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广义虎克定律

广义虎克定律
广义虎克定律

12 广义虎克定律

在弹性力学中,我们由弹性变形过程是一个可逆过程这个前提出发,依据热力学分析,得到了应力分量ij σ是应变分量ij ε的单值函数的结论. 加上小变形的假设,可将应力按泰勒展开,并略去二阶及二阶以上的高阶小量. 我们还假定物体未变形时内部没有应力,得到

kl ijkl ij c εσ= (12-1)

式中ijkl c 称为广义弹性常数. (12-1)式也可以写成

kl ijkl ij b σε= (12-2)

式中ijkl b 称为柔性系数.

13 各向同性物体的广义虎克定律

13.1 一般的表示

(12-1)式中ijkl c 为一个四阶张量,共81个元素. 由于形变张量是对称的,所以将指标i 与j , k 与l 互易,或将i ,j 与k ,l 成对地互易之后,乘积kl ij εε并不改变. 由此可见,张量ijkl c 也可以有这个性质,即当指标互易时具有如下的对称性质:

klij ijlk jikl ijkl c c c c === (13-1)

经计算可证实,四阶张量的分量中具有以上对称性质的分量,在一般情形中有21个. 因此,对极端各向异性的材料,也只有21个独立的弹性常数. 至于具有三个正交的弹性对称面的物体,则具有9个独立的弹性常数,这样的物体称为正交各向异性体. 正交各向异性体的弹性系数矩阵具有如下的形式:

?????????

? ?

?6655

44

33

2322131211

000000000000c c c c c c c c c 对称

对于各向同性体,利用坐标轮换时应变能的不变性和坐标轴选取的任意性可以证明,独立的弹性常数减少到只有2个.

各向同性材料的弹性常数矩阵为

??

?

????

?

?

?

??+++G G G G G G

000000200020002对称λλλλλλ

广义虎克定律可写为

.

2,2,2,2,

2,2121233333131222223231111εσλθεσεσλθεσεσλθεσG G G G G G =+==+==+= (13-2) 或者简写为

ij ij ij G λθδεσ+=2 (13-3)

其中u div 321332211=++=++==εεεεεεεθii 为体积应变或应变张量的第一不变量,ij δ为Kroneker 符号.

广义虎克定律也可以写成以应力分量表示应变分量的形式:

??

??????+-=

ij ij ij I G G δλλ

σε1)23(21 (13-4) 其中3322111σσσσ++==Θ=ii I 为应力张量的第一不变量.

13.2 弹性常数及其相互之间的关系

常用的弹性常数有λ、G 、E 、μ、K . 其中λ和G 称为拉梅常数,G 又称为剪切模量或刚性模量. E 称为杨氏弹性模量,μ称为泊松比或横向变形系数,K 称为体积弹性模量.

G 可以利用纯剪切试验直接测得, 此时τσ=12, 其余应力分量均为零,根据(13-2),

G 2/12τε=. 因此测得τ和12ε即可求得G.

E 和μ可以利用单轴拉伸试验测得,此时σσ=11,其余0312*******=====σσσσσ.

11111σE

ε=

, 11113322σE εεεμ

μ-=?-== (13-5)

由广义虎克定律(13-2)

???

?

?

+=+=+=λθελθελθεσ3322111120202G G G (13-6) 将上三式相加得到

)2G 3/(11+=λσθ

将上式代入(13-6)的第一式得到

G

G G E ++=

λλ)

23( (13-7)

代入(13-6)的第二式或第三式得到

)

(2G +=

λλ

ν (13-8)

(13-7)、(13-8)也可以化为

)21)(1(μμμλ-+=

E , )

1(2μ+=E

G (13-9)

利用(13-9)可将虎克定律表示为如下更常用的形式

[][][])

()

)(2211333311332222332211111

(1

1

σσμσεσσμσεσσμσε+-=+-=+-=

E

E E ??

??

?

????

+=+=+=

121231312323111σμεσμεσμεE E E

(13-10)

ij ij ij E

E δσμ

σμε031-+=

(13-11) 其中3/3/3/)(13322110I =Θ=++=σσσσ,1I 为应力张量第一不变量,ij δ为Kroneker 符号.

