物理竞赛角动量

第一节力矩和角动量

【知识要点】

一、力矩的定义

1.对轴的力矩

对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大

小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图

5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有

τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)

式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成

τ = Fd （5. 1-1a)

d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.

当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将力F分解为

平行于轴的分量F

∥和垂直于轴的分量F⊥两部分，其中F

//

对

物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）

上的投影，故这时F对轴的力矩可写成

τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)

这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).

2.对参考点的力矩

可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参

照系中，从参考点0 指向力的作用点P的矢量r与作用力F 的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即

Τ=r×F(5-1-2)

r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r和F两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r、F所在平面垂直并与r、F成右手螺旋。

二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩

1.作用于质点的力矩

当质点m受力F作用时，F对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r就是质点的位矢.当质点受F

1

、

F

2

、…、F N N个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等

于合力F=F

1+F

2

+…+F N对同一参考点的力矩，即

r×F

1+r×F

2

+…+r×F N=r×(F1+F2+…+F N)=r×F （5. 1-3)

2. 作用于质点系的力矩

力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有

外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩 (1)外力的力矩

当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑?==i

i

i i i F r 外外ττ （5.1-4）

由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.

但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为

∑∑?=?=?=i

i

C i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)

即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质. (2)内力的力矩

若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑?+?=j

i )(πij j ji i f r f r 内τ

根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即 因而内力的总力矩为零 0)(j

i =?+?=∑πij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)

这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同. 三、 冲量矩

在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.

t t 0t t L ?=?+=?+=?=?外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)

此式对质点系适用.

若对质点只需把外τ改为τ即可.

在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：

∑∑?=?=?t L L 外总τ （5. 1-8)

总L ?为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ?

?。 四、 质点的角动量

质点的运动状态可以用动量P=mv 描写，它包含了运动的大小和方向的所有特征.当我们以某定点为参考点来考察质点的运动时，相对参考点而言，除质点的动量外，质点的距离在变化，质点的方位也在变化，前者可用质点相对参考点的位矢的大小变化来表征，后者则可用位矢的方向变化来表征，而位矢方向的变化又可与位矢扫过的角度随时间的变化，即角速度相联系，而角速度不仅有大小，还有方向（以所绕的轴线及顺、逆时针为特征）。为了描写质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引人动量矩的概念.从给定参考点

指向质点的矢量r 和质点动量P=mv 的矢积称为质点对于参考点的动量矩，用l 表示：l=r ×P (5.1-9) 动量矩又称角动量。

角动量是矢量，它是r 和p 的矢积，因而既垂直于r ，又垂直于P ；即垂直于r 与P 所组成的平面，其指向由右手定则决定（图5-1-3).

质点的角动量是相对给定的参考点定义的，因此，同一质点对不同参考点的角动量是不同的。例如，一圆锥摆的摆球以恒定的角速度ω作圆周运动，圆周的半径为R ，摆的悬线长为r （图5-1-4)，摆球对圆心O 的角动量丨l 丨=mvR== mωR 2，其大小和方向都恒 定不变.但摆球对悬挂点O'的角动量l'则不同，尽管其大小丨l ’丨=mv r == mωR r 保持不 变，但方向却随时间而变.

作直线运动的质点，对于不在该直线上的不同参考点的角动量也不相同. 通常把考察转动的参考点取为坐标原点，这样，

（5.1-9)式中的r 就是质点的位矢。 角动量的单位是s m /kg 2?

【例题分析】

例1 如图5-1-5所示，质量为m 的小球自由落下，某时刻具有速度v ，此时小球与图中的A 、B 、C 三点恰好位于某长方形的四个顶点，且小球与A 、C 点的距离分别为l 1、l 2，试求：

⑴小球所受重力相对A 、B 、C 三点的力矩M 1、M 2、M 3； (2)小球相对A 、B 、C 三点的角动量L 1、L 2、L 3.

解（1)小球所受重力mg 竖直朝下，以A 为参考点的小球位矢l 1水平向右，mg 与l 1两者夹角φ =90°，可得 M 1大小：M 1=l 1mgsin900=l 1mg M 1方向：垂直图平面朝内

以B 为参考点，小球的位矢r 是从B 指向小球所在位置，力臂长h 即为B 到C 的距离l 1，因此有

M 2的大小：M 2=l 1mg

M 2方向：垂直图平面朝内

以C 为参考点，小球的位矢恰与mg 反向，即有180。，因此得 M 3=0

(2)小球动量P =mv 竖直向下，与(1)问解答类似地可得 L 1的大小：L 1=l 1mvsin900=l 1mv L 1的方向：垂直图平面朝内

L 2的大小：L 2=l 1mv

L 2的方向：垂直图平面朝内 L 3=0

第二节质点和质点组的角动量 〖知识要点】

一、质点角动量定理

我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量，质点的角动量如何随外力变化呢？这也不难从牛顿运动定律得到.若质点对某一给定参考点的角动量l=r ×mv=r×P ，则其时间变化率为

t

P

r P t r t P r t l ???

