谁高一些？高多少米？ (四)课堂总结(学生总结) 分数加减混合运算的运算顺序，和整数加减混合运算顺序相同。为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行加减计算。如果有小括号，用分步通分的方法比较简便。 教师：计算分数加减混合运算应该注意什么问题？ 最后结果要化为最简分数。 (五)布置作业课本140页练习三十一，1，2。 课堂教学设计说明 这部分内容是在学生掌握了分数加、减法计算方法的基础上教学的。一方面把整数加减混合运算的运算顺序推广到分数加减混合运算；另一方面，为学习小数、分数加减混合运算做好准备。

《分数的意义和分数单位》教材解读

《分数的意义和分数单位》教材解读 教材分析：《分数的意义和分数单位》是苏教版五年级下册，第四单元的内容。也是小学阶段“数与代数”部分重要内容之一，它是在学生初步认识分数，知道把一个物体、一个图形或由几个物体组成的整体平均分成几份，其中的一份或几份可用几分之一或几分之几来表示的基础上进行教学的，同时这部分内容为学生进一步学习分数的基本性质、约分、通分及分数的四则混合运算奠定基础。 教学目标分析： 知识与技能：初步理解单位“1”的意义和分数单位的含义。 过程与方法:经历建构分数意义的学习过程中,进一步培养分析、综合、抽象、概括的能力. 情感与态度:通过自主探究,合作交流,培养学生的合作意识、探究意识以及热爱数学学习的情感. 教学重点和难点分析： 教学重点：理解分数的意义. 教学难点：单位“1”的理解. 教学内容分析： 例1分四个层次编排：第一层次，呈现用实物图表示的一块饼、一个长方形、一根1米长的直条和由6个圆组成的一个整体，让让学生

用分数表示每个图中的涂色部分，并说说写出的每个分数的含义，从而引起对相关旧知的回忆，感受被平均分的对象是非常广泛的，为建立单位“1”的概念积累具体的感性材料。第二层次，引出单位“1”概念。教材指出：一个物体，一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把他叫做单位“1”。这里把自然数“1”作为建立单位“1”的概念的台阶，一方面体现了由具体到抽象的过程－一个物体、一个计量单位、一个整体都是1个，用自然数“1”表示学生容易接受；先理解可以用“自然数1”表示，再抽象成单位“1”，则降低了认知的难度。另一方面，这样做也是由数概念扩展的规则所决定的－用“自然数1”过渡，显示了分数与自然数是有联系的，只有以自然数1为标准，分数的大小比较及四则运算才能实施。第三层次，通过“上面的分数分别是把单位1平均分成几份，表示这样的几份”这个问题，再次确认各个分数的单位“1”是什么，使抽象的概念回归到具体实例中去。第四层次，从四个分数的具体含义中提取共同特征，概括分数的意义，揭示分数单位的含义。分数单位是分数的计数单位，分数单位同自然数的计数单位本质是一致的。由于分数单位是随着单位“1”被平均分成的份数的变化而变化的，不像自然数的计数单位（一、十、百、千、万......)那样固定,这就使学生理解起来感到抽象、困难。所以，教材在揭示分数单位的含义后，紧接着安排学生结合具体的分数进行交流，以帮助他们巩固对分数单位的认识。

人教版五年级下册《分数加减混合运算》教案

（人教新课标）五年级数学下册教案分数加减混合运算 教学内容： 教材第117-118页内容。 教学目标： （1）知识与技能：使学生知道分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同。 （2）过程和方法：使学生知道分数加减混合运算也可以一次通分，再计算。 （3）情感、态度：培养学生细心认真的计算习惯。 教学重点： 掌握分数加减混合运算的顺序。 教学准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情境，引入新课。 师：同学们，你们喜欢旅游吗?你知道我们万州有哪些有名的景点? 今天，老师带同学们一起去国家级景区王二包原始森林公园去参观。(课件播放王二包原始森林森林公园的美丽景色) 老师上网调查了一下，了解到了有关王二包原始森林公园的一些资料，请看：王二包原始森林公园地貌情况对比 从表中你能获得哪些数学信息? 根据这些数学信息你能提出哪些数学问题? 二、合作探究，学习新知： 1.根据学生提出的数学问题，选择“森林部分比草地部分多几分之几”这一问题。

(1)学生先独立解答，再在小组内交流算法。 (2)小组汇报算法： (3)思考：这两种算法有什么不同？你喜欢哪种算法？ 师生共同总结：分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的计算顺序相同；三个分数是异分母分数，先一次通分比较简便。 2.课件出示下表： 森林和裸露地面降水量转化情况对比 地控类别蓄存为地下水地表水其他 森林7/20 1/4 2/5 裸露地面？11/20 2/5 师：从表中你能发现那些数学信息？看到这些信息你有什么感想?你能帮老师解决这个问题吗? 学生独立列式解答。 展示学生不同的解答方法：