在各向均匀压力试验中,p -===332211σσσ, 0312312===σσσ, 将上述应力分量的值代入广义虎克定律公式(13-2)得到

λθε+=-112G p , λθε+=-222G p λθε+=-332G p

将上面三式相加就得到

θλ)23(3G p +=-

定义体积变形模量K 为

θ/p K -=

就得到

G K 3

2

+=λ (13-12)

可推出五个弹性常数之间的关系, 结果如下:

,9)

3(313 )21)(1(323)2(212E

K E K K K E G K E G G E G G --=+=-+=-=--=-=

μμμμμμμλ

E K KE

K E K G -=

+-=+=-=-=93)1(2)21(3 )1(2)(232)21(μμμλμμλ K

E

K G K G K G E K G 63)3(223 123)(2-=

+-=-=-=+=μλλλμ )21(339)1(2 3)(9)21)(1()23(μμλλμμμλλλ-=+=+=--=-+=++=K G

K KG G K K K G G G E

.)

21(3)3(3 )21(3)1(23)1(32μμμμμλλ-=-=-+=+=+=E

E G GE G G K (13-13)

.12+ ,21μ

μ

λλμλ-=-=+G G G (13-14)

心理学的几个著名定律

◎韦奇定律 ——不要让闲话动摇了您的意志 即使您已经有了自己的瞧法,但如果有十位朋友的瞧法与您相反,您就很难不动摇。这种现象被称为“韦奇定律”。它就是由美国洛杉矶加州大学经济学家伊渥、韦奇提出的。 韦奇定律有以下观点: 一、一个人能够拥有自己的主见就是一件极其重要的事情; 二、确认您的主见就是正确的并且不就是固执的; 三、未听之时不应有成见,既听之后不可无主见; 四、不怕众说纷谈,只怕莫衷一就是。 不要让闲话动摇了您的信念。一旦确立了自己的目标,就要一直走下去,如果自己觉得那就就是自己想要的,就不要在乎别人的瞧法,努力达成自己的人生目标。 ◎巴纳姆效应 认识自己,心理学上叫自我知觉,就是个人了解自己的过程。在这个过程中,人更容易受到来自外界信息的暗示,从而出现自我知觉的偏差。即所谓的“从众”。 要避免巴纳姆效应,客观真实地认识自己,有以下几种途径: 第一,勇敢地面对自己。 学会正确瞧待自己的优缺点,不掩耳盗铃,也不自欺欺人,切莫以己之短比人之长,或以己之长比人之短。认识了解自己,从容面对自己的一切。不要觉得自己有“缺陷”就要把“缺陷”用某种方式掩盖起来,这样的人

后果只就是自己骗了自己。 第二,培养一种收集信息的能力与敏锐的判断力。 判断力就是一种在收集信息的基础上进行决策的能力,信息对于判断的支持作用不容忽视,没有收集相当数量的信息,很难做出明智的决断。没有人天生就拥有明智与审慎的判断力,所以需要我们主动去培养自己这种能力。 第三,以人为镜,通过与自己身边的人在各方面的比较来认识自己。 在比较的时候,对象的选择至关重要。要根据自己的实际情况,选择条件相当的人来进行比较,找出自己在群体中的合适位置,这样认识自己,才会相对客观。 第四,要善于总结。 通过对重大事件,特别就是重大的成功与失败认识自己。重大事件中获得的经验与教训可以提供了解自己的个性、能力的信息,从中发现自己的长处与不足。越就是在成功的巅峰与失败的低谷,最容易暴露自己的真实性格。 ◎杜根定律 ——自信比什么都重要 D、杜根就是美国橄榄球联合会前主席,她曾经提出这样一个说法:强者未必就是胜利者,而胜利迟早都属于有信心的人。换句话说,您若仅仅接受最好的,您最后得到的常常也就就是最好的,只要您有自信。这就就是心理学上的“杜根定律”。 在体育竞技中,自古希腊以来,人们一直试图达到4分钟跑完l英里

