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2015年烟台市中考数学试题解析

2015年烟台市初中学业水平考试

数学试题

（后有答案解析）

一、选择题(本题共12各小题，每小题3分，满分36分)

1. 2

的相反数是（） A ．23- B. 23 C. 3

- D. 32

2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，

下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

3. 如图，讲一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相等，则该几何体的左视图是（）【来源：21·世纪·教育·网】

4. 下列式子不一定成立的是（） A ．

(0)a a

b b b

=≠ B. 3521(0)a a a a -?=≠

C. 2

4(2)(2)a b a b a b -=+- D. 32

(2)4a a -= 5. 李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：

平均数中位数众数方差 8.5

8.3

8.1

0.15

如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（） A ．平均数 B. 众数 C. 方差 D.中位数 6. 如果，那么x 的值为（）

A ．2或-1 B. 0或1 C. 2 D. -1

7. 如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，且点E 是AB 的中点，则tan BFE ∠的值是

A ．12 B. 2 C. 33

D. 3

8.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2015S 的值为（）www-2-1-cnjy-com A ． B. C. D.

9.等腰三角形三边长分别为2a b 、、，且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）

A ．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10

10.A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人都从A 地去B 地，图中1l 和2l 分别表示甲、乙两人所走路程S (千米)与时刻t (小时)之间的关系。下列说法：○1乙晚出发1小时；○2乙出发3小时后追上甲；○3甲的速度是4千米/小时；○4乙先到达B 地。其中正确的个数是（） A ．1 B. 2 C. 3 D. 4

11.如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线2

y ax bx c =++经过点(-1，-4)，则下列结论中错误的是（）21教育名师原创作品

A ．2

4b ac > B. 2

6ax bx c ++≥- C. 若点(-2，m )，(-5，n ) 在抛物线上，则m n > D. 关于x 的一元二次方程2

4ax bx c ++=-的两根为-5和-1

12.如图，RT ABC ⊿，90o

C ∠=，30o

BAC ∠=，AB=8，以23为边长的正方形DEFG 的一边GD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合。现将正方形DEFG 沿A →B 的方向以每秒1个单

位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与⊿ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图像大致是（）

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)

13.如图，数轴上点A ，B 所表示的两个数的和的绝对值是_____________。

14.正多边形的一个外角是72o

，则这个多边形的内角和的度数是___________________。 15.如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到函数图像不经过第四象限的卡片的概率为____________。

16.如图，将弧长为6π，圆心角为120o

的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘结部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是____________。【来源：21cnj*y.co*m 】

17.如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)(0，2)，反比例函数(0)k

y k x

>的图像过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则⊿ODE 的面积为_____________。

18. 如图，直线1

:12

l y x =-

+与坐标轴交于AB 两点，点(,0)M m 是x 轴上一动点，一点M 为圆心，2个单位长度为半径作⊙M ，当⊙M 与直线l 想切时，m 的值为__________________。

三、解答题(本大题共7个小题，满分66分) 19.(本题满分6分)

先化简22

()211x x x x x x

+÷--+-，再从23x -<<的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值。

20.(本题满分8分)

“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措。某中学为了解本校学生平

21教育】

(1)该校共调查了_________名学生； (2)请将条形统计图补充完整；

(3)表示等级A 的扇形圆心角α的度数是____________；

(4)在此次问卷调查中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是2小时以上，从这4人中任选2人去参加座谈，用列表或树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率。

21．(本题满分8分)

(1)求高铁列车的平均时速；

(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14:00召开的会议，如果他买到当日8:40从烟台到该是的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时。试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？

22.(本题满分9分)

如图1，滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯。该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，

已知太阳能板的支架BC 垂直于灯杆OF ，路灯顶端E 距离地面6米，DE=1.8米，

60o

CDE ∠=，且根据我市的地理位置设定太阳能板AB 的倾斜角为43o

，AB=1.5米，CD=1米。为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍旋转，叶片与太阳能板顶端A 的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF 至少要多高？(利用科学计算器可求得sin 430.6820o

≈，cos 430.7314o

≈，

tan 430.9325o ≈，结果保留两位小数)

23.(本题满分9分)