+???=???=??)( 若此给定参考点相对参照系是静止的，则

v t r =??，0=?=?=???mv v P v P t

r

，而F t P =??，

F r t

P

r ?=???

.但力的作用点相对参考点的位矢和力的矢积即为对参考点的力矩τ，于是上式又可写为

t

l

??=

τ （5.2-1） 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对改点的力矩，这就是质点角动量定理。根据第一节（5.1-8）式，得 力矩对时间的累加，∑??t τ就是冲量矩。上式表示质

点角动

量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的另一形式.两种形式的角动量定理，都可写成分量形式.

由于v r ?在数值上等于以r 和v 为邻边的平行四边形的面积，也就是矢径r 在单位时间内所扫过的面积（面积速度）的两倍，所以角动量mv r l ?=与面积速度成正比，为面积速度的2m 倍(图 5-2-1).

例2 质量为m ，长l 的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量大小分别为

ωωI L I E k ==

，2

2

1 其中 23

1

ml I = 今如图5-1 -6所示，将此杆从水平位置静止释放，设此杆能

绕着过A 的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零达θ时，试求：（i ）细杆转动角速度ω和角加速度β;(2)固定的光

滑细轴为杆提供的支持力N 。 解（1)因无摩擦，机械能守，有

将23

1ml I =代入后，可得 l

g θωsin 3=

以A 为坐标原点建立垂直于图平面朝内的z 轴，细杆各部位相对A 点角动量均沿 z 轴方向，叠加后所得细杆的总角动量L 也必沿z 轴方向，大小则为ωI L =

固定的光滑细轴为细杆提供的支持力N 相对A 点力矩为零，细杆重力相对A 点力矩为

M 的大小：θcos 2

l

mg M =

方向：沿z 轴

由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同，得到L t M ?=?

因为

βωI t

I t

L =??=??)( 所以 θβcos 23l

g

=

(2)如图5-1-7所示，将N 分解为n N 和τN ，支持力与重力合

成为细杆质心提供加速度，可建立下述方程 其中Cn a 和τC a 分别为质心作圆周运动的向M 心和切向加速度.

所以

可得θsin 2

5mg N n =，θτcos 4

1mg N =

例3质量为M,半径为R 的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴

以角速度ω旋转时的角动量大小为ωI L =，22

1MR I = 有如图5-1-8所示系统，细绳质量可略.细绳与圆盘间无相对滑

动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出，m 1>m 2，

试求a. .

解 以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为

设左、右绳中张力分别为T 1，T 2.它们相对转轴力矩之和，方向沿轴

朝外，大小为 又因为

对m 1，m 2有方程 , m2 有方程

a 与β的关系为 a=βR: 可解得g M

m m m m a ++-=

)(2)

(22121

二、质点系角动量定理

质点系对给定点的角动量等于各质点对该点角动量的矢量和

i i i

i

i i i i

i v m r P r l L ∑∑∑?=?== (5.2-3)

若计算角动量的给定点相对惯性系固定不动，则可以（5.2-1)式代人，得 式中F i 表示第i 个质点受到的来自体系以外的力，f i 表示该质点受到的来自体系内部的力。但由第一节的讨论，内力对体系的总力矩为零，即∑∑=?=i

i

i i f r 0内τ，于是上式变为

∑∑==?=??i i

i i i F r t L

外外ττ 即t

L

??=

外τ (5.2-4) （5.2-4）式告诉我们，质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外 力对该点力矩之和，这就是体系角动量定理。对(5.2-4)式累加，可得体系角动量定理的 另一形式：∑??=-t L L 外τ0 （5.2-5)

式中∑??t 外τ为外力的总冲量矩，（5.2-5)式说明，体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩，

(5.2-4)、(5.2-5)式也可写成分量形式. 质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的. 第三节角动量守恒定律 $【知识要点】

一、质点角动量守恒

当τ=0时，l =常矢量 (5.3-1)