几何五大定理

第一大定理:共角定理(鸟头定理) 即在两个三角形中,它们有一个角相等(互补),则它们就是共角三角形。它们的面积之 比,就是对应角(相等角、互补角)两夹边的乘积之比。 雪帆华数: 这个不建议记,符合这种的直接用,不符合这种的呢?还不如直接记推导的思 路。
2013-5-20 22:15 回复
第二大定理:等积变换定理。 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形(底)高相等,面积之比等于高(底)之比。 3、在一组平行线之间的等积变形。
如图所示,S△ACD=S△BCD;反之,如果 S△ACD=S△BCD,则可知直线 AB 平行于 C D。 第三大定理:梯形蝴蝶定理。
这个为了竞赛,不得不记

对,竞赛的数学图形题都是这一类型的题。 任意四边形中,同样也有蝴蝶定理。
2013-5-20 22:15 回复 2013-5-22 13:22 回复
上述的梯形蝴蝶定理,就是因为 AD‖EC 得来的。
如果知道鸟头定理是怎么推导的,这个简直就是小菜。
2013-5-20 22:16 回复
:是的,共角定理。
2013-5-21 12:22 回复
这个很好,尤其是由△ABC 和△ADC 的面积得出对角线的比,对于任意四边形都可以,可 以当个定理来用了。
2013-5-21 19:17 回复
第四大定理:相似三角形定理。 1、相似三角形:形状相同,大小不相等的两个三角形相似; 2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质:1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线!

浅谈几个著名的大数定律及应用

2010.No34 4 摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,是随机现象统计规律性的具体表现,本文介绍了几种常用的大数定律,并给出一些简单应用。 关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率 1 引言 “大数定律”本来是一个数学概念,又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值。比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们就会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。 2 几个大数定律 在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义。 定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列(简称随机序列),若存在随机变数ξ,使对任意ε>0,恒有: 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ(ξ也可以是一个常数),并用下面的符号表示: 定义2[2]设 为一随机序列,数学期望E(ξn )存在,令 ,若 ,则称随机序列 服从大数定律,或者说大数法则成立。 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,则对于任意正数ε,不等式 都成立。不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下,只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法,这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 大数定律形式很多,我们仅介绍几种最常用的大数定律。定理1[1] (切比雪夫大数定律) 设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立,它们的数学期望依次为a 1,a 2,…a n 方差依次为σ12,σ22,…σn 2而且存在正常数k,使得对一切i=1,2,…,有σi 2

广义胡克定律

§10.4 空间应力状态及广义胡克定律 一、空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定。于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由(σ1、σ3)或(σ1、σ2)确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16(d)所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D 点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍。 图10-16 空间应力状态及其应力圆 二、最大、最小正应力和最大剪应力 从图10-16(d)看出,在三个应力圆中,由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆,又称极限应力圆。画阴影线的部分内,横坐标的极大值为Al点,而极小值为B1点,因此,单元体正应力的极值为: σmax=σ1,σmin=σ3 单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。

而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标,即等于该应力圆半径: 13 max 2σστ-= Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450 。 三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= (a ) 此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出: 'E σ εμεμ=-=- (b ) 在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即 G τγ= 或 G τγ= (c ) 对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示。根据剪应力互等定律,τxy =-τyx ,τxz =-τzx ,τyz =-τzy ,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力(图10-17)和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变只与正应力有关,与剪应力无关;而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变。因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用(a )、(b )、(c )三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可。