提问：这两种方法有什么不同? 师生总结：加减混合运算中有小括号时，要先算小括号里的 3.结合以上两个问题，总结分数加减混合运算的运算顺序。 师：你能说说分数加减混合运算的顺序吗? 学生先在小组内互相说一说，再在全班交流。 课件出示：分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。 三、巩固运用，实践创新： 1.计算小能手评比。 出示教材第118页“做一做”。比一比，看谁算得又对又快。 2.列式计算： （1）从4/5里减去1/10和1/3的和，差是多少? （2）5/6加上3/4减去1/3的差，和是多少? 3.水果店运来5/8吨水果，第一天卖出1/4吨，第二天卖出1/5吨，还剩下多少吨? 4.水果店运来5/8吨水果，其中梨占1/4，苹果占1/5，其他水果占这批水果的几分之几？ 四、课堂小结： 师：通过这节课的学习，你有什么收获? (学生发言) 师：看来大家的收获可真不少，希望同学们平时多留心多观察，运用所学的知识去解决你身边的数学问题。

西师大版五年级数学下册-分数加减混合运算一教案

4.2.1 分数加减混合运算（一） ◆教学内容 教材第64-65页“分数加减混合运算的运算顺序及带分数的认识”，练习十九的相关内容。 ◆教材提示 “分数加减混合运算”是在学生掌握了分数加减法的基础上进行教学的。本节课的主要知识点就是引导学生掌握分数加减混合运算的顺序和计算方法。 教学时，首先让学生通过用酒精做实验的情境，感受分数连加运算中含有一次通分再计算和分步通分再计算两种策略，学生通过计算理解分数加减混合运算的运算顺序。同时，通过本例让学生认识带分数的实际意义。 接着再通过“打扫卫生”的情境，让学生学习掌握带有括号的分数加减混合运算，教材通过运用两种方法解决同一问题，让学生在解决问题有过程中理解有括号的分数加减混合运算为什么要先算括号里的道理。 ◆教学目标 知识与技能： 结合具体情境，理解分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算相同；认识带分数；理解、掌握有括号的分数加减混合运算的计算方法，并能正确计算 过程与方法： 让学生经历交流各自算法的过程中，会用所学知识灵活解决混合运算中的问题，提高应用能力。 情感、态度和价值观： 养成会独立思考，并善于与同伴交流想法的学习习惯。 ◆重点、难点 重点 理解分数加减混合运算顺序。 难点 理解掌握分数加减混合运算中怎样通分。 ◆教学准备

教师准备：课件、投影仪等。 学生准备：稿纸、笔。 教学过程 （一）新课导入： 1、引导回忆。 提问：谁能说一说整数加减混合运算的运算顺序是怎样的？ 学生举手回答。 教师根据学生的回答总结：整数加减法的运算顺序是按照从左往右的顺序计算，有括号的要先算括号内的。 2.引入新课。 同学们已经掌握了整数加减混合运算的顺序，今天这节课我们一起探究分数加减混合运算的顺序。 板书课题：分数加减混合运算 设计意图：通过复习回顾旧知，让学生加深对整数加减混合运算顺序的记忆，为新知的学习做准备。 （二）探究新知： 1.教学例1 课件出示例1的主题图：科学课，教师带领3个组用酒精做实验，实验完成后，各组剩的酒精如下： （1）提出要求：同学们请观察情境图，说一说你从图中获得了哪些信息？ 引导学生回答出：第1瓶酒精还剩35，第2瓶酒精还剩23，第3瓶酒精还剩25 。 （2）课件出示问题：一共剩下多少瓶酒精？ 质疑：这个问题应该如何解决呢？想一想。 学生独立思考后，在小组里说一说自己的想法。 （3）反馈汇报：可以用加法计算，算式为：35+23+25 。 （4）这是个连加的分数加法算式，我们应该如何计算这个算式呢？想一想，在小组里交流计算的方法。 学生思考解法后，小组交流，说一说自己的解题思路；然后全班交流。 学生汇报：分数连加的算式，在计算时，首先要确定运算的顺序。 （5）提问：你们觉得这道题应该按什么顺序来计算呢？

