延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试 高二数学(理科) 2014.1
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求的.把答案涂在答题卡上.)
1.在直角坐标系中,直线033=-+y x 的倾斜角是 A.
6
5π
B.
3
2π C.
3
π D.
6
π 2. “2=a ”是“直线0=+y ax 平行于直线34=+ay x ”的 A .充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3. 若点)1,2(-P 为圆25)1(2
2
=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是
A . 01=-+y x
B .032=-+y x C. 03=--y x
D .052=--y x
4. 已知命题:p R x ∈?,022
≤++a ax x .若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是 A. (0,1) B. (,0)(1,)-∞+∞ C. [0,1] D. (,0][1,)-∞+∞ 5. 某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱 的长度是
A.13 B .22 C .5 D .29
6.设n m ,是两条不同的直线,γβα,,是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若αα//,n m ⊥,则n m ⊥ ②若αγα⊥m ,//,则γ⊥m ③若αα//,//n m ,则n m // ④若γβγα⊥⊥,,则βα// 其中正确命题的序号是
A .①和②
B .②和③
C .③和④
D .①和④
7.方程02
=+ny mx 与 ,,(,12
2
R n m ny mx ∈=+且)0≠mn 在同一坐标系中所表示的曲线可能是
A .
B .
C .
D .
8.已知)1,2,1(-A 关于面xoy 的对称点为B ,而B 关于x 轴对称的点为C ,则=
A.)2,4,0( B .)2,4,0(-- C .)0,4,0(
D .)2,0,2(-
9.点Q 在抛物线x y 42
=上,点())0,a P 满足||||a PQ ≥恒成立,则a 的取值范围是 A. )2,0( B . ]2,0[ C . ]2,(-∞ D . )0,(-∞ 10. 下列命题中真命题的个数是
① 若D C B A ,,,是空间任意四点,则有=+++; ②在四面体ABCD 中,若0,0=?=?,则0=?; ③在四面体ABCD 中点,且满足0,0,0=?=?=?. 则BDC ?是锐角三角形
④对空间任意点O 与不共线的三点C B A ,,,若z y x ++= (其中R z y x ∈,,且1=++z y x ),则C B A P ,,,四点共面.
A .1
B .2
C .3
D .4
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.) 11. 若),1(),9,3(),3,3(m C B A -三点共线 则m 的值为________________.
12. 直线20x y +=被曲线2
2
62150x y x y +---=所截得的弦长等于 .
13. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率为2,一个焦点与抛物线x y 162
=的
焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 .
14. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以D C B A ,,,四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为
.
15. 已知)1,2,2(),2,1,2(=-=b a ,则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 .
16. 如图,把椭圆1
16
252
2=+y x 的长轴AB 分成8等份,
过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于
7654321,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点,
则=++++++||||||||||||||7654321F P F P F P F P F P F P F P . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 17.(本小题满分12分)
已知直线082=-+y x 和直线012=+-y x 的交点为P ,分别求满足下列条件的直线方程.
(Ⅰ)直线m 过点P 且到点)1,2(--A 和点)1,2(B 距离相等;; (Ⅱ)直线n 过点P 且在两坐标轴上的截距之和为12. 18.(本小题满分10分)
已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆C :12
2
=+y x ,动点M 到圆C 的切线长与
||MQ 的比等于常数λ)0(>λ.求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
19.(本小题满分12分)
已知抛物线C 的顶点在原点,经过点)2,1(A ,其焦点F 在y 轴上,直线2+=kx y 交抛物线C 于B A ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N . (Ⅰ)求抛物线C 的方程;
(Ⅱ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行. 20.(本小题满分12分)
如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为6为正方形,PD PA =,
⊥PA 平面PDC ,E 为棱PD 的中点.
(Ⅰ)求证://PB 平面EAC ;
(Ⅱ)求证:平面⊥PAD 平面ABCD ; (Ⅲ)求四棱锥ABCD P -的体积. 21.(本小题满分12分)
如图直角梯形OABC 中,
90=∠=∠OAB COA ,1,2===AB OA OC ,
⊥SO 平面OABC ,1=SO ,分别以OS OA OC ,,为x
z 轴建立直角坐标系xyz O -.
(Ⅰ)求SC 与OB 夹角的余弦值; (Ⅱ)求OC 与平面SBC 夹角的正弦值; (Ⅲ)求二面角O BC S --. 22.(本小题满分12分)
已知椭圆C :12222=+b
y a x )0(>>b a 的离心率为23
,两个焦点分别为1F 和2F ,
椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为12. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ) 设点B 是椭圆C 的上顶点,点Q P ,是椭圆上;异于点B 的两点,且QB PB ⊥,求证直线PQ 经过
延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案 高二数学(理科) 2014.1
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
11. 7 12. 54 13. x y 3±= 14.
