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第三章平面向量(文)

第三章平面向量

【知识网络】

【高考要求】:

（1）了解向量的实际背景，理解向量的概念,理解向量的几何表示,了解共线向量的概念.

（2）掌握向量的加法和减法并理解其几何意义. （3）掌握向量的数乘运算并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.

（4）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；了解平面向量基本定理及其几何意义；（5）掌握平面向量的正交分解极其坐标表示以及坐标表示加、减与数乘运算

（6）理解用坐标表示平面向量共线的条件。（7）理解平面向量数量积的含义及物理意义；体会平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角及判定两个向量的垂直关系。

（8）体会向量的工具性特征，发展运算能力和解决实际问题的能力

【备考建议】

由于向量具有数形兼备的特点，所以向量是高考命题中在知识网络的交汇点设计命题的很好的载体，在高考中平面向量的试题主要有两类:一是考查平面向量的概念和运算,突出考查共线、垂直,向量的模、数量积以及应用向量的几何关系判定点、线位置关系；二是突出平面向量的工具作用,主要是与函数、三角函数、解析几何、立体几何、解斜三角形等相结合的综合题。

对本章的备考提出以下建议：

1立足基础

纵观近几年的高考试题，平面向量的概念、基本运算是高考考查的热点之一，尤其是共线和数量积，考查的题型多以选择、填空的形式出现，以低，中档题为主。

2强化运算

向量的加、减法、数乘向量、数量积的运算是命题不可回避知识点，在解决平行、垂直、距离、夹角等问题中有重要应用，应予以加强；

3重视应用

平面向量与解析几何、数列、三角等知识的综合题，是高考考查的又一热点，重点考查向量的应用，很好的体现了向量的工具性特征；

4数形结合

向量是数形结合的重要工具，向量的代数运算与其几何意义是数形结合思想的重要体现，应予以强化。

【真题解析】

1．（2013年新课标1卷）已知两个单位向量a，b 的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b，若b·c=0，则t =_____.

【解析】

b·c=[(1)]

t t

?+-

b a b=2

(1)

t t

?+-

a b b=

t t

+-=

-=0，解得t=2.

【命题立意】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.

2.（2013安徽卷）13．(2013安徽，文13)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b 夹角的余弦值为__________．

【答案】

【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，

等式平方得

|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，

∴a·b＝－|b|2，

∴cos〈a，b〉＝

||1

||||3||3

==-

a b b

【命题立意】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.

3．（2012北京理）已知正方形ABCD 的边长为1,

点E 是AB 边上的动点,则DE CB ?

的值为________;DE DC ?

的最大值为________.

【答案】1;1

【解析】根据平面向量的点乘公式

||||cos DE CB DE DA DE DA θ?=?=?

可

知

||c o s D E D A θ= ,因此

||1D E C B D A

?==

;

||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα?=?=?

,而||cos DE α

就是向量DE 在DC 边上

的射影,要想让DE DC ?

最大,即让射影最

大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC

,所以长度为1

【命题立意】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. 4．（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足

=A P A B λ ,=(1)AQ AC λ-

,R λ∈,若

BQ CP ?- ,则=λ

（）

A .

【答案】A

【解析】

=BQ AQ AB -

=(1)AC AB λ--

=CP AP AC - =AB AC λ- ,

又∵3=2

BQ CP ?- ,

且||=||=2AB AC ,0

<,>=60AB AC

0=||||cos60=2AB AC AB AC ??

∴3

[(1)]()=2

AC AB AB AC λλ---- ,

23||+(1)+(1)||=

AB AB AC AC λλλλ--?- ,所以2

34+2(1)+4(1)=2

λλλλ---,解得

1=2

λ.