即当外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒.此即质点角动量守恒定律.外力矩为零有两种情况：

l.F = 0,即无外力，质点作匀速直线运动，它对定点的角动量显然为常量，因为它的面积速度为常量（图 5-3-1),

2.力F 通过定点0,这样的力称为有心力.十分重要，其意义可由图5-3-2看出.在有心力作用下，其面积速度不变，即有 OAC OAB ?=? 由于角动量是矢量，当外力对定点的力矩虽不为零，但其某一分量为零时，则角动 量的该分量守恒： 若 0=x τ，则l x =常量 若 0=y τ，则l y =常量

若 0=z τ，则l z =常量 (5.3-2)

关于质点角动量定理，有两点值得强调一下 1. 质点角动量定理系由牛顿定律导出，因而它仅适用于惯性系.

2. 在质点角动量定理中，描写质点角动量的参考点必须固定在惯性系中.因为，如果参考点运动，r 是从该动参考点指向质点的矢量，于是v t r ≠??，0≠???P t

r

，就得不到（5.2-1)式.至于参考点是否坐标原点，则无关紧要. 二、质点系角动量守恒

当外力对定点的力矩之和为零，即 则 L =常矢量

即质点系对该定点的角动量守恒，此即质点系角动量守恒定律. 下面给出0=外τ的三种不同情况：

1. 体系不受外力，F i =0(孤立体系），显然有∑==i

i 0外外ττ。但是一般讲来，当质点系受外

力作用时，即使外力的矢量和为零，外力矩的矢量和未必为零，力偶就是这种情况. 2. 所有的外力通过定点，这时体系所受外力的矢量和未必为零，但每个外力的力矩皆为零. 3.每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零.例如，对重力场中的质点系，作用于各质点的重力对质心的力矩不为零，但所有重力对质心的力矩的矢量和却为零.

另外，由于角动量守恒的表式是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒 若 0=x τ，则L x =常量 若 0=y τ，则L y =常量

若 0=z τ，则L z =常量 (5.3-4) 例3 —质量为m 的物体拴在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的水平台面以角速度ω0作半径为r 0的圆周运动，自t=0时刻开始，手拉着绳的另一端以匀速v 向下运动，使半径逐渐减小.试求：（1）角速度与时间关系)(t ω; (2)绳中的张

力与时间关系.

解：（1）物体m 在水平方向仅受绳子拉力作用，它相对小孔的角动量守恒。当质点与小孔的距离为r 时，设其角速

度为ω，则有

00r mv mvr = 或 2002r m r m ωω=

所以 022

0ωωr

r

=

按题意，vt r r -=0，代入上式得 (2)根据牛顿运动定律 由于v v r = 是常量，所以

0=??t v r ，302

04

02)

(vt r r m mr F -==ω

ω

第四节综合训练

【例题分析】

例2两个质量为m 的小球，用长为l 的绳子连结起来，放在一光滑的水平桌面上.给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v 0， 如图

5-4-2所示.求此系统的运动规律和绳中的张力大小.

解 对整个系统来说，在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向动量守恒。按质心运动规律，有

式中 v c 为质心的速度，由此得

方向与v 0相同，所以系统的质心以02

1v 的速度作匀速直线运动- 由于整个系统对质心没有外力矩作用，故系统对质心的角动量守恒，即 式中ω为两小球对质心的角速度，于是l

v 0

=

ω，即两小球绕质心作匀速圆周运动，同时 绳中的张力

例3 小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m,并用长为l 、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图5-4-3(a)所示.开始时A 、B 间的距离为2

l ，A 、B 间的连线与小槽垂直，如图5-4-3(a)所示.今给滑块A 一冲击，使其获得平行于槽的速度v 0，求滑块B 开始运动时的速度。

解 设绳拉紧的瞬时，滑块A 的速度为v A ，滑块B 的速度为v B .在绳拉紧时，滑块A 相对于滑块B 的运动是以B 为中心的圆周运动，其相对运动速度设为v'，与绳垂直, 如图5-4-3(b)所示，因而，此时滑块A 的速度取坐标系如图5-4-3(b)，则有

θsin ''v v v x Ax == ① B B y Ay v v v v v +=+=θcos '' ②

由图中的几何关系知

060=θ ③

滑块在运动过程中，在y 方向系统不受外力，动量守恒

B y mv mv mv +=0 ④

滑块A 对滑块B 原所在的位置的角动量守恒：

θθcos sin 2

l mv l mv l

mv Ay Ax += ⑤ 联立以上五式解得 07

3v v B =

例4如图5-4-4所示，质量为m 的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上，当弹簧处于自然状态时，长为a ，其倔强系数为k ，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b =2a,求两球的初速度v 0。 解 以初始时刻两球连线中点0为定点来考察，体系的角动量守恒。弹簧达到最大伸长时，小球无径向速度。