45 15. 65 16.35
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 17.(本小题满分10分)
已知直线082=-+y x 和直线012=+-y x 的交点为P ,分别求满足下列条件的直线方程.
(Ⅰ)直线m 过点P 且到点)1,2(--A 和点)1,2(B 距离相等; (Ⅱ)直线n 过点P 且在两坐标轴上的截距之和为12. 解:(Ⅰ)由?
?
?=+-=-+0120
82y x y x ,解得交点坐标为)4,2(P ,………………………2分
因为直线m 过点P 且到点)1,2(--A 和点)1,2(B 距离相等 所以直线m 平行与直线AB ,或经过AB 的中点.
由已知得2
1
=
AB k ,AB 的中点)0,0(C ,且2=PC k …………………5分 直线m 的方程为)2(2
1
4-=-x y 或x y 2=
即062=+-y x 或02=-y x ………………………………7分 (解法二:设直线n 的方程为)2(4-=-x k y ,利用点到直线距离公式) (Ⅱ)设直线n 的方程为)2(4-=-x k y , 令0=x ,得k y 24-=,令0=y ,得k
x 4
2-
=, …………………9分
依题意124
224=-
+-k
k ,整理的0232=++k k ,解得1-=k 或2-=k . 所以直线n 的方程为)2(4--=-x y 或)2(24--=-x y .
即06=-+y x 或082=-+y x . ………………………………12分 18.(本小题满分10分)
已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆C :12
2
=+y x ,动点M 到圆C 的切线长与
||MQ 的比等于常数λ)0(>λ.求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解:设直线MN 切圆于N ,
则动点M 组成的集合是:)0(|||||{>==λλMQ MN M P . …………2分 ∵圆的半径1||=ON ,∴1||||||||2
222-=-=MO ON MO MN .………4分
设点M 的坐标为),(y x ,则2
222)2(1y x y x +-=-+λ …………6分
整理得0)41(4))(1(2
2222=++-+-λλλx y x . 当1=λ时,方程为45=
x ,它表示过点)0,4
5
(且与x 轴垂直的直线;…8分 当1≠λ时,方程化为2
222
222)
1(31)12(-+=+--λλλλy x , 它表示圆心在)0,12(22-λλ,半径为|
1|3122
-+λλ的圆. …………………10分 19. (本小题满分12分)
已知抛物线C 的顶点在原点,经过点)2,1(A ,其焦点F 在y 轴上,直线2+=kx y 交抛物线C 于B A ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N . (Ⅰ)求抛物线C 的方程.
(Ⅱ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行; 解:依题意,设抛物线C 的方程为2
ax y =,
(Ⅰ)∵点)2,1(A 在抛物线C 上,∴ 1=a .
∴抛物线C 的方程为2
2x y =…………………4分
(Ⅱ)如图,设)2,(),2,(22221
1x x B x x A ,
把2+=kx y 代入2
2x y =得0222
=--kx x . 由韦达定理得1,2
2121-==+x x k
x x ∴4
221k x x x x M
N =+==. ∴N 点的坐标为()8,4(2k k .……………8分
设抛物线C 在点N 处的切线l 的方程为)4(82k
x m k y -=-,
将2
2x y =代入上式得08
422
2
=-+-k mk mx x ,
∵直线l 与抛物线C 相切,
∴0)8
4(82
2
=--=?k mk m .即0222=+-k mk m ∴k m =. ∴抛物线C 在点N 处的切线l 与AB 平行.…………………………12分
20.(本小题满分12分)
如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为6为正方形,PD PA =,⊥PA 平面PDC ,
E 为棱PD 的中点.
(Ⅰ)求证://PB 平面EAC ;
(Ⅱ)求证:平面⊥PAD 平面ABCD ; (Ⅲ)求四棱锥ABCD P -的体积.
(Ⅰ)证明:连接BD 与AC 相交于点O ,连结EO .
∵四边形ABCD 为正方形,∴O 为BD 中点.
∵E 为棱PD 的中点. ∴EO PB //. ………………………………3分
∵ ?PB 平面EAC ,?EO 平面EAC ,
∴//PB 平面EAC EAC . ………………………………………………4分 (Ⅱ)证明:⊥PA 平面PDC ,所以CD PA ⊥. ………………5分 ∵四边形ABCD 为正方形,所以CD AD ⊥,
∴⊥CD 平面PAD . ………………………………7分
∴平面⊥PAD 平面ABCD . ………………………………8分 (Ⅲ)解:取AD 中点F ,连结PF ,∵PD PA =,∴AD PF ⊥.