如图，以⊿ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且

DE BE =。

(1)试判断⊿ABC 的形状，并说明理由；

(2)已知半圆的半径为5，BC=12，求sin ABD ∠的值。

24.(本题满分12分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

y ax bx c =++与⊙M 相交于A 、B 、C 、D 四点。其中AB 两点的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点D 在x 轴上且AD 为⊙M 的直径。点E 是⊙M 与y 轴的另一个交点，过劣弧DE 上的点F 作FH ⊥AD 于点H ，且FH=1.5。21教育网

(1)求点D 的坐标及该抛物线的表达式；

(2)若点P 是x 轴上的一个动点，试求出⊿PEF 的周长最小时点P 的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使⊿QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。2·1·c·n·j·y

25.(本题满分14分)

【问题提出】

如图○1，已知⊿ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且DE=EC ，将⊿BCE 绕点C 顺时针旋转60o

至⊿ACF ，连接EF 。2-1-c-n-j-y

试证明：AB=DB+AF 。【类比探究】

(1)如图○2，如果点E 在线段AB 的延长线上，其它条件不变，线段AB 、DB 、AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由。21·世纪*教育网

(2)如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图○3的基础上将图形补充完整，并写出AB ，DB ，AF 之间数量关系，不必说明理由。【出处：21教育名师】

参考答案

1. B

2. D

3. A

4. A

5. D

7. D 8 9. B 10. C 11. C 12. A

13. 1。 14. 540o 。 15. 34。 16. 62。 17. 15

。 18. 225±。

19. 解：

()211(1)21(1)(1)(1)(1)

x x x x x x x x x x x x x x x x x +÷--+-??+-+=÷??--??

+-=

20.从条形图中我们可以看得出A 的人数为60，B 的人数为80，D 的人数为20；从扇形统计图中我们能看到B 占的比例40%，这样我们很容易就能得出共调查了200人，进而就能得出C 的人数40人(图形可以自行补充)。A 占的比重即扇形圆心角α的度数为：108o 。甲乙两班的学生我们分别标示为甲A 、甲B 、乙A 、乙B ，则一共有甲A 和甲B 、甲A 和乙A 、甲A 和乙B 、甲B 和乙A 、甲B 和乙B 、乙A

和乙B 。这样我们就很容易得出两人来自不同班级的概率为：2

https://www.wendangku.net/doc/bc16594560.html,

21．

路程速度

时间

高铁

1026-81

2.5x

102681

2.5x - 普快 1026 x

1026

根据上表，我们可以轻易得出方程：

1026811026

92.5x x

-=-

解得：72x =

所以2.5x 即高铁的平均速度是180千米/小时。

第(2)问：从烟台到某市630千米，按照我们求出的高铁的速度，他需要3.5个小时到达A 地，再加上1.5个小时，也就是说他至少需要5个小时到达会场。因此他购买8:40的票，则在13:40就能到达会场，所以在开会前是能够赶到的。

22. AB 是直径，则我们很容易知道90o ADB ∠=，同时也是90o CDB ∠=。进而就有C C BD C DE BDE ∠+∠=∠+∠，而又DE BE =，则DE=BE ，进而

C B

D B D

E ∠=∠，所以C CDE ∠=∠，而ABED 可以看成是个圆内接四边形，

则CDE CBA ∠=∠，所以C CBA ∠=∠，即⊿ABC 为等腰三角形。21*cnjy*com

第(2)问要求的是ABD ∠的正弦值，由图知，ABD ∠在RT ABD ⊿中，AB=10，要求正弦值，就必须求得AD 的值，在ABC ⊿中，我们可以利用等腰三角形

一腰上的高求出AD=2.8，这样我们就能求出7

sin 25

ABD ∠=。

24.第(1)问求抛物线的解析式，我们知道的条件就是AB 两点的坐标，要想求得抛物线的解析式，必须再有一个点才行。根据题意，设点M 的坐标为(m ，0)，

根据两点间的距离公式(半径相等)可以求得3

m =，则点D 的坐标为(4，0)，这

样就可以根据交点式来求解抛物线的解析式：2113

(1)(4)2222

y x x x x =+-=--

第(2)问其实是我们初中阶段经常练习的一个轴对称问题。要在x 轴上的找到一点P ，使得⊿PEF 的周长最小，我们先来看E ，F 两点，这是两个定点，也就是说EF 的长度是不变的，那实际上这个题目就是求PE+PF 的最小值，这就变成了轴对称问题中最为经典的“放羊问题”，要解决这一问题首先我们看图中有没有E 或F 的对称点，根据题意，显然是有E 点的对称点B 的，那么连接BF 与x 轴的交点就是我们要求的点P(2，0)。

