高中数学竞赛教程：第04讲集合的概念与运算
第4讲 集合的概念与运算
本讲内容包括集合及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性）；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集）；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等。
“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：
若A B B =I ，则B A ?； 若A B B =U ，则A B ?；
;
()()A B B A A B C A B C ==I I I I I I ； ;()()A B B A A B C A B C ==U U U U U U ；
()()();()()();
A B C A B A C A B C A B A C ==I U I U I U I U I U [I ()A B =I [I A U [I B ; [I ()A B =U [I A I [I B .
容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。
通常以||X 表示有限集合X 中元素的个数，参照Venn 图可以得到如下计数公式:
||||||||A B A B A B =+-U I
||||||||
||||||
||
A B C A B C A B B C C A A B C =++---+U U I I I I I L L A 类例题
例1 已知数集22{2,(1),33}A a a a a =++++，
{,1,5}B a b a b =+-+。
若A B =，求实数,a b 的值。
分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合A 中三个元素有且仅有一个为1。椐此可求出a ，进而求出b 。
解 由A B =，得1A ∈。
22211;
(1)102;3311 2.
a a a a a a a a a +=?=-+=?==-++=?=-=-或或
由集合A 中三个元素有且仅有一个为1，得0,{1,2,3}a A ==，{1,,5}B b b =-。
A B A B
C
由A B =，得23b b ==或。
因此，所求实数为0,2a b ==或0,3a b ==。
例2 集合 {|1284,,,}M u u m n l m n l Z ==++∈
{|201612,,,}N u u p q r p q r Z ==++∈
的关系是 （ ）
A M N
B M N N M
C M N
D M N =????
（1989年全国高中联赛）
分析1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。
解1 12844(32)m n l m n l ++=++，而32m n l ++可取任意整数，得集合M 表示4的倍
数的集合，即{|4,}M u u k k Z ==∈。
2016124(543)p q r p q r ++=++，设,0p q k r =-==，得{|4,}N u u k k Z ==∈。
所以，M N =，应选A 。
分析2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的
一般方法是“若a A a B ∈?∈，则A B ?”；证明集合相等关系的一般方法是“若,,A B B A ?????
则A B =”
。 解2 若1284u M u m n l ∈?=++。
设,2,5m r n q l p ===，则201612u p q r N M N =++∈??。
若201612u N u p q r
∈?=++。设2,p q n l r m
=-=+=，则1284u m n l M N M =++∈??。
由M N M N N M ???=???。所以应选A 。 例3 已知222{(,)|},{(,)|()1}M x y y x N x y x y a ===+-=，A M N =I 。
（1） 若||3A =，求实数a 的值；
（2） 若A ?=，求实数a 的取值范围。
分析 首先应对题中的集合语言进行解读。M N I ，意为由集合,M N 分别表示的两个
方程组成的方程组的解集。（1）是求实数a 的值，使上述方程组有3解；（2）是求实数a 的取
值范围，使上述方程组无解。
解 由22222,(21)10()1,
y x y a y a x y a ?=??--+-=?+-=?? （*） 22(21)4(1)54a a a ?=---=-。 当54a >
时，0?<，原方程组无解；
当54
a =时，34y x =?=，原方程组有两解； 当54
a <时，0?>，方程（*）有两个不等的实根12,y y 。 由20x y =≥，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为0时，原方程组有3解；方程
（*）两根均为负根时，原方程组无解。
由2101a a -=?=±，经验算，1a =时，原方程组有3解；
由20210110
a a a ??>?-?，即1a <-时，原方程组无解。
所以，若||3A =，实数1a = ；
若A ?=，实数a 的取值范围是1a <-或54
a >
。
情景再现
1．已知数集{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求实数a 的值。
（1999年第十届“希望杯”高一）
2．若2{|054}A x x ax =≤++≤是单元素集合，则实数a 的值为
（ ）
23A B C D ±±± 不存在这样的实数 （1990年江苏省数学竞赛）
3．数集{|(21),}X x x n n Z π==+∈与数集{|(41),}Y y y m m Z π==±∈之间的关系是 （ ）
A X Y
B X Y
C X Y
D X Y ??=≠
（1984年全国高考题）
B 类例题
例4 设集合,,A B X 满足：A X B X A B ==I I I ，
A B X A B =U U U 。
若,A B 为已知集合，求集合X 。
分析 在研究集合之间的运算时，应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。 解1 由 A B X A B X A B =??U U U U
设 x X x A B x A ∈?∈?∈U 或x B ∈
因为 x X ∈，得
x A x B x X x X ∈∈????∈∈??
