中国石油大学华东期末(2—2)高数题

2006—2007学年第二学期 《本科高等数学(下)》试卷

专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2007年7月 2 日

说明：1.2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中， 否则答案无效。

一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项

符合

题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ?=?，则（ ）. （A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0 ===c b a ; （C ）当0

≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.

2. 已知

2

,2==b a

，且2=?b a ，则=

?b a （ ）.

（A ）2 ; （B ）22; （C ）22

; （D ）1 .

3. 设曲面)0,0(:22

2

2>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）.

（A ）????=S S

S

x S x 1

d 4d ; （B ）????=S S

S

x S y 1

d 4d ;

（C ）????=S S S

x S z 1

d 4d ; （D ）????=S S

S

xyz S xyz 1

d 4d .

4. 曲面6322

22=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.

（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x .

5. 判别级数∑

?∞

=1!

3n n

n n

n 的敛散性，正确结果是：（ ）.

（A ）条件收敛; （B ）发散；

（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.

6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.

（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 .

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e

x y

z =，则____________________d =z

.

2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量的方向导数是____________，函数

u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是

____________.

3. 已知曲线1:2

2=+y x L ，则?+=L

s y x ______

__________d )

(2

.

4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞

=≤≤-=

2)

(,cos n n x nx a x

ππ，则__

_________2=a .

三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.

1. 求幂级数∑∞

=+0

1n n

n x 收敛域及其和函数.

解题过程是：

2. 计算二重积分??≤++4

2

22

2d d y x y

x y

x e

.

解题过程是：

3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求)

,(y x f z =在椭圆域}

14

|),{(2

2≤+

=y

x y x D 上的最大值和最小值.

解题过程是：

4. 设Ω是由y x z 2

2

+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分???++Ω

z

y x z y x d d d )(22

.

5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 2

1-=到点)0,1(B 一段曲线，计算?++L AB

y

x y

y x x 22

d d .

解题过程是：

6. 设∑是上半球面

y x z 2

2

1--=的下侧，计算曲面积分

??++-+∑

y

x z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 23

22.

7. 将函数 61

)(2--=

x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .

解题过程是：

四、证明题（7分）.

证明不等式:

??≤+≤D

x y 2

d )sin (cos 122σ，其中D 是正方形区域：10,10≤≤≤≤y x

.

2007—2008学年第二学期 《本科高等数学(下)》试卷 （理工类）

专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基 础 数学 系 考试日期 2008年6月23日

说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。 一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .

2. 函数2

2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数

为 .

3. 设(,)f x y 是有界闭区域2

22:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，

=

??→D

a dxdy y x f a ),(1lim

20π .

4. 区域Ω由圆锥面2

2

2

x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dV

Ω

???在柱

面坐标系下化为三次积分为 .

5. 设Γ为由曲线3

2,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ

上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

Pdx Qdy Rdz Γ

++=

?

______________________________________.

6.

将

函

数

)

0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为

__________________________________

.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

7. 若),(y x f z =有连续的二阶偏导数，且K y x f xy

=''),((常数)，则(,)y f x y '=（ ）

(A) 22

K ； (B)

Ky ； (C) )(x Ky ?+； (D) )(y Kx ?+.

8. 设

)(x f 是连续的奇函数，)(x g 是连续的偶函数，区域

{

}x

y x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(，则下列结论正确的是（ ）

(A)

)()(=??D

dxdy x g y f ； (B) 0

)()(=??D

dxdy y g x f ；

(C)

)]()([=+??D

dxdy y g x f ； (D)

)]()([=+??D

dxdy x g y f .

9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ?的面积为（ ）

(A) 29； (B) 37； (C) 92

； (D) 73.

10. 曲面积分

??∑

dxdy z 2在数值上等于( )

(A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；

(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2

=沿Σ边界所做的功.