六年级上册数学.1 分数乘法第2课时 整数乘分数的意义和计算

第2课时一个数乘分数的意义和计算

①3桶水是多少升？12×3。 ② 21桶水是多少升？12×21。 ③41桶水是多少升？12×4 1。 3.探究每道算式的意义。 （1）明确12×3的意义。 12×3表示求3个12L ，也就是求12L 的3倍是多少。 （2）探究12× 2 1 的意义。 21是一半，12×2 1表示求12L 的一半，也就是求12L 的21 是多少。 （3）明确12×4 1 的意义。 12×41表示求12L 的4 1 是多少。 发现：整数乘几分之几表示的是 求这个数的几分之几是多少。 4.学生再次明确学习要点。 三、拓展提高，巩固练习。（9分钟） 完成教材第3页“做一做”。 学生独立思考并在练习本上独立完成，再与同桌交流，并进行评价。 4.一辆汽车每小时行驶 60km ， 4 3 小时行驶多少千米？ 答： 4 3 小时行驶45km 。 四、总结收获。（4分钟） 1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2.布置作业。 学生谈本节课的收获。 教学过程中老师的疑问： 五、教学板 书

知识技能（72分） 一、我会填。（每空1分，共28分） 1.修一条长9km的公路，如果12天修完，平均每天修全长的（），平均每天修（）km。 2.（）的是27；60kg是（）kg的；300t比（）t少。 3.（）没有倒数；（）的倒数是它本身；1.5的倒数是（）。 4.（）∶7= =9÷（）= 5.一项工程，甲队独做要10天完成，乙队独做要15天完成。甲、乙两队工作效率的比是（）。如果两队合做，（）天就能完成工程的。 6.下图中空白部分的面积与阴影部分的面积之比是（）。 7.在里填上“>”“<”或“=”。 8.如果路路家在学校西偏南40°方向上，距离是300m，那么学校在路路家（）偏（）（）°方向m处。 9.某县今年出生的男、女婴人数比是5∶4，男婴的出生人数是女婴的，女婴的出生人数占出生总人数的。已知这个县今年出生的女婴比男婴少820人，那么这个县今年出生的婴儿一共有（）名。 10.有一根长m的绳子，第一次截下它的，还剩m；第二次又截下m，最后还剩下（）m。 11.五年级同学收集了165个易拉罐，六年级同学比五年级同学多收集了，五年级同学比四年级同学少收集了。六年级同学收集了个易拉罐，四年级同学收集了（）个易拉罐。

《分数的意义和分数单位》教材解读

《分数的意义和分数单位》教材解读 教学目标分析：知识与技能：初步理解单位“1”的意义和分数单位的含义。过程与方法:经历建构分数意义的学习过程中,进一步培养分析、综合、抽象、概括的能力、情感与态度:通过自主探究,合作交流,培养学生的合作意识、探究意识以及热爱数学学习的情感、教学重点和难点分析： 教学重点：理解分数的意义、教学难点：单位“1”的理解、教学内容分析： 例1分四个层次编排：第一层次，呈现用实物图表示的一块饼、一个长方形、一根1米长的直条和由6个圆组成的一个整体，让让学生用分数表示每个图中的涂色部分，并说说写出的每个分数的含义，从而引起对相关旧知的回忆，感受被平均分的对象是非常广泛的，为建立单位“1”的概念积累具体的感性材料。第二层次，引出单位“1”概念。教材指出：一个物体，一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把他叫做单位“1” 。这里把自然数“1”作为建立单位“1”的概念的台阶，一方面体现了由具体到抽象的过程－一个物体、一个计量单位、一个整体都是1个，用自然数“1”表示学生容易接受；先理解可以用“自然数1”表示，再抽象成单位“1”，则降低了认知的难度。另一方面，这样做也是由数概念扩展的规则所决定的－用“自然数1”过渡，显示了分数与自然数是

有联系的，只有以自然数1为标准，分数的大小比较及四则运算才能实施。第三层次，通过“上面的分数分别是把单位1平均分成几份，表示这样的几份”这个问题，再次确认各个分数的单位“1”是什么，使抽象的概念回归到具体实例中去。第四层次，从四个分数的具体含义中提取共同特征，概括分数的意义，揭示分数单位的含义。分数单位是分数的计数单位，分数单位同自然数的计数单位本质是一致的。由于分数单位是随着单位“1”被平均分成的份数的变化而变化的，不像自然数的计数单位（ 一、、百、千、万、、、、、、)那样固定,这就使学生理解起来感到抽象、困难。所以，教材在揭示分数单位的含义后，紧接着安排学生结合具体的分数进行交流，以帮助他们巩固对分数单位的认识。