世界10大定律

世界10大定律 世界10大定律指的是“蝴蝶效应”、“青蛙现象”、“鳄鱼法则”、“鲇鱼效应”、“羊群效应”、“刺猬法则”、“手表定律”、“破窗理论”、“二八定律”和“木桶理论”。 蝴蝶效应上个世纪70年代,美国一个名叫洛伦兹的气象学家在解释空气系统理论时说,亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动,也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。蝴蝶效应是说,初始条件十分微小的变化经过不断放大,对其未来状态会造成极其巨大的差别。有些小事可以糊涂,有些小事如经系统放大,则对一个组织、一个国家来说是很重要的,就不能糊涂。 青蛙现象把一只青蛙直接放进热水锅里,由于它对不良环境的反应十分敏感,就会迅速跳出锅外。如果把一个青蛙放进冷水锅里,慢慢地加温,青蛙并不会立即跳出锅外,水温逐渐提高的最终结局是青蛙被煮死了,因为等水温高到青蛙无法忍受时,它已经来不及、或者说是没有能力跳出锅外了。 青蛙现象告诉我们,一些突变事件,往往容易引起人们的警觉,而易致人于死地的却是在自我感觉良好的情况下,对实际情况的逐渐恶化,没有清醒的察觉。 鳄鱼法则其原意是假定一只鳄鱼咬住你的脚,如果你用手去试图挣脱你的脚,鳄鱼便会同时咬住你的脚与手。你愈挣扎,就被咬住得越多。所以,万一鳄鱼咬住你的脚,你唯一的办法就是牺牲一只脚。 譬如在股市中,鳄鱼法则就是:当你发现自己的交易背离了市场的方向,必须立即止损,不得有任何延误,不得存有任何侥幸。 鲇鱼效应以前,沙丁鱼在运输过程中成活率很低。后有人发现,若在沙丁鱼中放一条鲇鱼,情况却有所改观,成活率会大大提高。这是为什么呢? 原来鲇鱼在到了一个陌生的环境后,就会“性情急躁”,四处乱游,这对于大量好静的沙丁鱼来说,无疑起到了搅拌作用;而沙丁鱼发现多了这样一个“异已分子”,自然也很紧张,加速游动。这样沙丁鱼缺氧的问题就迎刃而解了,沙丁鱼也就不会死了。

第十九讲平面几何中的几个著名定理

第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量,几千年来,人们对几何学进行了深入的研究,现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支.人们从少量的公理出发,经过演绎推理得到不少结论,这些结论一般就称为定理.平面几何中有不少定理,除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理,以这些定理为基础,可以推出不少几何事实,得到完美的结论,以至巧妙而简捷地解决不少问题.而这些定理的证明本身,给我们许多有价值的数学思想方法,对开阔眼界、活跃思维都颇为有益.有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受.下面我们来介绍一些著名的定理. 1.梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus,约公元100年,他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》,着重讨论球面三角形的几何性质.以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中,是证明点共线的重要定理. 定理一直线与△ABC的三边AB,BC,CA或延长线分别相交于X,Y,Z,则 证过A,B,C分别作直线XZY的垂线,设垂足分别为Q,P,S,见图3-98.由△AXQ∽△BXP得

同理 将这三式相乘,得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交,而相交在延长线上,同样可证得上述结论,但一定要有交点,且交点不在顶点上,否则定理的结论中的分母出现零,分子也出现零,这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA, 仍然成立. (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立,即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X,Z,在BC的延长线上取点Y,如果 那么X,Y,Z共线”.梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线. 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF,∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D,求证:D,E,F共线. 证如图3-99有 相乘后得

心理学几个著名定律

◎韦奇定律 ——不要让闲话动摇了你的意志 即使你已经有了自己的看法,但如果有十位朋友的看法和你相反,你就很难不动摇。这种现象被称为“韦奇定律”。它是由美国洛杉矶加州大学经济学家伊渥.韦奇提出的。 韦奇定律有以下观点: 一、一个人能够拥有自己的主见是一件极其重要的事情; 二、确认你的主见是正确的并且不是固执的; 三、未听之时不应有成见,既听之后不可无主见; 四、不怕众说纷谈,只怕莫衷一是。 不要让闲话动摇了你的信念。一旦确立了自己的目标,就要一直走下去,如果自己觉得那就是自己想要的,就不要在乎别人的看法,努力达成自己的人生目标。 ◎巴纳姆效应 认识自己,心理学上叫自我知觉,是个人了解自己的过程。在这个过程中,人更容易受到来自外界信息的暗示,从而出现自我知觉的偏差。即所谓的“从众”。 要避免巴纳姆效应,客观真实地认识自己,有以下几种途径:第一,勇敢地面对自己。 学会正确看待自己的优缺点,不掩耳盗铃,也不自欺欺人,切莫以己之短比人之长,或以己之长比人之短。认识了解自己,从容面对自己的一切。不要觉得自己有“缺陷”就要把“缺陷”用某种方式掩盖起来,