2

22200

b

mv b mv a mv a mv +=+ ① 体系机械能也守恒

2222

020)(2

121212121a b k mv mv mv mv -++=+ ② 由①，②式消去v ，即得

a m

k

v 320=

以b=2a 代入，得 例5 在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h 高处以一 定初速度沿内壁水平射出一质量为m 的小球，设锥面内壁是光滑的.（1)为使小球在h 高度的水平面上做匀速圆周运动，则初速v 0为多少？（2)若初速v 1=2v 0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。 解（1)物体在重力mg 和锥壁支撑力N 作用下做圆周运动.因有

R

v m mg 2

tan =α ① R 是圆周半径.以R = htan α代人上式，得

(2)当初速大于0v 时，小球不可能维持在原来水平面上做圆周运动，因为这样不满足①式.小球必上升；但又不可能停留在某一个高一些的水平面上做匀速圆周运动，这样小球必在一定的上、下高度间往返地做类似螺旋状的运动.为求这两极限高度，我们 来寻找小球运动的守恒量，首先，机械能守恒，因为小球在重力场中运动，支撑力N 不做功；其次，小球在做转动，如果还有守恒量，另一个守恒量必然是角动量或其分量.不

难发现，由于外力N 和mg 都在过z 轴的平面内，故外力矩无z 方向分量，即0=z τ,因而z L 为常量.用h+x 表示极限高度，注意到在极限高度上，小球速度必沿水平方向.于 是可列出以下两个守恒方程： 能量守恒：

mgh mv x h mg mv +=++2

122

1)(21

② 角动量分量守恒: ααtan tan )(1mv x h mv =+ ③ 由②，③式可得x 的三次方程

0)(2)4(22

122

13=---+gh v h x v gh gx ④

由④式可见，x=0必为一个解.这是合理的，因为射出速度沿水平方向，该高度必为一极值.

消去x 后，得x 的二次方程： 解之得

8、如图5-2-6所示，在光滑水平面上，质量均为M 的两小球由一长为l 的轻杆相连.另一质量为m 的小球以v 0的速率向着与杆成θ角的方向运动，并与某一M 发生碰撞，碰后m 以v 0的速率沿原路线反弹.试求碰撞后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω.

解 系统水平方向动量守恒： 机械能守恒：

系统绕轻杆系统质心的角动量守恒 其中 02

1v v f = 解之得 Ml mv 2sin 30θ

ω=

9、若上题中三球的质量相同，均为m ，且θ=450。.当运动小球以v 0的速率与连在杆上的某

一球发生弹性碰撞后，即沿垂直于原速度的方向运动，如图5-2-6所示。试求：（1） 碰撞后，运动小球的速度v f ； (2)碰撞后，轻杆系统绕其质心转动的角速度ω. 解 系统水平方向动量守恒 //02c mv mv = （1） ⊥=c f mv mv 2 （2） 机械能守恒：

22

//2220)2

(221)(2212121l m v v m mv mv c c f ω+++=⊥ （3） 系统绕轻杆系统质心的角动量守恒

2)2

(45cos 245sin 22000?+=l

m l mv l mv f ω （4）

由（1）（2）（3）（4）l

v l v v v v f 00

000.327223,55.07221≈?-=≈+=

ω 10、如图5-2-7所示，在水平的光滑桌面上开有一

小 孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m 的物体.开始时，用手握住下面的物体，桌上的物体则以0022

3

gr v =

的速率作半径为r 。（即桌上部分的绳长）的勻速圆周运动，然后放手.求

以后的运动

中桌上部分绳索的最大长度和最小长度.