11．处

则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1=-=+∑∞

=x x x c n n n ( )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

12.级数∑∞

=--121)1(n p

n n 的敛散性为 ( )

(A) 当

p >

12时，绝对收敛； （B ）当p >

1

2时，条件收敛；

(C) 当

21

0≤

012<≤

p 时，发散. 三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

13.（本题满分6分）设()

x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .

题满分8分）求曲线

22230

23540

x y z x x y z ++-=??

?-+-= 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

15.（本题满分8分）求幂级数n

n x n ∑∞

=+0)12(的和函数.

（本题满分6分）计算??∑

++=dS

z y x I )(，其中∑为曲面5=+z y 被柱面25

2

2=+y x 所截下的有限部分.

17.（本题满分8分）计算积分

222(24)(2)L

I x xy dx x y dy

=++-?，其中L 为曲线

22355

()()222x y -+-=

上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

18.（本题满分8分）计算

??∑

+++=xydxdy

dzdx z x y yzdydz I )(22，其中∑是由曲面

224y x z -=+与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧.

19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面122

222

2=++c z b y a x 的切平面，使切平面与三个

坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.

20. (本题满分6分)设)(),(x g x f 均在[]b a ,上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：

]

)(][)([])()([222???≤b

a

b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f .

答 案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.

1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为

3

π

.

2. 函数2

2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为

3

21+.

3. 设(,)f x y 是有界闭区域2

22:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，

=

??→D

a dxdy y x f a ),(1lim

20π)

0,0(f .

4. 区域Ω由圆锥面2

2

2

x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分

f dV

Ω

???在柱

面坐标系下化为三次积分为

211

()r

d dr f r rdz

πθ?

??.

5. 设Γ为由曲线3

2,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ

上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

Pdx Qdy Rdz Γ

++=

?

6. 将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为

)0()5cos 51

3cos 31(cos 4

12

122ππ

π

≤≤+++

-

+=

+x x x x x .

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

7. 若),(y x f z =有连续的二阶偏导数，且K y x f xy

=''),((常数)，则(,)y f x y '=（ D ）

(A) 22

K ； (B)

Ky ； (C) )(x Ky ?+； (D) )(y Kx ?+.

8. 设

)(x f 是连续的奇函数，)(x g 是连续的偶函数，区域

{

}x

y x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(，则下列结论正确的是（ A ）.

(A)

)()(=??D

dxdy x g y f ； (B) 0

)()(=??D

dxdy y g x f ；

(C)

)]()([=+??D

dxdy y g x f ； (D)

)]()([=+??D

dxdy x g y f ..

9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ?的面积为（ A ）

(A) 29； (B) 37； (C) 92

； (D) 73

10. 曲面积分

??∑

dxdy z 2在数值上等于( C ).

(A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；

(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2

=沿Σ边界所做的功.

11.处

则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1=-=+∑∞

=x x x c n n n ( D )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

12.级数∑∞

=--121)1(n p

n n 的敛散性为 ( A )

(A) 当

p >

12时，绝对收敛； （B ）当p >

1

2时，条件收敛；

(C) 当

21

0≤

012<≤

p 时，发散. 三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

13. （本题满分6分）设()

x y z x y z e

-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .

解：两边同取微分 ))(1()

(dz dy dx e

dz dy dx z y x ++-=++++-

整理得 dy dx dz --=.

14. （本题满分8分）求曲线 22230

23540

x y z x x y z ++-=??

?-+-= 在点（1,1,1）处的切线与法平面方

程.

解：两边同时关于x 求导?????=++=++05323222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x ，解得?????-==4749)

1,1,1()1,1,1(dx

dz dx dy

，++- 所以切向量为

91

(1,,)

1616T =- 切线方程为： 1111691x y z ---==

-；

法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.

15.（本题满分8分）求幂级数n

n x n ∑∞

=+0

)12(的和函数.