或 ，即()()x A X B X A B ∈=I U I I 。 由 x X x A B ∈?∈I ，得X A B ?I 。
又 A X A B A B X =??I I I
所以，X A B =I 。
解2 由 A B X A B X A B =??U U U U ，
所以， ()()()X X A B A X B X A B ===I U I U I I 。
例5 已知集合2{|(2)240}A x R x a x a =∈---+=，
22{|(23)230}B x R x a x a a =∈+-+--=，
若A B ?≠U ，求实数a 的取值范围。
分析 由题意，两个一元二次方程2(2)240x a x a ---+=和22(23)230x a x a a +-+--=中，至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求两个方程有解集合的并集；或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。
解1 由二次方程2(2)240x a x a ---+=，得
221(2)4(24)412062a a a a a a ?=---+=+-≥?≤-≥或；
由二次方程 22(23)230x a x a a +-+--=，得
222273(23)4(23)4821022
a a a a a a ?=----=--+≥?-≤≤
； 由A B ?≠U ，得所求实数a 的取值范围是
73{|62}{|}2273{|6,2}.22a a a a a a a a a ≤-≥-≤≤=≤--≤≤≥U 或或 解2 由解1，得
1262073{|62}7302222
a M a a a a a ??-<???或或。 由A B ?≠U ，得所求实数a 的取值范围是
[R M =73{|6,2}.22
a a a a ≤--
≤≤≥或 例6 不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有多少个？ 分析 若不大于1000的自然数集合为全集I ，其中3的倍数的集合为A ，5的倍数的集合为B 。则要求的是|[I ()A B U |。
解 设不大于1000的自然数集合为全集I ，其中3的倍数的集合为A ，5的倍数的集合为B ，则 100010001000||[]333,||[]200,||[]663515
A B A B ======I 。 因此，||||||||33320066467A B A B A B =+-=+-=U I 。
所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有 |[I ()A B U |1000||533A B =-=U （个）。
情景再现
4．已知222{|190},{|560}A x x ax a B x x x =-+-==-+=，2{|280}C x x x =+-=，且A C ?=I ，
（1）若A B ?≠I ，求实数a 的值；
（2）若A B A =I ，求实数a 的取值范围。
5．若非空集合{|2135},{|322}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，则能使A A B ?I 成立的所有a 的集合是 （ ）
{|19}{|69}{|9}A a a B a a C a a D ?≤≤≤≤≤
（1998年全国高中数学联赛）
6．某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有21人优秀，物理有19人优秀，化学有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有6个，数学和化学都优秀的有8个。若该班有7人数学、物理、化学三科中没有一科优秀，试确定该班总人数S 的范围及仅数学一科优秀的人数x 的范围。
C 类例题
,a b R ∈，{(,)|,}A x y x n y an b n Z ===+∈，
2{(,)|,315}B x y x m y m m Z ===+∈，
22{(,)|144}C x y x y =+≤，
是平面XOY 内的点集，讨论是否存在,a b 使得
（1）A B ?≠I ；
（2）(,)a b C ∈同时成立。（1986年全国高考题）
分析 首先应对题中的集合语言进行解读。A B ?≠I ，意为由集合,A B 分别表示的两个方程组成的方程组有整数解；(,)a b C ∈，则给出了,a b 的允许值范围。
解 集合,A B 可分别化简为{(,)|}A x y y ax b x Z ==+∈，2{(,)|315}B x y y x x Z ==+∈。
223150315
y ax b x ax b y x =+???-+-=?=+??， 22212(15)14418012(6)a b b b b ?=--≤--+=--
仅当6b =且22144)a a b =±+=时，0?=，方程组有解。此时，原方程组的解为
24.x y ?=??=??
由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数,a b 不存在。 例8 一次会议有2005位数学家参加，每人至少有1337位合作者，求证：可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过。
分析 按题意，可以构造一种选法，找出符合条件的四位数学家。
解 由题意，可任选两位合作过的数学家,a b ，设与a 合作过的数学家的集合为A ，与b 合作过的数学家的集合为B 。则||1337A ≥，
||1337B ≥。又||2005A B ≤U 。于是，
||||||||133713372005669A B A B A B =+-≥+-=I U 。
因此，在集合A B I 中，有数学家且不是,a b 。从中选出数学家c ，并设与c 合作过的数学家的集合为C 。则|()|2005A B C ≤U U ，||1337C ≥。于是，
|||||||()|669133720051
A B C A B C A B C =+-≥+-=I I I I U 因此，在集合A B C I I 中，有数学家且不是,,a b c 。又可从中选出数学家d 。则数学家
,,,a b c d ，他们中每两人都合作过。即原命题得证。
情景再现
7．设2()(,)f x x bx c b c R =++∈，{|(),}A x x f x x R ==∈，{|(()),}B x x f f x x R ==∈。若集合A 是单元素集，则A B =。
8．计算不超过120的合数及质数的个数。
习题4
1．已知集合2{|42,}M x x t t t R ==-+∈，
2{|42,}N y y x x x R ==-+∈，
2{(,)|42,}P x y y x x x R ==-+∈，
则集合,,M N P 的关系是 （ ）
A M N P
B M N P
C M N P
D M N P
===≠≠=≠≠ 2．由P M P N =U U 能够推出 （ ）
