重大数理方程一章练习题

习题一

1、 求方程0=+x xy u u 的通解.

2、 在矩形域b y a x ≤≤≤≤0,0上求解泊松方程的边值问题。

???????====<<<<-=?====0,00,0)

0,0(0

0b y y a x x u u u u b y a x A u 3、 求二维拉普拉斯方程

=?u 202222=??+??y

u x u 的形如)(r u u =（022≠+=y x r ）的解. 提示 把02=?u 写成极坐标形式,就成了常微分方程.

4、 设)(?F ，)(ξG 是任意二次可微函数，21,λλ为常数，且21λλ≠，

验证)()(21y x G y x F u λλ+++=满足方程

0)(2121=++-xx xy yy u u u λλλλ .

5、 已知杆的长度为l ，0=x 的一端绝热，另一端温度保持为0u （0u 为已知数），初始温度为x l

u 0，求解细杆导热问题。 6、 长为的l 均匀杆，两端受压力从而长度缩为εl l 2-，放手后自由振动，求此问题的定解问题.

7、 求解定解问题：

1）?????=-====-0)0,(,2)0,(0),(),0(022x u lx x x u t l u t u u a u t x xx tt l

x t t l x ≤≤≥><<000,0

2）??

???==-===0),1(,0),0()1()0,(,2sin )0,(2t u t u x x x u x x u u a u t xx tt π 0,10><

9、 求解混合问题

1）???

????====--β

π?),(,0),0()

()0,(2

sin

),(),(4/222t u t u x x u x

e t x u a t x u x t a xx t

)0,0(><

()0,(),(,),0()

(),(),(2

x g x u B

t l u A t u x f t x u a t x u xx t

10、解固定值问题：

???==<<=++0)1()()

1(0'"y e y e x y xy xy λ

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

数理方程练习题(1)

一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=><

数学物理方法第二次作业答案

第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数理方程第二版 课后习题答案教学教材

数理方程第二版课后 习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为

在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为：

数理方程习题集综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个

数理方程练习题

第二章 定解问题与偏微分方程理论 习题2.1 1. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。 2. 长为L ，均匀细杆，x = 0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。 3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x =0处。导出此杆的振动方程。 4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x =0端固定，以槌水平击其x =L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。 习题2.2 1. 一半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u 1的介质发生热交换，且热交换的系数为k 1。试导出杆上温度u 满足的方程。 4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x ?，两端满足下列边界条件之一： （1）一端（x =0）绝热，另一端（x = L ）保持常温u 0； （2）两端分别有热流密度q 1和q 2进入； （3）一端（x =0）温度为u 1(t )，另一端（x = L ）与温度为)(t θ的介质有热交换。 试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。 习题2.4 1. 判断下列方程的类型： （1）04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ； （2）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ； （3）02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ； （4）0=+yy xx xu u 。 2. 求下列方程的通解 （1）0910=++yy xy xx u u u ； （3）0384=++yy xy xx u u u 。 第三章 分离变量法 习题3.1 2. 求解下列定解问题

电子科大版数理方程课后习题答案

一 准备（Preliminaries ） A 单摆的数学模型: 牛顿第二定律: F = m a a —物体加速度;F —合外力;m —物体质量 虎克定律: (1) f = –k x ; f —弹力;k —弹性系数; x —弹簧伸长 (2) p = Y ux ; Y —杨氏模量; ux —弹性体相对伸长 付里叶热传导定律: Q —热量;T —温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k (u |S – u 0) q —热流密度; u 0—外界温度;u|S —物体温度 B 几个有用的积分公式 2 ()()()2 2 2 (cos sin )cos Re( )sin Im( ) cos sin sin sin cos cos b i x x b a a b i x x b a a b i x x b a a b x x x b b a a a b b b a a a b b b a a a cx e e x i x dx i e e xdx i e e xdx i e x e e xdx x x x x xdx x x x x xdx e dx αβααβααβααααββαββαββαβα αββββ βββββ β+++-+=+=+=+= - =- + = - =??????+∞-∞ ? C 函数的Fourier 展开 θ θ sin 22mg dt d mL -=dT Q dx κ =-

{}(21)()sin 2n n X x x L π+??=??? ? 是正交函数系 二 练习(Exercise) P22 ex 2.1 竖直方向合力为零： (1)()cos ()()cos () (2)cos ()cos ()1 T x dx x dx gds T x x x dx x αρααα+++=+≈≈ {}???? ??=x L n x X n πsin )(10(,)()sin ()(,)sin 2n n L n n f x t f t x L L n f t f x t xdx L π π∞ ===∑?