解：求得此幂级数的收敛域为)1,1(-，∑∑∑∞

=∞=∞

=+=+0

2)12(n n

n

n n

n x x n x

n ，

,

221

10

∑∑∞

=-∞==n n n n nx x nx 设

1

1)(-∞

=∑=n n x n x A ，则

x x

x dx nx

dx x

n dx x A n n n x

n n x

n x

-=

===∑∑?∑??∞

=∞

=-∞

=-1)(1

1

1

1

1

，)11(<<-x ；

'??

? ??-=∴x x x A 1)(,)1(12x -= 即,)1(222

0x x nx n n -=∑∞= 220

)1(111)1(2)12(x x x x x x n n n -+=

-+-=

+∴∑∞

=，)11(<<-x .

16.（本题满分6分）计算

??∑

++=dS

z y x I )(，其中∑为曲面5=+z y 被柱面

2522=+y x 所截下的有限部分.

解：

????∑

∑

+=++=dS

x dS z y x I )5()(

????≤+∑

==25

222

55y x dxdy

dS

ππ21252525=?=

17.（本题满分8分）计算积分

222(24)(2)L

I x xy dx x y dy

=++-?，其中L 为曲线

22355()()222x y -+-=

上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.

解：

x y P

x Q 4=??=??

?-++=∴AB

dy y x dx xy x I )2()42(222

2

4

221

1

(24)(8)x x dx y dy

=++-??

413=

18.（本题满分8分）计算

??∑

+++=xydxdy

dzdx z x y yzdydz I )(22，∑是由曲面

224y x z -=+与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧.

解：

??∑

+++=xydxdy

dzdx z x y yzdydz I )(22

???Ω

+=dV

z x )(22

?

??-=2

40

22

20

r dy

r rdr d πθ

π332=

19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面122

222

2=++c z b y a x 的切平面，使切平面与三个

坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切向量为)2,2,2(

020202z c y b x a ，

切平面方程为0

)()()(02

002

002

=-+

-+

-z z c z y y b y x x a

x ，即1

2

02

02

0=+

+

c z z b y y a

x

x ，

则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为

=

=x y z V 61

0002226z y x c b a ， 令

)

1(

ln ln ln ),,,(2

2

02

2

02

2

0000000-+

+

+++=c

z b

y a

x z y x z y x L λλ

解方程组?????????????=++=+=+=+1,

021,021,02122

022*******

20020

c z b y a x c z z b y y a x x λλλ得

3,3,3000c

z b y a x ===， 故切点坐标为)

3,

3

,

3

(

c

b a .

20. (本题满分6分)设)(),(x g x f 均在[]b a ,上连续，试证明柯西不等式：

]

)(][)([])()([222???≤b

a

b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f .

证：

222222[()][()]()()()()b

b

a

a

D

D

f x dx

g x dx f y g x dxdy f x g y dxdy

==??????

2

222221

[()][()](()()()())2b

b

a

a

D

D f x dx g x dx f x g y dxdy f x g y dxdy ∴=

+??????

2222

11(()()()())(2()()()())22D D

f x

g y f y g x dxdy f x g x f y g y dxdy =

+≥????

dxdy y g y f x g x f D

))()()()((??===??b a

b a

dy y g y f dx x g x f )()()()(2

])()([?

b a

dx x g x f

2008—2009学年第二学期 《高等数学》期末考试试卷

专业班级 姓 名 学 号

开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2009年6月22日

说明：1本试卷正文共5页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1. 设三向量,,满足关系式?=?，则（ ）. （A ）必有0=a ; （B ）必有0=-c b ;

（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有λλ()(c b a -=为常数).

2. 直线3742

3z

y x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；

（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.

3. 二元函数

?????=≠+=)0,0(),(,0)

0,0(),(,5),(2

2y x y x y

x xy

y x f 在点（0，0）处（ ）

(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在

(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在

4. 已知2)()(y x ydy

dx ay x +++为某二元函数的全微分，则=a （ ）.

（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.

5. 设)(u f 是连续函数，平面区域)11(,10:2

≤≤--≤≤x x y D ，则

=

+??

D

dxdy y x f )(22（ ）.