第(3)问要在抛物线的对称轴上找点Q ，使得⊿QCM 是等腰三角形，首先点M 本身

就在抛物线对称轴上，其坐标为3

(,0)2

；点C 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，

所以点C 的坐标为(3，-2)；求Q 点的坐标，根据题意可设Q 点为(3

n )。⊿QCM

是等腰三角形，则可能有三种情况，分别是QC=MC ；QM=MC ；QC=QM 。根据这三种

情况就能求得Q 点的坐标可能是35(,)22±或325

(,)216

-或3(,4)2-

25.第一问是个明显的旋转问题，根据旋转的特点，我们能够得出CE=CF ，

60o ECF ∠=，即CEF ⊿是等边三角形；BE AF = ；60o EBC FAC ∠=∠=，

进而：AFE ACE ∠=∠，再有60o DEB D ACE BCE ∠+∠=∠+∠=

又由已知DE=CE ，知D BCE ∠=∠，所以有DEB ACE AFE ∠=∠=∠，这样就能得出AEF BDE ⊿≌⊿

则有AE=BD ，所以AB=AE+BE=BD+AF 。第(2)问，根据第一问的做法，我们应该像第(1)问那样去证明AEF BDE ⊿≌⊿，全等的条件都是有AF=BE(旋转得出)，DE=EF ，这样关键就在于说明AFE DEB ∠=∠。要想说明这两个角相等，我们可以像第(1)问一样去证出BCE ACF ∠=∠，BEC AFC FCB ∠=∠=∠，这样我们就能得出AF ∥CD ，此时我们需要把BD 和EF 的交点标示为G 点，这样就有AFE CGE ∠=∠，接下来我们可以想办法证明BDE BEG ⊿∽⊿(条件有一个公用角和小角)，这样就得出了BGE BED ∠=∠，所以就有AFE BED ∠=∠，也就得出了三角形全等，这样就有AE=BD ，所以这时AB=AE-BE=BD-AF 。第(3)问画图略过，理由可以参考第(2)问。

2015年烟台市初中学业水平考试数学试题

一、选题题

1．B 【解析】如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，所以有－

23的相反数是－（－23）=23

. 2．Ｄ．【解析】根据轴对称和中心对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形；将一个图形绕着某一点旋转180°后，所得的图形能够和原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形，可得

３.Ｄ．【解析】Ａ为左视图，Ｂ为正视图，Ｃ为俯视图；Ｄ不属于三视图得出的结论．４．A 【解析】Ａ不一定成立,只有a 为非负数，b 正数时在正确；B 根据幂的乘法法则和负指数幂的运算法则计算正确；C 运用平方差公式分解因式，正确；D 积的乘方等于各个因式分别乘方，正确.

５.D 【解析】去掉一个最高分和一个最低分，中位数不发生变化，其余都发生生变化。 6.【解析】任何一个不为零的数的零次方为1，所以可得方程2

10,x x --=解方程得x 的值为2或-1.

７．Ｄ【解析】因为在菱形ABCD 中，AB=BC ，E 为AB 的中点，所以BE=

BC ，又因为CE ⊥AB ，所以△BCA 为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，又因为菱形的对角线平分每一组对角，所以∠EBF=

∠EBC=30°，所以∠BFE=60°，所以tan ∠BFE=3．https://www.wendangku.net/doc/bc16594560.html, ８．C. 【解析】根据面积公式可得2

12,s =解直角三角形可得以CD 为斜边的等腰直角三角形的边长为

2,所以2

2122,2

s =

?=2

2131(

)22,2

s =?=…以此类推201442012201511

()2()22

s =?=．

9．C.【解析】当a,b 为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以

a=b=3,ab=9=n-1,解得n=10,当2为腰时，a=2（或b=2）,此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4(a=4),所以ab=2×4=8=n-1，解得n=9,所以n 为9或10.