【命题立意】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 5．（2013浙江高考理）设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =1

4AB ，且对于AB 上任一点P ，恒

有→PB ?→PC ≥→P 0B ?→P 0C ，则

A ．∠ABC =90? B.∠BAC = 90? C ．A

B =A

D ．AC = BC

【答案解析】D 由题意，

设|→AB |=4，

则|→P 0B |=1，

过点C 作AB 的垂线，

垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意

义可得，→PB ?→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB

| ?(a +1))|→PB |，→P 0B ?→P 0C =?|→P 0H ||→P 0B |=?a ，

于是→PB ?→PC ≥→P 0

B ?→P 0

C 恒成立，相当于

(|→PB |?(a +1))|→PB |≥?a 恒成立，整理得|→PB |2?(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需?=(a +1)2

?4a =(a ?1)2

≤0即可，于是a =1，因

此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，以AC =BC

【命题立意】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题

3.1平面向量的基本概念及其线性运算

【基础知识】 1．有关概念

１）___________________的量叫做向量．

２）向量的表示方法有三种：①____________，②___________________， ③___________________ ３）向量?→

?AB 的大小即_____（或称模），记作______

４）__________的向量叫做零向量，

其方向是___________________．

５）___________________的向量叫做单位向量．６）___________________的向量叫做平行向量（或称作共线向量），零向量与任一向量平行．７）__________________的向量叫做相等向量．８）__________________的向量叫做相反向量． 2．向量的加、减运算

1）__________叫做向量的加法。 2）向量的加法法则有：（写出法则及作法）

①__________， ②__________。 3）向量的加法满足：

① a+b =__________（交换律）， ②（a+b ）+c =__________(结合律)。 4）|a +b |与|a |、|b |满足关系式： ||a |－|b ||≤||a |+|b ||≤|a|+|b|，

当________________时，|a+b |=|a |+|b |；当________________时，|a+b |=|a |－|b |。 5）__________叫做向量的减法且a －b =a +(－b )，若向量a,b 有共同的起点，则向量a －b 可以表示为从_____的终点指向_____的终点的向量。 3.数乘向量

1）实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作

_____，它的模|λa |=__________。当λ>0时，

λa 的方向__________；当λ<0时，λa 的方向__________；当λ=0时，λa =__________。（7）实数λ、μ与向量a,b 满足的运算律有：①μλ(a ）=__________，

②)(μλ+a =__________，

③λ( a+b )=__________。

3）向量b 与非零微量a 共线的充要条件是___。 4）?→

??→

?+=OC y OB x OA ，若A 、B 、C 三点共线则x +y =__________. 【基础训练】

1. （2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是 A.a ∥b B ．a ⊥b C.{0,1,3} D ．a +b =a -b

2. 下列四个命题：

①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；

②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；

③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，

其中正确命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3.在平行四边行ABCD 中，下列结论中正确的是 .

①= ②+= ③

-= ④+=0

4 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =

(4,2)BD =-

,则四边形的面积为

．C ．5 D ．10

5. 已知a ，b 是不共线的向量，AB →

＝λa ＋b ，AC →

＝a ＋μb ，μλ,∈R ，那么A 、B 、C 三点共线

则μλ?＝_____________．

【典型例题】

1. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相

同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D

四点共线；

④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

2．设两个非零向量e 1和e 2不共线．

(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →

＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；

（2）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →

＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．

3.如图所示，在△ABO 中，?→?

?→

?=OA OC 4

?→?

?→

?=OB OD 21,AD 与BC 相交

于点M ，设?→

?OA =a ，?→

?OB =b .试

用a 和b 表示向量?→

?OM .

【规律总结】

本节重点是向量的加法、减法及数乘向量运

算，还应注意以下几点： 1．向量不同于数量：数量可以比较大小，向量不能比较大小。

２．两个向量的和与差仍是一个向量，实数与向量之间不能进行加减运算，实数与向量的积仍是一个向量。

３．向量概念本身具备了“数”与“形”两

方面的特征，所以向量就成了数与形结合的

桥梁。

【能力拓展】

一、选择题

1．下列命题中真命题的个数为 .