矢量分析与数理方程总复习题

矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题 矢量和矢性函数 1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） k j i A 32++= k j i B 654++= 2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） ()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t 2++= 3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C -+=3，求() C B A ?? 4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t 2++= 求 ()dt t A d 和 ()dt t B d 5、如果 ()j i e ???sin cos += ① 求 ()()? ??d e d e =1 ， ② 证明 ()?e ⊥()?1e . 6、如果 ()j i e ???cos sin 1+-= 证明 ()()?? ?e d e d -=1 7、求不定积分 ()? ??d e ， ()? ??d e 1 。 8、计算不定积分 () ? +???d e 122 . 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r 。 方向导数和梯度 1、求 k j i l 22++= 的方向余弦 2、写出矢径 k z j y i x r ++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r 3、求矢性函数 () k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦 4、求函数2 2 2 z y x u ++=在() 1,0,1M 处沿k j i l 22++=的方向导数 5、求数量场 z y z x u 2 322+= 在点 () 1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数 6、求下列数量场的梯度 ① 2 2 2 z y x r ++=， ② ??? ? ? ?++=2 221 1z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 3 2 z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 623322 2 2 --++++=.

数理方程练习题.

数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程

222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题

2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??

数学物理方法习题解答(完整版)44767

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =Q ，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数理方程作业答案

1．一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长 度的重力为ρ g ，其ρ 中是弦的线密度，g 是重力加速 度。若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。 解：（1）设弦的微震动方程为：22222(,)u u f x t t x α??=+?? 依题意(,)f x t =-g ， 所以弦的微震动方程为：22222u u g t x α??=-?? （2）根据所给图形，利02()(,)|t L x u x t h L =-= 依题意，刚开始时，v=0.，所以0(,)|0t u x t t =?=? 又弦的两端固定，所以0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 所以定解问题为： 22222u u g t x α??=-?? 02(,)|t x u x t h L == 02 L x ≤≤ 02()(,)|t L x u x t h L =-= 2 L x L ≤≤ 0(,)|0t u x t t =?=? 用相似三角形，得：当02L x ≤≤，02(,)|t x u x t h L ==；

当2 L x L ≤≤时， 0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布 的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为：222u u cp k j r t x ??-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数 解：设导线内的热传导方程为：22 (,)u k u f x t t c x ρ??=+?? 依题意，(,)f x t =2j r c ρ 将其代入得 222u u cp k j r t x ??-=?? 3．长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、 热传导系数为k 、比热为c 。 （1）推导出杆的热传导方程； （2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位面积流入 的热量为q ），已知杆的初始温度分布为 ()2x L x - ，试写出相应的定解问题。 解:(1)根据热传导方程可得，导出杆的热传导方程为

数理方程8-11章习题精选(计算题)

数学物理方法习题精选 §8－3 1． ??? ?? ???? +===><<=-===.2sin 52,2)0;0(020 202x x l u l u t a u t l x u a u t l x x x xx t π，　 2． 222222220200 0,(0)0,1315cos cos cos 0 23252x x x l t t t u u a x l t x u u l a t x x x u x u l l l πππ====???-=<

数理方程练习题(作业)

数理方程练习题一（2009研） 1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程 222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 3. 求Cauchy 问题 2 2000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈ ? ? 的解． 4. 求解Cauchy 问题 200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞? ≥?? ==???

2 1||()0 ||a x a x x a ≤?∏=? >? 3 2 ()x f x e -= 7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研 究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。 200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00 tt xx t x x u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ?ψ?-=<<>? ==≤≤??==≥? 8. 散热片的横截面为矩形。它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则 处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题 0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y v y b u x v u x b V x x a +=<<<

数理方程考试习题类型

1. 根据给出的方程，指出它所描述得物理问题。 例：有 则次方程描述得物理 问题为:两边固定的弦振动 这题大家只需考虑第一类边界条件，即老师给的题目的边界条件都是第一类的。 2. 给出一个题目，直接写出方程，包括边界条件，初值； 3. 给出一个方程式，知道它的意义。如给出 如果此为热传导方程，则该式表示为：一个均匀的细杆两 边绝热。 4. 非齐次边界条件的齐次化。P47 (2.6.1)主要是知道怎么求w(x,t) 5.由 Laplace 方程的Poisson 公式 和平均值公式 由 只需将公式背下来就可以，不需推导。 6. 若在点M 处，有 方程(1)在点M 处是双曲型 τττθρρρρρρπθπd )()cos(221),(200220220?????????--+-=f r u .)(21)0(20?=πττπd f u ?????==??+??=?=)( 0,0 2222θρρf u y u x u u []),()()(1),(,112t u x t u t u l t x w +-=令 为此,0),(>?y x ∑?∞=?? ????-=10.sin sin )()(2),(n n a n n n x zdz z f b sh y b sh a y x u ββββ则?????≤≤==≤≤==<<<<=+=?.0,0),(),()0,(, 0,0),(,0),0(0,0,0a x b x u x f x u b y y a u y u b y a x u u u yy xx

