空间向量

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修21

高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A 版选 修21 第三章 单元质量测评 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 (选择题，共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若平面α外直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D 解析 若l ∥α，则a ·n ＝0，只有选项D 中a ·n ＝0. 2．已知A (1,2，－1)，B 为A 关于平面xOy 的对称点，C 为B 关于y 轴的对称点，则BC →＝( ) A ．(－2,0，－2) B ．(2,0,2) C ．(－1,0，－1) D ．(0，－2，－2) 答案 A 解析 由题意可知B (1,2,1)，C (－1,2，－1)，∴BC → ＝(－2,0，－2)． 3．以下四组向量中，互相平行的组数为( ) ①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)； ②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)； ③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)； ④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 ∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1 3b ，∴a ∥b ；而①④中的向量不平行．故选B. 4．已知a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则函数y ＝x 2 ＋4x －1的值域是( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3) C ．(－4，＋∞) D ．(－∞，－4) 答案 C

高中数学选修2-1第三章空间向量检测题(一)

选修2-1第三章空间向量检测题(一) 时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，15 2 )平行，则λ＝( ) A.23 B.92 C ．－92 D ．－23 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( ) A.AD 1→ B.AC 1→ C.AD → D.AB → 3．若向量a ＝(1，m,2)，b ＝(2，－1,2)，若cos 〈a ，b 〉＝8 9，则m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或2 55 D ．2或－2 55 4．已知空间向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量的坐标是( ) A ．(0,1,2) B ．(0，－1，－2) C ．(0，15，2 5 ) D ．(0，－15，－2 5 ) 5．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O ，下列条件中能确定M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )

A.OM →＝OA →＋OB →＋OC → B.OM →＝2OA →－OB →－OC → C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → 6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ， AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线 段MN 上，且MG →＝2GN →，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( ) A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 6 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1 3 7.如图所示，已知三棱锥A －BCD ，O 为△BCD 内一点，则AO →＝13 (AB →＋AC →＋AD →)是O 为△BCD 的重心的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若ABCD 是边长为2的正方形， AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为( ) A ．3 B.7 C.13 D ．9 9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线 EF 与BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°

练习4-空间向量的综合应用51

山空间向量的综合应用（2） 1．直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，a AA AC ==1，则点A 到平面BC A 1的距离是 A.a B.a 2 C.a 22 D.a 3 2．在ABC ?中，15=AB ，?=∠120BCA ，若ABC ?所在平面α外一点P 到C B A ,,的距离都是14，则P 到α的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 3．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 A. 36 B.35 C.33 D.3 2 4．已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 A ．63 B ．3 3 C ． 332 D ．2 3 6．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 2 1==，点D O ,分别是PC AC ,的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 A ．621 B ．338 C ．60210 D ．30 210 7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算： (1)1BC ED ?；(2) 1EF FC ?. 8．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，?=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成?60角(见下图)．求B 、D 间的距离．

高考总复习 中学教学案空间向量单元(教师版全套)

空间向量 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有和的量． (2) 向量相等：方向且长度． (3) 向量加法法则：． (4) 向量减法法则：． (5) 数乘向量法则：． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a＋b＝． (2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝． (3) 数乘分配律：λ(a＋b)＝． 3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b等价于存在实数λ， 使．

(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． (2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ． 空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角： ． (2) 空间向量的长度或模： ． (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2＝ ； (c) a ⊥b ? ． (4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ． 例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值. 解：易求得0 ,2 1 =-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ， =A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( ) A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 解：A 例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD. 证明：记,,,1AA ===则 A B C D A B

《空间向量与立体几何》单元测试题3

实用文档 《空间向量与立体几何》单元测试题3 一、选择题 1、空间四边形OABC 中，OB OC =，3 AOB AOC π ∠=∠= ， 则cos <,OA BC >的值是（ ） A ． 21 B ．22 C ．－2 1 D ．0 2、若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A 取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78- C ．78 D ．14 19 3、若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4、若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为9 8 ，则λ等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或 552 D ．2或55 2- 5、已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--