①若|a |=|b |，则a =b 或a =－b;

②若?→

??→?=DC AB ，则A 、B 、C 、D 是一个平

行四边形的四个顶点；

③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .

A. 1 B 2 C. 3 D .4

2．在梯形ABCD 中，AD//BC,O 为平面上任一点，?→

?OA ＝a ，?→

?OB ＝b ，?→

?OC ＝ｃ，

?→

?OD ＝ｄ，且E 、F 分别为AB 、CD

的中点，则

（）

A. 2

?→

?EF （a+b+c+d ） B. 2

?→

?EF （ｃ+ d －a －b ） C. 2

?→

?EF （a －b +c －d ）. D ．2

?→

?EF （a+b －c －d ） 3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上

不共线的三点，动点P 满足

?→?OP =?→

?OA +λ(

||?→

??→

?AB AB

|?→

??→

?AC AC

)，λ∈),0[+∞，

则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心二、填空题

4．下列命题:（1）若|a|=0,则a=0；（2）若|a|=|b|，则a=b ；

（3）若|a|=|b|，则a 与b 是平行向量; (4)若|a|>|b|，则a >b .

正确的个数有____________

5.在△ABC 中，?→

?AB =c ，?→

?AC =b ，若点D 满足?→

?BD =2?→?DC ，则?→

?AD =_______（用b ,c 表示）.

6. 已知平面向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角为135°，c 与b 的夹角为120°，|c |＝2，则|a |＝__________.

三、解答题

7.在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中

点，=

2AD ，=a ，AC =b .

（1）用a 、b 表示向量、、、、

；

（2）求证：B 、E 、F 三点共线.

８.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b

起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1

(a ＋b )三向

量的终点在同一条直线上？

9.在△ABC 中，M 是BC 的中点，点N 是AC 边上一点且AN=2NC 。AM 与BN 相交点P ，求AP ：PM 的值。

10.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b ,3

(a +b )三向量的终点在同一条直线上？

3．２平面向量的基本定理及坐标表示

【基础知识】

1．平面向量基本定理．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一组实数μλ,，使得______________;我们把不共线的向量e 1、e 2叫做______.

2.向量的夹角.若?→?OA =a,?→

?OB =b ，则_______ 称作向量a ,b 的夹角.夹角θ的范围是_________, 当a ,b 同向时, θ=________;当a ,b 反向时, θ=_______; 当a ⊥b 时, θ=_______. 3.正交分解._______________称正交分解.

4.在直角坐标系内，分别取于x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a =________，把_________叫做a 的坐标.

5.若a =(11,y x ),b =(22,y x ), λ是实数，则a +b =__________, a －b =___________, λa =________.

6.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是_______.

7.若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|?→

?AB |=_____. 8．平移

（1）设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点__________________得到图F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。

（2）设P(y x ,)是图形F 上任意一点，它在平移后图形F '上的对应点为P '(y x '',)，设

?→

?'P P =(k h ,),则平移公式是_________________

【基础训练】

1.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，

c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.

2．已知?→

??→

?-=32213P P P P ,若?→

??→

?=2113P P P P λ,则λ的值是（）

A ．34-

B ．3

- C ．21-

D ．2

- 3．一个向量a 把点（1,1）平移到（－1,0），

则它把点（2,1）平移到（）

A ．(0,0)

B ．(4,2)

C ．(0,1)

D ．(4,0)

4．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为1

2，则

α与β的夹角θ的取值范围是________．

5．已知向量 ?→

?CA =(ααsin 2,cos 2),

?→?OC =(2,2),则|?→

?OA |的范围是___________.

【典型例题】

1．向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示

若c =λa +μb (λ,μ∈R)，则

=_______.

2．在 ABCD 中，A （1，1），=（6，0），点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点

（1）若=（3，5），求点C 的坐标；

（2）当||=||时，求点P 的轨迹.

3.f(x)=a ?(b +c ),其中向量a =(sin x ,－cos x ), b =(sin x ,－3cos x ),c =(－cos x ,sin x ), x ∈R.

