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最新排列组合问题解法总结

二十种排列组合问题的解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固

1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++L 种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???L 种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类．

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有1

3C 排法；

然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种排法；

最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有3

4A 种排法；

∴由分步计数原理得113

434288C C A =

练习题:

7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有24A 不同种法，再其它葵花有5

5A 不同种法，所以

共有不同种法25

45121201440A A =?=种不同的种法．

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进

行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有522

522480A A A =种不同的排法．

练习题:

某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有2

520A =种不的情形．

三.不相邻问题插空策略

443

例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5

5A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4

6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5

56A A

练习题：

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总

排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：77

A A

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1

种坐法，则共有4

7A 种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有3

74C A 方法．（先选三个座位坐

下甲，乙，丙共有3

7C 种选法，余下四个空位排其它四人共有

44A 种排法，所以共有34

74C A 种方法．）

练习题:

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？5

10C

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6

7种不同的排法练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原

节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8

六.环排问题直排策略

如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为m n

A 个，所以m

n mN A

=，所以

m n

A N m

=．

即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m n

A N m

=．

n 个元素的环形排列数为!

(1)!n n A n N n n n

===-

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4

4A 并从此位置把圆形展

成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=??????= 种

B C D E A

H G F

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有

24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有5

5A 种,

则共有215

445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，

与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列1111

6181417108238346C C C C +=+=

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

5C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有4

4A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2

54C A

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,

且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有

多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有22

22A A 种排法，由

分步计数原理共有2

222A A A 种排法.

练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254

254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255

255A A A 种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为

个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位

置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有

C 种

分法．

注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．

练习题：

一班二班三班四班七

班

10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4

9C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3

103C

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇

数,所取的三个数含有3个偶数的取法有3

5C ,只含有1个偶数的取法有1

55C C ,和为偶数的取法共有

123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得2

642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取

AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则2

642C C C 中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有3

3A 种取法 ,而这些分法仅是

(AB,CD,EF)一种分法,故共有222

642

C C C A 种分法．练习题：

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（5441384

C C C A ） 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（222426

90C C A A =）十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节

目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2

33C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 2211222

3353455C C C C C C C ++种．

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。本题还有如下分类标准：

○

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；○*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准； ○

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n

n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法

十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,2盏或 3盏,也不能关掉两端的2盏,解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3

5C 种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩

下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3号球只能装入4号或5号盒,共两种装法,当3号球装4号盒时，则4,5号球只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2

2C 种 .

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有 72种十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：12345

55555C C C C C ++++

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4

81258C -=,每个四面体有

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174?=对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下

去.从3×3方队中选3人的方法有1

321C C C 种．再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有33

55C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有

3311155321C C C C C 选法．从33?方阵中任取3个人时,因这三人不在同一行同一列,

所以每行必有一人,据此,从每行任了

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，

从A 走到B 的最短路径有多少种？(3

735C =)

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个

没有重复的比324105大的数？

解:54321

5432122297N A A A A A =++++=

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计

数原理求出其总数。

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是

3140 十九.树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传

球方式有______ 10N =

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（1,2,3,4,5i =）的不同坐法有多

少种？44N =

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且

三色齐备,则共有多少种不同的取法

解:

,则分类明确,

能保证题中须满足的条件

,能达到好的效果. 小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固．排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证．同学们只有对基本的解题策略熟练掌握．根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础．

1415C C 2415C C 3415C C 1325C C 2325C C 1235C C