实用文档 6、下列各组向量中不平行的是（ ） A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c C ．)0,0,0(),0,3,2(==f e D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 二、填空题 7、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 。 8、已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b ， c 表示N M ，则N M =_______________。 9、若19(0,2, )8A ，5(1,1,)8B -，5 (2,1,)8 C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________。 10、若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b 的夹角为____________。 11、已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b 则实数=m ______，=r _______。

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：

空间向量与立体几何单元测试题

空间向量与立体几何单元测试题一、选择题 1、若a,b,c是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（） A.a b b a +=+ B. () a b a b λλλ +=+ C．()() a b c a b c ++=++ D． b a λ = 2、给出下列命题 ①已知a b ⊥, 则 ()() a b c c b a b c ?++?-=? ; ②A、B、M、N 为空间四点,若 ,, BA BM BN 不构成空间的一个基底, 则A、B、M 、N共面; ③已知a b ⊥,则,a b与任何向量不构成空间的一个基底; ④已知{} ,, a b c 是空间的一个基底,则基向量 ,a b 可以与向量 m a c =+构成空间另一个基底. 正确命题个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3、已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60?,那么 3 a b + 等于（） A 7 B 10 C 13 D．4 4、 1,2,, a b c a b ===+ 且 c a ⊥,则向量a b 与 的夹角为（） A．30?B．60?C．120?D．150?5、已知 ()() 3,2,5,1,,1, a b x =-=- 且 2 a b?=,则x的值是（） A．3 B．4 C．5 D ．6 6、若直线l的方向向量为 a,平面α的法向量为n,则能使//lα的是( ) A ()() 1,0,0,2,0,0 a n ==- B． ()() 1,3,5,1,0,1 a n == C ()() 0,2,1,1,0,1 a n ==-- D． ()() 1,1,3,0,3,1 a n =-= 7.空间四边形OABC中，OB OC =， 3 AOB AOC π ∠=∠=，则cos<, OA BC>的值是（） A． 2 1 B． 2 2 C．－ 2 1 D．0 8、正方体ABCD-1 1 1 1 D C B A的棱长为1,E是 1 1 B A中点,则E到平面 1 1 D ABC的距离是（） A． 3 B． 2 C． 1 2D． 3 9．若向量a与b的夹角为60°，4 = b，(2)(3)72 a b a b +-=-，则a=（） Ａ．2Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12 10．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（） A． 10 30 B． 2 1 C． 15 30 D． 10 15 1

高二数学选修2-1-空间向量与立体几何-单元测试题

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题 一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分） 1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立 的是（ ） A ．a b b a +=+r r r r B ．() a b a b λλλ+=+r r r r C ．( )()a b c a b c ++=++r r r r r r D ．b a λ=r r 2、给出下列命题 ①已知a b ⊥r r ,则() () a b c c b a b c ?++?-=?r r r u r r r r r ; ②A 、B 、M 、N 为空间四点,若,,BA BM BN u u u r u u u u r u u u r 不构成空间的一个基 底,则A 、B 、M 、N 共面; ③已知a b ⊥r r ,则,a b r r 与任何向量不构成空间的一个基底; ④已知{ } ,,a b c r r r 是空间的一个基底,则基向量,a b r r 可以与向量 m a c =+u r r r 构成空间另一个基底. 正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、已知,a b r r 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么 3a b +r r 等于 （ ） A ． 7 B ． 10 C ．13

D ．4 4、 1,2,,a b c a b ===+r r r r r 且c a ⊥r r ,则向量a b r r 与的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．150 5、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-r r 且2a b ?=r r ,则 x 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6、若直线l 的方向向量为a r ,平面α 的法向量为n r ,则能使//l α的 是（ ） A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==-r r B ．()()1,3,5,1,0,1a n ==r r C ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--r r D ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=r r 7、在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标 系折成120的二面角后,则线段的长度为（ ） A ．2 B ． 11 C ．32 D ．4 2 8、正方体1B 1C 1D 1的棱长为1是A 1B 1中点,则E 到平面1D 1的距离是（ ） A ． 3 B ． 22 C ． 1 2