解 桌面上物体受有心力作用，角动量守恒：

221100r mv r mv r mv == （1）

其中，21r r 、分别对应桌上部分绳索的最大长度和最小长度。 机械能守恒：

)(2

1)(21)(2122

2121020r l mg mv r l mg mv r l mg mv --=--=-- （2） 由（1）（2）得 02013r r r r ==，

物理竞赛角动量

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第一节力矩和角动量 【知识要点】 一、力矩的定义 1.对轴的力矩 对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有 τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1) 式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成 τ = Fd （5. 1-1a) d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式. 当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将力F 分解为平行于轴的分量F∥和垂直于轴的分量F⊥两部 分，其中F1-1b) 这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2). 2.对参考点的力矩 可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的 参照系中，从参考点0 指向力的作用点P的矢量r与作 用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即 Τ=r×F(5-1-2) r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢. 根据矢积的意义，力矩的大小等于以r和F两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r、F所在平面垂直并与r、F成右手螺旋。 二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩 1.作用于质点的力矩 当质点m受力F作用时，F对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r就是质点的位矢.当质点受 F1、F2、…、F N N个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等 于合力F=F1+F2+…+F N对同一参考点的力矩，即 r×F1+r×F2+…+r×F N=r×(F1+F2+…+F N)=r×F （5. 1-3) 2. 作用于质点系的力矩

大学物理动量与角动量练习题与答案

第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?=? ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． m m 0 图3-11 ? 30v ? 2 图3-15 θ m v ? R 图 3-12

物理竞赛 角动量

第一节力矩和角动量 【知识要点】 一、力矩的定义 1.对轴的力矩 对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅 与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有 τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1) 式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成 τ = Fd （5. 1-1a) d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式. 当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将力 F分解为平行于轴的分量F ∥ 和垂直于轴的分量F⊥两 部分，其中F // 对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是 在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的 力矩可写成 τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b) 这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2). 2.对参考点的力矩 可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选 定的参照系中，从参考点0 指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即 Τ=r×F(5-1-2) r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r和F两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r、F所在平面垂直并与r、F成右手螺旋。 二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩 1.作用于质点的力矩 当质点m受力F作用时，F对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r就是质点 的位矢.当质点受F 1、F 2 、…、F N N个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的

03动量与角动量习题解答

第三章 动量与动量守恒定律习题 一 选择题 1. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 2. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 简要提示：v m t F =?? 3. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m ? s –1 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50 m ? s –1 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为：( ) A ． 9 N·s B ．–9 N·s C. 10 N·s D.–10 N·s 解：答案是A 。 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理，子弹受到的冲量为： s N 9)(12?-=-=v v m I 所以木块受到的冲量为9 N·s 。 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） 选择题4图

A. 静止不动； B. 朝质量大的人的一端移动； C. 朝质量小的人的一端移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，板的运动速度为v '，由系统的动量守恒： 0021='+'+'+v v)-v ()v (v m m m ，得：v v 0 2112m m m m m ++-=' 如果m 2> m 1，则v ′> 0; 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 ( ) A. 甲先到达； B. 乙先到达； C. 同时到达； D. 谁先到达不能确定． 解：答案是 C. 简要提示：两人作为一个系统，受到的合外力为零，所以系统的动量守恒，即两人相对地面的速度大小相同，所以两人同时到达顶点。 6. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 7. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 解：答案是C 。 简要提示：由质点系的动量守恒，系统的总动量不变。 二 填空题 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ?s ，则两船分离的相对速率为 m ? s –1。

高中物理竞赛讲义-角动量

角动量 一、力矩（对比力） 1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度 2、力矩可以用M 或τ表示 3、力矩是矢量 4、力矩的大小和方向 （1）二维问题 sin rF τθ= 注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。 求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法） (sin )r F τθ= (sin )r F τθ= 二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。 （2）三维问题 r F τ=?r r r 力矩的大小为 sin rF τθ= 力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺 旋法则 5、质点系统受到的力矩 只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0. 二、冲量矩（对比冲量） 1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量 2、冲量矩用L 表示 3、冲量矩的大小 L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r 4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同 5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算） 三、动量矩（即角动量）（对比动量） 1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量 2、角动量用l 表示 3、角动量的大小 l r p r vm =?=?u r r r r r 4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则 四、角动量定理（对比动量定理） 冲量矩等于角动量的变化量 L t l τ==?r r r

五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律） 角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可） 1、合外力为0 2、合外力不为0，但合力矩为0 例如：地球绕太阳公转 此类问题常叫做“有心力”模型 3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0 例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程 注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同 六、转动惯量（对比质量） 1、转动惯量反映了转动中惯性 2、转动惯量用I 或J 表示 3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方 2I mr = 4、转动惯量是标量 5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分 2 i i I m r =∑ 6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义） l I ω=r r 七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律） 合力矩等于转动惯量乘以角加速度 I τβ=r r 八、动能的另一种表示方式 221122 k E mv I ω= =

高中物理竞赛辅导讲义-5.3角动量例题

5.3角动量例题 例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆 的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。求杆摆动的最大高度。

例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。两质点 以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以 O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。