（1）求f (x )的最大值和最小正周期；（2）将y=f (x )的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于原点成中心对称，求长度最小的d 。

【规律总结】

本节重点是平面向量基本定理、坐标运算及定比分点、平移公式的应用。还应注意一下几点：

1．平面向量基本定理说明向量可以按两个不同的方向分解，

2．把函数)(x f y =的图像F 按向量a =(k h ,)平移到F '，等价于图像F 上的所有点先向左(h <0)或向右(h >0)平移|h |个单位,再向上(k >0)或向右(k <0)平移|k|个单位即得F '。F '对应的函数解析式是：k h x f y +-=)(.

3．要弄清端点的坐标与向量的坐标之间的区别与联系，二者不能混淆。【能力拓展】一、选择题

1.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不

包括边界）.若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→

，且点P 落在第

Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 (

)

A ．a >0，b >0

B ．a >0，b <0

C ．a <0，b >0

D ．a <0，b <0

2.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

p 1：|a ＋b |＞1?θ∈?

???0，2π3； p 2：|a ＋b |＞1?θ∈????

2π3，π

p 3：|a －b |＞1?θ∈????0，π3； p 4：|a －b |＞1?θ∈????

π3，π. 其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4

3.已知点a =(1,2)，b =(2, —3),若向量c 满足(a +c )∥b , c ⊥(a +b ),则c = ( )

A ．(

37,97) B ．(—97,37-) C ．(9

7,37) D ．(37,97--)

二、填空题

4.已知向量m =(a-2,-2),n =(-2,b-2),m ∥n (a ＞0,b ＞0)，则ab 的最小值是__________ .

5.平面内有三个向量?→

?OA 、?→

?OB 、?→

?OC ,其中

?→

?OA 与?→

?OB 的夹角为1200

，, ?→?OA 与?→

?OC 的夹角

为

300

?→?OB 与?→

?OC 的夹角为

900，且

|?→?OA |=|?→

?OB |=1 , |?→

?OC |32=,若?→

?OC =λ?→

?OA +μ?→

?OB （λ,μ∈R ）,则λ+μ的值为_____。 6. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →

＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．

三、．解答题

7. 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、

（3，-1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13

BC →

求证：EF →∥AB →

8.已知ABC ?的三边AB 、BC 、AC 的中点分别为)2,1(D 、)1,2(E 、)6,4(F . ①求

A 、

B 、

C 三点坐标及ABC ?的重心G

坐标；

② 若P 是线段AB 上一点，过P 作AC 的平行线交BC 于Q ，且满足8:1:A PQ C =?四边形S S PBQ ，求p 点的坐标。

9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos

B )，向量p ＝(22sin B ＋C

，2sin A )，若m ∥n ，

p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．

10.已知向量

a =)sin ,(cos αα,

b =)sin ,(cos ββ,其中πβα<<<0,若

k a+ b 与k a －b 的长度相等,求αβ-.

3.3平面向量的数量积

【基础知识】

1.向量的数量积。两个非零向量

a =(11,y x ),

b =(22,y x )夹角为θ ，则a ?b

=__________=1212.x x y y +.

零向量与任一向量的数量积为0.

2.数量积的几何意义。_______________叫做b 在a 方向的投影， a ?b 等于a 的长度|a |与_________的乘积。

3 数量积的性质。a 、b 都是非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角。a =(11,y x ),b =(22,y x ),则：

(1) e ?a =a ? e=

________θ=; (2) a ⊥b ?a ?b=0?_____________;

(3) a ，b 同向时a ?b =_____________; a ，b 反向时a ?b =________.