选项逐项分析

正误

A 是轴对称图形，不是中心对称图形； ×

B 是轴对称图形，也是中心对称图形； ×

C 不是轴对称图形，不是中心对称图形 × D

是中心对称图形，不是轴对称图形． √

10．C 【解析】①乙比甲晚出发1小时，正确；②乙应出发2小时后追上甲，错误；③甲的速度为12÷3=4(千米/小时),正确；甲到达需要20÷4=5（小时）；乙的速度为12÷2=6（千米/小时）,乙到达需要的时间为20÷6=313（小时），即乙在甲出发41

小时到达，甲5小时到达，故乙比甲先到.正确。故选

11．C 【解析】A ．如图抛物线与x 轴有两个交点所以240,b ac ->即24,b ac >正确；Ｂ。因为抛物线的顶点坐标为（-3，-6），抛物线上所有点都大于或等于-6，故B 正确；C 根据抛物线的对称性当x=-2时的函数值与x=-4时的函数值相等，此函数抛物线开口向上，在对称轴的右侧y 所x 的增大而减小，-4>-5，所以m

+-另y=-4,可得21

(3)64,2

x +-=-解方程得出x 为-5和-1.故D 正确. 12.A 【解析】

(1)AD=t,DM=

1233

?,S=236t （0

33t ,AG=t-23,GN=33

( t-23)； S=S △AMD -S △ANG =236t -36

( t-23)2=2t-23

E D F

P C

A G

(2)6≤t ≤8，AG=t-23,GN= BD=8-t,DM=3BD=3(8-t) GP=AP-AG=6 +23- t PD=PB-BD=t-6

S=S 梯形NGPC+ S 梯形MDPC=

12(33( t-23)+23)（ 6 +23- t ）+1

（3(8-t)+ 23）（t-6）=一个二次函数，故选A 21*cnjy*com

M E

D F P C B

13.1【解析】A ，B 分别表示-3和2，所以-3+2=-1,-1的绝对值为1．

14.540°．【解析】多边形的外角和为360°，所以多边形为360°÷72°=5，根据多边形的内角和公式可得（5-2）×180°=540°． 15.

【解析】第一张图片为反比例函数，图象在一、三象限；第二章图片上为正比例函数，图形过二、四象限；第三张图片上为二次函数，图象开口向上在x 轴的上方，过一、二象限，第四张图片上为一次函数，图象过一、二、三象限；所以抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为

． 16.62．【解析】设烟筒帽的底面半径为Ｒ，则2πr=6π，解得r=3，设圆锥的母线长为R ，则

120R

=6180

ππ，解得R=9，由勾股定理可得圆锥纸帽的高为2222R -r 937262=-==．

17.

【解析】因为C （0,2）A （4,0）由矩形的性质可得P （2,1），把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k=2,所以反比例函数解析式为2

=,y x

D 点的横坐标为4，所以纵坐标为

AD=21,42=点E 的纵坐标为2，所以22=,CE

CE=1，则BE=3，所以

C BE

D OAD OABC -S -S -S OD

E O E s S ????=矩形=8-1-94-1=15

18. 25-2.或25+2【解析】直线1

y x =-+与y 轴、x 轴的交点坐标为A （0，1），B

（2,0），由勾股定理可得AB= 5.如图（1）当圆M 与直线AB 相切于点C 时，△AOB ∽△MCB ，

OA AB MC BM =，即15

2BM

=，解得BM=2 5.所以m=BM-OB=25-2.如图（2）△AOB ∽△MDB ，

OA AB MD BM =， 15

2BM

=，解得BM=2 5.m= BM+ OB =25+2．

图（1）图（2）

19.解：原式=2

222

(1)2(1)(1)1(1)(1)[],(1)(1)(1)(1)(1)11

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+++-÷=÷=?=-----+- 当x=2时，原式21x x =