例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌 面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可 伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B之间的距离为 L/2，A、B间的连线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲 击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时 的速度 例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？

例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半 径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。 *例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有 一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的 中点B处用一细线悬于天花板A点。突然剪断DF，求剪断 后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？

第33届全国中学生物理竞赛决赛试题

第33届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题 可能用到的物理常量和公式： 真空中的光速82.99810/c m s =?； 地球表面重力加速度大小为g ； 普朗克常量为h ，2h π=； 2111ln ,1121x dx C x x x +=+<--?。 1、（15分）山西大同某煤矿相对于秦皇岛的高度为c h 。质量为t m 的火车载有质量为c m 的煤，从大同沿大秦铁路行驶路程l 后到达秦皇岛，卸载后空车返回。从大同到秦皇岛的过程中，火车和煤总势能的一部分克服铁轨和空气做功，其余部分由发电机转换成电能，平均转换效率为1η，电能被全部存储于蓄电池中以用于返程。空车在返程中由储存的电能驱动电动机克服重力和阻力做功，储存的电能转化为对外做功的平均转换效率为2η。假设大秦线轨道上火车平均每运行单位距离克服阻力需要做的功与运行时（火车或火车和煤）总重量成正比，比例系数为常数μ，火车由大同出发时携带的电能为零。 （1）若空车返回大同时还有剩余的电能，求该电能E 。 （2）问火车至少装载质量为多少的煤，才能在不另外提供能量的条件下刚好返回大同？ （3）已知火车在从大同到达秦皇岛的铁轨上运行的平均速率为v ，请给出发电机的平均输出功率P 与题给的其它物理量的关系。 2、（15分）如图a ，AB 为一根均质细杆，质量为m ，长度为2l ；杆上端B 通过一不可伸长的软轻绳悬挂到固定点O ，绳长为1l 。开始时绳和杆均静止下垂，此后所有运动均在同一竖 直面内。 （1）现对杆上的D 点沿水平方向施加一瞬时冲量I ，若 在施加冲量后的瞬间，B 点绕悬点O 转动的角速度和杆 绕其质心转动的角速度相同，求D 点到B 点的距离和B 点绕悬点O 转动的初始角速度0ω。

大学物理动量与角动量练习题与答案

大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R

高中物理竞赛角动量

3v m 角动量定理 角动量守恒习题 1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。求 （1）质点对三个点的角动量； （2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。 2．两个质量都是m 的滑雪者,在冰场两条相距为L 0的平直跑道上均以速度V 0迎面匀速滑行，当两者之间的距离等于L 0时，分别抓住一根长为L 0的轻绳两端，而后每个人用力对等的力缓慢向自己一边拉绳子，知道二者相距L （小于L 0）时为止，求这一过程中，两位滑冰者动能总增量。 111222l v l v θθ3.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它， 我们可将它逐渐拉短。设摆长为时摆锤的线速度为，且与竖直方向的夹角为 摆长拉倒时，与竖直方向的夹角为，求摆锤的速度为多少

4．在光滑的水平面上,有一根原长Lo=0.6m、劲度系数k=8N/m的弹性绳,绳的一端系着一个质量m=0.2kg 的小球B,另一端固定在水平面上的A点.最初弹性绳是松弛的,小球B的位置及速度,AB的间距d=0.4m。如图所示，在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的距离最大，且弹性绳长L=0.8m，求B的速率v及初速率v0 5．在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的，求： 1、为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动,其初速度V0为多少？ 2、若初速度V1=2V0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。 6．小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长为L，不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A，B的间距为L/2,A,B间的连线与小槽垂直，今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度V0，求滑块B开始运动时的速度。

高中物理竞赛辅导 动量 角动量和能量

动量 角动量和能量 §4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量 在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。 4．1．2．冲量 要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ?的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ?叫做冲量。 4．1．3．质点动量定理 由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体： 01mv mv v m t ma t F -=?=?=? p t F ?=? 即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。 在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为： x tx x mv mv t F 0-=? y ty y mv mv t F 0-=? z tz z mv mv t F 0-=? 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理： 第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - 第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到： 1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ） 即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。 §4，2 角动量 角动量守恒定律 动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。 它的求法跟力矩完全一样，只要把力F 换成动量P 即可，故B 点上的动量P 对原点O 的动量矩J 为 P r J ?= （r =） 以下介绍两个定理：

动量与角动量习题解答

第三章动量与动量守恒定律习题 一选择题 1?两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹 解J 答案是Bo 简要提爪；I =m(V2 -&1) 2. 质量为刃的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间 为打击前锤的速率为r,则打击时铁锤受到的合外力大小应 解J 答案是Do 简要提爪:F = ntu 3. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以500 ra ? S '的速率射 性球, 它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有: A. 地面给予两球的冲量相同; B. 地面给予弹性球的冲量较大; C. 地面给予非弹性球的冲量较大; A. 无法确定反冲量谁大谁小。 A "Q A. --- + we B- mfi 「 mv c.