特别地a ?a=|a|

;

(4) =θcos ____________＝__________ (5)| a ?b|≤| a|?||b|

4 运算律：已知向量a 、b 、c 与实数λ，则：

(1)___________________________; (2)___________________________; (3)___________________________;

【基础训练】

1 已知正六边形654321P P P P P P

，下列向量的数量积中最大的是（）

A ．?→

??→

??3121P P P P B. ?→

??→

??4121P P P P C. ?→

??→

??5121P P P P D. ?→

??→

??6121P P P P

2． a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb)⊥b ，则λ等于( )

A ．－2

B ．2 C.12 D ．－1

3.P 是ABC ?所在平面内的一点，若

?→

??→??PB PA ?→??→??=PC PB ?→

??→??=PA PC ，则P 是

ABC ?的（）

A ．重心 B. 垂心 C ．外心 D. 内心

4.若等边△ABC 的边长为

点M 满足CM →＝16CB →＋23

CA →，则MA →·MB →

＝

________.

5.已知向量a ，b 满足|a|=1，|b|=2， a 与

b 的夹角为60°，则|a －b|=

【典型例题】

1. 已知|a|＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.

(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →

＝b ，求△ABC 的面积．

2 已知).6,1(),2,1(),3,2(-----C B A

(1)若?→??→?+BC AB λ与?→

??→?-BC AB 2垂直，求λ的值。

(2)在x 轴上是否存在一点D ，使

045=∠DAB ？若存在，求出D 点坐标；若不

存在，请说明理由。

3.已知向量

a )2

3sin ,23(cos

x =，b )2

sin ,2(cos x x -=，且]2

,0[π

∈x

1)求 a ?b 及|a+b|；

2)若=)(x f a ?b －2λ|a+b|的最小值是

，求λ的值。

【规律总结】

本节重点是向量数量积公式及应用，用数量

积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，还要注意：

1．求两个向量的夹角，将其起点重合，夹角θ的

范围在[0,π]内。

2．两个向量的数量积是一个实数，且－|a ?b |≤

a ?

b ≤ |a ?b|。

3．向量的数量积不满足结合律。

【能力拓展】

一、选择题 1.设

a=（4，3），a

在

方向上的投影为

5，b 在x 轴上的投影为2，且|b|≤14，则b 为（）

A.(2.4)

B.(2,7

2-) C.(－2,

) D.(2,8) 2.若非零向量a ，b 满足| a |＝|b |，(2a ＋

b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 (

)

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150° 3.设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝

－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值等于( )

A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 二、填空题 (4)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π

4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________

(5).已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－2,1)，则向量

a 在

b 方向上的投影为

(6)△ABC 中，已知

?→

??→

?||AB AB

|-=?→

??→

?AC AC

，

且（

?→

??→

|AB AB

=?→

??→

?BC AC AC

|0，则∠B=_______.

三、解答题

7．平面内有向量)7,1(=?→

?OA ，)1,5(=?→

?OB ，

)1,2(=?→

?OP ，点C 为直线OP 上的一个动点

（1）当?→??→??CB CA 取最小值时，求?→

?OC 的坐标；

（2）当点C 满足（1）时，求∠ACB 的余弦值。

8．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求?→

??→??PB PA 的最小值.

9．已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →

＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →

，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．已知向量

a )

sin ,(cos αα=，

)sin ,(cos ββ=，且|k a +b|=3|a －k b|.(k

为正实数)

1)求证: （a ＋b ）⊥（a －b ）; 2)将a ?b 表示为k 的函数)(k f ;

3)求)(k f 的最小值及取最小值时a 与b 的夹角θ.