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >

高中数学空间向量与立体几何单元练习题

《空间向量与立体几何》习题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 51 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于 A.41 B.4 1 - C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1 5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A. 213 B.253 C.453 D.4 53 6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A .9π B .10π C .11π D .12π 8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1 D 1 D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A . 6 B .552 C .15 D .10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.52 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥， 1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD 的距离为 . 三、解答题（共80分） 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2

空间向量的基本运算

第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

空间向量与立体几何-单元测试-有答案

& 第三章 空间向量与立体几何 单元测试 (时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．以下四组向量中，互相平行的组数为( ) ①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)；②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)；③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)；④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 ： 解析：∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1 3b ， ∴a ∥b ；而①④中的向量不平行． 答案：B 2．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一 的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP → ＝2OA →－2OB →－OC → ，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |?a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向

量的数量积的性质知，不正确． ! 答案：C 3．如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ， PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( ) 与BD → 与PB → 与AB → 与CD → 解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 设矩形ABCD 的长、宽分别为a ，b ，PA 长为c ，则A (0,0,0)，B (b,0,0)， D (0，a,0)，C (b ，a,0)，P (0,0，c )． - 则PC →＝(b ，a ，－c )，BD →＝(－b ，a,0)，DA →＝(0，－a ，0)，PB → ＝(b,0，

空间向量的综合应用(学生用)

空间向量在立体几何中的应用 1.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．求证：平面；求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，． 求证：； 求二面角的平面角的余弦值． 3.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图）．将 沿折起到的位置，使二面角 成直二面角，连结、（如图）． 求证：丄平面； 在线段上是否存在点，使直线与平面 所成的角为？若存在，求出的长；若不存在， 请说明理由．4.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知 ，． 证明：平面； 求异面直线与所成的角； 求与平面所成角的正弦值． 5.如图，平面，，，，，分别为，的中点．证明：平面； 求与平面所成角的正弦值． 6.如图，三棱柱中，，， ．证明； 若平面平面，，求直线与平面 所成角的正弦值．

7.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明：平面； 设二面角为，求与平面所成角的大小． 8.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且． 求证：平面；求直线与平面所成的角的大小； 求二面角的大小． 9.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面 ，，为中点．求证：直线平面； 求直线与平面所成角的大小； 求点到平面的距离．10.如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点．证明：； 若，求直线与平面所成角的大小． 11.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．求证：；已知二面角的余弦 值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 12.已知平行四边形中，，，，是线段的中点．沿直线将翻折成，使得平面平面．求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值．

专题04 空间向量与立体几何(单元测试卷)(原卷版)

专题04 《空间向量与立体几何》单元测试卷 一、单选题 1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定 2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A ．1122 a b c -++ B ． 1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+ 3．（2019·江苏省高二期中）已知向量()0,1,1a =，()1,2,1b =-.若向量a b +与向量()2,,4c m =--平行，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．10 D ．10- 4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，E 是CC '的中点，1'2a AA =，12b AB =，13 c AD =，AE =x a +y b +z c ，则（ ）

A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3 B ．x 12=，y ＝1，z ＝1 C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2 D ．x 12=，y ＝1，z 32= 5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点(1,2,1)A --，(1,0,1)B ，则正方体外接球体积是（ ） A ．43π B ．323π C ．323π D ．4π 6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =，若点D 是AC 中点，则BC OD ?=( ) A ．2 B ．32- C ．-3 D ．6 7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体1111ABCD A B C D -中， 1 2,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ．1,32,323 B ．2,31,323 C ．2,32,313 D ．2,31,223 8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等， 1160BAA CAA ?∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．33 B ．66 C ．34 D 39．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为

3.1.1空间向量及其运算

3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

新版精选高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何 专题（含答案） 学校：__________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．(2010全国2理)与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．有且只有3个 D ．有无数个 【答案解析】D 2．向量=（1，2，0），=（－1，0，6）点C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为( ) (A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6) (C)(0，1，3) (D)(－1，－1，3) 3．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1 (C )7 (D )－7 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )

(A )11B D (B )D 1 (C )1DB (D )1BD 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5． （理科）空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ． 6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 . 7． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。 8．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥, 且PQ = (1)试确定P 、Q 两点的位置. (2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值. D A B 11 第22题