入一木块后，与木块一起仍沿亍丫轴正向以50m?s「'的速率前进, 在此过程中木块所受冲量的大小为：（ A. B. -9 N ? S C. 10 N ? S D. - 10 N ? S 解：答案是Ao 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理, 子弹受到的冲量为: I = m（V2一6）= —9N r 所以木块受到的冲量为9 N-S 4.将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从 板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是: A.静止不动:

B.朝质量大的人的一端移动; C.朝质量小的人的一端移动; D.无法确定。 解：答案是B。 简要提示：取也I的运动方向为正方向，板的运动速度为许, 由系统的动量守恒: ”"(V + Zf')+ ”山(v'-v) + Z” = 0 ,得：v' = ——_———V " Wj + 加2 + /?0 如果处＞甌,贝ij讨＞0;如果冊＞公，则/ ＜0。 5.体重.身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无靡 擦轻滑轮的绳子各一端.他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到 达顶点的情况是 A.甲先到达; B.乙先到达; C.同时到达; D.谁先到达不能确定. 解；答案是C. 简要提示：两人作为一个系统，受到的合外力为零，所以系统的动量守恒，即两人相对地面的速度大小相同，所以两人同时

大学物理动量与角动量练习题与答案

一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与 摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以 同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v 1＝ 图3-11 图3-15

江苏省南京物理竞赛讲义-5.3角动量例题

5.3角动量例题 例1、在一根长为3l 的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l ，再在杆 的两端以及距另一端为l 处各固定一个质量为M 的小球。然后通过此孔 将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O 上。开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v 0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。求杆摆动的最大 高度。 例2、质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平 光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 例3、两个质量均为m 的质点，用一根长为2L 的轻杆相连。两质点 以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O 与杆的夹角为θ。试求 以O 为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。 例4、小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于 桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m ，并用长为L 、不 可伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A 、B 之间的距离 为L/2， A 、B 间的连线与小槽垂直。突然给滑块A 一个冲击，使其获得平行与槽的速度v 0，求滑块B 开始运动时的速度 例5、有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 例6、一质量为M a ，半径为a 的圆筒A ，被另一质量为M b ，半 径为b 的圆筒B 同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A

的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。 *例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有 一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD 的中点B处用一细线悬于天花板A点。突然剪断DF，求剪 断后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？

高考物理竞赛教程 动量 角动量和能量详解总结

第四讲 动量 角动量和能量 §4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量 在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。 4．1．2．冲量 要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ?的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ?叫做冲量。 4．1．3．质点动量定理 由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体： 01mv mv v m t ma t F -=?=?=? p t F ?=? 即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。 在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为： x tx x mv mv t F 0-=? y ty y mv mv t F 0-=? z tz z mv mv t F 0-=? 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理： 第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - 第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到： 1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ） 即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。 §4，2 角动量 角动量守恒定律 动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。 它的求法跟力矩完全一样，只要把力F 换成动量P 即可，故B 点上的动量P 对原点O 的动量矩J 为 P r J ?= （OB r =） 以下介绍两个定理：

大学物理动量与角动量练习题与答案

一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与 摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以 同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v 1＝ 02m v m m - + 。 (2) 第二只船运动的速度为v 2＝0 2m v m 。 （水的阻力不计，所有速度都图3-11 图3-15

第三章--动量和角动量--作业答案

第三章 动量和角动量 一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练3] 如图3－12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】重力为恒力，故： I=ν πνπR mg R mg T mg dt T ? =?=?=??222mg 20 ［ C ］2、[基础训练4] 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为 (A) 0.267 N ． (B) 16 N ． (C)240 N ． (D) 14400 N ． 【提示】 N s s P F 240600/m 800kg 02.0900t =-??=??= ） （ ［ B ］3、[自测提高2] 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-17射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［ C ］4、（自测提高3）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． ?30v ? 2 图3-17 m v ? R

