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高等数学第二章练习及答案

第二章

一、选择题.

1. 函数1y x =+在0x =处（）

A 、无定义

B 、不连续

C 、可导

D 、连续但不可导

2. 设函数221,0(),

0x x f x x x +

C 、连续但不可导

D 、可导

3．设函数)(x f y =可微，则当0→?x 时,dy y -?与x ?相比,是（）

A ．x ?的等价无穷小

B ．x ?的同阶无穷小

C ．x ?的高阶无穷小

D ．x ?的低阶无穷小

4．函数3y x x =-的单调增区间是（）

、(,)3-∞-

、(33- C

、(+)3∞ D 、(0,+)∞ 5．函数1()()2

x x f x e e -=+的极小值点是（） A 、1 B 、1- C 、0 D 、不存在

二、填空题.

1. 已知(sin )cos x x '=，利用导数定义求极限0πsin()12lim =x x x

→+-__________. 2、如果0()4f x '=，则x

x f x x f x ?-?-→?)()3(lim 000=______________. 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是．

4.设1()f x x

=,则()f x '=____ ．

5. 函数3()sin(cos )f x x =，则()f x '= ．

6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________.

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________.

8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______.

9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p

p q -=，则需求弹性E p =__________.

三、判断题.

1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （）

2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量.

（）

3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （）

4. 极值点一定是驻点. （）

5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）

四、计算题.

1.求函数y =.

2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '.

3. 设e x

y x =，求y '.

4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限.

（1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x

x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-?

?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x

x x e →+∞+.

六、应用题.

1. 求函数32

()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点．

2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

3. 设某产品的总成本函数和总收入函数分别为

()3C x =+ 5()1

x R x x =+. 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.

4. 某产品的需求量Q 对价格p 的函数关系为

11600(),4

p Q = 求当3p =时的需求价格弹性.

5. 求立方抛物线()30y ax a =>上各点处的曲率,并求x a =处的曲率半径.

总习题2答案

一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. C

二、1. 0 2. 12- 3．1=-y x 4.21x - 5．2333sin cos(cos )x x x -?? 6.2sec x - 7.2214dx x +, 2cot 2xdx 8. 5 , 9.2p - 三、1. √ 2. √ 3．√ 4．× 5．×

四、1.

y '= 2. 22e 1.1e

x y y -'=+ 3．e e (e ln ).x x

y x x x '=+ 4．sin(),1sin()x y y x y -+'=++ []3c o s ().1s i n ()

x y y x y +''=-++ 五、(1) 1. (2) 1.- (3) 1.2

(4)ln .a （5）.e （6）.e 六、1. 函数32()395f x x x x =--+的单增区间是()()13-∞-+∞，，

,单减区间是()13-，;极大值是(1)6f -=,极小值是(3)26f =-; 极值点为121,3x x ==.凸区间是()1-∞，

，凹区间是()1+∞，;拐点是()110-，. 2.(1) 成本函数为 ()200060C q q =+．

收入函数为211()(100)100.1010

R q p q q q q q =?=-?=- (2) 利润函数为21()()()402000.10

L q R q C q q q =-=-- 令()0,L q '= 得 200.q =

因为200q =是定义域内唯一的驻点, 所以当产量为200吨时利润最大．

3.边际成本为'()C x

= 边际收入为25()(1)R x x '=+.

利润函数为5()()() 3.1x L x R x C x x =-=

-+ 边际利润为

25()(1)L x x '=+4. '()2ln 2.d p E Q p p Q

=?=- (3)23ln 26ln 2.d E =-??=- 5. 3

21(19).6a K a ρ+=

《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---

高等数学第二章练习及答案

第二章一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处（） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （） 4. 极值点一定是驻点. （） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是（） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是（） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

高等数学第二章复习题及答案

高等数学第二章复习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学习题集及解答第二章一、填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1 ()x f x e -=，则0 _____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________ (ln 2)f '''= 。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________ a = 。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________ ()f x '-=。 9、()(1)(2) ()f x x x x x n =+++，则_________________ (0)f '= 。 10、ln(13)x y -=+，则____________________ y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________00lim (2)() x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy =。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 0x x f x x x λ ?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。

高等数学I(专科类)测试题

考试科目:《高等数学》高起专一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设11f x x =-（），则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10 lim(12)x x x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 2 20lim (2) x x sin x → (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________. 7. 函数()f x = 的定义域是__________ 8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2 x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=_______.

11. 4lim(1)x x x →∞-=_____. 12. 3232lim 35 x x x x x →∞+--+=_____. 三.解答题(满分52分) 13. 求 45lim()46 x x x x →∞--. 14. 求 0x →. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x →∞-+. 16. 求 2lim x →-. 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤??=?>?+? , 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。 19. 若 33lim 12 x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的值。附：参考答案：一．选择题 (每题4分，共20分) 1）a 2）d 3）c 4）a 5）c 二.填空题(每题4分，共28分) 6）2 35x x ++ 7）12x -<<

高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 1 x →= . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2 1 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

14级《高等数学》(第二章)统测试卷答案

上海立信会计学院2014～2015学年第一学期 14级《高等数学》（第二章）统测试卷答案（考试时间90分钟，闭卷）共 4 页一、单项选择题（每题2分，共20分） 1．设周期函数)(x f 在),(∞+-∞内可导，周期为4，又12) 1()1(lim -=--→x x f f x ，则 )(x f y =在点))5(,5(f 处的切线的斜率为 D A .2 1 B .0 C .1－ D .2－ 2．设函数)(x f 在点0=x 处连续，且1) (lim 2 20=→h h f h ，则 C A .0)0(=f 且)0('-f 存在 B .1)0(=f 且)0(' -f 存在 C .0)0(=f 且)0('＋f 存在 D .1)0(=f 且)0(' ＋f 存在 3．设??? ??≤>-=0 ) (0cos 1)(2x x g x x x x x f 其中)(x g '是有界函数，则)(x f 在0=x 处 D A .极限不存在 B .极限存在，但不连续 C .连续，但不可导 D .可导 4．设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数|)(|x f 在点a x =处不可导的充分条件是 A .0)(=a f 且0)(='a f B .0)(=a f 且0)(≠'a f B C .0)(>a f 且0)(>'a f D .0)('x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内 A .0)(<'x f ，0)(<''x f B .0)(<'x f ，0)(>''x f C C .0)(>'x f ，0)(<''x f D .0)(>'x f ，0)(>''x f 9．设函数?? ??? =≠=0 001sin ||)(2 x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处 C A .极限不存在 B .极限存在但不连续 C .连续但不可导 D .可导