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量子力学作业答案

第一章量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

hv d kT

hv v v 1

1833

=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）

λρρd dv v v -=，（3）

有

18)()

(5-?=?=??

? ??-=-=kT

hc v v e

hc c

d c d d dv λλλ

πλλρλλλρλρ

这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511

=????

-?+--?=

-kT hc kT

hc e kT hc e

λλλλλ

πρ ? 0115=-?+

--kT

hc e kT

λλ

? kT

hc λλ=

)1(5 如果令x=

λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

hc T m =

λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知

K m T m ??=-3109.2λ

1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。

解玻尔——索末菲的量子化条件为

?=nh pdq

其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。

（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有

12kx p E +=μ

这样，便有

1(22kx E p -

±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据

1kx E =

可解出 k

x 2±

=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有

=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )2

(2)()21(222μμ

nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-??

(2)21(222μμ

dx kx E x x 2)21(22=-?

为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；

θsin 2k

x =

这样，便有

h n k E d E 2sin 2cos 222

=???

? ???-

θθμπ

cos 2cos 2π

θθθμh n d k E E

h n d k

E 2

cos 222

?=π

πθθμ

这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分

?-?

=22

2sin 2π

πθθμ

d k

E B

这样，便有

??--?

=-?=?

=+22

2cos 2,

22π

ππ

πθ

θμμπθμd k

E B A k

E d k

E B A （1）

??--==22

cos )

2(2cos π

ππ

π???θθμd k

d k

这里? =2θ，这样，就有

0sin ==-?-π

?μ

d k

B A （2）

根据式（1）和（2），便有

E A μ

这样，便有

h n k

E 2

? k

h n E μπ2=

k nh

其中π

h =

最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

B q R

υυμ

? qBR p ==μυ

这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

=π

θ20

)(nh R qBRd

? nh qBR =?π22 ? nh qBR =2

又因为动能耐μ

p E =，所以，有

μ22)(2

222R B q qBR E ==

,22B nBN q nB qBn =?==

μμη

η 其中，μ

2η

q M B =

是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 B BM E =?

具体到本题，有

J J E 232410910910--?=??=?

根据动能与温度的关系式

kT E 2

以及

J eV K k 223106.1101--?==?

可知，当温度T=4K 时，

J J E 2222106.9106.145.1--?=???=

当温度T=100K 时，

J J E 2022104.2106.11005.1--?=???=

显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r

e r -==

1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21ρ

在球坐标中 ?

θθ?θ??

+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0ρρρ

r mr

k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r

r e r e r r e r m i m

i J ikr ikr ikr ikr ρ

ηρηρ

ηρ

ηηρ30

220

1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )

(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1ρ

ρ与同向。表示向外传播的球面波。

k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )

2i J )2(3020

220

ik r ik r ik r ik r *

2*222ρ

ηρηρηρ

ηηρ-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ

可见，r J ρ

ρ与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==?

?∞

∞

dx dx ψψ*Θ

∴波函数不能按1)(2

∞

dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 12

==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，

，0 00

)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程

)()()()(22

2x E x x U x dx d m ψψψ=+-

η 在各区域的具体形式为

Ⅰ： )()()()(2 01112

2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-<η① Ⅱ： )()(2 0 222

2x E x dx d m a x ψψ=-

≤≤η②

Ⅲ： )()()()(2 3332

2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-

>η③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0)(2)(222

22=+x mE

dx x d ψψη

令222η

k =

，得 0)()(22

22=+x k dx

x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④

根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤

)()(32a a ψψ=⑥

⑤ 0=?B ⑥ 0sin =?ka A

),3 ,2 ,1( 0

sin 0ΛΘ==?=∴≠n n ka ka A π

∴x a

n A x π

ψsin )(2= 由归一化条件

1)(2

∞dx x ψ

得 1sin 0

xdx a

n A

由

mn a

xdx a n x a m δππ?

=*2

sin sin

x a

n a x a

A πψsin 2)(2

∴=

222η

ΘmE

k =

),3,2,1( 222

2Λη==

?n n ma E n

π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为

??><≤≤=-a x a x a x xe a

n a t x t

E i

n n , ,0 0 ,sin 2),(ηπψ 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a

A 1=

证：?????

≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14）

由归一化，得

A a x a n n a A a A dx a x a

n A x A dx a x a

n A dx a x a

n A dx a

a a

a a a a

n 222

222

)

(sin 2)(cos

2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-

'=+-'=+'==-----∞

??πππ

ππ

∴归一化常数a

A 1=' #

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：2

22)(x

xe x ααπ

ψ-?=

223

222

112 24)()(x

e x e x x x α

αψω--?=

??==

2]22[2 )(3231x e

x x dx x d ααπαω--= 令

0 )

(1=dx

x d ω，得 ±∞=±==x x x 1

0α

由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。

222

2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223

322223212x

x e x x e

x x x x dx x d ααααπ

αααπ

αω----=---=而 0142 )(32

1212<-=±

=e dx x d x παω

可见μω

=±

x 是所求几率最大的位置。 #

3.2.氢原子处在基态0/30

),,(a r e a r -=π?θψ，求：

(1)r 的平均值；

(2)势能r

e 2

-的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。

解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0

220

/230

0???