这样的人后果只是自己骗了自己。 第二,培养一种收集信息的能力和敏锐的判断力。 判断力是一种在收集信息的基础上进行决策的能力,信息对于判断的支持作用不容忽视,没有收集相当数量的信息,很难做出明智的决断。没有人天生就拥有明智和审慎的判断力,所以需要我们主动去培养自己这种能力。 第三,以人为镜,通过与自己身边的人在各方面的比较来认识自己。 在比较的时候,对象的选择至关重要。要根据自己的实际情况,选择条件相当的人来进行比较,找出自己在群体中的合适位置,这样认识自己,才会相对客观。 第四,要善于总结。 通过对重大事件,特别是重大的成功和失败认识自己。重大事件中获得的经验和教训可以提供了解自己的个性、能力的信息,从中发现自己的长处和不足。越是在成功的巅峰和失败的低谷,最容易暴露自己的真实性格。 ◎杜根定律 ——自信比什么都重要 D.杜根是美国橄榄球联合会前主席,他曾经提出这样一个说法:强者未必是胜利者,而胜利迟早都属于有信心的人。换句话说,你若仅仅接受最好的,你最后得到的常常也就是最好的,只要你有自信。这就是心理学上的“杜根定律”。 在体育竞技中,自古希腊以来,人们一直试图达到4分钟跑完l英

广义胡克定律

广义胡克定律 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

§空间应力状态及广义胡克定律 一、空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定。于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由(σ1、σ3)或(σ1、σ2)确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16(d)所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍。 图10-16 空间应力状态及其应力圆 二、最大、最小正应力和最大剪应力

从图10-16(d)看出,在三个应力圆中,由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆,又称极限应力圆。画阴影线的部分内,横坐标的极大值为Al 点,而极小值为B1点,因此,单元体正应力的极值为: σmax =σ1,σmin =σ3 单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。 而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标,即等于该应力圆半径: 13 max 2σστ-= Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450。 三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= (a ) 此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出: 'E σ εμεμ=-=- (b ) 在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即 G τγ= 或 G τγ= (c )

连续介质力学几个定律汇总情况

第二章连续介质力学的基本定律 在第一章中,我们仅考察了连续介质运动的运动学描述,而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念,并给出连续介质力学的基本定律:质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中,物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力:(1)一个物体的两部分之间的接触力;(2)由外界作用于物体边界上的接触力;(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面,由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的,因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力,或简称面力;由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点,因此通常把它称为体积力,或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n,表面力的存在形式为 ()n t X t t,, =(2.101) 通常,我们规定()n t X t t,, =指向接触面S的外法向时为正,反之为负(见图2.1). 现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态,我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B,如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面,B部分对A部分一 点的作用,便可以用A部分截面上的表面力t n 来表征,我们称之为应力矢量。反过来,考虑A部分对B部分作用,按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量 t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处,并且大小相等,方向相反。即 t t n n =-(2.102) 对于物体内部的一点P,通过它可以有无穷多个方向的截面,而对于不同 方向的截面,应力矢量也就不同,这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态,设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为

(完整版)广义胡克定律

广义胡克定律 强度理论 [知识回顾] 1、 轴向拉(压)变形 在轴向拉(压)杆件内围绕某点截取单元体,单向应力状态(我们分析过) 横向变形 2)纯剪切 [导入新课] 胡克定律反映的是应力与应变间的关系,对复杂应力状态,其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。 [新课教学] x x E εσ=E x x y σ μμεε-=-=γ τG =

广义胡克定律 强度理论 一、广义胡克定律(Generalized Hooke Law ) 1、主应力单元体-叠加法 只在1σ作用下:1方向 只在2σ作用下:1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变 只在3σ作用下:1方向 即 同理: 2、非主应力单元体 可以证明:对于各向同性材料,在小变形及线弹性范围内, 线应变只与正应力有关,而与剪应力无关; 剪应变只与剪应力有关,而与正应力无关, 满足应用叠加原理的条件。 E 1 1σε= 'E 21σ με-=''E 31 σ με-='''111εεεε'''+''+'=()[] 32111 σσμσε+-=E ()[]1322 1 σσμσε+-=E ()[]21331σσμσε+-=E [] [] [] ??? ? ?????+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε??????? ??===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形,线弹性范围内,符合叠加原理