本章综合测试

一、选择题

1.D 、E 、F 分别为?ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且?→?BC =a ，?→

?CA =b ，给出下列命题:

①?→

?AD =21-a －b ;②?→?BE =a +21

b ;③

?→

?CF =2

1-a +21

b ;④?→?AD +?→?BE +?→?CF =0其中正

确的命题有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2. 与)5,12(=d

平行的单位向量为______

A )135,1312(-

B )135,1312(--

C )135,1312(或)135

,1312(--

D )13

,1312(±±

3.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →

＝b ，若a·b <0，则△ABC 是 ( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．任意三角形

4.与直线3x+4y+5=0的方向向量共线的一个单位向量是( )

A (3,4)

B (4 , -3)

C (34,)55

D (43

,)55

5. 已知ABC ?中，030,4,3===C b a 则

?→

??→??CA BC =____

A 36

B －36

C 33

D －33

6.平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →

＝a ，

OB →

＝b ，则△OAB 的面积等于 ( )

A.|a|2|b|2－(a·b )2

B.|a|2|b |2＋(a·b )2

C.12|a|2|b|2－(a·b )2

D.12

|a|2|b |2＋(a·b )2 7. 已知b OB a OA ==→

→

,，c OC =→，且恰有

023

=+-c b a ，则A 、B 、C 三点_____

A 构成直角三角形

B 构成等腰三角形

C 共线

D 无法确定

8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面

上不共线的3个点，一动点P 满足：OP →＝OA →

＋λ(AB →＋AC →

)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 ( )

A ．外心

B ．重心

C ．内心

D ．垂心

9. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )

A. 1 B ． 2 C. 2 D ． 2－1 10.|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为( )

A ．45°

B ．60°

C ．120°

D ．135° 11.已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域????

x ＋y ≥2，x ≤1，

y ≤2

上的一个动点，

则OA →·OM →的取值范围是( )

A ．[－1,0]

B ． [0,2]

C ．[0,1]

D ．[－1,2]

12.已知?→?OA =a ，?→

?OB =b ，a ?b=|a －b| =2，当AOB ?的面积最大时，a 与b 的夹角θ等于多少（）

A. 0

30 B. 0

45 C. 0

60 D. 0

90 二、填空题

13. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.

14. 如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →

＝3BD →，|AD →|＝1，则AC

→·AD →＝________.

15. 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x ，y)满足不等式0 ≤OP →·OM → ≤1,0≤OP →·ON → ≤1，则z ＝OQ →·OP →的

最大值为____________．

16.已知向量|a|=1，|b |=3，a ?b =0，c 与

a ，

b 的夹角分别是030与060，且c=m a+n b ，

则

的值为___________。三、解答题

17.已知向量)4,3(-=?→

?OA ,)3,6(-=?→

?OB ,

)3,5(m m OC ---=?→

(1)若点Ａ，Ｂ，Ｃ能构成三角形，求实数m

应满足的条件：

(2)若△ＡＢＣ为直角三角形，且∠Ａ为直角，求实数m 的值.

18.已知向量a ＝(3，－4)，求： (1)与a 平行的单位向量b ； (2)与a 垂直的单位向量c ；

(3)将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到

的向量e 的坐标． |

19．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (4,0)，B (0,4)，

C (3cos α，3sin α)．

（1）若α∈π（-，0）,且||||?→

??→?=BC AC ，求

角α的大小；

（2）若AC →⊥BC →

，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α

的值．

20．G 为△ABC 的重心，过G 的直线MN 与AB 、AC 分别交于M 、N 两点，若?→

?AM =m ?→

?AB ,

?→

?AN =n ?→

?AC ,求

m 1

1+。

21.在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

22. 给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

（1）求?→

??→

??OB OA 的值。

（2）设?→

??→?=AB FB λ，若[]4,9λ∈，求l 在

y 轴上截距的变化范围。

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量基础知识

b a B A O a -b 平面向量基础知识 1．向量的概念 (1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量． (2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |．注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量． (3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念． ①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立． 2．向量运算 (1)加法运算 ①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC ．这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则．由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ②运算性质： a + b =b +a (交换律)； (a +b )+ c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ． (2)减法运算 ①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量．记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．) ②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )．求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB 如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减法的三角形法则． (3)实数与向量的积： ①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|?|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|?|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0． ②运算律： B A C a +b a b B A C a +b a b D a b

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点平面向量的有关概念［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算：加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理：向量b 与a(a ^ o )共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到］三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二平面向量共线定理的应用［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.