?∞

∞

-=0

/23

dr a

r a a r

03023

2!34a a a =???

??=

03020

/23

2/23

2214 4 sin sin 1)()2(0

00a e a a e dr

r e

a e d drd r e a e d drd r e r

a e r e U a r a r a r -=???

? ??-=-=-=-=-=?

???

∞

-∞

-ππππ?θθπ?θθπ

(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ?

=π

?θθ?θψω0

22 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2

/230

04-=

/230

04)(r e a r a r -=

ω 0/2030

2(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令

0321 , ,0 0)

(a r r r dr

r d =∞==?=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置

/222

3022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω

08)

=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

(4)2222?21??-==

μηp T

???∞--?-=ππ?θθπμ02002

/2/30

2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r η ???∞---=ππ?θθπμ02002

/22/3

02 sin )]([11200d drd r e dr d r dr

d r

e a a r a r η ?

∞

----=0

203

2 )2(1

(240

dr e a r r a a a r μη

20204022)442(24a a a a μμηη=-= (5) τ?θψψd r r p c p

),,()()(*ρρ?= ???

-∞

θ?θθππ20

cos 0

/30

/3 sin 1

)2(1

)(0

d d e

dr r e

a p c pr i

a r η

-∞

-π

θθπππ0

cos 0

/3)cos ( )

2(20

d e

dr e

r a

pr i

a r η

∞

--=

cos /230

/30)

2(2πθπππpr i

a r e ipr

e r a

ηη

?∞---=

0/30

/3)()2(20dr e e re ip a pr i

pr i

a r η

ηηηπππ ])1(1)1(1[)2(2202030

/3p i a p i a ip a η

ηηη+--=

πππ 2

003

30)1(421

ηηηp a a ip

ip a +=

π 2

2044003

)

(24

ηηη+=

p a a a a π

22202/30)

()2(ηη

η+=

p a a π

动量几率分布函数

22025302

)

(8)()(ηη

+==p a a p c p πω 3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I

L H 22

=，L 为角动

量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =

哈米顿算符 22

222?21??

d d I L I H Z η-== 其本征方程为 (t H

与?无关，属定态问题)

)

(2)( )()(22

2?φ??φ?φ?φ?

ηηIE d d E d d I -==-

令 2

22ηIE

m =

，则 0)()( 2

2=+?φ?

?φm d d 取其解为 ??φim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有

?π??φπ?φim im e e =?=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…

转子的定态能量为I

m E m 22

2η= (m= 0，±1，±2，…)

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为 ?φim m Ae =

A 为归一化常数，由归一化条件

??φφπ

21 220

220

?===??A A d A d m m

∴ 转子的归一化波函数为 ?

φim m e 21=

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

2?21?L I

= t H

与?无关，属定态问题，其本征方程为

),(),(?212

?θ?θEY Y L I

= (式中),(?θY 设为H ?的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(?2?θ?θIEY Y L

= 令 22ηλ=IE ，则有

),(),(?22?θλ?θY Y L

η= 此即为角动量2?L

的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222Λληλλη=+==λL 其波函数为球谐函数?θ?θim m

m m e P N Y )(cos ),(λλλ=

∴ 转子的定态能量为

2)1(2

E ηλλλ+=

可见，能量是分立的，且是)12(+λ重简并的。 3.9.设氢原子处于状态 ),()(2

3),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ--=

Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值 2

282η

ηs s e n

e E μμ-

= )2(=n

角动量平方有确定值为

2222)1(ηηλλ=+=L )1(=λ 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L η-=2Z L 其相应的几率分别为

41， 4

其平均值为 ηη4

343041-=?-?=Z L

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

???<≥∞=a

r a r r U ,0;

,)(

求粒子的能级和定态函数。

解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 0=ψ (a r ≥)

由于在a r <的区域内，0)(=r U 。只求角动量为零的情况，即0=λ，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?θ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与?θ、无关。设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为

ψψ

μE dr

d r dr d r =-

)(1222η 令 2

22 ,)(ηE

k rE r U μψ=

=，得 0222=+u k dr

其通解为

r B

kr r A r kr

B kr A r u sin cos )(sin cos )( +=-∴+=ψ 波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0 ∴ kr r

r sin )(=

ψ 由波函数的连续性条件，有

0sin 0)(=?=ka a

a ψ

∵0≠B ∴),2,1(

Λ==n n ka π

n k π=

∴ 2

2222a n E n μπη

= r a

n r B r πψsin )(=

其中B 为归一化，由归一化条件得

2sin 4 sin )(1aB rdr a

n B dr

r r d d a

πππθψ?θππ=?====????

∴ a

B 21π=

∴ 归一化的波函数

r a n a

r ππψsin 21)(=

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉核对：项朋）证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海）（1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明：（1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

量子力学作业答案

第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5

如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件为 ?=nh pdq 其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有 2 22 12kx p E +=μ 这样，便有 )2 1(22kx E p - ±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据 221 kx E = 可解出 k E x 2± =± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有 ?? -+ + - =--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )2 1 (2)()21(222μμ

高等量子力学复习题

上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6）阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称偶宇称（7）阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ，将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9）即2 22202π n a mV = （10）这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12）也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

第十三章量子力学基础2作业答案

(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。图 19-6