动量与角动量

动量、角动量 一．选择题： 1．动能为E k 的Ａ物体与静止的Ｂ物体碰撞，设Ａ物体的质量为Ｂ物体的二倍，m B A m 2=。若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为 （Ａ）E k （Ｂ）k E 21 （Ｃ）k E 31 （Ｄ）k E 32 [ ] ２．质量为m 的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率为v 的 匀速圆周运动，如图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （Ａ）2m v (B)-2m v (C)i mv 2 (D) i mv 2- [ ] ３．Ａ、Ｂ两木块质量分别为m A 和m B ，且A B m m 2=，两者用一轻弹簧连 接后静止于光滑水平面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块动能之比E kA /E kB 为 (Ａ)21 （Ｂ）２ （Ｃ）2 （Ｄ）22 [ ] ４．质量分别为m 和m 4的两个质点分别以动能E 和4E 沿一直线相向运动， 它们的总动量大小为 （Ａ）2mE 2 (B) 3mE 2 (C) 5mE 2 (D) (2mE 2)12- [ ] 5.力i t F 12=（ＳＩ）作用在质量kg m 2=的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在３秒末的动量应为： （A ）s m kg i /54?- (B) s m kg i /54? (C) s m kg i /27?- (D) s m kg i /27? [ ] B v

6.粒子Ｂ的质量是粒子Ａ的质量的４倍。开始时粒子Ａ的速度为（34+）， B 粒子的速度为（2j i 7-），由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为（7j i 4-），此时粒子B 的速度等于 （A ）j i 5- （B ） j i 72- （C ）0 （D ）j i 35- [ ] 7．一质点作匀速率圆周运动时， （A ） 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B ） 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [ ] 8．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和E k 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A)L B A L >,E kB kA E > （B ）L kB kA B A E E L <=, （C ）L kA B A E L ,=>E kB （D ）L kB kA B A E E L <<, [ ] 9．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常 数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 （A ）m GMR （B ） R GMm （C ）Mm R G （D ）R GMm 2 [ ] 10．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端。 当他们向上爬时，在某同一高度，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是 （A ）甲先到达。 （B ）乙先到达。 （C ）同时到达。 （D ）谁先到达不能确定。 [ ] 11．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外 力的矢量和为零，则此系统 (A)动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B)动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C)动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。

物理竞赛角动量

第一节力矩和角动量【知识要点】 一、力矩的定义 1. 对轴的力矩 对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度. 力矩的大小不仅与 力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关?当力的作用线在垂直于轴的平面 (n) 上时(图5-1-1),力矩T的大小与力的作用点P和轴的距离p成正比，与力在垂直于P方向上的分量已成正比，因为力在p方向上的分量Fp对物体的绕轴转动无作用，于是有 T = p F?=F p sin 0 ( 5. 1-1) 式中0是F与p的夹角，p就是从轴与平面n的交点O'指向P点的矢量，由于在 力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向. 例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负?由于p sin 0 =d就是力的作用线与轴的距离，( 5. 1-1) 式又可写成 t = Fd 5. 1-1a)

d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式 当力的作用线不在垂直于轴的平面（n）上时，可将力F 分解为平行于轴的分量F//和垂直于轴的分量F丄两部 分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F丄就是在垂直于轴的平面（n）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成 (5. 1-1b) T = p F丄sin 0 这里的0是F丄与p的夹角（图5-1-2）. 2.对参考点的力矩 可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指 向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即 T =r X F （5-1-2） r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r和F两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r、F所在平面垂直并与r、F成右手螺旋。 二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩 1. 作用于质点的力矩当质点m受力F作用时，F对参考点0的力矩即为质点受到的力矩，

高中物理竞赛教程(超详细)第九讲动量角动量和能量

第四讲动量角动量和能量 §4.1 动量与冲量动量定理 4．1．1．动量 在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量” ，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量” ，称之为动量。 4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t 叫做冲量。 4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：F t ma t m v mv1 mv0 F t p 即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为： F x t mv tx mv0x F y t mv ty mv0y F z t mv tz mv0z 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理： 第1个I1外+ I 1内= m1v1t m1v10 第2个I2外+I2内=m2v2t m2v20 第n个I n外+I n内=m n v nt m n v n0 由牛顿第三定律：I1内+ I2内+??+ I n内=0 因此得到： I1外+I2外+ ??+I n外=(m1v1t+m2v2t+??+m n v nt)-(m1v10+m2v20+??m n v n0) 即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。 §4，2 角动量角动量守恒定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。它的求法跟力矩完全一样，只要把力F 换成动量P即可，故B 点上的动量P对原点O的 动量矩J 为 J r P ( r OB ) 以下介绍两个定理：