-2

2421

==-． 20. （1）解：(1)200；（2）补图如下：

(2)解：60÷200=30%．

（3）解：设甲班学生为A B 甲，甲，A B 乙，乙；则所有可能的情况为（A B 甲，甲），（A A 甲，乙），

（A B 甲，乙），B A （甲，乙）），B B （甲，乙），A B （乙，乙）六种情况．所以不再同一班的情况有四种，概率为

． 21.【解】设普快的速度为x 千米/小时，则高铁的速度为2.5x 千米/小时，得：

95.281

10261026=--x

x ，即1026×2.5–945=9–2.5x ，解得：x=72，经检验x=72是本方程的解，高铁列车的平均时速为2.5×72=180，

答：高铁列车的平均时速为180千米/小时．

(2)630÷180=3.5（时），3.5+1.5=5（时）；8:40——12：00之间的时间为5小时20分钟，所以高铁在准点到达的情况下他能准时赶到.

22.【解析】解直角△ABC 求出线段AC 的长度，再解直角△DEG 求出线段DG 的长，进而求出

DF 的长，即可求出电线杆的长为DF+CD+AC+1.5

【解】在Rt △ACB 中，AC=cos ∠CAB ·AB ，∴AB 的倾斜角为43°，AB=1.5 ∴AC=0.7314×1.5=1.0971，过点E 作EG ⊥OF ，又∵∠CDE=60°． ∴DG= cos ∠CDE ·DE= cos60°×1.8=0.5×1.8=0.9,（米）， ∴DF=6-0.9=5.1（米），

∴OF=DF+CD+AC+1.5=5.1+1+1.0971+1.5=7.6971≈7.70（米）答：灯杆OF 至少要7.70米．

23.【解】（1）因为AB 为直径，所以∠ADC=∠BDE=90°，∠C+∠DBC=90°，∠CDE+∠EDB=90°，又因为DE BE =，所以∠EDB=∠DBC ，所以∠C=∠CDE ，所以CE=DE ，因为DE BE =，所以DE=BE ，CE=BE ，AE 垂直平分BC ，所以AC=BC ，△ABC 为等腰三角形.21·cn·jy·com (2)因为A ，B ，E ，D 四点共圆，所以∠CDE=∠CBA ，∠C 公用，所以△CDE ∽△CBA ，

,AC

CE CB CD =因为BC=12，半径为5，由（1）得所以AC=BC=10，CE=6，即

,106

12=CD 解得CD=7.2，所以AD=AC-CD=2.8；sin ∠ABD=108.2=AB AD =25

． 24.【解】（1）∵A （-1,0），B （0，-2）∴OE=OB=2，OA=1，∵AD 是⊙M 的直径，∴O E ·OB=OA ·OD ，

即：22=1·OD ，OD=4，∴D （4,0），把A （-1,0），B （0，-2），D （4,0）代入

c bx ax y ++=2得：

0416,2,0=++-==+-c b a c c b a ，即,22

,21-=-==c b a

该抛物线的表达式为：22

212--=x x y ．

（2）连接AF ，DF ，因为FH ⊥AD 于点H ，AD 为直径，所以△AFH ∽△FDH ，HF 2=DH ·AH ，∵E 点与B 点关于点O 对称，根据轴对称的性质，连接BF 交x 轴于点P ，∵A （-1,0），D （4,0），∴AD=5，设DH=x ，则AH=5-x ，即1.52=x （5-x ），5x-x 2=49，4x 2-20x+9=0，（2x-1）（2x-9）=0，AH ＞DH ，∴DH=2

， ∴OH=OD-DH=

，∴F （3.5,1.5），设直线BF 的解析式为b kx y +=，则3.5k+b=1.5；b=-2，则k=1，b=-2，∴y=x-2，令y=0，则x=-2，∴P （2,0）（3）Q 1（

23，25），Q 2（23，-25），Q 3（23，-4），∴Q 4（23，-8

25）．

25.【思路分析】(1)根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论.(2)先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可.

证明：DE=CE=CF,△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF,CE=CF,∴△CEF 是等边三角形,∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，又因为A，E，C，F四点共圆，所以∠AEF=∠ACF，又因为ED=DC，所以∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，所以∠D=∠AEF，所以△EDB ≌FEA，所以BD=AF，AB=AE+BF，所以AB=BD+AF．

类比探究（1）DE=CE=CF,△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF,CE=CF,∴△CEF是等边三角形,∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，

∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD

∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°

∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF.

（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）