∵平面⊥PAD 平面ABCD , ∴⊥PF 平面ABCD ………………10分 又∵⊥PA 平面PDC ,∴PD PA ⊥. ∴PAD ?为等腰直角三角形 ∵6=AD , ∴3=PF .∴363663
1
31=???=??=
-PF AD AB V ABCD P ………………12分 21.(本小题满分12分)
如图直角梯形OABC 中,
90=∠=∠OAB COA ,1,2===AB OA OC ,
⊥SO 平面OABC ,1=SO ,分别以OS OA OC ,,为x
z 轴建立直角坐标系xyz O -.
(Ⅰ)求SC 与OB 夹角的余弦值; (Ⅱ)求OC 与平面SBC 夹角的正弦值; (Ⅲ)求二面角O BC S --.
解:如图所示:)0,1,1(),0,0,0(),1,0,0(),0,0,2(B O S C .
∴)0,1,1(),1,0,2(=-=, ∴5
102
52,cos =
?>=
<. SC 与OB 夹角的余弦值
5
10
. ……………………………………3分
(Ⅱ)①设平面SBC 的法向量),,1(q p n =,
∵)0,1,1(),1,0,2(-=-=CB SC , ∴n n ⊥⊥
,.
∴?????=?=?0
n SC n ,即???==????=+-=-12,0102p q p q , ∴)2,1,1(=n . …………6分
又∵)0,0,2(=,∴66
262,cos =?=>= ∴求OC 与平面SBC 夹角的正弦值为 6 6 ;……………………………………8分 (Ⅲ)∵⊥SO 平面OABC ,∴)1,0,0(=OS 为平面OABC 的法向量. 又∵平面SBC 的法向量)2,1,1(=n . ∴36 62,cos ==>= . 二面角O BC S --的余弦值 3 6 . ……………………………………12分 22.(本小题满分12分) 已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为 3 ,两个焦点分别为1F 和2F , 椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为12. (Ⅰ)求椭圆C 的方程 (Ⅱ) 设点B 是椭圆C 的上顶点,点Q P ,异于点B 的两点,且QB PB ⊥,求证直线PQ 经过y 轴上一定点. 解:(Ⅰ)设椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 的半焦距为c , 则??? ??= =2312 2a c a , 解得?? ?==336c a , ∴92736222=-=-=c a b . 所求椭圆C 的方程为:19 362 2=+y x . ………………………4分 (Ⅱ) 显然直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为b kx y += 联立方程组?????=+ +=19 362 2y x b kx y ,消去y 整理得03648)14(2 22=-+++b kbx x k . 设),(),,(2211y x Q y x P ,则1436 4,1482221221+-= +-=+k b x x k kb x x ∴14221482)(2 222121+=++-=++=+k b b k b k b x x k y y , 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 1 43614814)364(2222 222222+-=++-+-=k k b b k b k k b k ………………………8分 ∵QB PB ⊥, 且)3,(),3,(2211-=-=y x BQ y x BP , ∴09)(3)3)(3(2121212121=++-+=--+=?y y y y x x y y x x , 即 091 46143614364222222=++-+-++-k b k k b k b ∴027652 =--b b .解得59 - =b 或 3=b (舍去) ∴直线直线PQ 经过y 轴上一定点)5 9 ,0(-.…………………………… 高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是 ( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分) 2015-2016上海市高二数学期末试卷 (共150分,时间120分钟) 一、选择题(每小题5 分,共12小题,满分60分) 1.对抛物线24y x =,下列描述正确的是( ) A 开口向上,焦点为(0,1) B 开口向上,焦点为1(0, )16 C 开口向右,焦点为(1,0) D 开口向右,焦点为1 (0,)16 2.已知A 和B 是两个命题,如果A 是B 的充分条件,那么A ?是B ?的 ( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2),那么实数k 的值为( ) A 25- B 25 C 1- D 1 4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11A B a =, b D A =11, c A A =1,则下列向量中与M B 1相等的向量是( ) A c b a ++-2121 B c b a ++2121 C c b a +-2121 D c b a +--2 1 21 5.空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1,0),B (-1,3,0), 若点C 满足OC =αOA +βOB ,其中α,β∈R ,α+β=1,则点C 的轨迹为( ) A 平面 B 直线 C 圆 D 线段 6.给出下列等式:命题甲:2 2,2,)2 1 (1x x x -成等比数列,命题乙:)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列,则甲是乙的( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 7.已知a =(1,2,3),b =(3,0,-1),c =?? ? ??--53,1,5 1给出下列等式: ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ?+)( =)(c b a +? ③2)(c b a ++=2 22c b a ++职业高中高二期末考试数学试卷
上海高二数学期末考试试题
(完整版)高二数学期末试卷(理科)及答案