（A ）??-+2

10

2

210

)(x dy y

x f dx ; （B ）??-+2

10

2210

)(y dx

y x f dy ;

（C ）??1020)(rdr r f d πθ; （D ）??1020)(dr r f d πθ.

6. 设a 为常数，则级数)cos 1()1(1n a n n

--∑∞

=（ ）.

（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

1. 设函数

181261),,(2

22z y x z y x u +

++=，向量}1,1,1{=，点)3,2,1(0P ，

=

0P _____________.

2. 若函数y xy ax x y x f 22),(2

2+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a ____________.

3. L 为圆12

2

=+y x 的一周，则=-?L ds y x )(2

2_____________.

4. 设2lim 1=+∞→n

n n a a ，级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径为 _____________.

5. 设

?-=2

2

1

)(x y dy

e

x f ，则=

?1

)(dx x xf _____________.

6. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，它在区间]1,1(-上的定义为???≤<≤<-=10,01,2)(3

x x x x f ，

则)(x f 的以2为周期的傅里叶级数在1=x 处收敛于_____________.

三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.

1.（本小题6分）设)(u f 是可微函数，)

(x y f z =，求y z y x

z x ??+??2. 2. （本小题6分）计算二重积分??+++D dxdy y x xy

2211，其中}0,1|),{(2

2≥≤+=x y x y x D .

解题过程是：

3. （本小题6分） 设曲面),(y x z z =是由方程13

=+xz y x 所确定，求该曲面在点

)1,2,1(0-M 处的切平面方程及全微分)2,1(|dz .

解题过程是：

4. （本小题6分） 计算三重积分

???

Ω

+dxdydz

y x 22，其中Ω是由柱面2

1x y -=及

0=y ，0=z ，4=++z y x 所围成的空间区域.

5. （本小题6分）求??∑

++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22

≤≤+=z y x

z ，方

向取下侧.

解题过程是：

6. （本小题7分） 求幂级数∑

∞

=+121n n

x n n 的收敛域及和函数.

解题过程是：

7. （本小题7分）计算??∑

+=dS

y x I )(22，∑为立体

122≤≤+z y x 的边界。 解题过程是：

四．证明题（8分）.

设函数)(u f 在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲

线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记?

-++=L dy xy f y y x

dx xy f y y I ]1)([)](1[1222，

（1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1. 设三向量,,满足关系式c a b a ?=?，则（ D ）. （A ）必有=; （B ）必有=-;

（C ）当≠时，必有=; （D ）必有λ-λ=()(c b a 为常数).

2. 直线3742

3z

y x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；

（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.

3. 二元函数

?????=≠+=)0,0(),(,0)

0,0(),(,5),(2

2y x y x y

x xy

y x f 在点（0，0）处（A ）

(A) 不连续，偏导数存在 (B) )连续，偏导数不存在 (C) 连续，偏导数存在 (D) )不连续，偏导数不存在

4. 已知2

)()(y x ydy

dx ay x +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）.

（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.

5. 设)(u f 是连续函数，平面区域)11(,10:2

≤≤--≤≤x x y D ，则

=

+??

D

dxdy y x f )(22（ C ）.

（A ）、??

-+2

10

2

21

)(x dy

y x f dx ; （B ）?

?-+2

10221

0)(y dx

y x f dy

;

（C ）??π

θ1

2

)(rdr

r f d ; （D ）??

πθ1

20

)(dr

r f d .

6. 设a 为常数，则级数)cos 1()1(1n a n n

--∑∞

=（ B ）.

（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

1. 设函数

181261),,(2

22z y x z y x u +

++=，向量}1,1,1{=n ，点)3,2,1(0P ，

=

0______33______.

2. 若函数

y xy ax x y x f 22),(2

2+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a ____5-_____.

3. L 为圆122=+y x 一周，则=-?L ds y x )(22_____0_____.

4. 设2lim 1

=+∞→n n n a a ，级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径为 _____22_____.

5. 设

?-=2

2

1

)(x y dy

e x

f ，则

=

?