若在点M 处，有 方程(1)在点M 处是椭圆型 若在点M 处，有 方程(1)在点M 处是抛物型 7.第四章。P92 大家将几个定义要熟知，以及左行波和右行波。 8.第五章的调和函数的基本解， 调和函数的积分表达式 拉普拉斯方程的基本解 平均值公式 后面的大题大概有三题，和老师给我们的那张试卷的八题相类似（最后一题不用考虑），希望大家好好看看。 ,0),(

数理方程题库

第一部分分离变量法 一、(1) 求解特征值问题 (2) 验证函数系关于内积 正交，并求范数 二、用分离变量法求解定解问题 的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的 值. 三、（方程非齐次的情形）求定解问题 四、（边界非齐次的情形）求定解问题 五、（Possion方程）求定解问题 六、求定解问题： 注意： 1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：

2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）； 3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。 第二部分 积分变换法 一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 ()()22222 00 ,, 0, ,t t u u a x t t x u x x u x x t ?ψ==???=-∞<<∞>????? =-∞<<∞????=-∞<<∞??? (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式 (2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式 二、用积分变换法求解定解问题 22 3 01,1, 0, 1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==??=>>?????=≥?? =>??? 注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题 第三部分 特征线问题 一、判断方程 的类型. 二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中 (1) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题

数理方程例题I

数学物理方程例题和习题 （2009-10-31） 一、二阶常微分方程常数变易法 二阶常微分方程初值问题 ?? ?='=>=+''β αω)0(,)0(0 ),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程：02=+''y y ω。利用辅助方程 022=+ωm ， ωi m ±= 得齐次方程通解 )sin()cos()(21x C x C x y ωω+= 将常数替换为待定的函数，即 )sin()()cos()()(x x v x x u x y ωω+= 有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人 为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得 在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式 0)sin()cos(='+'x v x u ωω 同时，由 )cos()sin(x v x u y ωωωω+-=' 继续求导数，得 )]sin()cos([)]cos()sin([22x v x u x v x u y ωωωωωωωω+-'+'-='' 代入方程，得第二个等式 f x v x u ='+'-)cos()sin(ωωωω 将两个等式联立，得线性代数方程组 ?? ?='+'-=+'f x v x u x v x u )cos()sin(0 )sin()cos(ωωωωωω 或写成矩阵形式 ?? ????=??????''??????-f v u x x x x 0)cos()sin()sin() cos(ωωωωωω 上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于 ωωωωωωω=-= ) cos()sin() sin()cos(x x x x ? 利用克莱姆法则解方程组，有 )sin()()cos()sin(01x x f x f x ωωωω-==?，)cos()() sin(0 )cos(2x x f f x x ωωωω=-= ? )sin()(1 /1x x f u ωω - =='??，)cos()(1 /2x x f v ωω = ='?? )]cos()sin([)]sin()cos([x v x u x v x u y ωωωωωω+-+'+'='

研究生数理方程期末试题10111A答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为

分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-?

数理方程基础练习(选择填空)

数理方程基础练习（选择填空） 一、填空题 1、物理规律反映同一类物理现象的共同规律，称为__普遍性（共性）_。 2、若函数f(x)是周期性的，则可展开为___傅里叶_____级数。 3、周期性函数f(x)为奇函数，则可展为_____正弦____傅里叶级数。 4、在给定条件下求解数学物理方程，叫作_数学物理定解问题__。 5、方程20tt xx u a u -=称为____波动____方程 6、方程20t xx u a u -=称为____输运___方程 7、静电场的电场强度E 是无旋的，可用数学表示为____ _______。 8、方程0j ??=称为___恒定电流____的连续性方程。 9、第二类边界条件，就是_ _____________________________________。 10、第一类边界条件，就是___ ___________________________________。 11、00(0,)(0,)x x u x t u x t -=+称为所研究物理量u 的_____衔接条件______。 12、00(0,)(0,)u x t u x t -=+称为所研究物理量u 的____衔接条件________。 13、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、__抛物型___和椭圆型。 14、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、抛物线型和___椭圆型___。 15、分离变数过程中所引入的常数λ不能为：负数或零甚至也不能是任意的的正数。 16、方程中，特定的数值λ叫作本征值，相应的解叫作__本征函数______。 17、傅里叶级数法适用于_____非齐次________方程和齐次边界条件的定解问题。 18、分离变数法的关键是___把分离变数形式的试探解_______代入微分方程。 19、非齐次振动方程可采用__傅里叶级数____和冲量定理法求解。 20、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。 21、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。 22、对于边界是圆柱型的定解问题，常采用__柱坐标___系求解。