分数的意义与分数与除法的关系练习题

分数的意义与分数与除法的关系练习题姓名 一、填空题 1、（1）女生人数是全班人数的 5/3，是把（）看作单位“1”，5/3 表示把（）平均分成（），女生人数相当于其中的（）份。一堆煤，已经烧了3/8，是把（）看作单位“1”. （2）6/11是把单位“1”平均分成（）份，表示这样的（）份，它的分数单位是（），有（）个这样的分数单位。 2、（1）这个村里的留守儿童占全村儿童的1/10 ，1/10表示（ ）。 4、3/7 米既可以看作 3米的（），又可以看作1米的（）。4/7千克表示4千克的（）；3/7吨表示3吨的（）。 5、一堆煤有5吨，平均分7次运完，每次运（）吨，每次运这堆煤的（）。 6、 3米长的铁丝平均分成8段，每段是3米的（），每段长（）米。 5、在（）里填上适当的分数。 80厘米＝（）米 32时= ( )日 700千克＝（）吨 350平方分米＝（）平方米 4时45分＝（）时 6、一个分数的分子是最小质数，分母是100以内最大的质数，这个分数是（）。 7、分数与除法的关系：被除数相当于分数的（），除数相当于分数的（），除号相当于（），商相当于（）；分数与除法的区别：分数是一个（），而除法是一种（）。 8、单位“1”可以是（），也可以是（）组成的一个整体。 二、选一选 1、把4米长的铁丝平均分成9份，每份是全长的（），每份是（）米。 A. 4/9 B. 1 /9 C. 1/4 2、3千克的1/5 和1千克的3/5 比较，（）重 A. 3千克的1/ 5 B. 1千克的3 / 5 C.一样 三、解决问题： 1、把6米长的绳子平均分成7段，每段占全长的几分之几？每段长多少米？ 2、6千克糖果，均匀地装在4个袋子里，平均分给4个小朋友，每个小朋友分到多少千克糖果？每个小朋友分到多少袋糖果？

分数的意义和分数单位

《分数的意义和分数单位》教学设计 一、教学分析 （一）教学内容分析 《分数的意义和分数单位》是苏教版义务教育课程标准实验教科书五年级数学（下册）第四单元第一课时的教学内容。是在学生认识一个物体、一个长度单位及若干个物体组成的整体的几分之一、几分之几基础上抽象概括出分数的意义和分数单位；是今后学习分数相关知识及运用分数知识解决实际问题的重要基础。通过这部分内容的学习，扩展学生对数的认识，提高学生思维水平、分析问题及解决问题能力。 （二）教学对象分析 对于五年级的学生来说，已经有了用分数表示一个物体、一个长度单位和若干个物体组成的整体的几分之一或几分之几的认知基础，本课旨在引导学生在已有知识的基础上，由感性认识上升到理性认识。五年级的学生已具备了一定的理解和概括能力，但抽象概括能力尚处于初始阶段，所以应给学生提供适当的交流合作空间，促使其主动参与建构，在此基础上让学生归纳出分数的意义。 （三）教学环境分析 本课教学努力利用多媒体，利用信息技术，围绕教学内容，实现教师、学生、媒本三者间的多维有机互动。 二、教学目标 根据教材的特点和学情分析，我将本课教学的目标确定为以下四点： （一）知识与技能目标 让学生在初步认识分数的基础上，初步理解单位“1”及分数单位的意义，进一步理解分数的意义。 （二）数学思考 通过活动，讨论交流，经历抽象出单位“1”的过程，在培养学生合作交流能力的同时培养抽象概括能力。 （三）解决问题 经历抽象出单位“1”，概括分数的意义的过程。

（四）情感与态度 让学生学会与他人合作交流，分享合作共同成果，享受快乐课堂。 三、教学重点、难点 教学重点：让学生在初步认识分数的基础上，初步理解单位“1”及分数单位的意义，进一步理解分数的意义。 教学难点：分数意义的抽象、概括过程是本课的难点。 四、教学过程 （一）教学流程 根据五年级学生的特点和学习心理，结合本课教学内容的特点，我安排了如下教学流程： ： （二）教学过程 1．创设情境，导入新课 （1）课件展示，感知现象 播放课件：展示喜羊羊和懒羊羊在游乐场玩各种游乐项目的情境，出现如小火车、缆车、大风车、摩天轮、螺旋桨、滑板等运动项目。 观察交流：游乐园里有哪些项目呢？ （2）引导分类，初识概念 ①尝试分类：能按照它们不同的运动方式分类吗？先小组交流，再回答。 （利用多媒体互动功能，根据学生的回答，把所选的运动项目图片进行分类）