[[[[I I I I A M N B P M P N C P M P N D P M P N
====I I I I I I （1985年上海数学竞赛）
3．设a ∈R ,2{|||1},{||1|}A x R x a B x R x a =∈-≤=∈-≤。若A 不是B 的真子集，则a 的取值范围是 ( )
11212120A a B a a C a D a -≤≤≤-≥-<≤-≤≤或
4．已知2{(,)|1},{(,)|}A x y y ax B x y y x ==-==，又A B ?=I ，求实数a 的取值范围。
5． 设{|2},{|23,}A x x a B y y x x A =-≤≤==+∈ ，
2{|,}C z z x x A ==∈且C B ?，求实数a 的取值范围。
6． 设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，求证：
（1） 一切奇数属于M ；
（2） 形如42()k k Z -∈的数不属于M ；
（3） M 中任意两个数的积仍属于M 。
7． 设{|100600,}A n n n N =≤≤∈，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为__________。（1994年江苏省数学竞赛）
8．已知对任意实数x ，函数()f x 都有定义，且22()2()2
x f x x f ≤，如果集合2{|()}A a f a a =>不是空集，试证明A 是无限集。（1994年江苏省数学竞赛）
9．设,A B 是坐标平面上的两个点集，222{(,)|}r C x y x y r =+≤，若对任何0r ≥ 都有r r C A C B ?U U ，则必有A B ?。
此命题是否正确？ (1984年全国数学联赛)
10．设S 为满足下列条件的有理数集合：
（1）若,a S b S ∈∈，则,a b S ab S +∈∈ ；
（2）对任意一个有理数r ，三个关系,,0r S r S r ∈-∈=有且仅有一个成立。 证明：S 是由全体正有理数组成的集合。（1972年奥地利数学竞赛）
答案
情景再现
1． 设101a a -=?=，经检验符合题意；
||00a a -=?=，经检验不合题意；
101a a +=?=-，经检验符合题意。
故所求的值为1a =±。
2． 集合A 表示不等式组225450x ax x ax ?++≤??++≥??
的解集。当两个不等式的解集有共同的边界点，或者两个不等式的解集中，有一个是单元素集时，不等式组解集有可能为单元素集。由此，不等式254x ax ++≤可化简为210x ax ++≤，当2a =±时 ，此不等式的解集为单元素集。故应选B 。
3． 由21()n n Z +∈与41()m m Z ±∈都表示全体奇数，所以，X Y =。故应选C 。 4． 2{|560}{2,3}B x x x =-+==，
2{|280}{4,2}C x x x =+-==-。
（1） 由A C ?=I 且A B ?≠I ，得3是集合A 的元素。将3代入方程22190x ax a -+-=，得23100a a --=，解此方程得2a =-或5a =。经检验，所求实数a 的值为2a =-；
（2） 由A B A A B =??I ，又A C ?=I ，所以集合A 为?或{3}. 由（1），{3}A =不可能。当,A ?= 则
224(19)0a a a a ?=--
因此，所求实数a 的取值范围是a a <>或。 5． A A B ?I 即A A B =I 。因此，
213193522
a a a +≥??≤≤?-≤?。所以，应选A 。 6． 设 A ={该班数学成绩优秀的学生}
B ={该班物理成绩优秀的学生}
C ={该班化学成绩优秀的学生}
则 ||21,||19,||20,||9,A B C A B ====I
||6,||8,||.B C C A A B C k ===I I I I
||||||||||||||
||21192096837.
A B C A B C A B B C C A A B C k k =++---+=++---+=+U U I I I I I
由A B C I I 是,,A B B C C A I I I 的子集，得
min{9,6,8}06k k ≤?≤≤。
因此，370737674450S S ++≤≤++?≤≤ 。
|[[||[()|
||||
||(||||||)37(19206)
4
I I I x A B C A B C A B C B C A B C B C B C k k ===-=-+-=+-+-=+I I I U U U U U U I
因此，410x ≤≤。
所以，该班总人数S 的范围是 4450S ≤≤； 仅数学一科优秀的人数x 的范围是 410x ≤≤ 。
7． 若集合A 是单元素集，设{}A α=即2()()f x x x α-=-，则
2()()f x x x α=-+，
222222(())[()]()()[(1)1]
(1)10
(())0.
{}.f f x x x x x x x
x x x f f x x x B A αααααααα-=-+-+-+-=--++-++≠∴-=?=∴==Q
8． 不超过120
的合数的质因数11≤<，因此不超过120的合数必定是质数2，3，5，
7的倍数。
设{|1120}I n N n =∈≤≤，
{2}A I =中的倍数， {3}B I =中的倍数， {5}C I =中的倍数， {7}D I =中的倍数。
则 120120||[]60,||[]40,23120120||[]24,||[]17,57A B C D ========
120120||[]20,||[]8,2335
A B B C ====??I I 120120||[]12,||[]5,2537A C B D ====??I I
高中数学竞赛讲义_复数
1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
高中数学竞赛标准教材讲义函数教案
第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1)
高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
高中数学竞赛_数列【讲义】
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
高中数学竞赛 函数【讲义】
高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 第九章不等式(高中数学竞赛标准教材) 第九章不等式 一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0 ac>bc；（5）a>b, c<0 ac 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos高中数学竞赛讲义(15)复数
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