3、体积应变 单元体,边长分别为dx 、dy 和dz 。在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。 变形前单元体的体积为 变形后,三个棱边的长度变为 由于是单元体,变形后三个棱边仍互相垂直,所以,变形后的体积为 dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++= 将上式展开,略去含二阶以上微量的各项,得 dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是,单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-= V V V θ称为体积应变(或体应变) 。它描述了构件内一点的体积变化程度。 5、体积应变与应力的关系 将广义虎克定律(8-22)代入上式,得到以应力表示的体积应变 式中 K 称为体积弹性模量,m σ是三个主应力的平均值。体积应变θ只与平均应力m σ有 关,或者说只与三个主应力之和有关,而与三个主应力之间的比值无关。 体积应变θ与平均应力m σ成正比,称为体积虎克定律。 dxdydz V =dz dz dz dy dy dy dx dx dx )1()1()1(332211εεεεεε+=++=++=+)21(3μ-= E K )(31321σσσσ++=m K E m σσσσμθ= ++?-==3)21(3321)(21321321σσσμ εεεθ++-=++=E

几何中的著名定理大全

几何中的著名定理 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 2、射影定理(欧几里得定理) 3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL 9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上, 11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理:到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB 分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理:设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形, 21、爱尔可斯定理1:若△ABC和三角形△都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2:若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理:(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB 于R,、∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理:设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R,则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 28、塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理:(略) 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线)

初等数论中的几个重要定理(竞赛必备)

初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的,且对于任意的,若=1,则有且仅有一个是对模的剩余,即。并定义中和互质的数的个数, 称为欧拉(Euler)函数。 这是数论中的非常重要的一个函数,显然,而对于,就是1,2,…, 中与互素的数的个数,比如说是素数,则有。 引理:;可用容斥定理来证(证明略)。 定理1:(欧拉(Euler)定理)设=1,则。 分析与解答:要证,我们得设法找出个相乘,由个数我们想到中与互质的的个数:,由于=1,从而 也是与互质的个数,且两两余数不一样,故 (),而()=1,故。

证明:取模的一个既约剩余系,考虑,由 于与互质,故仍与互质,且有,于是对每个都能找到唯一的一个,使得,这种对应关系 是一一的,从而,。 ,,故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法,使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2:(费尔马(Fermat)小定理)对于质数及任意整数有。 设为质数,若是的倍数,则。若不是的倍数,则 由引理及欧拉定理得,,由此即得。 定理推论:设为质数,是与互质的任一整数,则。 定理3:(威尔逊(Wilson)定理)设为质数,则。 分析与解答:受欧拉定理的影响,我们也找个数,然后来对应乘法。

证明:对于,在中,必然有一个数除以余1,这是因为则好是的一个剩余系去0。 从而对,使得; 若,,则,,故 对于,有。即对于不同的对应于不同的,即中数可两两配对,其积除以余1,然后有,使,即与它自己配对,这时,,或, 或。 除外,别的数可两两配对,积除以余1。故。定义:设为整系数多项式(),我们把含有的一组同余式 ()称为同余方组程。特别地,,当均为的一次整系数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足: ,则剩余类(其中)称为同余方程组的一个解,写作 定理4:(中国剩余定理)设是两两互素的正整数,那么对于任意整数 ,一次同余方程组,必有解,且解可以写为:

虎克定律

首先了解一下应力集中的原理。 应力在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂;使物体产生疲劳裂纹。所以孔的存在就降低了墙的整体结构强度,更容易开裂。使其破坏所需的力相对要小。 在混凝土墙上打孔,会产生应力集中现象,应力和应变都将会发生变化。胡克定律给出应力和应变的关系,可以找到打孔的最佳位置。 钢筋混凝土是一种非弹性体,如果物体是非均匀材料构成的,物体内各点受力后将有不同的弹性效应,因此一般的讲,弹性系数Cmn 是空间坐标x,y,z的函数。弹性系数随坐标变化。 根据应力集中原理物体内部应力越大,破坏该物体所需的外力就越小,计算出,一般成人所具有的外力平均值F,作为破坏外力,那么就有个相对应的临界应力,如果内部应力超过这个临界值,就可以砸碎这堵墙。那么首先要建立关于临界应力的力学模型,得出其中的关系。 根据实际情况建立空间直角坐标系,其中x,y,z是该坐标系上的点, 应力σ根据定义是x,y,z的坐标函数,建立空间直角坐标系,得出一组三向方程。应变ε根据定义也是x,y,z的坐标函数,得出一组偏微分方程。 胡克定律关于应力和应变的关系σ=E?ε,这个公式需要展开成一般形式 因为是非弹性体其中弹性系数Cmn 是空间坐标x,y,z的函数。 根据相对应的关系列出相应的一组关于x,y,z的方程。就是所谓的数学模型,接下来的问题,就是解决这个数学问题,根据实际情况,x,y,z 的解可能是几组值,对应到空间坐标系上的一系列点,这些点投影到zoy平面上,就是我们一般正面对的平面,就是那堵墙,就是这些点的投影组成了X形状。 偶只是提供一个思路。关于上述方程,基本上都是涉及高等数学的求解方法,所以人工计算还是很麻烦。但是,一般工程学都有相应的计算软件,实在没有自己写个相应的计算程序也可以解决。只要建立正确的力学模型,然后分析出正确的数学模型,输入相关参数,计算机就可以算得想要的结果。因为MS参与了监狱的维修,所以知道材料的弹力系数以及一些参数。 求出x,y,z坐标后,当然要记下来,最容易记住的就是图形,所以MS就画到了恶魔的脸上了,然后又投影到墙上。 应变是材料受力后发生的变形,一般来讲是和应力成正比。E是弹性模量

购买10大定律

很多人断舍离很久了,还是会有忍不住买的冲动,怎么办呢? 这说明自己在购买的时候脑子还是糊涂的,不是清醒的,原则是模糊的,不是清晰的。 你只要试着问问自己这几个问题,就能有效的管住手,不用剁手了。 1、为什么买这个物品?是好看,是有用? 以要买一条牛仔裤为例,这个裤子很好看,自己也喜欢,裤子当然有用了。 2、是必须要买吗,不买不行吗? 如果我真的缺少,不买肯定不行,如果不缺少,这这一条就停止了。 3、是自己所能挑选所能支付能力之内最好的吗? 一般人不是,因为贪图便宜还是人的本能。这个所谓最好不是去做冤大头,而是要物有所值,在我看来几百块的牛仔裤已经足够了,买几千块的没有必要,不是去追求那个最好。 4、买回来放哪里? 放衣柜里,衣柜里还有空间吗? 5、这件物品能带给自己什么益处? 它和以前的牛仔裤有什么不同?除了新之外。是更舒服,更合体,还是别的什么? 6、自己有相同或者类似的物品吗? 大部分时候是有的,谁没有几条牛仔裤呢? 7、买回来使用频率是多高? 会经常穿吗,还是一周一次,一月一次?有时候看上一个小礼服,买回来却很少有参加酒会的机会的。 8、保养、清洗、维修成本高吗? 真丝等高档面料,购买之前就要想好,越好的东西,伺候它的成本越高,你是让它为你服务,还是让自己为它服务? 9、没有这件物品,我的生活会受到什么影响? 没衣服穿了吗?影响大吗,还是小? 10、如果不再需要了,处理起来方便吗? 买个稀奇古怪又少见的物品,就等着纠结吧。当你不用的时候,扔掉可惜,卖又没人要。就像买车一样,保有量高的车永远是保值率高的。 只要你问问自己这10个问题,回答都是yes,买回来的东西一定是合适的。有一个回答是no,就不要买。 你可以把这篇文章放入收藏,或者转发到朋友圈,或者手抄或者打印放到随身衣物里,或者贴出来挂在墙上。 每次购物的时候,把这10条作为铁律来遵守,你一定能管住手,因为即使回答都是yes,商场也可能打烊了呢。 想买也要明天了,而一旦过夜,人就理智许多了。 不在冲动的时候做决定,始终应该是一个有益的人生准则了。

中国社会的几大“定律”