1

)(dx x xf ___)1(41

1---e ___.

6. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，它在区间]1,1(-上的定义为???≤<≤<-=10,01,2)(3

x x x x f ，

则)(x f 的以2为周期的傅里叶级数在1=x 处收敛于_____23

_____.

三．解答下列各题（本题共7小题，1-5每小题6分，6-7每小题7分，满分44分）.

1.设)(u f 是可微函数，)

(x y f z =，求y z y x

z x ??+??2. 解题过程是：

令

x y u =

，则)

(2u f x y x z

'-=??， ………………………………..2分

)(21u f y x y z '=??， ………………………………..2分

于是02=??+??y z

y x z x

. ………………………………..2分

2. 计算二重积分??+++D dxdy y x xy

2211，其中

}0,1|),{(2

2≥≤+=x y x y x D . 解题过程是：

D 关于x 轴对称，被积函数2

21y x xy ++关于y 是奇函数，故 0122=++??D dxdy y x xy

； …………………………………..2分

于是 2ln 21111111022

22222π=+θ=++=+++??????π

π-rdr r d dxdy y x dxdy y x xy D D …..4分

3. 设曲面),(y x z z =是由方程13

=+xz y x 所确定，求该曲面在点)1,2,1(0-M 处的切平面

方程及全微分

)2,1(|dz .

解题过程是：

令1),,(3-+=xz y x z y x F ，则

x F x F z y x F z y x ='='+=',,332，

1)(,1)(,5)(000='='='M F M F M F z y x . …………………………………..2分

切平面为065=-++z y x . …………………………………..1分

,,322x F F y z

x z x F F x z z y z x -=''-=??+-=''-=??

,1,50

0-=??-=??M y z

M x z …………………………………..2分

于是

dy

dx M dz

--=50

. …………………………………..1分

4. 计算三重积分

???

Ω

+dxdydz

y x 22，其中Ω是由柱面2

1x y -=及0=y ，0=z ，

4=++z y x 所围成的空间区域.

解题过程是：

?

?????

θ+θ-πΩ

θ=+)

sin (cos 40

10

20

22r dz

dr r d dxdydz y x …………………………………..3分

??θ+θ-θ=π1

320

)sin (cos 4[dr

r r d

?πθθ+θ-=0)]sin (cos 41

34[d

21

34-π=

. …………………………………..3分

5. 求??∑

++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22

≤≤+=z y x

z ，方向取下侧.

解题过程是：

取1∑为)1(12

2

≤+=y x z ，法线方向指向z 轴正向 …………………… …..1分

由Guass 公式

??

??????∑∑∑

∑

-+=++1

1

)2(zdxdy dydz z x

??

???∑Ω

-++=1

)102(dxdydz ……………………..2分

?????-θ=π

D

r

dxdy

dz rdr d 1

1

20

23 ……………………..1分

π=π-π=

2123. ……………………..2分

6. 求幂级数∑∞

=+121n n

x n n 的收敛域并求其和函数.

解题过程是：

因为n n a n 12+=，所以1lim 1==+∞→n n n a a R ，故收敛区间为)1,1(-；

1±=x 时，极限01

lim 2≠+∞→n n n ，级数均是发散的；于是收敛域为)1,1(-.…………..2分

∑∑∑∞=∞=∞

=+=+=111211)(n n

n n n n x

n nx x n n x s

?∑?

∑'+'=∞

=∞

=-x

n n

x n n dx x n dx nx x 01011

)1()( ……………………. …………...3分

?-+'-=x dx

x x x

x 011)1(

)

1,1(),

1ln()1(2

-∈---=

x x x x

. ……………………. …………...2分

7. （本小题7分）例1 计算??∑

+=ds

y x I )(22，∑

解题过程是：

解 设21∑+∑=∑，1∑为锥面2

2y x z +=，10≤≤z

2∑为1=z 上122≤+y x 部分， 21,∑∑在xoy 面投影为122≤+y x