中国社会的几大“定律” 第一定律:官本位定律 中国的所有活动都是围绕“官”展开的。“普天之下莫非王土”,在过去,一切的一切都围绕皇帝运转,他是“太阳”,其他官员就是围绕太阳的行星,老百姓都是他们的私有财产,都是为他们服务的。无论宗教、科学、艺术都是围绕皇帝的“舒心”服务的。所以在中国就没有什么科学可言。比如我们的祖先发明了火药,拿来放烟火以供“官员”享乐或驱鬼神或吓唬老百姓用。直到后来传到欧洲,欧洲人将火药做成枪炮,世界顿时从冷兵器时代进入热兵器时代。张衡发明地动仪,对皇帝没什么用,所以后来有经历几千年,就没有发展了。皇帝为了追求长生不老,练仙丹,结果始终在追求“长生不老”违背自然规律的前提下毫无进展。而在国外却发展成了化学。我们哪天哪件事不是为了“官”在运转?芸芸众生只不过是一群驯顺的绵羊,皇帝和官吏执长鞭鞭笞天下,他们是牧羊人。一切权力归于统治者,是统治者的私有物。正是这种权力私有的特性,导致了无休止的争夺。象是一个金苹果,被众人抢来抢去。“高才捷足”者从血泊中抢到它,然后“坐天下”,享用整个国家。“食色性也”,这是不全面的,那是孔老夫子蒙蔽我们的。中国人有超越食欲和性欲的更重要的欲望。那样的饥渴,那样的迫不及待,那样的不顾一切,那样的不知羞耻,那样的不择手段,那样的心毒手狠,心心所念,只是为了权力,这就是“权欲”。 第二定律:皮毛定律 “皮之不存,毛将焉附”。中国的知识分子与统治阶级之间就是皮与毛的关系,“学成文武艺,货与帝王家”。这句话,写的是中国知识分子千年之病,千年之痛。中国的知识分子历来充当的就是“说客”,应用科举的方式,使那些出身于豪门或是寒门的士子们都有了进身之阶。达到洗脑目的,所以中国的知识分子就没了独立精神与独立思想,更没有追求科学的献身精神。有人说知识分子是社会的良心。我以为这种说法并不准确,至少在我们中国不可以这样说。如果要用社会的良心去定义知识分子,中国文人的大多数都会被排除在外,特别是站在前台的“知识分子”。治国者为他摆下了盛宴,有颜如玉、黄金屋、千盅粟,

圆的几个重要定理

第二讲-圆的几个重要定理 中考要求 内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆;能 利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质知道圆的对称性,了解弧、弦、圆心 角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单 问题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系;了解直 径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数,能用圆周角的知 识解决与角有关的简单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 知识点睛 一、圆周角定理 圆心角和圆周角 1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 2.圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 3.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等. 圆是平面几何中的一个重要内容.由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题,所以它经常出现在数学竞赛中. 圆的基本性质有: ⑴直径所对的圆周角是直角. ⑵同弧所对的圆周角相等. ⑶经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦. 二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,其它各组量都相等。 三、相交弦定理(选讲) 相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等. 如图,弦AB和CD交于O ⊙内一点P,则PA PB PC PD ?=?. 2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page 1 of 8

连续介质力学几个定律汇总

第二章 连续介质力学的基本定律 在第一章中,我们仅考察了连续介质运动的运动学描述,而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念,并给出连续介质力学的基本定律:质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中,物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力:(1)一个物体的两部分之间的接触力;(2)由外界作用于物体边界上的接触力;(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面,由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的,因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力,或简称面力;由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点,因此通常把它称为体积力,或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ,表面力的存在形式为 ()n t X t t ,,= (2.101) 通常,我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正,反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态,我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ,如图2.3所示。此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面,B 部分对A 部分一点的作用,便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征,我们称之为应力矢量。反过来,考虑A 部分对B 部分作用,按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处,并且大小相等,方向相反。即 t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ,通过它可以有无穷多个方向的截面,而对于不同方向的截面,应力矢量也就不同,这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态,设想在一点P 的附近任意给定一个单位法矢量为 (),cos ,cos ,cos 321ααα=n ()n e n e n e ???=321,, (2.103) 的平截面。相应地,过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体,如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上,都受有物体的其余部分给它的作用力,不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ?,在PBC ,PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11?、-t A 22?与-t A 33?,其中?A 与?A i 分别为各微小平面的面积,作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。 现在假设对物体的任何部分,特别是对微小四面体ABCP 而言,动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体),然而,它却不能用实验直接验证,因为不可能做内部表面接触力的直接测定,这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。描述一点是应力张量,描述通过一点的某一截面是应力矢量。 对于微小四面体ABCP ,柯西定律给出 t A t A t A t A b V ?????---+112233ρ

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